Wiener-Lee変換を用いて地震動波形のFourier振幅から原波形を再現する試み

【論 　 文

1

UDC ：550

．

344 日本 建築 学 会 構造 系論文報告集 第 379 号

・

昭和 62 年9月

Wiener

−

Lee

_変換

_を

_用

_い

_て

_地

_震動波形

_の

Fourier

振

_幅

か

ら

原

波

形 を

再

現

す

る

試

み

正 会 員 正 会 員 正 会 員

　

辺

田

壇

渡

神

孝

男

＊

英

＊ ＊

順

＊ ＊＊ 　

1．

は じめに 　地 震 動 波 形の振 幅 と位 相の関 係に つ い て調べ た研究が 政 尾 ら1｝や辰巳 らz） などに よっ て行わ れて い る。 政 尾ら

は 1940 年

lmperial

　

Valley

地震 （

EI

　

Centro，

　

NS

_{成 分〉} お よ び 1957年

San

　

Francisco

地 震 （

Golden

　

Gate，

　NS

成 分）の加 速 度 波 形の

Fourier

_変換の_{振 幅}と位 相の _{関 係}

をHilbert変 換3吃 用い て考 察し てい る が

，

相互間の変

換は極めてむずか しい と述べ _てい る

。

辰巳 ら は

Fourier

振幅の 回帰 表現式と

Wiener−Lee

変 換31を 用い て 1940

年 正mperial 　

Valley

地震 （

El

　

Centro，

　

NS

_{成 分 ）}および

1968年 十 勝 沖 地 震 （八戸

，EW

成分）の 変位 波 形に対 応す る最 小位相 推移関 数3）_{を推 定 し}

_，

_{それ が 伝 播 経 路の} シ ス テム に か か わ るものを表し

，

残 余の関 数が発 震にか か わ る情報を多く もっ て い る こと を示し て い る

。

　本 論 文は

，

振 幅と位 相の 関 係 を 表 すWiener

−Lee

変 換の近似 表現式を導き

，

そ れを 用い て地 震 動 波 形の

Fourier

振幅か ら位 相を推定し原 波 形を再 現しよ う とい う もの であ る。 計算の 対 象と し た地 震 動 波 形は， 1979 年

Imperial

　

Valley

地震お よ び

1983

年

Coalinga

地 震の

本震と余震の_{震源 近傍}の観 測点にお ける加 速 度 波 形 とそ れ を積 分し て求め た速 度 波 形である。 　

2．

最 小位相推移 関 数 と

Wiene

卜 Lee 変 換

　

実数の 因果 関 数

h

（t）の 片側

Laplace

変 換

H

，（ρ）が

Re

　p_≧

0

でゼロ_{点 も特 異 点 も 有 しな}い_， す な わ ち

ln

　

HJ

（p ＞が

Rep

≧0で 正則の と き 九（t）を 最 小 位 相 推 移関 数と呼ぶ3，

_。

　

最小位 相 推移 関 数

h

（t）の Fourier_{変 換}

H

_（ω）は，

t

〈

0

で

h

（

t

）

＝0

だ か ら

，

ノ

＝

v石：丁として ・（・）

一

∬

・（

t

）exp ［

一

ブ・

t

ユ・t

………・

…・

（・） で あ る

。

こ こ で減衰量 α（ω）と位 相 θ（ω）を用 いて

H

（ω）＝ exp ［

−

a （ω ）

−

」θ（ω）］とお き ω

＝− tan

［δ／2］の 　 　 　 ＼ 　拿 清水 建設 （株1大崎研究室

・

工修 ＊＊ 清水建 設 （株 ）大 崎 研 究 室

・

工博 ． 林 _{東 京 大 学 　 助 教 授}

・

Ph

．

D 　 論 文の内 容の

一

部は

，

昭和61年 度日本建築 学 会 大 会で発 表 　 　 し た もの であ る

。

　 （昭和61年 IO月 1日 原 稿 受 理 ） 変 数 変 換 を行う と

，h

（t）は実 関数だ か ら

，

減衰量 α （ω）は偶関 数_， 位 相 θ（ω）は奇 関数であ るの で

　　　

1

・

H

（ω）＝

1

・

H

_（

− tan

δ／

2

_）

……

：

…

1………

（2） 　 　　 　 　　

＝−

a（tan δ／2）＋_ノθ（

tan

δ／2）

…・

・

（3） 　 　　 　 　　；

A

_（δ）

−

je

_〔δ）

・

…



……・

…・

・

……・

…

_{（4 ）} と 書け る

。

ω が

一

CQ か ら 十 CO まで変 化す る と き δ は ＋ π か ら

一

π まで の値を とる

。

し た がっ て

A

（δ）お よ び θ（δ）は下の よ うに Fourier級 数に_展開で き る。 　 　　

A

（δ）

＝

Co→

−

CI　COS δ 十

…

十 C配COS 　

k

δ十

…

　 　 　

・

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（5） 　 　　θ（δ）＝

d

■sin δ 十

…

　十

dksin

鳶δ十

…

　 　 　

4−・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（6）

　　

　

・・−

iff

。 A （・）・・S 翩

・

…・

・

………・

・

…

（・）

　　

　

d

・−

i

∫

fn

・（・）・i・・

h

・

d

・

一 ・

…・

…・

・

…・

…

（・〉

　

こ の と き

ln

　

Hi

_（p ）が

Re

　

p

≧

q

で正則との条 件 を 用い る と

，

上の

Fourier

級 数 展 開の係 数の間に は下の関 係が 成 り立つ3 〕

。

　 　 　Cit

＝− d

，（左≧1）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（9） 　これ まで に述べ た諸量の関 係を図

一

1に示 す

。

　

3，

　 位 相の推 定と原 波 形の再 現の方 法

　Wiener

−

Lee 変 換 を 用い た_， 既 知の Fourier振 幅に対 応す る位 相お よ び最 小 位 相 推 移 関 数の推 定は_， 図

一

1に 対 応し て図

一

2の ようになる

。

　ある関 数g（t）の Fourier変 換 を

G

（ω）と すると

，

そ の減 衰量 はα（ω）

＝− IRIG

（ω）1で定 義 され る

。

そこ で ω＝

−

tan _{［δ ／}2_］の _{変 数 変 換} を行 い A （δ_）

＝−

a （tan ［δ／

2

］）と お き

，A

（δ）の Fourier_{級 数 展 開}の係 数 Ck を （

7

）式を用いて求め る。 この係 数Ch を用い て係 数

d

，

，

θ （δ〉

，

θ（ω〉の順で位相を計 算 しta （ω ）と θ（ω〉と か ら

H

（ω）を求め

，

最後に

H

（ω）に

Fourier

逆 変 換を ほ どこし て最 小 位 相 推 移 関 数

h

〈

t

＞を推 定す る

。

　こ の 方 法 を 応 用 して_， 本 論 文 で は地震 動 波 形の Fourier振 幅か ら位 相を 図

一

3の よ うに推 定 し， 原波 形 の再 現を試み た。 　地 震 動 波 形 g （t）の _{離 散}型 デ

ー

タ を g，（

1＝−

L／2＋1

，

一

₁₅

一

団

竜

_｛

圜

葦 齧

　 　図

一

1 最小位相推移関 数h（t）とWiener

−

Lee変 換 　 　 FourieT　scな

匯

　 　 Feurier逆変

回

　

　

　

　

　

　

　

　

　

   

一

［

瓢

　

H〔・〕

　　

Ut・・）

報

］

袖

図

一

2　最 小 位 相 推 移 関数 h（t）の推 定 図

一

3 最 小 位 相 推 移 列h，の推定

…，L

／

2

》と す

．

ると，　 n 次の 角振 動 数 娩 二 2nn／L△t （n

＝

　

− L

／

2

＋

1，…

，

Lf2

）に対す る

Fourier

係数

Gn

は

　　　

・・一

讐

・・exp ［

−

j

・・nl・

L

］

・

………・

一

（・・）

で あ り，

Fourier

振 幅

Ampn

は

1LAt ・

G

。1で与え ら れ

る。 ただ し， 因 果 関 数と して取 り扱え る よ うに

1

≦0の と き ＆

＝

0として い る。 この と き任 意の ω に対 する g （t）の

Fourier

変 換 G （ω）の絶対値

IG

（ω）

1

は

，

サンプ リング_定理 （注 参 照 ）を 用い て

　

　

　

　

　

　

。

算

．

、

LAt ・

α s

肇 謐 謬

2

）

1

心

［

ω （ G 　　 　 　　 　 s血 （ηπ

一

ω

L

△ 孟／2）

萬

．、齲 。。

．

幽 ，

劉

　 　 　

・

…・

………・

・

……・

…・

…

（U ） と近似でき る。 　こ こ で D の 区 間 ［

一

π

，

π］を

M

等 分 し て

，

δm

＝

2

π祝 ／

M

（m

＝−

M ／2＋

1，…，

M

／2）で の

A

（δ）を

Am

と お く と

　　　A 。− lnlG

（

−

tan δ。／2）卜

・

・

……一 ………・

・

_（12）

．

と な る

。

以 上 より

A

（δ）の

Fourier

級 数 展 開の係 数

C

髭 は

　　　

・

弓

蕩

… ・・c・s 鵬

………

（・3） で与え ら れ， n 次の角 振 動数an ＝ 2πn／LAt に対す る 位 相 ＆は次式の ようにな る。

　　　

em

＝

＿

磐

C

_、si。　

kO

。

………・

………・

（

i4

） 　 　 　 s

＝

1

　　　　

＿

_磐

_C

_．si。［

2h

・

tan−

’_{。 、“}

・

…・

・

……一 …

（15 ） 　 　 　 iC

＝

1 最後に

，

Feurier振

IM

　

Amp ．

と位 相 ＆と か ら

Hn

を計 算 し

，Hn

に

FourieT

逆 変 換を ほ どこ して最小 位 相 推 移列

h

，を推 定する。

一

₁₆

一

　

こ こ で

，

本 方 法 を用い ると きの留 意 点 を二つ あ げてお く。 な お， 計算 精度の検 証は後 述する

。

　

［1 ］

　

（11 ＞式， （13） 式お よび （

14

）式が近 似 表 現で あ るこ と

。

　

［

2

］

_．

（

12

）式で， m …

M

_／2の と き G （

一

。。_）の値が 必 要と な るが， こ こ では m

＝M

／

2− 1

の値で代 用 し て い る こと

。

　

4

．

位相差 分および 相 互 相 関 係 数

　

波 形に含ま れ る各 振 動 数の_成分波が お互い にどの よ う に重な り合い _， 全 体と し て ど ういう形 状 あるいは包 絡形 を形づ くっ て いる かを表 現 する

一

つの_方法は_， 各 振 動 数 の 成 分 波の _{位 相} の 差 分

，

す な わ ち 位 相 差 分 A＆

＝

＆＋ 、

一

傷（n＝＝

一．

’

L／2＋1

，

L

・

・，L

_／2 ，

lA

＆

1

≦π）を と る こ とで あ る1 ）

。

本 研 究で は原波形＆ の 位 相差 分 △傭

＝

θ霊＋ 、

一

θ諱と推 定し た最小 位相 推移列

h

、の位 相 差 分 A＆

ニ

＆． 、

一

＆の差 をとっ て比較し た

。

　

ま た

，

原 波 形＆ と それ か ら推定され る_最小 位 相推移 列

h

，が どの程度似て い るか を定量的に把 握 す るために

，

下 式で定 義され る相 互 相 関 係 数

Rgh，

t（

i

＝

− L

／2＋1

，

…，

L

／

2

｝を 用いたe

’

　

　

　

・…

マ

謡

漏

・

………一 ……・

_（・6・ こ こ に c・h

：

・一

圭

離

，， ， ＆

・

ん・・…

……・

……・

……

：

・

（・

7

） であ る

。

　

相互 相 関 係 数の_{最大 値}

M

αコじ

1R

∬謡が 1に近いほ ど ＆ と

h

，は似て い るとい うこと を示し

，

もし

h

‘が∬ だけず れ て

9t

と完 全に

一

致 して い る， す な わ ち

g

，

＝

・

，

ht4i

（

1

＝

− L

_／2＋1_，

…，L

／2）で あ る な らば

Max

　

lRgh

，

s｝

；

1で あ る

。

　

5， 一

質点系の応 答 波 形 の 計 算 例 　は じ め に計 算の検 証の た め に

，

固有角振 動 数pm

，

減 衰 定 数βの

一

質 点系に 2 種類の外力 が作用し たとき の 応答波 形 を例 と して計 算 を行っ た。

　

外力 を

一

100δ（t）＋50δ（t

− 10

）と し た場 合の系の応 答波形 を

g

、（t）とす ると運 動 方 程 式は下の よ うに な る。 こ こに δ（

t

）は面積が 1の デル タ関 数で ある

。

鵠

・β

聯

・

鵡

・

− 1

。・δ・

t

）

一

・・δ

1

・

− 1

・・ 　 　 　

…・

・

…・

………

（18） 両辺に

Laplace

変換を ほ どこ して片 側

Laplace

変 換

　

　

　

G

…

P

… 1°

鴇

嬲

謂

’］

…・

…………・

・

19

） を得る

。

こ の 式の ゼ ロ点お よ び特 異 点は

。

n を 整 数 と し て

　　　

・

一

一1n2

盖

」 2π 〃 ， ・

一一

β・… 画

π

孑

〔CM〕 15 0

一

15

一

5 〔OM〕 15 0

一

15 　

−

5 0 5 10 　 　 15　 　　

’

　 　 20 （a 〕応 答 波 形 25 30 ヨ5 〔SEC 〕 〔CN疑SEC〕 20 0 5

「

1D　 　 　 I5　 　 　 20 　 （

b

）_暈小 位 相 推移関 数 　 　 　 〔RP口〕 　 　 　 4

．

e 　0 　 0123456789 　 　 　 （C）Fourier 振 幅 〔RR口〕 4

．

8 0

．

0 25 30 35 〔SEC〕 　 　 　

一

4

，

8 10　〔HZ〕　　　　0　　　1　　　2　　

．

3　　　4　　　5　　　6　　　7　　　8　　　9　　　10 　〔HZ〕

　　　　

（e）位相 差 分 （破 線：応 答 波 形

，

実 隷：最_{小 位 相}推 移 関 数 ） 　 　 　 〔RRD〕 　 　 　 4

，

8 　 O1234567B910 〔HZ〕 　01234567egtO 〔HZ〕 〔の 位 相〔破 緤 ：応 答 波 形

，

実 線：最 小 位 相 推 移 関 数 ）　　　　　　   位 相 差分 の 誤差 　 　 　 図

一

4　計 算 例1：外 力 を

一

IOOδ（t）＋SOδ（t

−

10）と し た場 合 5 　 　 4 　 　 　 　 　 3 　 　 　 　 　 2 　 　 　 　 　 1

［

宀

、

、

謹

｝ 誌 ミ ー 二 〇 。

T

囗 1 … … ムf

＝

0ρ1 _〆

・

o

・

…．

『

　

，

・

’

　 　　 △f

匿

o

．

02

凾

「

．

．

　　　

．

．

…’

【

’

　

【

，

一

〇

一一

一

司』

　，

_卩

．

．

．

．

曽

一一

〇

’

△t

；

0

．

05 彭 ∠∈

，

ゆ

・

／

’

」

「

“

■

F．

．一・

凾

■

．

く9

　一

．

．

．

■．

△t

巳

0

．

1

一

鹽

冒

■

，

需

曹

明

o I 　 　

I

　

　

卍

　…

_F

工0， ₁₀₄ M 図

一

5　計 算 精 度の検 証1：At およ びM を変え た場合 　 5 ：

；

・

4 ♂

Y3

窪

↓

2 志 ⊇_ユ 9 　 　 O 　 　 　 IDS　　　　　　　　 Io

，

　　　　 M 図

一

｛　計算 精 度の検 証2：波 形の ス ペ ク トル特 性 を 変えた場 合 X ：_β

■

0

．

05

1

ω

回

2π 　o

，

ガ 　 　 払 　

，

’

，

’

　

「

，

’

8

、

一

噂

圏

噌

「

隔

隔

○：β

犀

0

．

1

塀

ニニ

ニ

’

　 　』 r

　’

_，

_’

　

”

，

う

”

　　

’

ろ

’

’

ω_o

富

10π

　　’

　多弖 5 彡 ’

’

　　 　

，

下

　

．

−■

．

「

“

，

　　｝　1

「

幽

’

鹽

’

帆 咆…

1｝

鹽

　　　

I

　

　I

齟…

τ

_「

．

…

膰

．

．

ω 0

騙

20π 　 　 　 　

……・

・

…………・

………

（20） で ある か ら

，G

、、（ρ）は

Re

ρ≧

0

でゼロ 点 も特 異 点 も有 し な い

。

した がっ て

g

，（t＞は最 小位 相推 移 関 数で あり_， 9i（t）の

Fourier

振幅［

G

、（ω＞1か ら求ま る最 小 位 相 推 移 関 数

h

，（

t

）はgl （

t

）と

一

致 する はずで ある

。

なお

，

＆（t）の Fourier変 換

G

、〔ω）は （19 ）式に p

’

_＝

　

jbl

_{を 代} 入 して下の ようにな る

。

　

　

　

・・…

＝

＝

’

禦

鑑

響

……・

………

_（

₂₁

_）

　

図

一

4の （a）に

g，

（t）を

，

（

b

）に h_，（

t

_）を示 す。 計 算は_{固 有 角 振 動 数} ω。

＝2

π（

1Hz

）

，

減 衰 定 数 β

＝O．1，

　

At

≡

₀

_．

_01秒 ，

L ＝

8192

，

δ の分割数M

＝

32768と し て行っ た。 両 者 の 相 互 相 関 係 数 の 最 大 値 M α唄 R8 扁 は 0

．

99991であり

，

図に示す

h

，（

t

＞は ＆（

t

）に

一

致して い る。 図

一

4の （c）， （d ＞， （e）お よび （

f

）に は そ れ ぞ れ FQurier振 幅AmPn

，

位 相 θ渚お よび 亀

，

位 相差 分 △θ歪 お_よび△＆

，

位 相 差 分の誤 差

A

＆

一

△疏を 示 す

。

位 相差 分の_{誤 差}は OHz か ら8

．

5Hz 前 後ま で お お よ そ ゼロで あ り， 原 波 形g，（t）の位 相が か な りよ く再 現さ れ てい る こと が わ かる。　 　 　 　

’

　 計算精 度の _{検 証}の た め

，

同じ系に同 じ外 力 を入 力し

，

At

および

M

を変化さ せて最 小 位相 推移関 数 ん置（

t

）を 計 算し

，

原 波 形

g

、（

t

）との 相互相 関 係数 を求め た_。 At

’

は 0

．

1（L

＝

1024）

，

0

．

05 （L

＝

2048）

，

0

．

02 （L

＝

4096），

一

₁₇

一

〔CM〕 ！5 0

一

三5 　

−

5 〔c岡〕 15 0

一

15 　

−

5 0 5 ！o 　 　 15 〔a ）応 答波 形 20 25 30 35 〔SEC〕 〔CM緊SEC〕 20 0 5

．

10　 　 　 15　 　 　 20 　 （b）最 小 位 相 推 移関 数

．

　 　 　 CRRD〕 　 　 　 4

．

8 25 30 35 〔SEC 〕 0

．

0 　0　 　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　

−

4

．

8 　 0i2345G78910 〔HZ〕 　 　　 　 　 　　 　（C ）Fourier振幅

、

〔RPD〕 4

．

8

覇

謙灘

欄黼黼 購 蔬襯轜黼 1

鱇 繍

1

竈譜 湘 毘」 0　　　1　　　2　　　ヨ　　　4　　　5　　　6　　　7　　　8　　　9　　　to　〔HZ〕 （e）位 相差分 （破 線 ：応 答 波形

，

実 線：最小位 相推 移 関 数 ） O

．

O

一

4

．

日 〔RRD〕 4

．

8 0

．

0 　 　 　

一

4

．

8 0 　1 　2 　3 　4 　5 　6

・

7 8 　9 　10 〔HZ〕  0 工 2 3 4 5 6 7 （d）位相 （破 線：応 答波 形

．

実 線：最 小 位 相 推移関 数 ）

　　

．

　　　　　　　 ．

m

位 相差分の 誤差 　 　 　 　図77 　計 算 例2 ：外 力 を

一

50δ（t｝＋100δ

．

（　t

−

10_）と し た 場 合 B　　　9　　10　〔HZ〕 0

．

01（L

＝

8192）秒の 4通り

，M

は

256，512，1024，2048

， 4096， 8192， 16384， 32768の 8通 り であ る

。

こ こに， L は振 動が十 分にゼ 白に収 束す る値を とっ ている

。

　

各々 の場 合に対する

一

log

［1

−

M αxlRgh

，

tl］を

，

横軸 に

M

をとっ て図

一5

に示す

。

図

一4

に示 し た例 （

At ≡

0．

01，M ＝32768

）では 4程 度， す な わち相 互 相 関 係 数 の最大 値は 1

−

10” _{の オ}

ー

_ダ

ー

_{（実 際に は} O

．

99991_）で あ る

。

ま た，

4t

が

O．

05

秒よ り小さ けれ ば，　

M

として は

8192

以 上 を とると

，

相 互 相 関 係 数の最 大 値に して 1

−

₁₀＋

−

4_の 精 度で最 小 位 相 推 移 関 数が計 算で き る

。，

　

一

方， 図

一

_{4 （}

_f

_{）に見 られ る よ うに}

_，

₈

_．

_{5Hz 前 後 を} 越える振 動 数 域で は

，

位 相 差 分の誤 差が大き く なっ て い る

。

そこで， 波 形の スペ ク トル特 性と計 算 精 度の関 係 を 見る ために_， At を0

．

01秒

，

　

L

_を8192

，

　

M

を_{前 述}の 8 通り と し

，

固 有 角 振 動 数 ω。を

2

π（

1Hz

）

，10

π（

5Hz

）

，

20π（10Hz ）

，

減 衰定数β をO

．

1お よびO

．

05の 6通り の 系につ いて応 答 波 形を求め

，

』

そ れに_対す る最小位 相推移 関 数を計算し た

。

　各々 の場 合に対する

一

且og ［1

−

MaxlRgh

，

‘

1

］を

，

横 軸 に

M

を とっ て 図

一

6に示 す

。

M

＝

32768

の と き

，

　

Max

｝Rg、、

．

、｝は IHp の系の応 答 波 形で 1

−

10

−

‘

一

”

s ， 5Hz の系の 応 答 波 形で

1−

10

−

2

−−

3

，

10Hz の_系の_{応 答波形}で 1

−

10

−

1 のオ

ー

ダ

ー

で あ る。 し た がっ て， 高 振 動 数 成 分の卓越 し た波形を計算の_対象と す る場 合， 更に計 算 精 度を あ げ る に_は

，

注 意が必 要である

。

　

も う

一

つ の例と して_， 同じ系に

一

50δ（t）＋100δ（t

−

10

）を 入力 し た と きの 応 答 波 形

9t

（

t

）にっ い て_計算を 行っ た。 g，（t）の片側

Laplace

変 換

Gii

（p）は

　

　

　

G・1（・）

一

‘

9

諾

器

碁

P ］

・

・

…・

…・

…・

…

・22） で あ る

。

こ の式の ゼロ 点お よ び特 異 点は

，

n を 整数と し て ・

」

n2

キ

12

伽

，

・

一一

β嫡 撫

厨

・

・

……

（・3） であるの で，

G

，，（

p

）は

Rep

≧

0

でゼロ点を有して お り，

9t

（

t

）は最 小 位 相 推 移 関 数で は ない。 ま た

，

　g、（

t

）の

Feurier

変 換G2（ω）は

　

　

　

G

，（・〉− 5

雛

鑑課

一 …・

…・

…

_・24・ とな り

，

IG，（ω）1は ）

G

，（ω＞

1

と等 しし  した がっ て

，

＆ （t）の

Fourier

振 幅 ト

G

，（ω）1か ら求まる最 小 位 相 推 移 関数

h

，（

t

）は ＆（

t

）と は

一

致せず

，

は じ めの 例と し て あ げ た

h

、（

b

の方 と

一

致 する はずである

。

　図

一

7の （a）に

g

，（t）を

，

（

b

＞に

h2

（t）を示す。　g2 （t）と

h

、（t）の相 互相 関係 数 の 最 大 値

MaxlRg

“

1

は O

．

800

で ある

。

図

一

7の （c）

，

（d）

，

（e_）お よび （f）に

一

₁₈

一

は そ れぞれ

Fourier

振幅

，

位 相， 位相差分お よび位相差 分の誤 差 を示す。 位相 差 分の誤 差は お お よ そ

0

か ら

一

3

π／4まで の範囲に 分 布 し て お り，

g

，（t）の 位 相と

h

， （

t

）の _{位 相}と は明ら か に異なっ ている。 　ま た， ん、（t）と図

一

4 （

b

）の

h

、（

t

）の相互相関 係 数 を計算し た結果

，

そ の最 大 値は 1と な り

，

上で述べ たよ う にこ の両 者は完 全に

一

致して いるこ と が示 され た。 　

6，

地 震 動 波 形の再 現

　

次に

，

こ の方 法 を 用い て_{， 本論文}の _目的である地 震 動 波 形の Fourier_{振 幅}か ら_位相を推 定し

，

原 波 形 を 再 現 す 〔GRL〕 工000 o

一

正000 　 　

−

5 ること を 試み た。 計算の対 象と し た地 震 動 波 形は， 1979 年

lmperial

　

Valley

_地震51の本 震 （

M

．

＝

6

．

6

）と余 震 （

M

， ＝

5．

2

）お_よび1983_年 Coalinga _{地 震}6｝_{の本震 （}

M

，

＝6．7

）

　　　　　　　1

と余 震 （

M

、

＝

5

．

1）の

，

震 源 近 傍の観測点に お け る加速 度波形とそ れ を積 分し て求め た速 度波 形で あ る。 計 算は 時 間 刻みを0

，

01秒， δの分 割 数

M

を

32768

と して行っ た。 な お

，

以 下に示 す

8

波の計算例は

，

いずれも主要 動 部 分の始ま りと考え られ る 時 刻 を ゼロ_秒と し_， それ以 前 の初 期 微 動 部 分は除 去し てい る。 　図

一

8およ び 図

一9

の _（a_）に

El

　

Centro

　

Array

　

No ．

2 〔GPL 〕 toOO 0

一

1000 　 　

−

］ 0 5 10 　 　 IS 〔a ）観 測 波 形 20 25 30 35 〔SEC〕 〔GRL聚5EC〕 2DO 0 5 10　 　 　 　　 　 工5　 　 　 　20 　 〔b）最小位 相推移関数 　 　 　 〔RRD〕 　 　 　 4

，

8 O

，

0 25 30 35〔SEC 〕 0 　 　 　

−

4

，

8 ° 1234567B91 _・〔HZ〕

’

・ 12 ヨ 4567891 _。〔HZ〕

　　　　　　　

（c）Fourier 振 幅



_{（d） 位相差分 の 誤差}

　

図

一

81979 年Imperial　Valley地 震の _{本 震 （}M_、＝ 6

．

6）の EI　Centro　Array　No

，

2 _（140

°

_）にお け る加 速 度 波 形 〔K工NE〕 60 o

一

60 　

−

5 〔KINE〕 60 0

一

60 　

−

5 0 5 LO 　 　 15 （a） 観 測 波 形 20 25 30 35⊂SEC〕 〔KINExSEC 〕 60 o 5 10　　 　　 　　 15　　　 　　 　 20 　

fb

）最小位 相 推 移開 数 　 　 　 〔RP口 〕 　 　 　 4

．

8 口

．

0 25 30 35 〔SEC 〕 O

−

₄

_．

_B 　O　　ユ2345678910〔HZ〕　　　0　　　1　　2　　3　　4　　5　　6　　7　　8　　9　　tD 〔HZ〕

　　　　　　　

（c）Fourier振幅



・



_{（d）位 相 差 分の誤差}

　 　 図

一

91979年lmperia］Valley地震の 本 震 （M

，

＝

6

．

6）の El　Centro　Ar田y　No

，

2 （140

°

）に おける速 度 波形

一

₁₉

一

（

140

°

》にお け る本 震 （職

＝

6

．

fi

）の加 速度波形お よ び 速度波 形をtt （

b

）に そ れか ら推 定し た最 小 位相推 移 関 数を示す。 （

b

）の波 形の

Fourier

振 幅は （a）の波

形

の Fourier振 幅と全く等 しく，

Fourier

位相は その振 幅に

早

合っ た値

，

穿

な

わ

ち最

少

位

相

推 移 関 数 と_{な る よ う に}与 えて い る¢両 者の Fourier振 幅は等 しい にも か か わ らず， 相互相 関 係 数の 最 大 値Max （Rstsi｝は 0

．

387 （加速度 波 形）およびO

．

　565 _{（速 度 波 形 ）であり} ， 異なっ た

．

波 形に なっ て い る

。

これは

，

観 測 波 形が最 小 位 相 推移関 数で は な い_， すな わ ち 観 測 波 形の 片

_{側 L}

_〜aplace _{変 換}が

Re

p≧0でゼロ点また は特 異 点を有 し ていること を意 味し て い る

。

図

一

8および図

一

Q

の （c_）と （

d

）に は そ れ_ぞ れ

．

振 動 数がOHz か ら

10Hz

までの領域での

，

　

Fourier

振 幅と位 相 差 分の誤 差 を示 す

。

位 相 差 分の誤 差は

，

．

全

般 に ゼロよ り わずか _{に 負}の側に位 置し てお り

，

Fourier振 幅 が ゼロ に近い値で急 変 する_{振 動 数 の 近 傍}で特に大き く なってい

_．

6

。

_ρれ は

，

観 測 波 形の_位相の_変化率が

，

最 小 位相推移関 数の位 相の変 化 率 よりも大 きい こと

，

および

・

Fourier

振 幅が ゼロ に

_近

い値で急 変 する と き観 測 波 形の 位 相が不 安 定な動きを する た_酸と考_皐られる

。

〔GAL〕 180 u

一

！8ロ 　 　

ー

1 〔GRL 〕 180 0

一

180 　 　

−

1 0 1 2 3　 　 　 4　 　 　 5 　 　 （a）

・

鰻 測 波 形 6 7 8 9〔SEC〕 〔GAL：SEC〕 60 0 1 2 3　 　 　 4　 　 　 5 （b）最 小 位 相 推 移 関 数 　 　 　 ⊂RR口〕 　 　 　 4

．

B O

，

0 6 7 6 9 〔SEC〕 0　 　　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　

−

4

．

8 　0　　　1　　2　　　3　　　4　　　5　　　5　　　7　　　8　　　9　　10　〔HZ）　　

・

0　　　1　　2　　　3　　　4　　　5　　　6　　　7　　　8　　　9　　10　〔HZ〕 　 　 　 　（c）Feurier振 幅　 　 　　 　 　　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　〔d）位 相 差 分の誤 差

　　

図

一

10

．

1979年Imperia且Valtey地震の余震 （M，

＝

5

．

2）の El　Centro　Array　No

，

2 （140

°

〉に お け る加速 度 波 形 〔K匸NE〕 L2 0

一

藍2 　

一

工 〔KrNE〕 t2 0

一

12 　

−

1 0 1 2 34

_．

・

5 　 　 （a〕 観 測 波 形 6 7 8 9 〔SEC〕 〔KINE瓢SEC） 5 0 　 0　 　1　 　 2 0 1 2 図

一

11 3　 　 　 4　 　 　 5 （b）最 小 位 相 推 移 関 数 　 　 　 〔RR口 〕 　 　 　 4

．

8 0

．

0 6 7 8 9 〔SEC 〕 　 　 　

一

4

．

8 3　　4　　5　　6　　7　　8　　9　　10　〔HZ〕　　　0　　　1　　2　　3　　4　　5　　6　　7　　e　　9　　10こHZ｝ 　 （c）

’

Fourier振幅　 　　 　 　　 　 　　 　　 　 　　 　 　　 　 　（の 位 相 差 分の誤差 1979年lmperial　Valley_{地 震の余 震 （}M ，

；

5

．

2）のEt　Centr。　Array　No

，

2 （140

°

）に おける速 度 波 形

一

₂₀

一

　

一

方

，

図

一 10

お よ び図

一11

の （a）に

El

　

Centro

Array　No

，

2 _（140

°

_）に おける余 震 （M，

＝

5

．

2）の加 速 度 波 形 お よ び速 度 波 形 を， （

b

＞に それか ら推 定し た最小 位 相 推 移 関 数 を示す

。

こ の場 合， 両 者の相互相 関係 数の 最大 値 MaxlR8NA は O

．

　933 （加_{速度波形 〉お よび}0

．

993 （速 度 波 形 ）であり， （a）の観 測 波 形と （

b

）の最小 位 相 推 移 関 数 とはほぼ等 しい もの と なっ てい る

。

し たがっ て_， 観 測 波 形は_最小位相推 移関数に か な り近い もの であ るとい うこと がで き る

。

図

一

10および 図

一

11の （c ） と （

d

）に はそれぞれ

，

振 動 数 がOHz か ら10Hz までの領 域で の

，Fourier

振幅と位相差 分の誤 差を示す。 位 相 差 分の誤 差 は 地 震 波の卓 越 振 動 数に相 当 する 0

．

5Hz か ら 3

．

5Hz までの領 域で ほと ん ど ゼロ となっ て お り

，

原 波 形 の位 相 差 分 をよ く再現 し ている

。

　図

一12

，

13

，

14

お よ び

15

に は，

Pleasant

　Valley

Pumping

　

Plant

の

Basement

_（

315

°

）に お け る本震 （

M

，

＝

₆

_．

_{7）と余 震 （}

_M

，＝ 5

．

1）の加 速 度波 形 と 速 度 波 形

，

そ れ ら か ら推定し た最小 位相推 移 関数， お よび

Fourier

振 幅 と 位 相 差 分の誤 差 を 示す

。El

　

Centro

　

Array

　

No ．

2

の観 測 波 形と 同 じ く， 本震の場 合 推 定 し た最小位 相推移 〔GPL 〕 700 0

一

700 　 　

−

5 〔GAL〕 700 0

一

70e 　 　

−

5 o 5 10 　 　 工5 （a）観 測 波 形 20 25 30 35 〔SEC〕 〔GAL嘱SEC〕 300 口 5 10　 　 　 15　 　 　 20 　 （b）最 小 位 相 推 移 関 数 　 　 　 〔RRD〕 　 　 　 4

，

8 0

．

0 25 30 ヨ5〔SEC〕 　 0　 　 　 　

−

4

．

8 　 　 0　　　1　　　2　　　3　　　4　　　5　　　6　　　7　　　B　　　g　　ID　〔HZ〕　　　0　　　1　　　2　　　ヨ　　　4　　　5　　　6　　　7　　　B　　　9　　10　〔HZ〕 　 　 　 （c｝Fourier振 幅　 　 　 　〔d）位 相 差分の誤 差

図

一

121983 年 Coalinga地 震の_{本震 （}M_・

＝

6

・

7_）の Pleasant　Valley　Pumping　Plantの

Basement

（315

・

）に お け る加速度 波形 〔KINE⊃ 60 0

一

60 　

−

5 〔KINE 〕 60 0 5 £O 　 　 15 （a〕観 測波 形 20 25 30 35 〔SEC〕 0 Peak 　Ve1

．

46

．

7kine

一

、。

L

＿

L

＿

＿

＿

＿

＿

＿

亠

＿

＿

＿

＿ ＿

⊥

＿ ＿

一 一

＿

」

一

5　 　 　 0　 　 　 5 匸K【NErSE〔：〕 30 工0　 　 　 15　 　 　 20 　 （b）最 小_{位 相 推 移 関 数} 　 　 　 〔RR口 〕 　 　 　 4

．

8 o

．

D 25　 　 　 30 3E〔SEC⊃ 　 0　　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　 　

−

4

．

8 　 　0　　　ユ2345678910〔HZ）　　　0　　　1　　2　　　3　　　4　　　5　　　6　　　7　　　8　　　9　　且0　〔HZ 〕 　 　　 　 　　 　 　（c）Fourier 振幅_（d｝位相差 分の誤差

図

一

131983 年Coalinga地 震の本震 （M。

己

6

．

7）の Pleasant　Valley　Pumping 　Plantの Basement （315

°

）におけ る速度波形

関 数は観 測 波 形と異なっ た波 形に なっ てい るもの の

，

余 震の場 合 原 波 形に極めて近い もの と なっ て い_喬

。

相互相 関係 数 の 最 大 値

M

〔鷹 ｛

R8

繍は， 本震の 場 合0

．

550 （加 速 度 波 形 ）お よ び

0．

586

（速 度 波 形 ）， 余 震の場 合0

．

991

　

（加 速 度 波 形 ）お よ び0

．

_g95

（速 度 波 形 ）である

。

_余震 の観 測 波 形に関 しては

，

位相差分の_誤差 もわず かの振 動 数の点 を 除い て

OHz

か ら

10Hz

の領 域でほ と ん_ξゼロ で あ り， 原 波 形の位 相差 分 を 非常によく再 現し て い る。 　 図

一

16

〜

19はi 観 測 波 形の_最大値を 横 軸に

，

最 小 位 ：相推 移 関 数の最 大 値およ び相互相関係 数の最 大 値 を 縦 軸 〔GRL 〕 L40 0

一

14a 　 　

−

1 にとっ て

，

これ らの値の地震によ る差 異を示し た もの で あ る。 計 算は初 期 微 動 部 分を含む水 平 成 分に対して行っ た。 図

一

16と図

一

18は加 速 度 波 形につ い て の もの で

，

図

一

17と図

一

19は速 度 波 形につ い て の も のであ る。 図 中 の×と○は1979年Imperial　Valley地 震 の本震 （

M

、

＝

₆

_．

₆

_，

_22観測点

_，

_{44成 分〉および余震 （}

_M

_，

_{≡5．2，16}

観 測 点

，32

成 分 ）

，

＋ と口は

1983

年

Coalinga

地震の本 震 （M，

＝

6

．

7

，

2観 測 点

，

4成 分 ｝お よ び余震 （ML＝ 5

，

1

，

11観 測 点

，

22成 分 ｝に関す る最 大値で あ る。

、

．

　本 論文の計 算で は

，

各地震の本震の加速 度波形に対す 〔GPL〕 140 o

一

140 　 　

−

1 0 1 2 3　 　 　 　4　 　 　 　5 　 　 （a）観 測波形 5 7 B 9 〔SEC〕 〔GRLxSEC〕 40 D ユ 2 3　 　 　 　4　 　 　 　5 （b〕最 小 位 相推 移 関 数 　 　 　 〔RRO 〕 　 　 　 4

，

8 0

，

0 5 7 6 9 〔SEC〕 　 0　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　

−

4

，

8 　 　 0　　　1　　2　　3　　4　　5　　6　　7　　B　　9　　1ロ〔HZ〕　　　0　　　1　　2　　3　　 4 　　5　　6　　7　　8　　9　　 10 　〔HZ〕 　 　 　 （c）Fourier振 幅　 　 　 　（d〕位 相 差 分の誤 差 図

一

141983 年Coalinga地 震の余 震 （M，

＝

5

．

1）のPleasant　Valley　Pumping　Plantの Basement （315

°

）にお け る加 速 度 波 形 〔KINE 〕 7 0

一

7 　

−

1 〔KINE〕 7 0

一

7 　

−

1 0 ！ 2 3　 　 　 　4　 　 　 　5 　 　 （a）観 測 波 形 6 7 8 9 〔SEC〕 〔KINExSEC 〕 2 0 1 2 3　 　 　 　4　 　 　 　5 〔b）最 小 位 相 推 移 関 数 　 　 　 〔RPD〕 　 　 　 4

．

8 6 7 8 9 〔5EC 〕 　　　 　fi κ_…

卿 い，

町

丶

0

．

0 　0 　 　 　

一

4

．

8 　 0　　　1　　 2　　　ヨ　　　4 　　　5 　　　G 　　　7 　　　8 　　　9 　　 10 　〔HZ〕　　　0　　　1　　 2　　　3　　　4 　　　5　　　6　　　7　　　8　　　9　　 10 　［HZ〕 　 　 　 （c）Fourier 振 幅　 　 　 　（d） 位 相 差 分の誤差

図

一

15　1983年Coalinga地 震の余震 （M，

＝

5

．

1》の Pleasant　Valley　Pumping 　Plantの Basement （31S

’

）にお ける速 度 波形

一 22 一

200D

．

fi 00001 00B5 0002 0001

〔

」 ¢ 口

〕

　 ZO

一

ト 江 皿 凵 」 山 U ω α 　 y 呱 凵 匡 　 O 国 ← ⊂ 」 コ Σ

一

凵り 50

．

D 　 20

．

0 1

．

0 0

．

8

「

“ 十 零 ‡ ヰ

ボ

＋

「

卓

　　κ

申

　

買

　‡

兆

十

聿 σ

十

 噸　　　　 ロ 恥o 080 °岬_o 十　　　ロ　　o 中 o 十　〇〇 o　　　　町 　　 oq 』 晧 国 馳

罵

ML

＝

6

．

7 o

十

NL

羃

5

．

6 o 　 oo 口 o 皿 HL

＝

5

．

2ML

黔

5

．

ヱ

〔

凵 ZH と

〕

ト ト

一

〇 〇 」 凵 〉 乂 α 凵 」 ロ 凵

ト

こ 」 ⊃ Σ

目

ロ｝ 200

．

0 ！°°

・

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＋

＋ ÷

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二

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，

　₅₀　

．

₀　 　 　

十

．

十

20

．

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．

‡ III 　 　 ← ← IO

．

O

　　　　　 ホ

＋

1

。

L

翠 1 5

．

0 ． 〒

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解

ee _［

eeeI

2

．

0e e8

。

1

．

0 7621 R

｝

65

厂

⊃

呂

＝

　

一

■

　

＝

LL

．

」 L NM

冂

H 阿

凋

　

甲

　 O

　

ロ 6 翫 ｛

_、

、

言

5

蠢 ミ 0

．

4 0

．

2 0

．

口 　 20

，

0 5D

．

O　　　IOO

。

0　　　200

．

0500

．

D　　lOOO

．

0

RECORDED　PEPK　ACCELERATION 　〔〔∋PL〕 図

一

16　最 大 加 速 度の比 較

50

．

0　　　100

．

0　　200

，

0500

．

0　　1000

．

0

　 RECORDE 口　PERK　RCCELERRTION　〔GAL〕

図

一

18　加 速度波形の相 互相 関 係 数 る精 度に は若干の問題が あ るもの の_，

8．5Hz

_{前 後}より 低 振 動 数の成分 が卓越 して いる観 測 波形に_関しては精 度 よ く最 小 位 相 推移関 数を推 定できて いる とい え る。 し た がっ て

，

指 標 を波 形の_{最 大 値}お よ び_{相 互 相 関 係 数}の_{最 大} 値に とっ _た場 合

，

こ こで対 象とし た_{振 動 数 領域}で は総じ て本 震の_{観 測 波 形}よ りも余 震の観 測 波 形の_方が最 小 位 相 推 移 関 数に近いとい え よ う。 　

7．

　 おわ り に

　

本論文では

_，

_{最 小 位 相 推 移 関 数}の振 幅と位相の関 係を 表すWiener

−Lee

変換の近似 表 現 式 を 導き， 地震動 波 形の

Fourier

振 幅か ら位 相を 推定 し原 波 形の_{再 現}を試み た

。

計 算の対 象とした地 震 動波形は

，

1979年

Imperial

Valley

地震および1983年

Coalinga

地 震の 本 震 と 余 震 の震 源 近 傍の_{観測 点}に おける加 速度 波 形 と そ れ を積 分し て求め た速 度波 形で あ る

。

1

．

0 0

．

8 6 　

コ

0 40 ｛

、

_、

藷

｝ 菷 ミ 0

，

2 0

．

0 O

．

S　 　1

．

0　 　2

．

0　 　 　5

．

0　 10

．

0　20

．

0　 　50

．

0　100

．

0 RECOR口ED　PEPK　VEL口CI丁Y　〔KINE〕

図

一

1ア　最 大 速 度の比 較

7

』 Io

圏

竃

゜ 十 † o 最 　 　 　

団

や 十 o　　　o 唱　6 眄o 毒 十 o _層

_十

o_十 ←　

十

［ 旨 も・ Ooo 　　ロ ロ_o

　卓

o ‡

＋

＋ 　 、 †_冥 ← 1 翼_卓 争 ‡

中

x　 　　 　　 　

十

o

翼

ウ

．

十 争 x _鬥L

＝

5

．

7 史　阿L

曽

6

・

6o 　 呂L

＝

5

．

2 巴　鬥L

＝

5

．

L 0

．

5　　　1

，

0　　2

．

O5

．

O　　lOrO　　20

，

0　　　50

．

0　100

。

0

　 RECORDED　PERK　VEL口C工TY　〔KINE〕 図

一

19　 速 度 波 形の相 互 相 関係数

　

そ の結 果

，

本 計 算では8

．

　5　Hz _{前 後よ り も高} 振 動 数の 成 分の位 相の推 定に は精度 的に若 干の問 題が残る も の の

，

比 較 的 単 純な形状でその Fourier振 幅も滑ら かに変 化す る観 測 波形に関 しては

，

本 手 法に よ り

Fourier

振幅 の_{情 報}の み から位 相 を 推定し

，

原 波 形 を再 現すこと が あ 程度可 能で あるこ と

，一

方複_雑な形 状で

Fourier

振幅も 変動の大き い観 測 波形 に関して は

，

こ こで対象と し た振 動 数 領 域の位相の_{推定は か な り困 難で あ る}こと が示さ れ た。

　

今後

，

震 源メ カニ _ズム を考慮 した観 測 波 形の_解釈

_，

_伝 播過 程に おける地 震 波の攪 乱の評 価な どを行 うことに よ り， 観測波 形の位 相が最 小 推 移の位相と異な ると きの差 異の原 因お よび性質を把 握し

，

よ り 「地 震動ら し い_」模 擬 地 震 動の_{作 成手 法 を検 討し て}いき たい と考えて いる。

　

本 研 究は模 擬 地震 動 研 究 会 （代 表 ：大 崎順彦 ）の 研究

一 23 一

成 果の

一

部 を 発展さ せ た もの で_{， 御討議頂}い た岩崎良二 （東 京 大 学 ）， 政 尾　亨 （フジタ工 業）， 坂田光 児（東芝）， 北田義 夫

，

（日本 原子力 事 業 ）の各 氏に感 謝 し ま す

。

注 　サ ン プ リング定 理 　実 際 の 地 震 動 をg（t）

，

継 続 時 間 を T （LAt ）と し

，

．

ltj＞T／2で₈（t）

＝

Oと す る と

，

　g_（t_）の Fourier変換 G（ω）は 　 　　9（t）eG _（ω）

・

・

・

・

……・

・

・

・

・

……・

…・

・

……一 ・

…………

（1）

　　　　

−

f

：

9〔t）・xp［

一

ゴ・t］・

d

・　

一

・

一……・

・

・

…

_，

…・

1（・）

　　

　　

−

f

；

1

：

9（・）exp

’

［

− j

・t］d・

・

一 ・

…・

…・

…

₁

−

_、

（・） と表せ る

。

こ こ で an

＝

2πn／T

＝

Zπn／LAt （n

≡

e

，

±1

，

…，

d：◎○） での値 をPnとお くと P

・

−

G

_（

2πnT

）

−

fll

：

9（・）exp ［

一

ゴ・・nt ・・］dt

・

一 ・

（・） であ る

。

　

一

方， g（t）を 区 間 ［

−

T／2

，

7

▼

_／2 ］で Fourier級数展 開す ると 　 　 　

厂

　

Ω

o 　g（t）

＝

　Σ】　

Qnexp

［

j2

πnt ／Tユ　〔

−

T／2≦ t≦T／2）

…・

（5） 　 　 　 η

＝

−av

α

一

｝∬¢

、 ・  exp ［

一

ノ・ntlt ／T］・d・

・

一 ………tt

（・） と な る か ら

，

（4）式お よ び （6）式 より 　 　 　

…一・

…………・

・

…・

……

∵

…………・

………

（7） 　 　 　Qn＝ 　 　 　 　 　T

．

を得る

。

　次に

，

（5）式のg（t｝が周 期 的に繰 り返 した もの を （8 ）式 の _♂（t_｝の _{よ う}に お く と

，

g（t）は ［

−

T／2

，

　T／2】の矩 形パ ル ス PTrt（t）を用いて （9） 式のよ うに表せ る

。

　 　 　 　 　

・

・

　P耶 　 　　 　 　　 　 　_{♂ （孟）}

＝

exp ［

j2

，rnt ／T］　（

−

oo _≦t_≦十

〇

〇

_）

…・

_（8_｝ 。

乙

T ・ω

一

P・，，｛・）

・

9 ’_（ ・）

−

P・，，（t｝

・

轟

争

exp ［」・・醐 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

…

　

←

・

卜

・

卜

・

卜

・

・

・

…

　

t−NNN・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

り・

．

（9） こ の 式 の両辺 をFouriel変換し て 　9ω ⇔

G

_（ω）

fl

｛

・，、 ，ω

乳

争

exp ［

jz

・n ・・T］

〕

・・p［

− j

・t］

dt

一

_轟

_争

_∬

1

_：

exp ［」・… _イ・

一

・・t］・dt

−

・

轟

争

∬

／2C ・S

｛

（一

一

・＞tldt

一

_轟

_政 s

竪

説

／2｝

_・

_・

_……・

_・

_…・

_………・

_…・

_…

（・・〉 を得る

。

．

特に ；

．

．

．

op

＝

2rrn／T のところで

』

　　　

・

（

91

’

i

！n！

）

−

Pn

・

・

…・

・

・

・

・

・

………・

・

一・

………

（1・）：

．

となってお り

，・

こ れ は （4）式の Pn の定 義 式に

一

致して いる

。

　

一

方

，

（6） 式の Feurierの係 数

Qn

は

，

　g_（t_）の離 散型 デ

ー

タ9i（t

＝−

L／2＋1ド

・

・

，

L／2）を用いると

，

　T をLAt

，

　dt

、

をAt

，

f

．

をΣ・代え て下の

よ

うな

融

で表せ ・

・

　　　

α・

士

。

観

．、 ・・e・P［

一

ノ・・nl ・L］

一 ……

・

…・

…

（・2） この式の右辺 は

，

1≦

p

の と きg，

＝

Oとす ると，本来の

．

_（10）式 の Gnと 同じである

。

したがっ て

，9i

か ら推 定でき る 6（ω）は

，

g

，の Fetirierの係 数 Gnお よ び （7）式 と （10） 式 を 組 み 合 わ せ て

，

下のよ う に表せ る

。

　　　

・（・）

一

盈

・α s

竪

詬

／2）

　

　

　

　

　

・

蕩

，

．

1L … G・ s’

鴇

蓋謬

2L

……

（13）

一

_{般に は （10》式 をサ}ン プリン グ_定理 と呼んで い るが_{， 本}文で は離 散 型デ

ー

タ ＆ か ら求 まるFourierの係 数G

。

か ら G（ω｝を 推 定する （13）式 をサンプ リング定 理と呼んで いる

。

　 参 考 文献 　1） 政尾　亨

・

神田　順

・

岩崎良二

・

坂田光 児

・

北田義 夫

・

　 　 　大崎順彦

・

渡 辺孝英：Hilbert変 換 を用いた 地震 動ス ペ ク

　　　

トル の計 算 例

，

昭和 59年 度 日本 建 築 学 会 学 術 講_潔梗概集

，

　 　 　pp

，

647

−

648

，

　2） 辰 巳安 良

・

佐 藤 忠 信 ：地 震 波の因 果 性につ い て の考 察

，

　 　 　 土 木 学 会 第39回 年 次 学 術 講 演 概 要 集

，

1

−

388

，

　 　 　pp

．

775

−

776

．

　3） A

．

パ ポリス著

，

大 槻

、

喬

・

平岡 寛二訳：工 学のための応 　 　 　 用フ

ー

リエ 積 分

。

才

一

ム社

．

　4） 大 崎 順 彦

・

岩 崎 良二

・

大 川　 出

・

政尾　亨 1地 震 波の位 　 　 　相 特 性と その応 用 に 関 す る 研究

，

第 5回 日本 地 震工学シ 　 　 　ンポジ ウム （1978） 講 演集

，

pp

．

201

−

208

．

　5｝　

John

　G

．

　Anderson

，

　

James

　N

．

　Brune

，

　

Jerge

　Prince

，

　and

　 　 　Frank　L

．

　Vermon

、

_皿：

PREL

【MINARY 　REPORT 　ON 　 　 　THE 　USE 　OF　DIGITAL 　STRONG 　MOTION 　RE

・

　 　 　CORDERS 　IN　THE 　MEXICALI 　VALLEY

，

　 BAYA

　 　 　CAL 【FORNIA

，

　Bulletin　of 　the

’

Seismological　Seciety　of

　 　 　America

，

　Vol

．

73

，

　No

．

5

，

　_pp

．

1451

・

1467

，

0ctobel　1983

．

　

6）Waverly　

j

．

　 Pearson；

．

　SEISMOLOGICAL 　NOTES

・

　 　 　MAY

−JUNE

　1983_ゴBulletin　of 　the　Seismological　Seciety

　 　 　of　America

，

　Vol

．

74

，

　No

．

2

，

　pp

．

785

・

789

，

　April　1984

．

'

SYNOPSIS

UDC:550. 344

ESTIMATION

OF

FOURIER

PHASE

OF

DIGITIZED

EARTHQUAKE

GROUNDBASED

MOTIONONBYFOURIER

AMPLITUDE

WIENER-LEE

TRANSFORM

byKAZUODAN,

Dr. ResearchInstitute,

Dr.

JUN KANDA, Members of A.I.

J,

TAKAHMEWATANABE, Ohsaki ShimizuConstructionCo., Ltd. and

Assec,ProfessoT, _Univ.of Tokyo,

An

approximate representation of

Wiener-Lee

transform which

describes

the relation

between

Fourier amplitudes and _phases of theminimum-phase-shift

function

isintroduced

in

this

_paper.

Itisapplied tothe

Fourier

_{amplitudies of} the_{earthquake groufid motions to estimate the}

Fourie;

_phases.

The

minimum-phase-shift

functions

are generated

by

the inverse

Fourier

transform of the arnplitudes and the estimated

phases,

The

results

indicate

that the complicated acceleration and velocity motions, such asthoserecorded

in

the epicentral regions of the

1979

Imperial

Valley

earthquake

(

ML= 6.6)or the

1983

Coalinga

earthquake

(

ML==6. 7>,are

quite

different

from

the minimum-phase-shift

functions.

But

their aftershock motions, with

local

magnitude of about

s, are similar tothe minimum-phase-shift functions.