表紙　４２３．５＊２９７／表紙１‐４

１ はじめに 外洋における流速測定の手段として，ドップ ラーログを利用した船舶搭載型 ADCP（音響ドッ プラー流速計）が１９８０年代から広く普及してき た．ドップラーログ自体は，ある深さの海水に対 する船の速度（以下“対水船速”とよび，ベクト ル VWと表す）を測る機器である．一方で，船の 地球（海底）に対する速度（“対地船速”，VG）を 得れば，VGから VWを引き算して，海水の地球に 対する速度，すなわち流速ベクトル U を得る． U＝VG−VW. 近年，航行船舶の測位装置として GPS が一般 的に使用されている．異なる２地点において GPS で測定された緯度・経度から２点間の距離を求 め，これを移動に要した時間で除して，対地船速 VGを求める．ADCP で測定した流速の誤差につ 海洋情報部研究報告 第 42 号 平成 18 年 3 月 27 日

REPORT OF HYDROGRAPHIC AND OCEANOGRAPHIC RESEARCHES No.42 March, 2006

GPS

船速の誤差が ADCP 流速に及ぼす影響

石井春雄＊１_・道田豊＊２

Effects of Ship’s Velocity Determined from GPS Data on Current Velocity Measured by Shipmounted ADCP

Haruo ISHII＊１

,Yutaka MICHIDA＊２

Hydrogr. and Oceanogr. Dept.,Ocean Research Institute Japan Coast Guard University of Tokyo

Abstract

It is required to know the ship velocity referred to the earth（ground velocity）in oceanic current measurement using shipmounted ADCPs. At present, the ground velocity of a vessel is usually calculated from the distance be-tween two different points whose positions in latitude and longitude are determined by GPS. This article discusses potential effects of errors in ship velocities determined by GPS upon current measurement by ADCPs. The mean value of distance estimated by GPS location data is to be always larger than the real distance, on the assumption that the GPS location data show a two dimensional normal distribution around the real position and that the zonal （x−direction）and meridional（y−direction）components of the difference between the real and GPS locations have same standard deviations（σx＝σy）．This fact results in overestimation in the ground velocities. The overes-timated error velocity depends not only on the accuracy of GPS but also both on the time interval of velocity calcu-lations and the ground speed of the ship. The error velocity can be suppressed and negligible through averaging procedure for many velocity data, whereas the individual errors may be too big in current measurement. Further in-vestigation on errors of GPS velocities will be necessary for cases of inhomogeneous GPS location data（σx≠ σy），which has been reported at some fixed points.

†Received January１７，２００６；Accepted March３，２００６ ＊１ 航法測地室 Geodesy and Geophysics Office

＊２ 東京大学海洋研究所 Ocean Research Institute, University of Tokyo

いての報告は多いが（例えば，Joyce，１９８ ９；Pol-lard and Read，１９８９；石井，１９９３；Michida and Ishii，２０００など），流速誤差の原因を対水船速 VW に求めている．確かに最近は，高精度で安定した GPS 測位により，高精度の対地船速 VGが得られ ていると考える．しかし，流速を高精度で測定す るためには，GPS で求めた対地船速（以下“GPS 船速”とよぶ）の精度も高くなくてはならない． 本稿では，GPS 船速の誤差を，数学公式と統計 学の定理（柴田，１９９６；高橋・他，１９９２）の助け を借りて見積り，これが ADCP 流速に及ぼす影 響を調べる． ２．１ 同一地点での GPS 測定誤差 ある地点において GPS で測定した緯度・経度 のデータを考える．測定された緯度・経度の平均 を原点にとり，原点からの東西（経度）方向の距 離を x，南北（緯度）方向の距離を y とする．x と y の確率密度関数（確率分布）は，それぞれ平 均が零の正規分布であり，x と y が独立な確率変 数（x と y は無相関）とする．また，x と y の標 準偏差σx と σy は等しく，σx＝σy＝σ０とする． このとき，平均位置（原点）の周囲の確率分布 は，次式の２次元正規分布の同時密度関数で与え られる． f （x,y）＝exp［−（x２ ＋y２ ）/２σ０２］/２πσ０ ……（１） 測定位置の原点からの距離を r とすると，r２ ＝ x２_＋y２_{から，原点を中心とした円上（原点から等} 距離）に在る点（x，y）の確率密度は等しい． また，exp［−r２_{］に比例して確率密度は小さくな} る．前述の仮定のもとに，距離 r の確率分布と期 待値・分散を求めてみる．距離 x,y は正規分布に 従うから， X＝x/σ０，Y＝y/σ０ と お く と，確 率 変 数 X,Y は，そ れ ぞ れ 平 均 が 零，分散が１の基準正規分布に従う．基準正規分 布（以下，N（０，１）と表す）の確率密度関数は f （z）＝exp［−z２/２］/（２π）１/２ で与えられる． X,Y がそれぞれ N（０，１）に従うとき，u２_＝X２_＋ Y２_{は 自 由 度２のχ}２_{（カ イ２乗）分 布 に 従 い，そ} の平方根 u＝_!u２_{は自由度２のカイ分布χ} ２（u）に 従う．石井（１９９９）は，人工衛星を利用した測位 システムのひとつであるアルゴスシステムによっ て測定された緯度・経度を解析して（σx≠σy）， 平均位置からの距離の頻度分布がχ２（u）にほぼ 従うことを示した． 自由度２のカイ分布の確率密度関数は， χ（z）２ ＝z・exp［−z２/２］ ……（２） であり，その期待値µ と分散 υ は， µ＝（π/２）１/２_{≒１．２５３３} υ＝２−µ２_{＝（４−π）/２≒０．４２９２} また，

u＝（X２_＋Y２_）１/２_＝（x２_＋y２_）１/２_/σ ０＝r/σ０ から，u＝１は r＝σ０に対応し，原点からの距離 r の期待値はµσ０，分散はυσ０２となる．実際の測定 値のσ０が５０m，３０m，１０m であれば，r の期待 値は６３m，３８m，１３m 程度となる．原点（平均 位置）が真の位置と見なせれば，これら期待値が GPS の単独測位における“平均誤差”と考えら れる． ２．２ 同一地点の異なる時刻に算出した距離 GPS 船速は，異なる時刻において測定された２ 地点の位置から求められる．ここでは先ず，同一 地点で異なる時刻に測定された位置から算出され る距離について考える．同一地点だから，当然， 移動速度は零になるべきだが，計算上は２点間の “距離”が存在するため，移動速度も零にならな い．この“距離”の確率分布を求めてみる． 時刻 t１に測定された位置を（x１，y１）とし，時 刻 t２＝t１＋T のそれを（x２，y２）とする．前節と同 様に，これらを原点の周囲に正規分布する確率変 数と見なし，分散は全てσ０２とする． x＝x２−x１，y＝y２−y１ とおくと，x と y の分布は，それぞれ平均が零， 分散が２σ０２の正規分布となる［附録１］． ここで， σ＝（σx２＋σy２_）１/２_＝（２σ ０ ２_）１/２_＝ !２・σ０とし，

X＝x/σ, Y＝y/σ

とおくと，X と Y はそれぞれ N（０，１）に従う． 前節と同様にして，

u＝（X２_＋Y２_）１/２_＝（x２_＋y２_）１/２_{/σ． ……（３）}

式（３）の u は自由度２のカイ分布に従う．２点 間の距離を r として，

r＝｛（x２−x１）２＋（y２−y１）２｝１/２＝（x２＋y２）１/２

から，結局 u＝r/σ. u＝１は r＝σ に対応し，２点 間 の 距 離 の 平 均 は µσ，分散は υσ２_となる． 標準偏差σ０が３０m で，時間 差 T が１０秒，３０ 秒，６０秒のとき，スカラー量の“速さ”の平均 は，それぞれ，_!２・σ０µ/T から５．３m/s，１．８m/ s，０．９m/s 程 度 と な る．不 動 の 点 に か か わ ら ず，異なる時刻における“単発”の測定位置から は，大きな“速さ”が算出される． なお，ここでは“方向”は考慮していない． “方向”も考慮して，すなわち速度ベクトルの平 均を求めれば，平均の“速さ”はずっと小さくな る．２点間を結ぶベクトルを r とすると，その成 分は（x１−x２，y１−y２）で あ る が，x１−x２と y１−y２

の期待値は共に零である．したがって，標本数 n を大きくとれば，ベクトル平均の“速さ”も，平 均値の零の廻りに小さな標準偏差（２σ０２υ/n）１/２＝ σ（υ/n）１/２ で分布する． ３ GPS 船速の誤差 GPS 船速は，異なる時刻における船舶の測定 位置から計算するが，真の位置は刻々変化してい く．こ こ で，各 時 刻 に 測 定 さ れ た 位 置（x,y） は，前述と同様に，真の位置の周囲に標準偏差σx ＝σy＝σ０で正規分布する確率変数と仮定する． 時刻 t１の測定位置を（x１，y１），その真位置を （x１m，y１m）と し，時 刻 t２の そ れ ら を（x２，y２）， （x２m，y２m）とする（Fig．１）． x＝x２−x１，y＝y２−y１ とおくと，x と y の分布は，それぞれ 平 均 がµX （＝x２m−x１m），µY（＝y２m−y１m），分 散 がσ２＝２σ０２ の正規分布となる． X＝（x−µX）/σ, Y＝（y−µY）/σ とおくと，X と Y はそれぞれ N（０，１）に従う． 結局， u＝（X２_＋Y２_）１/２ ＝｛（x−µX）２＋（y−µY）２｝１/２/σ ……（４） 式（４）の u は，自 由 度２の カ イ 分 布 に 従 う． 式（４）で，µX＝µY＝０とおけば式（３）となる． u はσ で規格化された，ある“距離”を表す． µXとµYは，x 方向と y 方向の真の距離であるか

ら，x−µX＝x２−x１−µXと y−µY＝y２−y１−µYは そ

れぞれの真距離からの偏差を表す．したがって， σu は，これらの偏差分によって生ずる“距離” となる．

いま，２点間の真距離を R とおき，x１m＝０，x２m

＝R，y１m＝y２m＝０とする．こ れ は，点（x１m，y１m）

を原点にとり，２点の真の位置を結ぶ方向に x 軸 をとった場合である（Fig．２）．このとき式（４） は， u＝｛（x−R）２_＋y２_｝１/２_/σ ……（５） こ こ で，r＝σu と お く と，式（５）の 関 係 は Fig．２に 示 す と お り で あ る．r は 点 Q か ら の 距

Fig.1 Two GPS locations,（x１m, y１m）and（x２m, y２m）,in an

X−Y coordinate system.

Fig.2 A typical case of Fig.1,where the two points are the origin（O）and Q on the X axis. R is the distance of the two points and x１m=y１m=y２m=0, x２m=R.

離，２点間の測定距離は d であり，半径 r の円上 の点の確率密度は全て同じである．半径が r のと きの d の期待値 E［d］＝deは， de＝R＋r２/３R＝h（r）（R≧r≧０）１ de＝r＋R２/３r＝h（r）（r≧R）２ となる［附録２］．こ こ で，r の R に 対 す る 大 き さにより，期待値 deを関数 h１と h２を用いて表し た．さらに，u＝r/σ, uR＝R/σ, ud＝de/σ と規格化 して

ud＝uR＋u２/３uR＝h（u）（u１ R≧u≧０）

ud＝u＋u２R/３u ＝h（u）（u≧u２ R）

u は自由度２のカイ分布（式２） χ（u）２ ＝u・exp［−u２/２］

に 従 う．udの 期 待 値 E［ud］は，ud・χ（u）２ を u に

関して区間［０，∞］の積分 E［ud］＝!

! %$

&（u）" χ（u）２ ・du＋!

%$

!

&（u）# χ（u）２ ・du

から得られ，分散 V［ud］も E［ud］を用いて計算

できる［附録３］．

結果は，常に E［ud］＞uRとなる．Fig．３に uRに

対する比 E［ud］/uRを，Fig．４に uRに対する分散

V［ud］を 示 す．uR＞３程 度 で E［ud］と uRの 比 は，

ほぼ１になる．E［ud］，V［ud］, uRのそれぞれをσ

倍すれば，実際の距離に換算できる．２．１ で述 べたよう にσ０（＝σ/"２）は，東西（経度）方向 と南北（緯度）方向の距離の標準偏差である．こ のσ０の 値 を５通 り（１００，５０，３０，１０，５m）与 え，真距離 R に対する，距離の期待値 E［d］（＝ de）と R の 差（E［d］−R）の 関 係 を Fig．５に 示

す．E［ud］>uRから，２点間の測定距離の期待値 E

［d］は真距離 R よりも大きく，σ０が大きいほど差 は顕著となる． ２地点の間の距離を測定時間差 T で除して“船 速”が得られる．T も５通り（１０，３０，６０，１２０，３００ 秒）与 え，真 の 船 速 V０と 計 算 さ れ る GPS 船 速 Vgps の差（すなわち，船速の測定誤差）を見積 もってみる．船速 Vgps も真船速 V０より大きく 算 出 さ れ，∆Vgps＝Vgps−V０＞０と な り，Vgps は 誤 差 を 持 つ．誤 差 の 大 き さ は，Fig．６，Fig．７ に示すように，GPS 自体の測定精度（σ０の大き

Fig.3 The ratio of the mean value of measured distance E[ud] to the real distance uR.

Fig.4 The variance of measured distance var[ud] to the

さ）に 依 る ほ か，真 船 速 V０や 時 間 差 T に も 依 る．船 の 速 度 V０が 小 さ い ほ ど 誤 差 は 大 き く な る．また，時間間隔 T が短いほど，“単発”の GPS 船速に含まれる誤差は大きくなる． Fig．２のθ で示される船の進行方位の，期待値 E［θ］と 分 散 V［θ］を 求 め る と［附 録４］，E［θ］＝０ となる．すなわち，船の測定位置から求めた進行 方位は平均的には真の進行方向と同じとなる． GPS 測位の誤差がランダムであれば，GPS 船 速の期待値は真値よりも大きい．ADCP による流 速測定において，一方の対水船速の誤差もランダ ムであれば，対水船速の期待値も真値よりも大き い．GPS 船速と対水船速のベクトル引き算で得 られる ADCP 流速の誤差もランダムである．そ して，GPS 船速の場合と同様に，ADCP 流速の 期待値は真値よりも大きく，流向の期待値は真の 流向に等しいと考えられる．しかし，対水船速に ランダム誤差に加えて，バイアス的誤差（例えば 船の進行方向に直角に対水船速が大きく算出され る）が含まれる場合には，流速・流向の期待値に ついて論じられない． ここまでは，１対の位置データから計算した GPS 船速の誤差についての説明であった．これ らの“単発”の GPS 船速の“速さ”を何個か平 均しても，標本平均の期待値は母平均に等しいか ら，船速の平均誤差は変わらない．しかし，測定 された Vgps のベクトルを n 個平均すれば，標本 平 均 の 標 準 偏 差 は，∆Vgps の 分 散 を VAR と し て，（VAR/n）１/２_{と小さくできる．通常は，船速ベ} クトルを平均化するのではなく，測定された緯 度・経度をあらかじめ平均化する．結果は同じで ある． 冒頭で述べた ADCP による海流観測において は，連続する複数の緯度・経度を平滑化して得た x,y を計算に用いる．また，通常は時間間隔 T を ５分とすることが多い．仮に n＝２０，σ０＝５０m と すると，真船速 V０が５m/s（１０ノット）の場合 の GPS 船速の誤差の平均と標準偏差は，０．７± ３．５cm/s（０．１ノット以下）となる．これは，海 流の速度を求めるうえで使用に耐えうる大きさで ある．σ０＝を５０m と し，T が３０，１２０，３００秒， n が５，１０，２０個の場合における，∆Vgps の平均 と標準偏差（±１σ）を Fig．８に示す． ４ GPS 測位の異方性（非“等方性”） 前節までは，GPS 測定値の平均を原点にとっ たとき，原点からの東西・南北方向の距離 x と y は独立な確率変数（x と y は無相関）とし，それ ぞれの標準偏差σx と σy は等しいと仮定した． この仮定の妥当性を，陸上に固定した GPS 受信 機で測定した緯度・経度の測定データの実例から 調べた．使用したデータは，旧運輸省の電子航法 研究所のホームページに掲載された，２０００年５ 月２日の SA（Selective Availability）の解除前後 に５秒間隔で測定されたものである．SA の解除

Fig.5 The difference between the mean value of

meas-ured distance E[ud]and the real distance R, for 5

前（SA−ON）と解除後（SA−OFF）について， それぞれの期間の平均位置（原点）からの距離自 体とその X（東西），Y（南北）成分の散 布 図 と 頻度分布図を見る． Fig．９に，SA−ON の状態での，測定位置の散 布図と X，Y 方向の距離の頻度分布を示す．頻度 分布は正規分布と言い難い．散布図に示すように X と Y の相関係数は−０．４３とかなり大きく，σx ＝１１．８m，σy＝１３．５m でσy＞σx の た め，原 点 の廻りに円状に散布しない．なお，測定位置の原 点からの距離の平均と標準偏差は１５．５±９．０m である．Fig．１０に X，Y，原点からの距離の約６５ 分間の時系列を示す．スパイク状ノイズは無視す ると，５∼１０分程度の周期的変化があるように見 える． SA−OFF の 状 態 に つ い て も 同 様 に，結 果 を Fig．１１，Fig．１２に 示 す．SA−ON の 時 と 比 較 す るため，データ個数は解除直後から同じ（N＝ ７７８）だけ採った．散布図に示すように X と Y の 相 関 係 数 は０．２１，σx＝０．９m,σy＝１．７m で，測 定位置の原点からの距離の平均と標準偏差は１．７ ±０．９m となる．測定位置は原点の廻りに，南北 方向を長軸とした楕円状に散布する．測定精度自 体は，SA−ON 時と比べて格段に高くなってお り，Fig．１２の時系列（Fig．１０と同じスケールで 表示）からもわかる．Fig．１２も短周期変化の存 在を窺わせるが，その振幅は極めて小さい． な お，SA−OFF 時 の 全 デ ー タ（N＝２２１１）を

Fig.6 Relations of the difference between GPS velocity Vgps and the real velocity V０（in

knots）,as functions of V０. Five panels show cases for different time intervals ;

使 用 し た と き の X と Y の 相 関 係 数 は−０．０９ （Fig．１３）となり，長期間のデータを使えば相関 係数は零に近づくと推測される．しかし，その場 合でもσx≠σy であれば，散布図は原点の廻りに 円ではなく，楕円状に分布する．かりに X と Y の相関係数が零と見なせる場合でも，σy≠σx で あれば前節の結果をそのまま適用することはでき ない．ここに挙げた例のほか，日本国内の陸上固 定点における GPS 測位データの分布に関して， 顕著な異方性は観察されないもの（Fukuda et al ., ２００４）や，南北方向の標準偏差が東西方向の２倍 以上であった例（道田，２００３）など，さまざまな 報告がある．GPS 測位の限られた時間内の異方 性の原因としては，位置測定に使用した GPS 衛 星の数や配置状況がとりあえず思いつくが，更に 考察が必要である． ５ まとめ GPS で測定される緯度・経度のそれぞれが， 標準偏差の等しい正規分布に従い，独立（無相 関）と す る．こ の と き，GPS 船 速 Vgps の 精 度 は，GPS 自体の測定精度に依存するとともに， 真船速 V０，測定時間差 T 及び平均個数 n に依存 する．船速 Vgps の期待値は，常 に V０よ り も 大 きい．GPS による船の測定位置から求めた進行 方位は平均的には真の進行方向と一致する． ADCP を用いた海流観測において，GPS 船側 の誤差と同様に，対水船速の誤差もランダムであ れば，両者のベクトル引き算で得られる ADCP 流速の誤差もランダムであり，ADCP 流速の期待

値は真値よりも大きく，流向の期待値は真の流向 に等しいと考えられる． 陸上固定点での GPS 測定位置にはσx≠σy と なる，異方性（非”等方性）の例が見られるが， 異方性 が あ る 場 合 の GPS 船 速 の 誤 差 に つ い て は，さらに考察が必要となる． 最後に適切なご指摘をいただいた匿名の両査読 こん 者に感謝致します．また，航法測地室の金 敬洋 氏には一部の図の作成に協力をいただき，感謝し ます．

Fig.8 Same as Fig.7,except for cases with a fixedσ０=50

m. Panels show cases for different time interval T, while curves in each panel represent the mean value together with upper and lower limits of

stan-dard deviation（±1σ）for different numbers of data

to be averaged in velocity calculations.

Fig.9 GPS positioning data observed every 5 second at a fixed point for 65 minutes during the period when the selective availability（SA）was applied（SA− ON）on May 2,2000,based on the data made avail-able on the website of the Electronic Navigation Re-search Institute of the former Ministry of Trans-port.

The number of data was 778.Distribution around the origin, the averaged point（top）,histograms for zonal distance from the origin（the second top）,and that for meridional distance（the third top）,and his-togram for the distance from the origin（bottom）.

要 旨 海上において船舶搭載型 ADCP により流速測 定を行うとき，船の地球に対する速度（対地船 速）を知る必要がある．現在は，GPS で測定し た緯度・経度から求めた２点間の距離と移動時間 から対地船速（GPS 船速）を算出するのが一般 的である．本稿では GPS 船速の誤差が ADCP 流 速に及ぼす影響について考察した．GPS で測定 した位置は，真の位置の周囲に２次元正規分布に 従う確率変数と仮定する．測定位置と真位置の間 の東西距離（x）と南北距離（y）につ い て，両 方向の標準偏差が等しい（σx＝σy）とき，２測点 間の距離の期待値は真距離よりも大きい．その結

Fig.10 Time series of observed deviation from the aver-aged position during the same period of Fig.9（SA −ON）.The zonal（top）and meridional components

（middle）,and the range from the origin（bottom）.

Fig.11 Same as Fig.9,except for the period when the SA was canceled（SA−OFF）,on the same day.778 data after the SA was off were used, so that the same number of data as Fig.9 are plotted.

果，計算される GPS 船速も真値よりも大きくな る．その差は GPS の測位精度に依るほか，船速 計算の時間間隔と真船速自体にも依る．GPS 船 速の誤差は”単発”では，大きな流速誤差をもた らすが，何十個の GPS 船速を平均すれば，誤差 は充分小さくできる．なお，陸上固定点での GPS 測定位置にはσx≠σy となる，異方性（非”等方 性”）の例が見られる．このような異方性がある 場合の GPS 船速の誤差については，さらに考察 が必要となる． 参考文献

Fukuda, A, K. Miwa, E. Hirano, M. Suzuki, H. Higuchi, E. Morishita, D. J. Anderson, S. M. Waugh and R. A. Phillips（２００４），BGDL−II −A GPS data logger for birds, Mem. Natl Inst.

Polar Res., Sp. Issue５８，２３４‐２４５．

石井春雄（１９９３），新しい流速測定法に基づく黒 潮・亜熱帯循環系の流動場の研究，東北大学 博士論文，pp１０６． 石井春雄（１９９９），アルゴスブイの移動速度の見 積り誤差について，水路部研究報告，３５，７３ ‐７８．

Joyce, T. M．（１９８９）：On in situ ‘calibration’of ship-board ADCPs, J. Atmos. Oceanic Tech., ６，１６９ ‐１７２．

Michida, Y. and H. Ishii（２０００），A practical method of current measurement with three−

beam type shipmounted ADCP, J. Adv. Mar. Sci.

Tech. Soc.,６，２９‐４４．

道田豊（２００３），位置追跡浮子を用いた海洋表層 の粒子分散過程に関する研究，平成１４‐１５年

Fig.13 Distribution of the GPS data around the averaged position, same as the top panel of Fig.11（SA− OFF）,except for the data number（N=2211）.

度 科学研究費補助金研究成果報告書，pp ４３．

Pollard,R. and J.Read（１９８９），A method for calibrat-ing shipmounted acoustic Doppler profilers and the limitations of gyro compasses, J.

At-mos. Oceanic Tech.,６，８５９‐８６５．

柴田文明（１９９６），確率・統計 ，pp２１７，岩波書 店． 高橋磐郎・小林竜一・小柳芳雄（１９９２），統計解 析（改訂版），pp２３３，培風館． 附録１ 確率変数 X 及び Y が正規確率変数であれば， それらの任意の一次結合“aX＋bY”も正規であ る．X と Y の間に相関が無ければ，期待値を E， 分散を V とすると

期待値 E（aX＋bY）＝aE（X）＋bE（Y） 分散 V（aX＋bY）＝a２_V（X）＋b２_V（Y）

本 文 の X＝X１−X２は，a＝１，b＝−１の と き で あり， E（X１）＝E（X２）＝０； V（X１）＝V（X２）＝σ０２． よって E（X）＝E（X１）−E（X２）＝０． V（X）＝V（X１）＋V（X２）＝２σ０２． 附録２ Fig.A１で， d＝（R２_＋r２_＋２xR）１/２ d の期待値を E［d］とおくと E［d］＝! !# # （R２_＋r２_＋２xR）１/２ dx/２r. a＝（R２_＋r２_{）/２R とおくと} E［d］＝（２R）１/２! !# # （x＋a）１/２ dx/２r ＝（２R）１/２_{｛（a＋r）}３/２_{−（a−r）}３/２_｝． r≦R のとき E［d］＝R＋r２ /３R. r≧R のとき E［d］＝r＋R２_/３r. 附録３

udの期待値を E［ud］は，exp（−u２/２）＝p とおくと

E［ud］＝!

! $"

（uR＋u２/３uR）up・du＋!

$" " （u＋u２R/３u）up・du ＝uR! ! $" up・du＋! ! $" u３ p・du/３uR＋! $" " u２ p・du＋u２R! $" " p・du/３ ＝!＋"＋#＋$． ここで，q＝exp（−u２R/２），s＝（π/２）１/２とおくと

E［ud］＝u（１−q）R ＋１/３uR−q（uR＋２/uR）/３

＋s−! ! $" u３_p・du＋u R ２ （s−! ! $" p・du）/３ 上式の２つの積分項は，初等関数で表せないた め数値積分によった．Fig.A２に，uRに対する E［ud］，!＋"，#＋$の変化を示す．

udの分散 V［ud］は，u２dの期待値を E［u２d］とおく

と，統計学の定理から V［ud］＝E［u２d］−（E［ud］）２

V［ud］＝E［u２d］＝!

$" " u２dup・du ＝! ! $"

（uR＋u２/３uR）２up・du＋!

$" "

（u＋u２R/３u）２up・du

＝!＋"＝!１＋!２＋!３＋"１＋"２＋"３．

Fig. A 1 Relations of values described in Appendix 2,for the case of r≦R（top）andr≧R（bottom）.

ここで，

!１＝u（１−q）２R ；!２＝２｛２−（u２R＋２）q｝/３

!３＝｛８/u２R−（u２R＋４＋８/u２R）q｝/９

"１＝（u２R＋２）q；"２＝２u２Rq/３ "３＝u４R! $# ! （p/u）du/９ ＝u４｛!R ! ! （p/u）du−! ! $# （p/u）du ｝/９ ＝u４（A−B）R /９ 上記"３の!（p/u）du の定積分（A と B）は数 値積分によったが，分母に u があるため，u の分 割幅∆u の大きさによって積分値は変わる．しか し，∆u の大きさにかかわらず，区間［０，u］で の積分値は積分上限が u＝６程度でほとんど収束 する． ! ! ! （p/u）du＝! ! "! （p/u）du ＝A と し て，収 束 値 A から積分区間［０，uR］の B を差し引くと∆u の 大きさに依らず，ほとんど同じ値を得る． 附録４ Fig.A３で

tanθ＝u・sinφ/（uR−u・cosφ）＝sinφ/（uR/u−cosφ）

θ＝tan−１_{sinφ/（u

R/u−cosφ} 期待値 E［θ］＝! ! "! θ・dφ/２π ＝! ! "!

tan−１_{sinφ/（u

R/u−cosφ}dφ/２π

φ＝０∼π の範囲（このときの θ を θ＋と 表 す）で

は sinφ≧０で あ る の に 対 し．φ＝π∼２π（θ−）で

は，sinφ≦０．θ＋のときとθ−のときでは，sinφ の

符号が変わるので，期待値 E［θ］＝０．

分散は V［θ］＝E［θ２_］−（E［θ］）２_＝E［θ２_］

或る uR, u に対するθ２の期待値をθ２＊とすると E［θ２_］＝! ! ! θ２＊u・exp（−u２/２）du u, uRを０から充分に大きな値を与えて，θ２＊を数 値積分で求める．

Fig. A 2 Dependence of E[ud],!+",and#+$upon the changes of uR, as

de-scribed in Appendix 3.

Fig. A 3 Realations of the values in the description in Appendix 4.