Uber Eiflachen und Eikurven (II)

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Uber Eiflachen und Eikurven (II)

著者 MATSUMURA Soji

journal or

publication title

奈良学芸大学紀要

volume 1

number 3

page range 181‑183

year 1952‑03‑20

URL http://hdl.handle.net/10105/5175

(I) Aus des Verfassers Arbeit(l) kann ^man wissen, dasz

1 ? o^ ,

(1) i; \'," ^-3 =t

entsteht;daraus foigt

1 r q- ,t|t',

(2) F ^{\;"( |} +i _)d''=r

oder

I t o- hl'

(3) * \;" v*=n.

Aus

(4) i-\i=]a,>,

folgt

1 lr,

(5) dr\; ^lapo.pde-1

oder

I [so- -l

(6) _{2" ]} ;'fl+P":PJ ^dqsr

oder

J f ^2r --:b":P)+(!'":P)2

\t) Z" ]o

".-(p":p)3 + "'+ (-1)71pl:p\r +.-.Idq1(t, Wenn p.'p= const. immer ist, so folgt

(B) P:p21, ^p:P=l,

so muss p=F sein;daraus folgt d.asz

unsere Eilinie {E) ein Kreis ist, so folgt der

Satz:Gilt p: p= coitst. immcr,

nrzss (E) eiu Krcis scirr. Wir betrachten

(t)) _{\'" Jo 4}

_''''

und

( qr h

(lo) _]

" ärr,

so folgt nach Brunn's Satz ^(r)

(rr) ^(zry'g=( _\3= ',

")(\7"**).

Über Eiflächen und Iikurven ⁽ _{n )}

Soji lVIaßLIuuRa

1

Nara Gal'-ugei Universitat)

-181-

Von

7 f r 1 rt

-i I e rg='' _x- yia@=r, in des Ve rfassers Ardeit oj gilt das Gle- che.

Aus (9) urd (11) _folgt (I0)

Ans (10) und (li ) folgt (9) _.Anstatt (11) _kann (9) und (10) nach Berwald's Satz ^({) anwenden.

(I) wir ^betrachten ,i\ 1 lznP

(I) ilr'pds1r

in des Verfassers Arbeiq trl

"o ^folgt

aus (I)

(il (t'\ \.;)uo, =t'

daraus entsteht

(3) _{(P) Maß} : (o) _14;n -l

oder

(4) (P) MAx > _{(o) y;n}

Es folgt der

Satz:In der Eilbtie ist der Maximumwert ocn

p nicht kleiner als der Minimumwert zton

Aus unsern Beziehungen

I ₁ an 2_.,,^=,

(D) _{tro ] o -p} ^uQ=t,

1 t o-

(6) + \:, f,+=t

Kann rnan leicht

( 2r Dr oz

(z) (er)_=\r 1rp"d*,

\7"#h*

erhalten, denn(6)

t" '\f"'a*>\f'c'a*

(ö) _lJ t+-ßx

x \L*ra*,

Journäl of Nrra Cjal ugei l"Iniver:i1,y, r'ol. l, ^No.3 . ^]\tarch 20th' 19ö2

(1) Irkm. Irac. Sci. Ägr., ^Tarlt,.l u In,p. ^Univ., \t, 1932'S.t:8.

.r-l8r- MetsunruRa

wo

(e) _r,:!;r;, f ,:*, rr:#,ur: _Lr;

gesetzt ist.

Weiter erhalten wir ^den folgenden'?r Satz : Ist pz(,p) pz( q')>o in (e,2n1 fir ^zwei

Eilinien (Et) u.nd (E) in Re und ^besitzen t!_,k) _ _i:i\l :F(+.,0),

(10) _{I 3:i;l}

I ^ps(d - +d ^:aG,o\

fiJ,r alle e,o in p,2r) stcts dasselbe oder oerschiedene Vorztich.en, danrt ist

(1r) \i ororaufu" ororao>'oder€)

l;" ^o, o'a'\ioPzP,ds

oder

(12) 51522(oder=\ \'o ^Orora,,o

. ^* \1" o"o,ar, wc 51 und 52 der Inlmlt uon (Et) ^dzw.

(E2l sind.

Setzen wir

(r3) I: +, t: ; ,tlx:de, t,:\t, b:2r in 5chwalzsche ^Gleichung

(14) \T'0,*\!,'v)0,=

(\u"tt.lnt.v"

.1'

so folgt

ob) \i"(*)'*l l"(ä)',"=

(\i"*)'=(2")',

so folgt ⁽⁵⁾ aus (15) und (6) _{oder (6)}

aus (1.5) und (5). _Setzen wir

( fr:!t, fz:Pz,

(16) _I

' 9r-Plr .P2:p2l

in (8), so folgt

t17) _\f," o rc,ao\tu*Prr,",rr=

\ f," ^o 'ora, \n* o"r',a, oder

(rs) s,szi

_\1" o,n,tn\i"o*,ar.

Weiter eshalten wir den folgenden'6)

Satz:[st itt p(e prk)>o in ^{(O,Zo; und}

besitzen

F(e, o\,

0(p,

dasselbe (oder

120) _\i" trtr\l" tlar>(,a*=)

\i-o'u,\i"c'a*

odcr

(21) S2

=1orler<; \;"0'or\7"r'oO

wo S der Inhaltrntserer Eilinie (E)

Weiter erhalten wir die folgenden Sätze:(0)

(l) Wenn B, so wie

I Oa

(zt) _t o,-\-,"P|:"*4.:(,,,-q,r\' ^:rr

bestelt, so entstelü

t2z1 (\f," o,n,a*)(\i"o,r,o*7 -(\i"0,,,00, )(l I'o,r,a' )=,,, oder

(rB ') srsg- (\'r"t.,nra, ₎

"(\1" ^o,n,a, )=o

(2) Bestehen

1_Ik) _ _-eQ _

{ ror ) rr(r) ^p(o) ) rrc) ^p(n)

( ptui - ^p(n) : fijr alle s,o in e,Zi ^stets

acrschicdenen'i Vor zeic

s, tltnn

{ ⁽ i;- ,I",(l,i-n _l')=0,

(2.r)

1("_\?,= ₍ \ i,iär.\

-z- -/

"("-V#!)=,,

so folgt(lo)

(2ö) ^{(2^)'=} _{( \} ^fu,, rrre)(\i" #*),

(il) Besteht B in

/ ( 2r btl'2 \

(26) l-0,_ ^{I o -prbs p,}

\ /,r 2=

)

rf,-afi:>o,

so folgt

(

zr

(z*j2

= ( \ :" !u;:*) (\ _i" #ä*i

(4) Nach Brr-r,ns Satz(rI) ergibt sich

ülrcc trlifächen rrnd Eikurrcn (11) -i ^B3-

(2s) (t-)'9=( \l"tir4(\i,- ^**,),

so folgt ^(6s) aus (28) und (5) oder ⁽⁵⁾ aus(28) und ^(62).

(51 ns besteht _l

(:e) ,.= (l l'( l,)\rl

wo

1:o )

(6) _Wir

(

31)

\\i"(P;',n",10

p>

, ^_tn *i:r ^-

haben(1r)

,.=( _| l- ^(er)'a*),1

.(1,i"(*)""),+

(7) Man kann leicht wissen, dasz't'l

. 2I- \

rtt) ,l ⁽ z:r _l', ,- ^)--

\ J,, \ ,, )av )-

Ji"\u'-)::!j)'''

\i,"(,) ^u,

besteht, u. s. w.

([) Satz.' Betnrtzen, wir die. Ztichcn ut)rt Blaschlae ,Qt)ss ist ttunserc EiliniclKl tine Ku.gcl, wo in (K)

(1) p*nsHabs!rH +d, (alo,c>o,d2

o), s:Rr +Ae

gilt, dabti a,c tttt) d die K'tnstantut dccktttett,.

Beweis: Es gilt

c: _\ Oao: ^t _\ ^sH,tu, I ^ä _I ^s,/zc'+r _\ ^Hau

^+-a :)tC r 2bfu1 tcfol ' ^4r,1.

(2) O ( 1- 2zo):tbM+cM1 't;tl,

z z: _\ ^prr,tzt:

:. _\,un ^aw

^{b\ smdu 1.,} _\ n' ^a*

+a\nau, I q ([rv,r,r)n on2 /r \g

\'H-,/,,-"t

-*-' ";: ^{"Ai , (lraa,;-}

==( !.1a,3a,)' \uoa*= \rY:':!:

,

(B) BT.,= Z:fu?, zbo+fft ^alt,

,'.

-|1/L'1I:2qO

^{+ZObOn, r} rSaUr,

Oz>=3tful

(.r) 6z(L-2ü=zbtrIo | ,9ff _+avlz.

Aus (2) und ^(-1) folgt

covlt 4rdoZ#*o*,

c^,tr,o- #f ^{+ +,a I o-ff ) >}

(o-#)r,ot+ 4r,! ^>o

, n

>-''-:11 nft

- l-

(5) ^4rC=Mz

Nach Minkowski ergibt ^sich

(o) 4ro<bIz

und das Gleichheitzeichen git dann uncl

nur dann,wenn (K) eine Kugel ist, so muss nach(51 und (6) (K) Kugel sein.

(13) I)laschl.c, W. .' Iircis

I(ugt'I, leipzig, 1916.

12) Ilru11..'Ntuc Mittrlu'ertsätzc fir, l)eitimrnto fntcgralt-, Sitzungsbor al<' tr{ritrchen

l{)0?, pp,

f)t-112 ^und 33, ^1913, pP.20i-912.

(3) IIcm. l,-ac. Sc'. Ag.,'l'aihor;u ftrp.Univ., vol. V,'19J2 S. tl,$.

(4 ) Ilcrrveld, L., I'ohoku r\ftth. J:urn., 2+ (l9l 5), P.83.

(l-r) Nrl<ajimr (llatsumurrr, g'b. Nal-rjim:l) ,S., Triro)ru Xlath. _Jrluln. Vol. 18, F' 272.

( 6) Iruliu'rr.r, J\[., 'I'oholiu math. Jout'., vol

S.t93.

(7) .Fujirrara, r. ^a. O., S.232.

18) l,'ujinara, a. a. C)., S.2:2.

(9) ßcnr:rld, L,, 'l't,hoku mtth. _Jt-,urt'. 24, 1925' S. 8S.

( l0) ^Pcrrvrld, a. a. o., S.88.

(ll) Ilrrrnrr, h., Sitr-rurfrsbe1. aft. )[,ir1t'hen,:iX (1902),F.91*112, 3il (190:])' S,205-212.

(l!) TrlrasLI, T.rllist'ktlxrr grtr rt Singi' n'S.583,S.586,