カンドルホモトピー不変量

曲面結び目のカンドルホモトピー不変量について

野坂 武史

京都大学 数理解析研究所

1

History & Motivation X:

有限カンドル

L ⊂ S³: link

前回の研究

(Fenn-Rourke-Sanderson, 1996^∗) − →

カンドルホモトピー不変量

Ξ_X(L) ∈ Z^{[ π2(BX) ]}

− −−−

− −−→ − −−

導出

−−

−→ − −−−^導出

−−−−→

導出

−−−−−−−−

−−−−→^導出 quandle

cocycle invariant

(Carter -Jelsovsky -Kamada -Langford -Saito, 1999^∗)

generalized cocycle

invariant

(Carter

-Elhamdadi -Gra˜na

-Saito, 2004)

shadow cocycle invariant

(Carter -Kamada -Saito, 2001)

symmetric cocycle

invariant

(Kamada

-Oshiro, 2010^∗)

今回の結果

X:

有限カンドル

L ⊂ S⁴: oriented surface link

知りたい

(N)

カンドルホモトピー不変量

Ξ_X(L) ∈ Z^{[ π}₃^{Q(BX) ]}

− −−−

− −−→ − −−

導出

− −−

−→ −−−^導出

−−−−→

導出

−−−−−−−−

−−−−→^導出 quandle

cocycle invariant

(Carter -Jelsovsky -Kamada -Langford -Saito, 1999^∗)

generalized cocycle

invariant

(Carter

-Elhamdadi -Gra˜na

-Saito, 2004)

shadow cocycle invariant

(Carter -Kamada -Saito, 2001)

symmetric cocycle

invariant

(Kamada

-Oshiro, 2010^∗)

3

定理Ａ 有限

について

3 (BX)

は 有限生成

系

各種の

不変量

の基底は有限個

定理Ｂ

有限カンドル

の連結成分の数

=⇒ dim!

π₃^Q(BX) ⊗ Q"

= ^l(l−1)(l₃ ⁻²⁾.

特に

が連結ならば

3 (BX)

は有限アーベル群

系

^係数の

^各種の

^不変量

^は

l-

連結成分の

の情報しかない

定理Ｃ

X: Z^[T±]-

^加群

X

が レギュラー とし

が奇数

2 (X; Z^{) ∼= 0}

=⇒

π₃^Q(BX) ∼= H₄^Q(X; Z^).

系

不変量

不変量の線形和

系 二面体カンドル

∀cocycle

不変量

cocycle ^不変量

$

例

は 奇数次の既約多項式

=望月⇒ H₂^Q(X; Z^{) ∼= 0.}

^{※ 課題：}

^の計算

5

目次

§1

や

の復習

§2 Quandle homotopy

不変量の定義

§3

定理

の概証

Quandle (X, ∗)

とは





X :

集合

∗ : X × X −→ X

で次をみたすもの

• ∀ x ∈ X, x ∗ x = x

• ∀ y ∈ X, • ∗ y : X −→ X

は全単射

• ∀ x, y, z ∈ X, (x ∗ y) ∗ z = (x ∗ z) ∗ (y ∗ z)

Ex. Alexander quandle ( M, ∗ ) M : Z^{[T, T −1]-module}

x ∗ y ^def= y + T (x − y)

y a x x y∗

T a

a

(• ∗ y)= y

による

等分点

7

L: Link ⊂ S⁴

Link quandle

とは

Q_L ^def= {^* −→ (S⁴, L)}/homotopy

∞

=== def

*

2

項演算

∞ ∞

X: quandle

D: an oriented link diagram of L R^{4 ⊃ L proj.−→ D ⊂} R³

D

の

とは写像

の

で各

で次を満たすもの

β

α

γ

C(α) ∗ C(β) = C(γ)

性質

• Hom_Qnd(Q_L, X) −→ {^1:1 D

^の

• (Inoue) X = Z^p[T ]/(h(T ))

^の

^のとき

^の

^は

^{多項式から計算可}

9

Quandle space BX^{Q def}= (

(d-skeleton)

1-skeleton 2-skeleton = ((a, b)-cells)∪1-skeleton

... ........

X - a

X - b

a

b b

a ∗ b

3-skeleton = ((a, b, c)-cells) ∪

) (a, a)-cell ^に 貼る 3-cone

*

∪ 2-skeleton

a b b

a ∗ b

c c c

b ∗ c (a ∗ b) ∗ c

a a

注「

^に貼る

^{」を抜くと}

Fenn-Rourke-Sanderson

^の

^である

Quandle homotopy invariant Ξ_X(L) ^def= +

coloring C

[ξ_D,C] ∈ Z^[π3(BXQ)]

ここで、

,

図式

X-coloring C

に対して

ξ_D,C : S³ −−→ BX^Q

^を

の双対分割から次で定める

a −−→ (a)-cell

a

b

b

a∗b

−−→ (a, b)-cell

−−→

a a

(a, b, c)-cell

−−→

11

Quandle homotopy invariant Ξ_X(L) ^def= +

coloring C

[ξ_D,C] ∈ Z^[π3(BXQ)]

ここで、

,

図式

X-coloring C

に対して

ξ_D,C : S³ −−→ BX^Q

^を

の双対分割から次で定める

a −−→ (a)-cell

a

b

b

a∗b

−−→ (a, b)-cell

−−→

a a

(a, b, c)-cell

−−→

事実

L ⊂ S⁴

が有向曲面のとき

branched point

のない図式を取る事が出来る

∴ ^{ξD,C : S3 −−→ BX &→i BXQ}

^{と分解する}

[ξ_D,C] ∈ i_∗(π₃(BX)) =: π₃^Q(BX) ⊂ π₃(BX^Q)

知りたい

− →

Def [CEGS] φ ∈ H³(BX^Q; A) = H_Q³ (X; A)

とする

Quandle cocycle invariant

とは

Φ_φ(L) ^def= +

coloring C

. φ , (ξ_D,C)_∗[S³]/ ∈ Z^[A]

13

定理Ａ 有限

について

3 (BX)

は 有限生成

系

各種の

不変量

の基底は有限個

問

を遍く抽出する

不変量の局所系は何か

定理Ｃ

X: Z^[T±]-

^加群

^が奇数

(1 − T )X = X, H₂(BX^Q; Z^{) = H2Q(X;} Z^{) ∼= 0}

|X|

と

が互いに素

=⇒

π₃^Q(BX) ∼= H₄^Q(X; Z⁾ ! ^[CKS]_∼

= H₃^Q(X; Z^.X/) "

.

系

不変量

不変量の線形和

∀cocycle

不変量

不変量の線形和

§2 π₃(^BX-⁾

^{の有限生成性}

^定理

Fact 1 W:

位相モノイドで有限型な複体

^{は有限生成}

或る被覆空間

に位相モノイド構造が入る

G = Inn(X) = . • ∗ x /x∈X ⊂ S_|X|. B_GX = (

n≥0

!G × ([0, 1] × X)ⁿ"

/ ∼

(y;t₁, x₁, . . . , x_j−1,1, x_j, t_j+1, . . . , t_n, x_n) ∼ (y·x_j;t₁, x₁∗x_j, . . . , t_j−1, x_j−1∗x_j, t_j+1, x_j+1, . . . , t_n, x_n), (y;t₁, x₁, . . . , x_j−1,0, x_j, t_j+1, . . . , t_n, x_n) ∼ (y;t₁, x₁, . . . , t_j−1, x_j−1, t_j−1, x_j+1, . . . , t_n, x_n).

µ : (G × [0, 1]ⁿ × Xⁿ) × (G × [0, 1]^m × X^m) → G × [0, 1]^n+m × X^n+m, µ([g; t₁, . . . , t_n, x₁, . . . , x_n], [h; t¹₁, . . . , t¹_m, x¹₁, . . . , x¹_m]) :=

[gh;t₁, . . . , t_n, t¹₁, . . . , t¹_m, x₁ · h, . . . , x_n · h, x¹₁, . . . , x¹_m],

15

π₃^Q(BX) ⊗ Q ⁽

^定理

Fact 3 (Milnor-Moore) W:

位相モノイドで有限型な複体

^は

^{ホップ代数}

^の原始

^{に一致する}

連結成分が

^個の有限

^について

定理

^の証明の

π₃(B_GX) ⊗ Q)"

= ^{(l−1)l(l+1)}₃ .

あとは写像

^{を見ればよい}

=⇒ dim!

π₃^Q(BX) ⊗ Q"

= ^l(l−1)(l₃ ⁻²⁾.

§4

^定理

^の証明

Fact 4(Arlettaz-Tischler) W

^{を位相モノイドで}

Postnikov

^不変量

^は

^{二倍で消える}

定理

^{の証明 の}

Assume H₂^Q(X; Z) = 0 & |X|

^が奇数

BX. ₃: π₄(BX), π₅(BX), · · ·

^{をセル消したもの}

Fact 4

=⇒

! .BX₃"

2_(p) K(π₃(BX), 3) × K(π₂(BX), 2), (p > 2).

∴ π₃(BX) ∼= H₃(BX. ; Z) ⊕ Z /2 Z .

17

X: Z[T^±]-

^加群で

X

がレギュラーであるとは

^であり

|X|

^と

^{が互いに素}

命題

=⇒

π₁(BX) = Adj(X)∼= X ! Z.

^ここで

^は

^{倍で作用する}

X ! Z −→ X ! Z /e Z = Inn(X)

^を通じて

被覆を

^{と分解する}

transfer

=⇒ H_n(B_GX; Z) ∼= H_n(B_XX).

補題

補題

∵ f : S¹ −→ B_GX

^{を生成元とする}

S¹ × BX. −→^f×p B_GX × B_GX −→^◦ B_GX. #

∴ π₃(BX) ∼= H₃(BX. ; Z) ⊕ Z /2 ∼= H₄^Q(X; Z) ⊕ Z /2.

∴ π₃^Q(BX) ∼= H₄^Q(X; Z). #

19

まとめ

Ξ_X(L) ∈ Z^[π3Q(BX)]

^は

不変量の親玉

=⇒

π₃^Q(BX)

の自由・捩れ部分群を計算した

古典的結び目の結果

L ⊂ S³ link

Ξ_X(L) ∈ Z^[π2Q(BX)]

^は

不変量の親玉

X:

レギュラー

は奇数

=⇒

π₃^Q(BX)

は

3 (X; Z⁾

^{の直和因子}

系

不変量

不変量の線形和