経済数学演習問題 2018 年 5 月 29 日 I a, b, c R n に対して a + b + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2( a, b) + 2( b, c) + 2( a, c) が成立することを示しましょう.( 線型代数学 教科書 13 ページ 演習 1.17)

経済数学演習問題2018年5月29日 I ~a,~b,~c ∈ Rn_に対して

||~a + ~b + ~c||2_{= ||~a||}2_{+ ||~b||}2_{+ ||~c||}2_{+ 2(~a,~b) + 2(~b, ~c) + 2(~a, ~c)} が成立することを示しましょう．（「線型代数学」教科書13ページ、演習1.17） II ~a ∈ Rn_{がすべての~x ∈ R}n_{に対して垂直，すなわち} (~a, ~x) = 0 (~x ∈ Rn) が成立するとします．このとき~a = ~0となることを示しましょう．（「線型代数学」教科書13ページ、演習 1.19） III ~f1, ~f2, ~f3∈ Rnが ( ~fi, ~fj) =  1 (i = j) 0 (i 6= j) を満たすとします． (1) ||x ~f1+ y ~f2||2= x2+ y2 ||x ~f1+ y ~f2+ z ~f3||2= x2+ y2+ z2 を示しましょう． (2)~g ∈ Rn_に対して ||~g − x ~f1− y ~f2||2= ||~g||2+ x2+ y2− 2x(~g, ~f1) − 2y(~g, ~f2) が成立することを示しましょう． IV ~a =     1 2 −3 4     , ~b =     1 −1 −1 1     に対して||~a − t~b||2_{を最小にするtを求めましょう．} V ~a =   1 1 1  , ~b =   2 −1 −1  , ~g =   0 0 1   とします． (1) (~a,~b) = 0であることを示しましょう． (2) ||~g − x~a − y~b||2_{を最小にするx, yを求めましょう．} VI ~a = α β ! 6= ~0とします。w~ を~v ∈ R2_{の~a方向の直交射影とします。このとき} ~ q = ~v + 2( ~w − ~v) = 2 ~w − ~v に対して ~ q = Q~v

を満たす行列Qを求めましょう。さらに ~a =cos θ sin θ  のときQを求めましょう。 VII R1, R2 ∈ M2(R)を直交行列であるとします．このときR1R2とtR1が直交であることを証明しま しょう． VIII 次の~a,~b ∈ Rn_に対して L = {x~a + y~b; x, y ∈ R} を考えます．条件 ||~p|| = ||~q|| = 1, (~p, ~q) = 0 を満たす~p, ~q ∈ Lを求めましょう． (1) ~a =     1 1 1     , ~b =     2 1 −1     (2) ~a =     1 0 −1     , ~b =     2 2 1     (3) ~a =       1 1 1 −1       , ~b =       1 0 −1 1       (4) ~a =       1 1 1 −1       , ~b =       1 0 2 1       IX（VIIIの続き）Iの~p, ~qを用いて以下の~cのLへの直交射影~v0を求めましょう．そして ~v0= x~a + y~b||2 を満たすx, yを求めましょう． (1) ~c =     0 0 1     (2) ~c =     0 0 1     (3) ~c =       1 0 0 0       (4) ~c =       0 0 0 1      

X次の~a,~b ∈ Rn_{に対して2列の行列X = (~a ~b)を定めます．}t_XXとdet(t_{XX)を求めましょう．}

(1) ~a =     1 1 1     , ~b =     2 1 −1     , (2) ~a =     1 −1 1     , ~b =     2 −2 2     , (3) ~a =       1 1 1 −1       , ~b =       1 0 −1 1      

経済数学演習問題2018年5月29日

 

I ~a,~b,~c ∈ Rn_に対して

||~a + ~b + ~c||2_{= ||~a||}2_{+ ||~b||}2_{+ ||~c||}2_{+ 2(~a,~b) + 2(~b, ~c) + 2(~a, ~c)} が成立することを示しましょう．（「線型代数学」教科書13ページ、演習1.17）

 

解答　

||~a + ~b + ~c||2= ||~a + ~b + ||2+ 2(~a + ~b, ~c) + ||~c||2

= ||~a||2+ 2(~a,~b) + ||~b||2+ 2(~a, ~c) + 2(~b, ~c) + ||~c||2 = ||~a||2+ ||~b||2+ ||~c||2+ 2(~a,~b) + 2(~b, ~c) + 2(~a, ~c)

  II ~a ∈ Rn_{がすべての~x ∈ R}n_{に対して垂直，すなわち} (~a, ~x) = 0 (~x ∈ Rn) が成立するとします．このとき~a = ~0となることを示しましょう．（「線型代数学」教科書13ページ、演習 1.19）   解答　~x = ~aとすると

||~a||2_{= (~a, ~a) = 0} から~a = ~0が従います．   注意~a ∈ Rn_に対して ||~a|| = 0 ⇔ ~a = ~0 が成立します．  

  III ~f1, ~f2, ~f3∈ Rnが ( ~fi, ~fj) =  1 (i = j) 0 (i 6= j) を満たすとします． (1) ||x ~f1+ y ~f2||2= x2+ y2 ||x ~f1+ y ~f2+ z ~f3||2= x2+ y2+ z2 を示しましょう． (2)~g ∈ Rn_に対して ||~g − x ~f1− y ~f2||2= ||~g||2+ x2+ y2− 2x(~g, ~f1) − 2y(~g, ~f2) が成立することを示しましょう．   解答(1)　 ||x ~f1+ y ~f2||2= ||x ~f1||2+ 2(x ~f1, y ~f2) + ||y ~f2||2 = x2|| ~f1||2+ 2xy( ~f1, ~f2) + y2|| ~f2||2 = x2· 1 + 2xy · 0 + y2· 1 = x2+ y2 ||x ~f1+ y ~f2+ z ~f3||2= ||x ~f1+ y ~f2||2+ 2(x ~f1+ y ~f2, z ~f3) + ||z ~f3||2 = x2+ y2+ 2xz( ~f1, ~f3) + 2yz( ~f2, ~f3) + z2|| ~f3||2 = x2+ y2+ 2xz · 0 + 2yz · 0 + z2· 1 = x2_{+ y}2_{+ z}2 (2) ||~g − x ~f1− y ~f2||2= ||~g||2− 2(x ~f1+ y ~f2, ~g) + ||x ~f1+ y ~f2||2 = ||~g||2− 2x( ~f1+ y ~f2, ~g) − 2y( ~f2, ~g) + x2+ y2 = ||~g||2+ x2+ y2− 2x(~g, ~f1) − 2y(~g, ~f2)   IV ~a =     1 2 −3 4     , ~b =     1 −1 −1 1     に対して||~a − t~b||2_{を最小にするtを求めましょう．}   解答　 ||~a||2_{= 1 + 4 + 9 + 16 = 30} (~a,~b) = 1 + (−2) + 3 + 4 = 6 ||~b||2_{= 1 + 1 + 1 + 1 = 4}

から

||~a − t~b||2= ||~a||2− 2t(~a,~b) + ||~b||2 = 4t2− 12t + 30 = 4  t − 3 2 2 + 21 となります．従ってt = 3₂ のとき最小値21を取ります．   V ~a =   1 1 1  , ~b =   2 −1 −1  , ~g =   0 0 1   とします． (1) (~a,~b) = 0であることを示しましょう． (2) ||~g − x~a − y~b||2_{を最小にするx, yを求めましょう．}   解答(1)　 (~a,~b) = 1 · 2 + 1 · (−1) + 1 · (−1) = 2 − 1 − 1 = 0 (2)　

||~g − x~a − y~b||2_{= ||~g||}2_{− 2(~g, x~a + y~b) + ||x~a + y~b||}2

= ||~g||2− 2x(~g, ~a) − 2y(~g,~b) + ||x~a||2_{+ 2(x~a, y~b) + ||y~b||}2

= ||~g||2− 2x(~g, ~a) − 2y(~g,~b) + x2_||~a||2_{+ 2xy(~a,~b) + y}2_||~b||2

= 12− 2x · 1 − 2y(−1) + x2_{· 3 + 2xy · 0 + y}2_{· 6} = 3x2− 2x + 6y2_{+ 2y + 1} = 3  x − 1 3 2 + 6  y +1 6 2 + 1 −1 3 − 1 6 = 3  x − 1 3 2 + 6  y +1 6 2 +1 2 からx = 1₃, y = −1₆ のとき最小値1₂ を取ります．

  VI ~a = α β ! 6= ~0とします。w~ を~v ∈ R2_の~a 方向の直交射影とします。このとき ~ q = ~v + 2( ~w − ~v) = 2 ~w − ~v に対して ~ q = Q~v を満たす行列Qを求めましょう。さらに ~a =cos θ sin θ  のときQを求めましょう。 x y   解答　 ~ v =x y  とすると ~ w = (~a, ~v) ||~a||2 = αx + βy α2_{+ β}2 α β  = 1 α2_{+ β}2 α2_{x + αβy} αβx + β2_y  = 1 α2_{+ β}2  α2 _αβ αβ β2  x y  から ~ q = 2 ~w − ~v =  ₂ α2_{+ β}2  α2 _αβ αβ β2  − I2  x y  = 1 α2_{+ β}2 α2_{− β}2 _2αβ 2αβ −α2_{+ β}2  x y  となりますから Q = 1 α2_{+ β}2 α2_{− β}2 _2αβ 2αβ −α2_{+ β}2  となります．特に~a = cos θ sin θ ! のとき Q =cos 2θ sin 2θ sin 2θ − cos 2θ  となります．   VII R1, R2∈ M2(R)を直交行列であるとします．このときR1R2とtR1が直交であることを証明しま しょう．   解答　 t_(R 1R2)R1R2=tR2tR1R1R2=tR2I2R2=tR2R2= I2 R1R2t(R1R2) = R1R2tR2tR1= R1I2tR1= R1tR1= I2

からR1R2が直交であることが分かります．他方 t t_R 1
t_R 1= R1tR1= I2 t_R 1t tR1
=tR1R1= I2 からtR1が直交であることが分かります．   VIII（教科書20p. 演習1.2.4の拡張） 次の~a,~b ∈ Rn_に対して L = {x~a + y~b; x, y ∈ R} を考えます．条件 ||~p|| = ||~q|| = 1, (~p, ~q) = 0 を満たす~p, ~q ∈ Lを求めましょう． (1) ~a =     1 1 1     , ~b =     2 1 −1     (2) ~a =     1 0 −1     , ~b =     2 2 1     (3) ~a =       1 1 1 −1       , ~b =       1 0 −1 1       (4) ~a =       1 1 1 −1       , ~b =       1 0 2 1         解答　(1) ~bの~a方向への直交射影w~は ~ w = (~a,~b) ||~a||2 = 2 3~a と求められます．このとき~aの垂直なベクトルとして ~b − ~w =   2 1 −1  − 2 3   1 1 1  = 1 3   4 1 −5   が求まります．このとき~aと~b − ~wを正規化した ~ p = 1 ||~a||~a = 1 √ 3   1 1 1  , ~q = 1 ||~b − ~w||(~b − ~w) = 1 √ 42   4 1 −5   がLの正規直交基底となります． (2) ~bの~a方向への直交射影w~ は ~ w = (~a,~b) ||~a||2 = 1 2~a と求められます．このとき~aの垂直なベクトルとして ~b − ~w =   2 2 1  − 1 2   1 0 −1  = 1 2   3 4 3  

が求まります．このとき~aと~b − ~wを正規化した ~ p = 1 ||~a||~a = 1 √ 2   1 1 1  , ~q = 1 ||~b − ~w||(~b − ~w) = 1 √ 34   3 4 3   がLの正規直交基底となります． (3) ~bの~a方向への直交射影w~ は ~ w =(~a,~b) ||~a||2 = − 1 4~a と求められます．このとき~aの垂直なベクトルとして ~b − ~w =     1 0 −1 1     +1 4     1 1 1 −1     = 1 4     5 1 −3 3     が求まります．このとき~aと~b − ~wを正規化した ~ p = 1 ||~a||~a = 1 2     1 1 1 −1     , ~q = 1 ||~b − ~w||(~b − ~w) = 1 √ 44     5 1 −3 3     がLの正規直交基底となります． (4) ~bの~a方向への直交射影w~ は ~ w = (~a,~b) ||~a||2 = 2 4~a = 1 2~a と求められます．このとき~aの垂直なベクトルとして ~b − ~w =     1 0 2 1     −1 2     1 1 1 −1     = 1 2     1 −1 3 3     が求まります．このとき~aと~b − ~wを正規化した ~ p = 1 ||~a||~a = 1 2     1 1 1 −1     , ~q = 1 ||~b − ~w||(~b − ~w) = 1 √ 20     1 −1 3 3     がLの正規直交基底となります．   IX（VIIIの続き）Iのp, ~~ qを用いて ||~c − x~a − y~b||2 を最小にするx, y ∈ Rを求めましょう． (1) ~c =     0 0 1     (2) ~c =     0 0 1     (3) ~c =       1 0 0 0       (4) ~c =       0 0 0 1        

解説　~p, ~qと~a,~bの間に関係 ~ p = 1 ||~a||~a ~ q = 1 ||~b − ~w|| ~b − (~a,~b) ||~a||2~a ! があることに注意しましょう．従って (~p ~q) = (~a ~b)   1 ||~a|| − 1 ||~b− ~w||· (~a,~b) ||~a||2 0 1 ||~b− ~w||   が成立します．この等式の右辺に現れる行列をSとするとSは正則となります． ξ~p + η~q = (~p ~q)ξ η  = (~a ~b)Sξ η  = (~a ~b)x y  から Sξ η  =x y  従って x y  = S−1ξ η  が成立します．以上から任意の x y ! ∈ R2 _{に対して一意的に} ξ η ! ∈ R2 _{が存在して} x~a + y~b = ξ~p + η~q が成立します．ここで~c − ~v||2_{を最小とする~v = x~a + y~b = ξ~p + η~q ∈ Lを求めます．} ||~c − x~a − y~b||2= ||~c − ξ~p − η~q||2 = ||~c||2+ ξ2||~p||2+ η2||~q||2− 2ξ(~c, ~p) − 2η(~c, ~q = ||~c||2+ ξ2− 2ξ(~c, ~p) + +η2||~q||2− 2η(~c, ~q = (ξ − (~c, ~p))2+ (η − (~c, ~q))2+ ||~c||2− (~c, ~p)2− (~c, ~q)2 から ξ = (~c, ~p), η = (~c, ~q) のとき||~x − ξ~p − η~q||2は最小となります．こここで求めた ~v = ~v0= (~c, ~p)~p + (~c, ~q)~q が ~ v0∈ L, (~c − ~v0) ⊥ L を満たす~cのLへの直交射影となります． 解答

(1) ~ p = √1 3   1 1 1  , ~q = 1 √ 42   4 1 −5   であることがIで示されています．これから (~c, ~p) =     0 0 1  , 1 √ 3   1 1 1    = 1 √ 3, (~c, ~q) =     0 0 1  , 1 √ 42   4 1 −5    = − 5 √ 42 となります．このとき求める直交射影は ~ v0= x~a + y~b = (~c, ~p)~p + (~c, ~q)~q =√1 3· 1 √ 3   1 1 1  − 5 √ 42 1 √ 42   4 1 −5  = 1 14   −2 3 13   となります．この式を直接xとyについて解くと   1 2 −2 14 1 1 ₁₄3 1 −1 −13 14  →   1 2 −2 14 0 −1 5 14 0 −3 −15 14  →   1 2 −2 14 0 1 −5 14 0 −3 −15 14  →   1 0 ₁₄8 0 1 −5 14 0 0 0   から x = 6 7, y = − 5 14 であることが分かります． 注意S = 1 √ 3 − 3 √ 42· 2 3 0 √3 42 ! を用いて x y  = 1 √ 3 − 2 √ 42 0 √3 42 ! ₁ √ 3 −_√5 42 ! =  4 7 −5 14  とも計算ができます． (2) ~ p = √1 2   1 0 −1  , ~q = 1 √ 34   3 4 3   であることがIで示されています．これから (~c, ~p) =     0 0 1  , 1 √ 2   1 0 −1    = − 1 √ 2, (~c, ~q) =     0 0 1  , 1 √ 34   3 4 3    = 3 √ 34 となります．このとき求める直交射影は ~v0=x~a + y~b = (~c, ~p)~p + (~c, ~q)~q = −√1 2 · 1 √ 2   1 0 −1  + 3 √ 34 1 √ 34   3 4 3  = 1 17   −4 6 13  

となります．この式を直接xとyについて解くと   1 2 −4 17 0 2 ₁₇6 −1 1 −13 17  →   1 2 −4 17 0 2 ₁₇6 0 3 −9 17  →   1 2 −4 17 0 1 ₁₇3 0 3 −9 17  →   1 0 −2 017 0 1 ₁₇3 0 0 0   から x = −20 17, y = 3 17 であることが分かります． 注意S = 1 √ 2 − 2 √ 34· 1 2 0 _√2 34 ! を用いて x y  = 1 √ 2 − 1 √ 34 0 √2 34 ! −_√1 2 3 √ 34 ! =− 20 17 3 17  とも計算ができます． (3) ~ p = 1 2     1 1 1 −1     , ~q = √1 44     5 1 −3 3     であることがIで示されています．これから (~c, ~p) =         1 0 0 0     ,1 2     1 1 1 −1         = 1 2, (~c, ~q) =         1 0 0 0     ,√1 44     5 1 −3 3         = √5 44 となります．このとき求める直交射影は ~ v0= x~a + y~b = (~c, ~p)~p + (~c, ~q)~q = 1 2· 1 2     1 1 1 −1     +√5 44 1 √ 44     5 1 −3 3     = 1 11     9 4 −1 1     となります．この式を直接xとyについて解くと     1 1 ₁₁9 1 0 ₁₁4 1 −1 −1 11 −1 1 ₁₁1     →     0 1 ₁₁5 1 0 ₁₁4 0 1 −5 11 0 −1 5 11     →     1 0 ₁₁4 0 1 ₁₁5 0 0 0 0 0 0     から x = 4 11, y = 5 11 であることが分かります． 注意S = 1 2 − 4 √ 44· − 1 4
0 √4 44 ! = 1 2 1 √ 44 0 √4 44 ! を用いて x y  = 1 2 1 √ 44 0 √4 44 !_{ 1} 2 5 √ 44  = 4 11 5 11 

とも計算ができます． (4) ~ p = 1 2     1 1 1 −1     , ~q = √1 20     1 −1 3 3     であることがIで示されています．これから (~c, ~p) =         0 0 0 1     ,1 2     1 1 1 −1         = −1 2, (~c, ~q) =         0 0 0 1     ,√1 20     1 −1 3 3         = √3 20 のとき最小値をとります．このとき求める直交射影は ~ v0= x~a + y~b = (~c, ~p)~p + (~c, ~q)~q = −1 2· 1 2     1 1 1 −1     +√3 20 1 p(20)     1 −1 3 3     = 1 10     −1 −4 2 7     となります．この式を直接xとyについて解くと     1 1 −1 10 1 0 −4 10 1 2 ₁₀2 −1 1 ₁₀7     →     0 1 ₁₀3 1 0 −4 10 0 2 ₁₀6 0 1 ₁₀3     →     1 0 −4 10 0 1 ₁₀3 0 0 0 0 0 0     から x = − 4 10, y = − 3 10 であることが分かります． 注意S = 1 2 − 2 √ 20· 1 2 0 √2 20 ! = 1 2 − 1 √ 20 0 √2 20 ! を用いて x y  = 1 2 − 1 √ 20 0 √2 20 !_ −1 2 3 √ 20  =− 4 10 3 10  とも計算ができます．  

X次の~a,~b ∈ Rn_{に対して2列の行列X = (~a ~b)を定めます．}t_XXとdet(t_{XX)を求めましょう．}

(1) ~a =     1 1 1     , ~b =     2 1 −1     , (2) ~a =     1 −1 1     , ~b =     2 −2 2     , (3) ~a =       1 1 1 −1       , ~b =       1 0 −1 1        

解答　X = (~a ~b)に対して t_{XX =} t_~a t_~b  (~a ~b) = t_{~a · ~a} t_{~a · ~b} t_{~b · ~a} t_{~b ·~b} ! = ||~a|| 2 _(~a,~b) (~b, ~a) ||~b||2 ! となることに注意しましょう．ここで~a,~b ∈ Rn_に対して t_{~a · ~b = (~a,~b)} であることを用いました．ここで計算するt_XXをXのGram_{行列と呼びます．} (1) t_{XX =}3 2 2 6  , det(tXX) =     3 2 2 6     = 14 (2) t_{XX =}3 6 6 12  , det(tXX) =     3 6 6 12     = 0 (3) t_{XX =}4 1 1 3  , det(tXX) =     4 1 1 3     = 11 注意　上のX = (~a ~b)に対して t_{XX が正則} ⇔ ~a ∦ ~b が成立します．det(t_{XX)の値に注意しましょう．}