物理数学及び演習

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物理数学及び演習

年度 前期) 定期試験問題

年

月

日

以下で，表記

は、空間に固定した右手系の直交直線座標系

に対するベクトル

の

成分がそれぞれ

，A

，A

であることを意味します．図の長さや角度は正確ではありません．単位は【5】以外は省 略してあります．

【1】直交直線座標系についての座標が次のように与えられた点

がある：

A : (0,1,0), B : (1,2,2), C : (0,2,0), D : (0,0,2), E : (2,2,2). 1.

点

にある物体

を、点

に向かって大きさ

6

の力

で引っ張り，点

に向けて大きさ

の力

で引っ 張る．この物体

にさらに力

を加えると力がつりあって物体

が静止した．

を求めなさい．

2.

等速度運動をしている物体

が時刻

に点

を通過し，時刻

に点

を通過した．任意の時刻

にお ける物体

の位置ベクトルを書き表しなさい．

3. 3

点

を含む平面を

とする。H の方程式を求めなさい．

4.

物体

が平面

を横切る時刻を求めなさい．

【2】

軸を回転軸として，そのまわりに自由に回転できる円板がある。図に示す ように，円板の

( 0,2,1

)

の位置に力

0,4,3 )

を加え,

0,−1, −1 )

の位置に力

0,−5,−2 )

を加えた．この円板に働く原点 の回りの力のモーメントを求めなさい．また，この円板は

軸のまわりに，

時計回りに回り始めるか，反時計回りに回り始めるか，あるいは静止したま まかを答えなさい．

x y

z

ᤨ⸘࿁ࠅ

෻ᤨ⸘࿁ࠅ

rr1

rr2

F2

r

F1

r

【3】質量

の物体が

軸上を運動している．時刻

に物体にはたらく力

成分) は

F_x(t) = {

0 ; (t≤0

または

である. 時刻

で物体は原点

を通過し、時刻

での速度

成分) は

であった.

1.

時刻

での物体の速度

と位置

を求めなさい.

2.

時刻

での物体の速度

と位置

を求めなさい.

【4】時速

は秒速何

か。小数点以下

桁まで求めよ。

【5】点

を座標系の原点にとり，z 軸を鉛直上向きにとる．点

から

の高さにある点

から，

質量

のボールを、初速度の大きさ

で水平面と

6

の角度に投げる．ただし、重力加 速度の大きさを

とし、空気抵抗は無視する。x 軸は水平にとり，ボールは

平面内を運動 するとする．

1.

投げた後、(地面に落ちるまでの) 時刻

におけるボールの位置を求めよ。

2.

ボールが地面に落ちる時刻と、落下点の位置を求めよ。

【6】

軸上で原点を中心に単振動を行う物体

を考える．時刻

で物体

は原点を通過し、

その後、初めて原点を通過した時刻は

であった。時刻

の物体

の座標

座標) は

2

であった。この物体の任意の時刻

での

座標

を求めなさい．

O x

h

A

物理数学及び演習I (2014年度 前期) 定期試験 略解

【1】 1. −→

AB = (1,1,2)，−→

AE = (2,1,2)より F~B=

√6

|−→

AB|

−→AB = (1,1,2), F~E= 3

|−→

AE|

−→AE = (2,1,2) (1)

となる．力がつりあっているので

F~B+F~E+F~ =~0 (2)

より

F~ =−F~B−E~E= (−3,−2,−4). (3) 2. 物体Qの位置ベクトルを~rQ(t)とすると，問題の条件より以下を得る

~rQ(t) =−→

OA + t 2

“−→

OB−−→

OA

”

=

“t 2, t

2+ 1, t

”

, (4)

ただしOは座標系の原点を表す．

3. 3点C, D, Eを含む平面と直交するベクトルは−→

CD×−→

CE =−4(1,−1,−1)となるので，平面Hを表す方程式は 0 = (x , y−2, z)·(1,−1,−1) =x−y−z+ 2 (5) となる．

4. 物体Qが平面Hを横切る時刻をt=t1 とすると

0 =xQ(t1)−yQ(t1)−zQ(t1) + 2 =t1

2 −t1

2 −1−t1+ 2 = 1−t1 (6) よりt1= 1となる．

【2】 原点の回りの力のモーメントN~ は

N~ =~r1×F~1+~r2×F~2= (2,0,0) + (−3,0,0) = (−1,0,0) (7) となる．N~ はx軸の負の向きを向いているので，円板はx軸の回りに 時計回り に回転を始める．

【3】 物体の加速度のx成分はax(t) =Fx(t)/mとなる．

1. 0< t≤3で

vx(t) =vx(0) + Z t

0

ax(t⁰)dt⁰= 7 + Z t

0

2dt⁰= 7 + 2t , 0< t≤3. (8) また，

x(t) =x(0) + Z t

0

vx(t⁰)dt⁰= 0 + Z t

0

(7 + 2t⁰)dt⁰=ˆ

7t⁰+ (t⁰)²˜t⁰=t

t0=0= 7t+t², 0< t≤3. (9) 従って

vx(3) = 13, x(3) = 30. (10)

2. 3< tでは

vx(t) = vx(3) + Z t

3

ax(t⁰)dt⁰=vx(3) + Z t

3

0dt⁰=vx(3) = 13, 3< t . (11) また，

x(t) =x(3) + Z t

3

vx(t⁰)dt⁰=x(3) + Z t

3

13dt⁰= 30 +ˆ 13t⁰˜t⁰=t

t⁰=3= 30 + 13(t−3) = 13t−9, 0< t≤3. (12) 従って

vx(6) = 13, x(6) = 69. (13)

【4】 1h = 60 min. = 60×60 sなので

40 km/h = 40×10³

60×60 m/s =100

9 m/s = 11.1 m/s. (14)

【6】 時刻t= 0にボールを投げるする。

1. ボールの位置は地面に衝突するまでは x(t) =v0cos(θ)t=

√3

2 v0 t , z(t) =h+v0sin(θ)t−g

2 t²=h+v0

2 t−g

2 t² (15)

と表される．

2. ボールが地面に落下する時刻をt=t1 とすると，

0 =z(t1) =h+v0

2 t1−g

2 t²1=−g 2

„ t²1−v0

gt1

«

+h=−g 2

„ t1−v0

2g

«2

+v²₀

8g+h (16)

より，

t1=v0±p

v²₀+ 8gh

2g (17)

となるが，t1>0なので，ボールが地面に落ちる時刻は t1=v0+p

v²₀+ 8gh

2g (18)

となる。また，落下点の位置は x(t1) =

√3 2 v0 t1=

√3v0(v0+p

v²₀+ 8gh)

4g , z(t1) = 0 (19)

となる．

【6】

x(t) =Acos (ωt) +Bsin (ωt) (20)

とおいて，条件よりA, B, ωを決める．

0 =x(0) =A (21)

より

x(t) =Bsin (ωt). (22)

t＞0で初めて原点を通過する時刻をt1 とすると

ωt1=π . (23)

一方，t1= 4なので，ω=π/4となる．次に x(1) =Bsin

“π 4

”

= B

√2= 2√

2, ⇒ B= 4. (24)

これより

x(t) = 4 sin

“π 4t

”

(25) が得られる。