連続体力学問題の積分方程式表現

【論　 文】 UDC ：624

．

042 ：517

．

9 日本建 築 学 会 構 造 系 論 文報 告集

．

第 3ge号

・

昭和 63 年 8月

連

_続体

力

_学

問題

の

_積

分

方

_程

式

_表

現

正 会 員

　登

坂

宣

好

＊ 　

1．

序 　建築物を取り巻く様々な問題に対し て， 連 続 体 力 学モ デル に基づ く 連続場の解 析が役立っ て い る

。

こ の よ うな 連 続 場に関す る問題 は， 単

一

の未知関数 （スカ ラ

ー

関数 ） で は な く多くの未知 関 数によ る複 雑な連 成 微 分 方 程 式 系 によつて表 現さ れて い る

。

こ の問題の解 析に は_， 限 定さ れ た場 合を除い て

，

近 似 解法に よ る 近似解を求め て行く こと が多い。 そ の中で も

，

差分法や有 限 要 素 法 が 計 算 機 援 用の数 値 計 算 手法の代表 的

_な

もの と して多 用され てい る。 　

一

方

，

境 界 積 分方程 式の コ ン ピュ

ー

タに よる組 織 的な 近 似 解 法と して発 展して いる境界要 素 法は_， 前 述の 2つ の手 法に無い様々な特徴を有す る た め， 種々 の分 野の問 題に対 し_{有効 性}を発揮し

，

注目 さ れ る よ うになっ て き た1 ）

・

2 ｝。 特に

，

線 形の

・

3

次 元 静 な ら びに動 弾 性問題に対 し て は

，

その威 力を十 分に発揮し， 有用性が認 識さ れて き た

。

　境 界 要 素 法を対 象と す る問題に適用 す るに は_， まずそ の問 題の境 界 積 分 方 程 式に よ る定 式 化が与え ら れ な け れ ばな ら な い。 さら に

，

積分方 程 式 中に含 まれ る積 分 核と し て の基 本 解 （

fundamental

　solution ）が具体 的に構 成 さ れ な け ればな ら ない

。

こ の

2

点 が 解 決さ れな けれ ば

，

境 界要素法の様々な 分 野へ の進 展は考え ら れな し  これ まで

，

境 界 要 素 法 は 主 と して

，

ラプラス方 程 式

，

拡散 方 程 式

，

波 動 方 程式等の単

一

の未 知 関 数による問 題の外

，

連 成 問 題であ る が

，

静お よび動 弾 性 問 題の よ うな従 来よ り基 本 解が 既 知で あ る 場合に対し適 用さ れ て き た1）。 し か し な が ら

，

複雑な連 成問題や_{非 線 形 問題 今}の適 用が不 卜分であ る た め

，

有 限 要 素 法に く らべ て汎 用 性が低 く なっ てい る

。

　

そこで，

．

本 論 文で は

，

境 界 要 素 法が 連続体力学にお け る広 範 囲の問題 を対象と す ること が で きるよ うに

，

必 要 となる積 分 方 程 式の 誘 導 法お よ び そこ に含ま れる基 本 解 の_{構 成}に_関する_新しい方 法 論を

_提

示す る。 本 論 文は参 考 文献7）

−

9） を基に _して新 tに構成した ものであ る

。

＊ 日本 大 学　教授

・

工博 　 （昭 和 6e 年12月4日 原 稿 受 理｝ 　第

2

章で は， 連続 体 力学へ の適 用 を考え る た め に

，

理 論の骨 組 を概 観 し

，

有 効な

一

般 的 作 用 素表現に よ る問題 の設 定を行い

，

そ の 問題を3つ の立場 か ら表現で き るこ と が 示され るが， 有 限 要 素 法にお け る “ 混 合法

”

（mixed method ） 的 な2っ の表 現に_特に注 目す る。 第

3

章で は， 注 目し た2つ の立 場が連 成 表 現である ことか ら

，

連 成微 分方程式に対す る積 分 方 程 式の誘 導 法お よび基 本 解の構 成 法 を

一

般 的に提 示する

。

その結 果 を用い る ことに よっ て_， 第 4章では_， 連 続 体 力 学 問 題の新し い積 分 方 程 式 表 現 を 与え る

。

第 5章で は，

・

第4章の成 果 を具 体 化 する た めに_， 固 体 力 学な ら びに流 体 力 学にお け る代 表 的 問 題で ある 2次元の静 弾 性 問題と非 圧 縮 性 粘 性 流 体の流れ問 題 を 採り上 げる

。

各 問 題に対し

，

従 来の定 式 化 とは異な り 変位 や 速 度 成 分の み な らず 応 力成 分に対 する積 分 方 程 式 表現お よ び基 本 解を誘 導す る。 特に

，

流れ問題で は本手 法に よ る定 式 化が不 可 欠である ことを示 す。 　なお 式の展 開に際し

，

テン ソ ル_表記 を用い

，

記号 （，t） は i番 目の空 間 座 標に関 する微 分 演 算を表す。 　

2．

連 続 体 力学 　こ こ で は

，

連 続 体 力 学にお け る広 汎な問題

一

定常ま た は平 衡 解 析で は境 界 値 問 題

，

非定常ま た は動的解析で は 初 期 値

・

境 界 値 問 題

一

を対 象と す る た め， 次の よ うに

一

般 的な問 題の設 定を行う も の と す る

。

　連 続体 力学の基 本関係式は

，

大き く わ けて次の 3つ の カ テゴ_リ

ー

か ら構成さ れてい る3L4） 。 　O _{運 動 学 的 関 係 式} 　 　 　Tu

＝

v

…・

………・

……・

…・

………・

……

（1） 　O 保 存 法 則 　　 　丁 

＝

∫

……・

一 ・

…・

…・

…・

・

……一 ………

（2） 　O 構 成 方 程 式 　　 　σ

＝Ev − ・…・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

……・

…・

…・

………・

…・

（3 ） ただし

，

U

，

　_v

，

σ は問 題の 「原 始変数」 （primitive　vari

・

ables _）で _南り

，

　

T

お よ び その adjoint 　

T

＊ は空 間の ある 領 域

9

に対 す る あ る 関 数空間上で_定義され た線 形 微 分 作 用素 と し_， E は対 称 線型変 換

，

　

f

は与 え ら れ た source 関 数と す る。 　上 述し た基 本 関 係 式 （1）

一

（3）

・

に対 して

，

中 間 的な 関数 v を消 去す る ことに よっ て

，

問題 を次の よ うな方

一

_{一34 一}

程 式系と して表すこ ともで き る。 　　　 T’ σ　

＝

f

………・

一・

……一 ………

（4） 　　　σ

＝

ETu

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（5 ） 　さ らに_， 式 （5）を式 （4 ）に代入 す るこ と に よっ て

，

“

configuration 　variable

”

31と呼ば れ る 関 数 u の み に 関 する次の ような基 礎 支 配 方程式 表現を与え ること も多く 行わ れ てい る

。

　　　Au

≡ _（

T

嚀

E7

_）u ；

f

・

・

・

…

　

一・

・

−t・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…t・

・

（6 ） た だ し， 微分 作 用素 A≡ T ＊_{ET は} 対 象とする問 題の基 本的な微分 作 用素を表す ことになる。 　な お， 対 象と する問 題 を式 （6）か ら設 定し たと き

，

手順を逆に たどる と， 作 用素 A と関 連し た正 準 的 表 現 （

1

）

〜

（

3

）が得 られ ることにな る

。

こ のと き

，

定 式 化 （1 ）

一

（

3

）は

，

作用素

A

と関 連 し た

“

primal　set

”

と 呼ば れ てい る3L4 ） 。 　こ こで

，

連続 体力学の_問題 を 境 界 値 問 題と して設 定す るに は

，

上 述 し た 微 分 （作 用素 ） 方 程 式の外に適 当な境 界 条 件が規 定さ れてい る もの と し， 初期 値

一

境 界値問題 の場 合に は

，

境界条件と初期 条件が規 定さ れ ている もの と す る

。

　 定式 化 （1 ）

〜

（3 ）お よ び定 式 化 （4 ）

，

（5 ）は未 知 関数に対し て連 成 式と し て与え ら れ てい る

。

さ らに_， 連 続 体力学では

，

未 知 関 数 u は単

一

の ス カ ラ

ー

関数で は な く

，

ベ ク トル_場と し て表さ れ てい ること が普通 で ある こと か ら

，

方 程式 （

6

＞も実 際上は連 成 系と なっ ている

。

し た がっ て

，

上 述 し た各 定式化に対す る積分方 程式表現 を誘 導 する た め に

，

次の よ う な

一

般 的な連 立＊ 微分 方 程 式系を導入 す る。 　　　 L‘∫【／∫＝

B

‘

・

…・

……・

…・

・

…・

…・

・

…・

・

・

・

・

・

・

……・

（7 ） た だ し

，

［

L

“］は各定式 化に おい て現れ る線形微分作用 素 行 列で あ り

，

臥 ｝は未知関数ベ ク トル

，

IBA

は与え ら れ たsource _関数ベ ク トル を 表 す もの と す る

。

な お

，

非 線 形 問 題を対象と す る場合には

，

微分 方 程 式に_含ま れ る 非線形 項を右辺の

IB

‘

1

中に含め ること が可能で あ る （非 圧縮 性 粘 性流体の _{項 参}照〉

。

　 定 式 化 （1）

〜

（3）は式 （7）の ように表 現す る と

，

［

T

0　　

−

E

1　　

−

0

1 0　 0　

T

寧

］

匡

］

一

［

1

］

一

・

_（・・ と な り

，

定 式 化 （4）

，

（5）は次の ように なる

。

　

　

　［

鷺

月陪］

一

_［

_，

_］

・

……・

………・

_… 　

3．

積 分 方 程 式 表 現 　 前 章で述べ てきた問題の微分方 程 式 表現に対する積分 方 程 式の誘 導お よ びそ の中に含ま れる基 本 解テ ン ソ ル の 構 成につ い て の

一

般 的 手 法を展 開 する。 壽 _{連 立 微 分 方 程 式 （7｝} におい て

，

作 用素行列［L“］が対 角 行 列で は ない場 合

，

す な わち

“

連 成

”

の場 合の み を考え る

。

　

一

般 的な連成方程 式 （7 ）の微 分 作 用 素 成 分

L

“ の adjoint

，

　XJ ‘に対す る基本解テン ソ ル 嗾 を重み とする 領 域 9 上の次の重 みつ き 残 差表現式を考え る

。

　　　

〈L‘JUJg　y扮

＝

〈

B

‘

，

　

y

姦〉

…・

…・

・

…・

…・

・

……・

・

（

10

＞ ただし

，

記 号〈

，

〉は あ る関数空間上で定 義さ れ た双1次 写像 （bilinear　map _）を_表す

。

　上 式に 「

一

般 化さ れ た

Green

の公式」3｝ を適 用し， 書 き換え る こ とに よっ て

，

「逆 定 式 化」 （

lnverse

　

formula−

．

_{tion）と呼ばれ る次 式 を得る}

_。

　　 　〈防

，

．

Z 

V

義〉

＝BKU

，，レ翻十 〈

B

‘

，

γ箆〉

…・

…・

（11） ただし， 記 号Br（，）は領 域 9 の境 界r （曇 ∂Ω）上で定 義さ れ た随伴双線形（

bilinear

　concomitant _{）型 式 を表}し

，

作用素

L

‘丿に関係す る境 界 作 用素に よっ て定 まるもので あ る

。

　

こ こ で

，

重み

VT

．は定義よ り， 次の特異

豫

分 方程式 を満足 す るadjoint 　xf　_{」t の}基本 解_テン ソ ル _（超関数）で あ る

。

　　 　

．

le　_Jt　

V

　

tk

＝

δ跳δ（エ

ー

9 ）　（x

，

9∈ Ω｝

…・

………

（12 ） た だ し

，

δ」k は クロ ネッカ

ー

の デル タ記 号と し

，

δ（x

−

u） はx ＝ g _{に極を有す る ディラック}のデル タ （超）関数で ある＊

_。

　 式 （

12

）を式 （

11

）に代入 し

，

デ ル タ関数の_{性 質}を考 慮す るこ とに よっ て

，

未知関数 成 分 肌 に関す る 次の積 分 方 程 式 表 現を得る。 　　 　

UKg

）

＝Br

（

Ut

（x ）

，

　

y

_蕗（x

，

9））十〈

B

‘（x ）

，

　

y

義（x

，

y ）〉 　　 　　　 　　　 　　

・

………・

………・

………

（13 ） た だ し， 点 x を 観 察 点と し

，

u を 源 点とする。 な お

，

式 （13｝か ら点 y を境 界

r

上の点と し た と きに成立す る積 分 方 程 式とし て の 「境 界 積 分 方 程 式 」 表 現を導くこ とがで きる。 　 以 上に より

，一

一

SU

的な連 立 微 分 方 程 式 系 （7）に よっ て与え ら れ た問題に対し_， 選ばれ た全て の未 知 関 数によ る積 分 方 程 式 表 現を得ること がで き た。 　全く同 様に して

，

定 式 化（1）

〜

（3）に対 する表 現（

8

） は_， configuration 　variable 　

U

］≡ u， 砧≡ v， 仏丕 σ に関 し て， 　　 　

UA

（y｝； Bf（u｛　t）

，

　vr“x _，9））十BKv （x），　y轟（x

，

y）） 　　 　　　 　 ＋B．（σω ，騰（x．〃））＋ 〈∫（x ），

Vl

，｛x ，〃》 　　 　　　 　　 （

h

＝

1，2，3）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

…

　

一

（14） とな る

。

た だ し

，

こ の場 合の基 本 解テ ン ソ ル y姦は

，

次の adjoint 　XJi に対する式 （12）を満 足するもの と な る

。

　

　

　

・・ ji］

＝

［

T

＊ _QO

−

_1EO O

−

1 τ

］

……一

…

_・15） 串 非定常問題 の場合に は

，

y姦は次 式を満 足 する時 間 くt）依 存 の基本解テン ソ ルと な る

。

　 　 　！ ，‘（兀

、

彦）y監

；

δメ比δ（x

−

9）δ〔t

−

s）

一 35 一

　

次に

，．

表 現 （9＞は

，U

，≡ u

、

脇巨 σ に関 して， 　　 　 UKu ）

＝

BKu （x ）

，

　

vntx

，〃）〉＋

BK

σ（x ）

，

　

v

；

Kx

，

〃）） 　　 　 　 　　十 〈

f

（x ）

，

V姦（x

，

_y）〉（

h

＝ 1 ，2）

・

一

・

・

一

（16＞ と な る。 た だ し

，

こ の場 合の Xn は次の よ う に な る

。

　

　

　

・

XJt

・

一

［

で

捌

・

・

…・

…・

・

…一 ………

・・

7

・ 　以 上の各 定 式 化に対す る積 分 方 程 式表現 （

13

）

、

（

14

）， （16）において

，

各 微 分 作 用 素 行 列f ，‘に関す る式 （

12

） を 満 足するよ うに_， 基 本 解テン ソ ル _嗾 を求め な け れ ばな ら ない

。

そこで， その テン ソ ル を定め る に当たっ て

，

偏 微 分 方 程 式 論にお け る

HOrmander

に よ る手 法5）_を用 い る ことにす

，

6　

。

　求 める基 本 解 テン ソ ル γ器 をadjoint

．

uftt _{の転 置 余 因} 子 行 列 成 分

．

・tr　_ttとス カ ラ

ー

関 数 が を 用い て次の よ う な ポテ ン シャル表 現を行う。 　 　 　

y

姦

二

流

、

尢φ 象

………・

…・

一 ・

…・

…・

…・

…

（18＞ ただ し

，

uiriic は定義 より

．

：f　＝

一

　

det

　_（Xn _）を用いた次の 関 係 式を満足 するもの である

。

　 　 　虚ぞ

．

iJtttn

＝

ごD，1

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（19＞ 　こ のポテ ン シ ャ ル関 数 表 現 （18） を特 異 微分方 程 式 系 （12）に代 入し_， 関 係 式 （19｝ を考 慮するな ら ば， ポテ ン シャ ル関 数 が に関す る次 式 を得る

。

　　 　X φ串＝ δ（x

−

9）

………・

・

…・

…・

……・

・

………

（20 ） 　すな わち， ポテン シャ ル関 数 φ ＊ _は 微分作用素メ の 基 本 解 を意 味し てい る

。

し たがっ て

，

メ の基本解 φ＊ を 構 成す ることに よっ て

，

求め る基 本解テ ン ソ ル 嗾 が 式（18）よ り与え られ る こ と に な る

。

_{特異微分方程 式（}20 ） よ り基 本 解 を構 成す るには

，Fourier

積分変換手法等G｝ を利用 す るこ と がで き る

。

　な お， こ の章で誘導し た積分方程 式表現中に含ま れ る 基本解テン ソ ル

y

跳は

，

各定 式化と も共通 し た次の_微 分作用素

，

す な わ ち 基 礎支配 微 分 方程式 （6）の _{作 用 素}

，

　　　

ゼ ≡

det

ぱ

、

、）

＝

τ ’

ET

_≡

A …・

…・

…

∵

…一 ・

（

21

｝ の基本 解

il

・

＊ を構成す ること に よっ て与え ら れ る。 　

4．

適用 例 　前章まで に展 開し た

一

般的な定式 化の _{適 用 性}を示す た め に

，

連続体力学の 分野で現れ る種々 の問題へ の応 用を 述べ _る

。

_{対 象と して取り 上 げ る問題 は}

，

_固体の 代 表的 問 題である静弾性 問題， お よび流体の代表 的 問題と し て の 非 圧 縮 性 粘 性 流れ問 題である

。

　4

−

1 線 形 静 弾 性 問 題 　 物 体 力 成 分

b

‘を受けて静 的釣合 状態にあ る等 方 等 質 の線 形 弾 性 体を考え る。 こ の弾 性 体に対す る基 本 関 係 式 は

，

式 （1 ）

〜

（3 ）に対応して次の よ うに与え られてい る

。

　ひずみ

一

変 位 関 係 式

　　　

e、、

−

ti

（・、

，

、＋・、

．

1）

………・

…・

・

・

…………・

（22）

一 36 一

　 釣 合 式 　 　　alJ」十

b

‘　＝

O・

……・

・

…・

一 ………一 …

（23 ） 　 構成 式 　 　 　at，＝ λδ‘丿εhh 十

2

μεu

…・

・

……・

…・

・

……・

7・

……

（24） た だ し， Ut は変 位ベ ク トル （成 分 ）

，

εtJは ひずみ テン ソ ル

，

σl」は応 力テン ソ ル と し

，

λと μ は

Lame

定 数を 表す

。

さ ら に

，

上 式 か ら 応 力 とひずみ を消 去す る こ と に よっ て， 式 （

6

）に対 応 する変 位 Us に 関す る次の

Navier

_方程式を導くこと がで きる

。

　 　　PtUt

．

丿∫十（λ十 μ）UJJt十

b

，

＝

o

・

…・

・

・

・

・

・

…

　

…・

・

…・

・

（

25

） 　従来

，

境 界 要 素 法にお け る静弾性問 題の_{定式 化}で は

，

変 位に関 する式 （

25

＞を対象と し て境界積分方程 式の誘 導 を 行っ て い る1 ）

・

2 ）

。

その結 果得 ら れ た境 界 積 分 方 程 式 は変 位Ut に_関す る もの だ けであ る。 し た がっ て

，

応 力 成 分 atjを定め る に は

，

　Ui に 関 す る積分方 程 式を微 分し

，

関 係 式 （22）と式 （24） を用い るこ とに よっ て得ら れ る 積 分 方 程 式を構 成 し なければ な ら ない。 こ こ では

，

その よ うな従 来の考え方 とは異な

rl

　 s 直接必要と す る変位 Ut と応 力 aw に 関す る積分 方程 式 が第 2章の定 式 化 （4 ＞， （5 ）に基づ くことによっ て得ら れ るこ と を以 下 で示す

。

　こ の_{場 合}の_{基 本 関 係 式}は

，

式 （22）

一

（24）か ら ひずみ ε“ を消去し た以 下の式で与え ら れ る。

　

　

　

；

：

：

二

瓢

． 。、Uv ．u、

，

c，

ト

…・

…

……・

・… 　こ の定 式 化で対 象 とし てい る未知量 は， 変位Ul お よ び応 力 at」 である

。

こ れ らの全ての未 知 量 を未知ベ ク ト ル U，と すると き

，

連 成 方 程 式 （27）を次の よ うに表す ことが できる

。

　 　　

Lw

　

UJ＝B

，　（

1

，」＝

1〜5

）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t・

・

（

28

） ただし， 問題を

2

次元に限定して上 式中の各 量 を具 体的 に示す と次の よ うに な る

。

　 　　

1UI

＝

［Ul

，

Ul

，

σ 11

，

σコ2

，

σ22］「

t−・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（29） 　 　　

1BA

＝

［

b1

，

b

，

．

o

，

o，

o

］ T

…

∵

一 ・

・

…・

…………・

・

t

（

30

） ［

Lw

］

＝

　 　 0

．

　 　 0

−

_（λ十2 μ）

P1

　

一

μ

D 、

　

−

Mi 　 　 0 　 　 0 　

一

λD2 　

− nD1

−

_（λ十2_μ）

1

）2 DO100 　 　

　

　 　 　 　 　 　 ラ OPOO11 　 　 　 　 ω DDO10

…

こ こ で

，D

‘は δ番 目の座標に関す る導 関 数 作 用 素

，

す なわち

Dti

∂／∂XE を表す もの と す る。 　諸 量 （29）

一

（31） を有す る連 立 微 分 方 程 式 （

Z8

）に対 す る積分 方程 式 表 現は

，

第3章で提 示し た方 法に従うこ と によっ て 次の よ うに与え られ る

。

　　　

UMg ）

−

f

．

1

・・｛x ）Σ

tux

，y）

−

at（x）

vtK

・

，

・y）

ldr

（x ｝

　

　　

　

　　

＋

f

．　

B

・（・）

v

：

Kx

，〃）

d

Ω（x ）

　　　　　　　

（

i

； 1 ，2；K，L

＝

1

−

5）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



_（

₃₂

_） た だ し

，

σ i は ト ラ ク ショ ン で Σ嘉は at に対 応す る 量を 表し

，

境 界上の単 位 法 線ベ ク トル成 分 ni に_対し そ れ ぞ れ次の よ うに定義さ れ る

。

　　　

。、1 。 、，n、

’

…………・

………・

……一 ・

………・

（33）

　　　

Σ

r

，≡

1

（λ＋2μ）臓 ＋ λvi，

ln

、＋μ

vr

，n，　

一

・

一

（34）

　　　

Σ欺… _μy_{轟π 1}十

1

λ

V

翫【十（λ十

2

μ）

V

窰x｝n！

……・

（35） さ らに

_，

礎K は行 列 （

31

）のadjoint メ」L の基本解テン ソ ル と して与え られ な け ればな ら ない

。

　以 上に よっ て

，

変 位 成 分の み な らず 応 力 成分をも場の 未 知 関 数と考え た場合の新しい積 分 方 程 式 表 現が得 られ た

．

積 分 方 程 式 （32 ）を各 未 知関数に関して表 現する と 次の 5本の_{積 分 方 程 式}と な る。 u（・〉＝・Ui（u ）

−

fi

・（・）Σ

r

，（x ，9）＋・（・剛 ・

・

〃）｝

dr

ω

　　　　

一

∫

1

・

，

（・）

vr

・（x ，y｝＋ a：（・）Vl・（x

・

〃

1

｝dr ω

　

　　

　

＋

f

．

lb

・〈・）

Vf

・（x・〃）＋

b

・（x）

v

；i（

x

・y ）

ld

Ω（x ｝ 　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

tS・

t・

・

・

・

・

・

…

　（36） ・ω 弘 ω 一

Jfl

_・（_・）Σ

r

・（x

，

〃）＋ v（x ）Σ ：（x

・

〃）｝

dr

ω

　　　　

一

∫

鋼 駄 ，u ）＋・a・（・）

v

；s（x ・y｝

ldr

（x ）

　

　　

　

＋

∫

lb

・｛・ ）vr・（・

，

u）＋

b

・（・）

v

毳（x

・

9）

ld

Ω（・） 　 　 　 　

・

噛

9・

・

一

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

…

　（37） … （〃）

−

Du

〈x＞・

rs

（x

，

9）・ v（・）・

rs

（x

・

ul｝・・ω

　

　　

　

一

f

，

1

・ i（x ）vn（x

・

y）＋ a2（x ）v ・（x

・

u）

ldr

（x）

　　　　

＋

f

。

lb

・（x｝

vrs

（x・・）＋b・（・）Vs（x

・

u＞

ld

Ω（x ） 　 　 　

一 …………・

…・

一 ・

…・

……

（

38

） a・Z（9）

−

a・・（・）

一

ル

（x ）Σ

r

・（x ，〃）＋v（

t

）Σ

1

・（x ，〃）｝

dr

ω

　

　　

　

一

ル

〔・ 胤 ・

，

〃）＋・・（・ ）

v

：‘（x

，

u）

ldr

（x ）

　　　　

＋

f

。

lb

・（・）

Vft

（x ，g）＋

bi

｛x）VI4（x

，

u

）

ld

Ω（x ） 　　 　　　 　　　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

曾

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（39 ） a・｛g）−

flu

（x ｝Σ

ts

（x

，

・〉＋ v（x ）Σ！・（x

，

y）

tdr

（x ）

　

　　

　

　

一

ル

（粛 甑 〃｝＋ c・・〈・）

Vfs

（x ，〃＞

ldF

｛・ ）

　

　　

　

　

＋

．

Lilb

，｛・ ）vr・（x

，

〃｝＋

b

・（・ ）Vl・（x

，

・｝

ld

Ω（・） 　　 　　　 　　　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

−t…

　（

40

） 　 上 式 を用い て平 面 弾 性 問 題 を 解くに は_， 変 位 u

，

v に 対する積分方 程 式 （36 ），（37 ）中に含まれ る境 界 上の未 知 変 位 と トラク ション σ1

，

σz を決 定 するだけ で良い

。

こ の事 より

，

式 （36）

，

（37）の源 点V を境 界上の点とし た とき成 立 する次の い わゆる境 界積分方程式が 必要と な る。 Cii・U・（〃）

一

ル

ω Σ霊（x

・

u）＋ v（・ ）£

1

・（・ ・9 ）｝

dr

〈・ ）

　　　　　

一

∫

1

・・（・）

v

：〈x ，v）＋ a2（x）

v

；・（x

・

y｝

ldr

〈・）

　　　　　

＋

f

，　

lb

・（・＞yr，（x ，・）＋

b

・（x ）

v

；i（x

・

・）

ld9

（x） 　 　　　 　　 （

h

，

　

1＝lg2

）　（∀ g∈

r

）

・

・

………

（41） た だ し

，

テ ン ソ ル c、itは源点 g に お け る境 界 形 状に依 存 して定まる形 状 係 数テン ソ ル （shape 　coefficient 　ten

．

ser）

であり

，

その具 体 的な値は文献

2

）を参照で き る

。

　こ の境 界 積 分 方 程 式を与え ら れ た荷 重 条 件 と 境 界 条 件 の もとに解くこと によっ て

，

境 界上の_変位および トラ ク ショ ンを決 定し た な ら ば

，

そ れ らの値を内 部点に対す る 積 分 方 程 式 （36）

一

（40）の境 界 積 分 項に代入 する ことに よっ て

，

任 意の点y∈

9

における変 位および応 力が計算 で き る

。

こ の よ うな解 析 手 法を行 うに は

，

領 域の境 界の み を離 散 化す る境 界 要 素ス キ

ー

ム の 導入 が 必要と な る1 〕

・

2）。 　な お

，

上 述し た境 界 要 素 解 法が展 開で き る ためには

，

各積 分 方 程 式に含ま れる基 本 解テ ン ソ ル 鴨 を具 体 的に 求 めなけれ ば な らない。 第3章で展 開し た方 法 論に従 う と

，y

汚は行 列 （31 ）に対す る次の adjoint　

XJt

［tfJf］＝

00DPO

　 　

一

　

一

　 　 　 に

　

　

ヨ

000DP

　 　 　

｝

　

［

（λ十

2

μ）

D1

　

P100

λ μ

02

　 　

M

）1 1tDl　（λ十

2

μ｝

D2

0　 　 　 　

0

1　 　　 　

0

0

　 　 　 　

1

・

・

・

・

・

…



一

…



一

一・

・

・

・

・

…

_く42｝ よ り得ら れ る次の_微分作 用素メ 　　 　

f

＝ μ（λ＋2μ）（

Dl

＋

Di

） z ≡ μ〔λ＋2μ｝

A

：

…一

（43） に_関す る特異微分方 程 式 　　 　メφ＊

＝

μ（λ十

2

μ）

A2

φ ＊

＝

δ（x

−

y）

……・

…・

…

（

44

｝ を満足 す るポテン シャル関

tw

　_¢＊ を基に し て

，

式 （18） か ら計算で きる ことに な る

。

　式 （44 ＞よ り， 微 分作用

Pt

　X の基本 解φ 癖 は， 2次 元 重謂 和微分作用 素

A2

の基本解6丿_〆

10gr

／

8

π を用いて_， 次の よ うに_表すこ と が できる_。

　

　　

・・＊ （x

・

・｝−

X

−

iδ（ 　　　　　　　　r2 x

−

9）＝ 　　　　　8πμ（λ十2μ）

1

・gr 　　 　　　 　　　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

45

） た だ し

，

r は

2

点 間の距離r； 　

ilx−

gllを表_す

。

この表 現 を 用い ることによっ て

，

式 （18 ）よ りAppendix 　

1

に 示すulr　_{rJよ り全}て の基 本 解テンソ ル 鵬 が得られ る

。

　 以 上によっ て

，

固 体 問 題における運 成 問題の う ち最 も 基 本 的な平 面 弾 性 問 題をモ デル とし た本 手 法による定 式 化を示し た。 そ の定 式 化の特 徴は

，

問 題を記 述 する物理 量 を変位 成分の み な らず 応 力 成分 と し

，

そ れ ら に対す る 積 分 方 程 式 表 現を直接 与え られ るこ とである。 従 来の定

一

₃₇

−・

一

式化 （例え ば， 文 献1）を参照）では

，

変 位 成 分に関 す る ナ ビエ の方 程 式か ら出 発す るこ と に よっ て

，

変 位 成 分 に_対す る積分方程 式 表 現の みを与えている

。

したがっ て

，

応 力 成分 に対して は

，

変 位に対する積分方程 式を微 分し

，

応 カ

ー

ひずみ関 係 式 を用い る ことに よっ て， 必要な積 分 方 程 式を間接 的に構 成してい る

。

両 手 法で_求め ら れ た応 力 成分 に対す る積 分 方 程 式が

一

致する こと は

，

明ら かで あ る。 こ こで述ぺ た適 用 例は，

一

般的な定式化を具体化 す るこ と に よっ て理 解 を助けるた めに示 し た もの で あ る

。

以下で は

，

本 手 法による定 式化が不 可 欠であ るよ う な問 題を採 り上 げることにす る

。

　 4

−

2　非 圧縮性粘性流れ問題

　

流体の_様々な流れ問題の_中で最 も代 表 的な非 圧縮性の 粘 性 流 体の流れ問題 に対

．

して

，

本 手 法 を適 用する ことに よって得られる新しい定 式化を示す

。

　こ こで対象と す る粘性 流 体は

，

線 型の Newton 流 体お よび非線型の

Non −Newton

_{流 体}の 1つ の モデル で ある

Maxwell

粘 弾 性 流体で あ る

。

　

Navier−Stokes

_{方 程 式}で記 述され る

Newton

_流体の_流れ問 題へ の境 界 要 素 法の適 用 は， 固体 問題に く らべ て少なし啄 が らも試み ら れ るよう になっ て き た

。

境界要素法を適用 する ために必 要な積分 方程式の_誘導に関して い くつ _かの手 法】°） が 提 案さ れ てい る

。

し か し な が ら

，

本章で展 開し ようとし てい る 3次元 問 題へ の拡 張性お よび実際に指 定され る境 界 条 件へ の適 用 性を有する_{， 問 題}の_{直 接 的}な未 知 量である速 度 成 分と

圧 力に よ る原 始変数 法 （primitive　variable 　method ）11） を 採 用 し た定 式 化は極めて少ない

。

特に

，

Non

−Newton

流体を含め た粘性流れ問 題の_{原 始 変 数 法}に よる積 分 方 程 式 表 現は存在 し ていない。 　物 体 力 成 分

b

，の も とで定常状態にある非圧縮 性の 2 次 元 粘 性 流体の基本関係式を無 次 元 化 量を用い て示すと 次の ように な る

。

　運 動 量 保 存則 　 　 　

ReUjuiJ

＝ τ‘丿」十

b

‘

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

Ψ

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（46） 　質 量 保 存 則 （連 続の方程式）

　　　

Ui

_．

i

＝

0

・

・

…

　一・

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

二

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　一…

　

（47） 　 構 成 方 程 式 　　 　rw

＝− R ．

_Pδu 十σ‘プ

…・

…・

・

……・

・

…………・

・

（48 ） 　　 　σ‘ノ

＝

∂‘，（UtJ

，

’

σ‘，）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（49 ） た だ し

，

u、は 速度ベ ク トル （成 分）， ρ は圧 力，　 Tij は

Callchy

_応力テン ソ ル

，

σtJ は粘 性 応 力テン ソ ル，　

Re

は

Reynolds

数

、

を表す

。

　構 成 方 程 式 （49 ）に おいて

，

σw が 速度 勾 配の線 型 表 現 　　 　σw

＝

Uw 十 Ui

_，

t

’

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

s・

一

一

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

一

・

・

…

　T（50_）

、

の場 合には，

Newton

流体を 与 え ることに な る

。

こ の 時

，

式 （50 ）

，

（48）を

、

（46）に代入 する こ と によっ て， 次の

Navier・

Stokes

方程 式が得 られ る。

．

．

_{− 38 一}

　 　 　

ReUjU4

」

≡− ReP．

i十UW 」十

b

‘

・

一

・

・

・

・

…

　

『

・

・

・

…

　

一・

（51） 　した がっ て

，Newton

流 体の 流れ問題 は

，

　Navier

−

Stokes方程 式と連 続の方 程 式を与え られ た_{境界 条 件}の も とで解くこと と な る。 こ こ で は， 流 速 成 分と圧力を未 知 量と す る連立偏微分 方 程 式の積 分 方 程 式 表現 が 必 要 と な る

。

　 　 　

・

　

一

方， 構 成方程 式 （49 ）が式 （50）以 外の式で与え ら れ る流体は

Non ・

Newton

流 体と呼ばれ て い る

。

その よ う な流体の_中で

，

粘 性 応 力に対す る_構成 式 （49）が 　 　　σw

＝

u”＋u，

，

、

一

　

We

（Umai 」

．

一 u、

．

。σm厂 u、

，

。σ 、。） 　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（52） で 与 え ら れ る よ う な

，

い わ ゆ る

“

upper

−

convected

Maxwell　model ”26）を 考え る

。

ただし

We

は

Weissen−

berg

数 を表す

。

この ような流 体の場合に は

，

　Newton _流 体の場 合とは異 な り

，

粘 性 応 力 a_“ が_{速 度 勾 配}につ い て 陽な形 式で書き表すこ と がで きず，

Navier・

Stokes

方 程 式 （51 ）に_対応す る もの は存 在し ない

。

し た がっ て

，

こ の流 体の支配方程 式 は

，

・

流 速 成 分と圧 力の み な らず粘 性 応 力 を 未 知 量と す る複 雑な_{連 立 偏 微 分 方 程 式}と な る。 こ の よ う な 問 題に対 して は

，

本手 法の適用 が 不可欠 な もの とな る

。

　

基本 関係式 （

46

＞

〜

（49）で支配さ れ る非圧縮性粘性 流 体の積 分 方 程 式表現は

，

流 速 Uf

，

圧 力p

，

粘 性応力 σ_i」 を未 知 量と して選 ん だ場 合に対し て_{以 下}の よ うに誘 導 す る ことが で き る。 そ の際

，

式 （49）の代り に具体的な構 成 式 （52） を 採 用す る

。

式 （52）よ り， 耽 ＝

O

と お く ことに よっ て

，

式 （50 ）が得られる ことは明 らかで あ る。 す な わ ち，

“

upPer

−

convected 　

Maxweil

　model ”

の _{特 殊} な場 合と して_，

NewtQn

_{流 体}が得ら れ る

。

し た がっ て以 下の議 論は

，Newton

流体と Maxwell 流体を含む

一

般 的なもの であるe

　

基 本 方 程 式 （

46

）

，

（47 ）

，

（48 ）お よび （52）よ り， r、J を消 去した次の連 立 偏微分 方 程 式を議 論の_{対 象}と す る。

　　　LuUJ

＝B

，

　

（

1

，

J ＝1〜

6）

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

53

） た だ し

，

上 式 中の各 量は2 次元問題に対し て示 す と 次の よ うに与え ら れ る

。

［

LtJ

］

＝

Iu

，

1

＝ ［Ul

iBA

匸

　

0

　

0

　

D

，

−

_2D ，

−

_D2 　 0 　 0　

− R

。

OL

　

Ol

　O　 　

−

ReDt　 O 　

D

，　　　 0　　　0 　

0

　 　　 　

0

　 　 　1

− D

，　 　

0

　 　 0

−

_{2D2　 　 0}

₀

コ

　

　

　

DPOO10

　 ビ ODOOOl

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（

₅₄

_） 　 包2 ρ 　σu ReU 」Ui

、

」二δ1

R

。％」冠 2」 ＝_δ 2 耽（包

。

σllバ u

、

，

。

σ

。

1

一

秘1

，

。

σ、。） 琳 （晦 σ12バ Ul

．

況σ蹴厂 冠、

、

解σ、m） 肌（砺 σ 22

，

ザ u，

，

漁 、

一

包，

、

餌σ柵 ） σ12　σ 21］「

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

55

＞

・

・

…

_（56）

　連立偏微 分方程式 （

53

）に対す る積分方程式表現は， 微 分作用素行列

L

、J の adjoint 　XJt に関す る基 本解テン ソ ル 嗾 を重み関数 と す る 式 （53 ）の 重みつ _{き 残 差表} 現式よ り出発し

，

前述し た手法に従うことに よっ て次の よ うに_与え ら れ る。

　

　

u

・（u）

−

xii

・・（x ）Σ

tux

，g）

−

Tt（x）

vrKx

，y ）｝

d

厂ω

　

　

　　

　

＋

∫

陬 ’（x ）・・J（x）

一

・

bl

（・t）｝・vrK・

．

・y ＞

d9

ω 　　　 　　 　（i

；

1，2；K

＝

1

〜

6 ＞

・

・

・

・

・

…

　

t−・

・

…

　

＋

・

・

…

　（57 ） ただし， Ttは トラ ク ショ ンで， Σ露は η に対応す る量 を表 し

，

それぞれ次の ように定 義さ れ る

。

　　　Ts・i ・T， 　n」

＝

（

−

R。

P

δ“＋σ w｝n」

・

…・

・

……・

・

…・

・

（58） 　　　Σ轟≡ _（

− V

_{；Kn1 十}

2

　

vrKni

十

veKn2

）

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

（59） 　　　Σ轟≡ （

一

嗾 _π 、＋ 職 η、＋2 鴨 η，）

…………

（60 ） 　 以上に よっ て

，

速 度 成 分と圧 力の み なら ず 粘 性 応 力 aw も場の_{未知 関 数}と し た場 合の新しい積 分 方 程 式が容 易に得ら れ た

。

積分方 程 式 （57 ）を各未知量に対し て具 体 的に_表現す る と次の

6

_本の_{非 線 形 積 分 方 程 式}と な る。 u（・）≡

吻

一

ル

ω Σ轟（x

・

_・

1

_＋ v（_x ）_Σ

t

・（x

・

9 ）｝

dr

（x ）

　　　　

一

∫

1

・・（x）

vr

・（x

，

9＞＋ T・（・c）V；i（x

，

y＞

ldF

｛x）

　

　

　　

＋

f

，

BKx

）

Vr

コ（x

，

g｝

d

Ω（x ）

…・

一 ・

……一

（61） v（・｝・・u・（9）

一

ル

ω Σ叢（x

．

”）＋・〈x＞Σ

E

（x ，〃）｝

dr

ω

　

　

　　

一

ル

（・隣 （x ，y）＋ T・（・）

vr

，（x ，・）

ldr

（・ ）

　

　

　　

＋

f

．　

B

・（・）

Vf

・（x

．

uld9 〔x ｝

・

・

・

……・

……一

（62） P（〃〉−

fl

_・（・）

xr

・（x

，

〃）＋v（x 〕Σ・

13

（x ，

9

）

ldr

（・ ｝

　

　

　　

一

∫

1

・，（x ）vr・（x ，〃）＋ T・（x ）

VA

（x

，

u）

idr

（x ）

　

　

　　

＋

．

LB

・（x＞

vr

・（x ，〃）

dO

〔・

1…・

………・

…・

tt

〔63） cr1_・ω

一

ル

_（x）Σ：（x

，

9）＋ v（・ ）Σ

1

，（x

，

〃＞

ldr

ω

　　　　

一

∫

1

・，｛・｝

vr

・（x

，

〃）＋ T・〈・）

v

；、（・

，

・u）

ldr

（・v）

　　　　

・

∫

_跏 ・盗（x

，

_〃）・・ω

…・

………

（64 ） a・：（・）

−

fl

・（

tl

）Σ

it

（x ，g）＋v（x ）Σ

1

・（・，y）

ldF

（x）

　

　

　　

一

∫

1

・，（・＞

vt

・（x，9）＋ T！（x）

Vf

，（x

，

〃）

id

厂ω

　　　　

・

！

iBKx

_）

vrs

_｛x ，　y）

dg

（x ）

………・

・

…一

（65）

．

a・！（・）

一

∫

1

・（・　）Σ　

rG

（x ，〃）＋v（x）Σ；e（x ，・）

idr

（・）

　

　

　　

一

∫

1

・ω v轟（x

・

u）＋・ω

臥

環

（x

，

y）

ldr

（・）

　　　　

・

_JC

・・（・ ）・

r

・（x ，・）

d9

｛・ ）

・

…一 ・

…・

…・

圃 　連 立 積 分 方 程 式 （

61

）

一

（

66

）を解く た め に必要な基 本 解テ ン ソ ル yゐは

，

第 3 章で展 開し た方法論に従い次の よ うに構 成さ れ るポテ ン シ ャ ル 関 数 φ＊ _より 与えられ る

。

　

がは

，

行 列 （54）の次の adjoint ［

fJ

、］ ［x 、，］＝ 　0 　0R 。

D

鹽

一

_1） L

−

_D ， 　0 　0 　0Re1 ）2 　0

−

_D ，

−

_D2

一

_D ，

−

_D20000 2D ， 001

（

UO ビ

　

　

ユ DDOO1002D ， 0001

・

・

・

・

・

…



『

・

・

『

『

…



『

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（

₆₇

_） よ り得ら れ る微分作用素 　　 　ぜ ≡

det

［XJt］

＝ReAt ………・

…・

・

…・

…・

…・

・

（

68

） の基 本 解， す な わ ち重調和作 用素の基 本解

　

　　

φ・（…

1

・

・

X

−

’δ（x

−

9）

一

、

k

・ ’

i

・9 ・ （・

9

＞ と して_与え ら れ る。 し た がっ て

，y

ちは関 係 式 （

18

）よ り具 体 的に構 成で き る。 な おこ の 計 算に必 要な

．

xf、rの 転 置 余 因 子 行列 udf _，J をAppendix　

ll

に示し て お く。 　 以上で定 式 化さ れ た積 分 方 程 式を用い た2次 元の非 圧 縮性粘性流体の_流れ問 題の近 似 解は

，

境 界 要 素 法におけ る境 界 要 素お よ び内 部 要 素を導入 す ることによっ て得ら れ る非 線 形 連 立 代 数 方 程 式を Newton

−Raphson

法 等に より解くことに よっ て得られて い るlz｝

・

叫 251

。

　

5．

結 　語 　 以上 に おい て

，

連 続 体 力学に おける連 成の諸 問題 を積 分方程 式法また は境 界 要素法に よっ て近 似 解 法し よ うと す る際に必要と な る積 分 方 程 式の誘 導およびそ の中に含 ま れ る基 本 解テン ソ ル の構 成に関 する方 法 論 を

一

般 的に 提 示し た。 こ の結 果

，

従 来の境 界 要 素 法 解 析に お い て使 用さ れて い た積 分 方 程 式 表 現とは異な り_， 問 題の解 析に おい て必 要と さ れ る未 知 量の組に対 する積 分 方 程 式 表 現 を容 易に誘 導で き る こと が示され た

。

　本 論 文で提 示した方 法 論は_，

一

般 的な もの である か ら_， 具 体 例と して とり上げた静 弾 性 問 題と非 圧 縮 性 粘 性 流 体 の流れ問題 だけ で は な く

，

連 続 体に お け る様々 な複 雑な 連 成 問題に適用で き る

。

既に

，

その適用 性に関し て は

，

数 値計算 例を含ん だ論 文をい くつ か発 表 して きた。 そ れ ら は

，

平板の_曲げ問題8）

，

平板の剪 断変形 問

wa

］4）

_，

_{弾 性シ} ェ ル の 曲げ問

eel5

］

−

16｝

_，

_{連 成 熱 弾 性 問 題}19 ）

−

22 ｝

_，

自然 対 流 問 題23）

_，

_非

Newton

_{流 体の流れ問}

mp24

）

・

25）_{等で あり}

_，

_{各 文 献} を参照 さ れ たいe 参 考 文 献

1＞ Brebbia

，

　C

、

A

．

，

　

J．

　C

、

F

．

　 Telles　and 　L

．

　C

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　Wrobel　l 　 BDundary　Elemeat　Techniques

，

　Springer

・

Verlag

．

1984 2＞ 登 坂 宣 好

・

中 山　司：_{境 界要 素}法の_基礎

，

_{日科技連 出版}

　 社

，

コ987

3）Oden

，

　

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T

．

　and　

J．

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，

　Springer

−

Verlag

，、

1976

4）Arthurs

，

　

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Complementary

　Variatiopal　princip

−

　　 les

，

　

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1970

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：Linear　Partial　Differential　OperatoTs

，

　　 Springer

・

Verlag

_，

₁₉₆₃

．

」



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6）　ゲ リファ ン ド

，

シ

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ロ フ （功 力

，

井関

，

麦 林 共 訳 ）：超 関 　　 数論入 門

，

共 立 出 版 株 式 会 社

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1963 7） 登 坂宣 好 ：「連 成 微 分 方 程 式 系の境 界 積 分 方 程 式表現」

，

　 　 第 35回応 用 力 学 連 合 講 演 会 予 稿 集

，

pp

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323

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324

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1985 8） 登 坂 宣 好

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「線 形 境 界 値 問 題の混 合 境 界 要 素 法 」

，

境 界 要 　 　 素法 論 文 集

，

第 2巻

，

_pp

．

209

−

214

．

1985 9） 登 坂 宣 好 ：「境 界 要 素 法 と 連 続 体 力 学 」

，

日本建 築 学 会 大 　 　 会 学 術 講 演 梗概 集B

，

pp

．

1

−

2

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1987 10）登 坂宣好：「ナ ビエ

・

_ス ト

ー

ク ス方程式の境界要素解析」

，

　　 数理科 学 （特 集

，

ナ ビ；

・

ス ト

ー

クス方 程 式）

，

No

．

263

，

　 　 pp

．

52

−

61_，1985

_、

11）　Tosaka

，

　N

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：

“

lntegra且equation 　formulations　with 　the

　　primitive　variables 　

for

　incompressible　viscous 　fluid　flow

　　 problems

”

，

　Computatienal　Mechanics：An　International 　　

Jburnal

，

　（in_press）

12）　Tosaka

，

　N

．

　and 　K

．

　Kakuda ：

“

Numerical 　solutions 　of 　　 steady 　incompressible　viscous 　flow　problems　by　the 　 　 integral　equation 　method

”

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　 Innovative　Nu皿erical

　　

Methods　in　Engineering

，

（

Eds．

　R

．

　P

．

　Shaw

．

et　al

．

_）

，

　　 pp

．

211

−

222

，

　Springer

・

Verlag

，

　1986

13）　Tosaka

，

　N

．

　and　K

．

　Kakuda：

‘

‘

Numerical　simulations 　foI

　　 incompressible　viscous 　flow　_problems　using 　the　integral 　　 equation 　method

”

，

　Beundary 　E且ements 堀 （Eds

．

　 M

、

　 　 Tanaka＆ C

．

A

．

　Brebbia）

，

　VQ且

．

∬

，

　pp

．

813

−

822

，

　Sprin

・

　　ger

・

Verlag

，

198_β

14）　

Tosaka，

　

N．

：‘‘

New

　integral　equatlon 　formuLa士ions　foI

　　 centintium 　rnechanics

”

，

　Boundary　Elements　

IX

（Eds

．

　　 C

．

A

．

　Brebbia_，　W

．

　L

．

　Wendland ＆ G

．

　Kuhn）Vol

．

1

，

　 　 pp

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131

−

142

_，

　Springer

−

Verlag

，

1987

・

15＞ Tosaka

，

　 N

．

　 and 　S

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Bending　analysis 　of 　　 shallew 　spherical 　shells　using

．

　the　boundary　element

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，

　Vol

．

33

，

　　 pp

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193

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202

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　University　Qf 　Tokyo　Press

，

1985

16） 17） 18） 19_） 20） 21） 22） 23） 24） 25） 26）

Tosaka

_，

　N

．

　and　S

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Miyake_：

“

Large　deflection　analysis

of　shallow 　sphe 【ical　shell　using　an　integral　equation method

”

，

　Boundary　Element（Ed

．

　Du _Ωinghlla_）

，

　_pp

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59

−

66

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Tesaka

_，

　N

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：

“

lntegral　equation 　method 　for　shallow 　shell

bending　_problems

”

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　 Shells

，

　 Membranes　and 　Space Fra皿es （Ed

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　K

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　Heki_）Vol

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1

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169

−

176

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，

1986

登 坂宣好 ；「弾性球形 シェル の曲げ問 題に対する境界積分 方 程 式 法 」

，

境 界 要 素 法 論 文 集

，

第4巻

，

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269

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274

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1987

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Tosaka

_，

　N

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；

“

Boundary　integral　equation 　formulations for　linear　Coupled　thermoelasticity

”

t 境界要素法論 文 集

，

第3巻

，

pp

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207

−

212

_，

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1986 徐日教

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le4

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1987 徐 日教

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登 坂 宣 好 ：「半 無 限 空 間にお ける連 成熱弾性 問題 の境 界要素解」

，

境界 要素法論 文 集

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第4巻， pp

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105

−

110

，

1987Tosaka

，

　N

，

　and 　Suh　Ill

・

Gyo

：“Boundary　integral　equa

．

tion　

fo

皿 ulation 　

for

　the　generalized　theory　of　dynamic thermoelasticity

”

_，

_{境 界 要 素 法論 文 集}

_，

_第4巻

，

　_pp

．

111

−

116_，1987

Tosaka

_，

　N

．

　and 　N

．

　 Fukushima ：

“

Nllmerical　Sirnula

．

tions　of 且aminar 　natural 　convection 　_ploblems　bythe

integral　equation 　methed

”

，

　Numerical　Methods 　in　Ther

．

mal 　

Proble

皿s （Eds

．

　R

．

W

．

　Lewis

，

　K

．

　Morgan＆W

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G

．

Habashi）

，

　Vol

．

　V

，

　_pp

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500

−

511

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　Pineridge　Press

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1987 Tosaka

，　N

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“

_lntegral

　equation ｝nethod 　for　analysis 　of Newtonian and Non

−

Newtonianflows

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Advanced

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，

　 IUTAM 　Symposium

，

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．

435

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442

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　Springer

−

Veriag

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1987

福 嶋 則 博

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173

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1987Crochet

，

　 M

．

J．

，

　 Davies

，

　 A

，

R

．

　 and 　Walters

，

　 K

．

_：

Numerical　

Simulation

　of　Non

−

Newtonian　Flow

，

　Else

−

vier

_，

₁₉₈₂ Appendix　

I

_{静弾性問題 （}2_次元）のノ

，

」 　 　μ△ 十（λ十μ）Dl　　　　　

−

（λ十μ）D，D2　　

一

μDll（λ十2μ）△十2（λ十μ｝P卦 　　

一

（λ十 μ）DiDt　　　　 μ4十（λ十 μ）Dl　　　　 μPi｛｛λ十2μ）Di

一

λDi｝ 　D，

1

μLZS十（λ十μ｝D｝　　　　

一

（λ十μ｝1）｛D，　　　　

一

μD21λP｝

一

（λ斗

一

2μ＞Di｝

−

_D21入D孑

一

_〔λ十2_μ）D；

l

　DLI（λ十2_μ＞D｛

一

λD…

1

　　　　

−

4μ〔λ十 μ）DlD 弖

　　

一

（λ十 μ）DiD茎　　　 P2」μム十（λ十 μ）D｝｝　　　μoi1（λ十2μ）D孑

一

λDi1

μD21λD｛

一

（λ十2μ）Di｝　　　

一

μtD “M ｝

一

（λ十2μ）D戮

一

μD

■

亅〔λ十2μ）1）1

一

λDl｝　

一

μ021〔λ十2μ）A十2（λ十μ）D郡 ItD

，

D，

1M

｛

一

（λ十2μ）P…｝ 　　4μ（λ十 μ）DiDi

一

μDID31（λ十2μ）D言

一

λDi｝

一

μP講λPl

−

（λ十2μ）D劉 　

一

4μ｛λ十 μ）D｛D： μD計（λ十2μ）D｛

一

λD羣｝ Appendi 其皿非圧縮 性 粘 性 流 体の流れ問題 （2次 元 ）の

、

Av 　 　R

。

D莠 　

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ReDiD2 　

−

ReDiA 　 　R

_。

D、Dl

−

_R2D2（D｛

−

_D茎） 　

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R。D，D耋 　

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ReP、D， 　　R。D｝ 　

−

ReDtA 　

−

R

_。

DID ， ReD1〔D｝

−

D茎） 　R。D穿D， 　PI4 　P2△ 　2△： 　P栖 2PID2△ 　Diム 　

一

2ReDiDl 　　2R

。

DID： 　　2R 。DIA 　 Re（Dt十D盞＞ 2ReDiDt（Di

−

Di） 　　2R 。DIDl 　ReD2〔Df

−

D莠）

−

_{ReD跏の ｝}

一

_ρ

_i

_） 　 2ReDiD，△ R2DID2 〔DFDI ） 　 　4　R

。

DIDl

−

_R 。D、P2（Di

−

Dl｝ 　 　2　R

。

D_、P_董 　　

一

2Reo 麹）2 　 　 2R。P；△ 　 　2R

_。

DID 茎

一

2ReDIDi （D｝

−

P茎〕 　 　Re（Dt十D垂）

一

₄₀

一

SYNOPSIS

UDe:624.042:517.9

INTEGRAL-EQUATION

FORMULATIONS

FOR

PROBLEMS

IN

CONTINUUM

MECHANICS

by Dr.NOBUYOSHI TOSAKA, Professor,NihonUniversity,

MemberofA,I.J.

The

boundary

integralequation method, and the

_boundary

element method offer important'advantages in appreximate analysis of continuum mechahics over the so-called

domain

type numerical methods. This _paper

deals

with a

derivation

of new

integral

equation

formulations

when establishing numerical solutions of rnany

kindsof

_problems

incontinuum mechanics. The

_principal

objective

is

to

_present

a

_general

method

for

developing

such formulations,and to illustrateitsapplication to a number of differentareas of solid and fluidmechanics.

Usually

thefundamental equation incontinuum mechanics

is

_given

in

termsof theconfiguTation variable u

by

Au==(T'ET)u==f

In the

boundary

element method, itiscustomary to derivethe corresponding integralequation

from

theabove equation

by

using the

fundamental

solution'for the adjoint operator A* of A,

In

this_paper,we start with the

fol-lowing so-called _primalset of canonical equation associated with the operator A insteadef the_primalequation : Kinematic relation _Tu=v

Balance equation

T'a==f

Constitutiveequation _Ev=a

From the above _primal set, the new integralequation set interms of not only theconfiguration variable u

but

also the variable o i$easily

derived

by

using thegeneralmethodology presented

in

thispaper.

The presentedmethod is

directly

applicable to numerous _problems encountered incontinuuin mechanics.

New

integ[al

equation sets and related

fundamental

solutions for_problems of elastostatics and incompressibteviscous

fluid

flow

_problems are _presented illustratively.

The

simplicity and _generalityof the methodology _proposed in this _paper allow for_the formulationof very

gen,eral class of problems, non-linear, and time-dependent problems.