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(1) cos A,cos B

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(1)

平成 23 年度 熊本大学2次試験前期日程 ( 数学問題 )120 文系 ( 教育学部,医学部保健学科看護学専攻 ) 平成 23225

1

四角形

ABCD

において,

AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = x, BD = y

とする。以下の問いに答えよ。

(1) cos A,cos B

,cos

C,cos D

a,b,c,d,x,y

を用いて表せ。

(2)

四角形

ABCD

が円に内接するとき,

xy = ac + bd

が成り立つことを示せ。

2 2

つの整数の平方の和で表される整数の集合を

A

とする。以下の問いに答えよ。

(1)

集合

A

のある要素

a

2

+ b

2

(a, b

は整数

)

3

で割り切れるとき,

a

b

はと もに

3

で割り切れることを示せ。

(2) x

を整数とする。

9x

が集合

A

の要素であるとき,

x

は集合

A

の要素であ ることを示せ。

3 2

つの放物線

C

1

: y = x

2

C

2

: y = x

2

+2x 1

2

を考える。点

A (

t, t

2

+ 2t 1 2

)

における

C

2の接線を

`

とする。以下の問いに答えよ。

(1) `

C

1との交点の

x

座標を,tを用いて表せ。

(2)

A

x

座標を

t = 1 +

2

2

とするとき,第

1

象限において

`

C

1および

y

軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

(2)

4

平行六面体

OADB-CEGF

において,辺

OA

の中点を

M,辺 AD

2 : 3

に 内分する点を

N

,辺

DG

1 : 2

に内分する点を

L

とする。また,辺

OC

k : 1 k (0 < k < 1)

に内分する点を

K

とする。このとき,以下の問いに答 えよ。

(1) −→

OA = ~a

−→

OB = ~b

−→

OC = ~c

とするとき,

−−→

MN

−→

ML

−−→

MK

~a

~b

~c

を用 いて表せ。

(2) 3

M

N

K

の定める平面上に点

L

があるとき,

k

の値を求めよ。

O A

B D

C E

F G

(3)

解答例

1 (1)

余弦定理により

cos A= a

2

+ d

2

y

2

2ad

cos B= a

2

+ b

2

x

2

2ab

cos C= b

2

+ c

2

y

2

2bc

cos D= c

2

+ d

2

x

2

2cd

y x

A

D

B C

a

b

c d

(2)

四角形

ABCD

が円に内接するとき,

B +D = 180

より

cos B +cos D = 0 (1)

の結果をこれに代入して

a

2

+ b

2

x

2

2ab + c

2

+ d

2

x

2

2cd = 0

したがって

(ab + cd)x

2

= cd(a

2

+ b

2

) + ab(c

2

+ d

2

)

x

2

= (ac + bd)(ad + bc)

ab + cd · · · 1

同様に,

cos A + cos C = 0

(1)

の結果を代入して

a

2

+ d

2

y

2

2ad + b

2

+ c

2

y

2

2bc = 0

したがって

(ad + bc)y

2

= bc(a

2

+ d

2

) + ad(b

2

+ c

2

)

y

2

= (ab + cd)(ac + bd)

ad + bc · · · 2

1

2

より

x

2

y

2

= (ac + bd)

2 よって

xy = ac + bd

(4)

トレミーの定理

複素数平面上に

4

A(α)

B(β)

C(γ)

D(δ)

をとる.このとき次式が成り立つ.

β)(γ δ) + (α δ)(β γ) = (α γ)(β δ)

したがって

| α β || γ δ | + | α δ || β γ | = | α γ || β δ |

よって,次の定理

(トレミーの定理)

が成り立つ.

AB · CD + AD · BC = AC · BD · · · ( ) A(α)

D(δ)

B(β) C(γ)

とくに,

( )

で等号が成立するとき,正の実数

k

を用いて

k(α β)(γ δ) = (α δ)(β γ)

ゆえに

δ α

β α · β γ δ γ = k

したがって

arg δ α

β α + arg β γ δ γ = π

δαβ + ∠ βγδ = π

すなわち

∠ DAB + ∠ BCD = π

よって,

4

A

B

C

D

が同一円周上にあるときに限る.

(5)

2 (1) k

を整数とすると

(3k)

2

= 3 · 3k

2

, (3k ± 1)

2

= 3(3k

2

± 2k) + 1

したがって,a2

+ b

2

3

で割り切れるのは,a,bがともに

3

で割り切れ るときに限る.

(2) 9x A

のとき

a

2

+ b

2

= 9x = 3 · 3x

をみたす整数

a,b

が存在する.このとき,a2

+ b

2

3

で割り切れるから,

(1)

の結論により,

a = 3p

b = 3q

をみたす整数

p

q

が存在し

(3p)

2

+ (3q)

2

= 9x

ゆえに

p

2

+ q

2

= x

よって

x A

3 (1) y = x

2

+ 2x

12 を微分すると

y

0

= 2x + 2

A (

t, t

2

+ 2t

12

)

における接線

l

の方程式は

y

(

t

2

+ 2t 1 2

)

= ( 2t + 2)(x t)

すなわち

y = ( 2t + 2)x + t

2

1

2 l

C

1の交点の

x

座標は

x

2

= ( 2t + 2)x + t

2

1

2

よって

x = t + 1 ± 2t 1

2 (2) t = 1 +

2

2

のとき,`の方程式は,(1)の結果から

y =

2x + 1 + 2

また,

`

C

1の交点の

x

座標は

x = 1, 1

2

右の図から,求める面積を

S

とすると

S =

1 0

{ (

2x + 1 +

2) x

2

} dx

= [

x

3

3

2

2 x

2

+ (1 + 2)x

]

1

0

= 2 3 +

2 2

O y

x 1

C

1

`

1+

2

(6)

4 (1) −−→

MN = −−→

MA + −→

AN

= 1 2

~ a + 2 5

~ b

−→ ML = −−→

MA + −→

AD + −→

DL

= 1 2

~ a + ~ b + 1 3

~ c

−−→ MK = −−→

MO + −→

OK

= 1 2

~ a + k~ c

O A

D B

C E

F G

M

2 N 3

1 2 L

k 1 k

K

(2) 3

M

N

K

を通る平面を

α

とする.

α

上の点

P

の位置ベクトル

~p

は,

(1)

の結果から,実数

s

t

を用いて

~p = −−→

OM + s −−→

MN + t −−→

MK

= 1 2 ~a + s

( 1 2 ~a + 2

5 ~b )

+ t (

1 2 ~a + k~c

)

= 1

2 (1 + s t)~a + 2

5 s~b + tk~c · · · ( )

L

の位置ベクトルは,

~a +~b + 1

3 ~c

であるから,

L

α

上の点であるとき,

~a

~b

~c

1

次独立であるから

1

2 (1 + s t) = 1, 2

5 s = 1, tk = 1 3

これを解いて

s = 5

2

,t

= 3

2

,k

= 2

9

参照

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