2019_Boston_HP

(1)

On ﬁnite multiple zeta values

Masanobu Kaneko (Kyushu University)

(2)

Multiple Zeta Values

⇣(k

₁

, . . . , k

_r

) =

X

0<m₁<_···<m_r

1 m

k1 1

· · · m

k_r r

Here, _k_i _{2 N, k}_r _{> 1} (for convergence). Just simple real numbers!

Knot invariants，KZ equation，Quantum groups

P1 _{\ {0, 1, 1}}

Galois rep n on the fund. gp. of Mixed Tate motives

(3)

Euler オイラー（18世紀） L. Euler (1707 — 1783) • ζ(2n) = (−1)₂n−1 _(2n)!B2n (2π)2n (n = 1, 2, 3, . . .) • ζ(_{−n) = −}B_n+1n+1 (n = 0, 1, 2, . . .) ここにB_n はベルヌーイ数： x 1 − e−x = ∞ ! n=0 B_nx n n! オイラー（18世紀） L. Euler (1707 — 1783) • ζ(2n) = (−1)₂n−1 _(2n)!B2n (2π)2n (n = 1, 2, 3, . . .) • ζ(_{−n) = −}B_n+1n+1 (n = 0, 1, 2, . . .) ここにB_n はベルヌーイ数： x 1 − e−x = ∞ ! n=0 B_nx n n! オイラー（

18

世紀） L. Euler (1707 — 1783)

• ζ(2n) =

(−1)₂n−1 _(2n)!B2n

(2π)

2n

(n = 1, 2, 3, . . .)

• ζ(

_{−n) = −}

B_n+1n+1

(n = 0, 1, 2, . . .)

ここに

B

_n はベルヌーイ数：

x

1 − e

−x

=

∞ ! n=0

B

_n

x

n

n!

オイラー（18世紀） L. Euler (1707 — 1783) • ζ(2n) = (−1)₂n−1_(2n)!B2n (2π)2n (n = 1, 2, 3, . . .) • ζ(_{−n) = −}B_n+1n+1 (n = 0, 1, 2, . . .) ここにB_nはベルヌーイ数： x 1 − e−x = ∞ ! n=0 B_nx n n! Here オイラー（18世紀） L. Euler (1707 — 1783) • ζ(2n) = (−1)₂n−1 _(2n)!B2n (2π)2n (n = 1, 2, 3, . . .) • ζ(_{−n) = −}B_n+1n+1 (n = 0, 1, 2, . . .) ここにB_nはベルヌーイ数： x 1 − e−x = ∞ ! n=0 B_nx n n! is Bernoulli number：オイラー（18世紀） L. Euler (1707 — 1783) • ζ(2n) = (−1)₂n−1_(2n)!B2n (2π)2n (n = 1, 2, 3, . . .) • ζ(_{−n) = −}B_n+1n+1 (n = 0, 1, 2, . . .) ここにB_n はベルヌーイ数： x 1 − e−x = ∞ ! n=0 B_nx n n!

r = 1

(4)

Letter from

Goldbach to Euler (Dec.1742)

(English translation from German)

(5)

Euler s responce (Jan. 1743)

(6)

Euler s paper (1776)

(7)

Zagier s conjecture

(1994)

The dimension of the

Zagier予想 (1994) Q ベクトル空間 Zk := ! k₁+···+k_r=k Q · ζ(k₁, . . . , k_r) の次元は, d_k = d_k₋₂ + d_k₋₃, d₀ = 1, d_<0 = 0 で与えられる数列d_k に等しいだろう． =⇒ 多重ゼータ値間の多くの関係式の存在を示唆 Zagier予想 (1994) Qベクトル空間 Z_k := ! k₁+···+k_r=k Q · ζ(k₁, . . . , k_r) の次元は, d_k = d_k₋₂ + d_k₋₃, d₀ = 1, d_<0 = 0 で与えられる数列d_k に等しいだろう． =⇒ 多重ゼータ値間の多くの関係式の存在を示唆 Q vector space is equal to Zagier予想 (1994) Qベクトル空間 Zk := ! k₁+···+k_r=k Q · ζ(k₁, . . . , k_r) の次元は, d_k = d_k₋₂ + d_k₋₃, d₀ = 1, d_<0 = 0 で与えられる数列d_k に等しいだろう． =⇒ 多重ゼータ値間の多くの関係式の存在を示唆 given by

?

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 d_k 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 2k−2 _{− − 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192}

Note that the magnitude of d_k is far smaller than 2k−2, and hence we expect many relations among MZVs. What is the fundamental set of relations which is enough to deduce all relations? This is the basic question in the theory. There are several candidates of such a set: associator relations, extended (or regularized) double shuﬄe relations, Kawashima’s relations, etc.

The goal of the first part of this survey article is to introduce an elementary “integral-series relations” of Yamamoto and the author, and to explain its relation to the extended double shuﬄe relations.

We first show that the space _{Z has a structure of a Q-algebra.}

Proposition 2.7. The space _{Z is a Q-algebra, and the multiplication respects weights, i.e.,} Zk · Zl ⊂ Zk+l.

Proof. There are at least two ways to prove this, one by using defining series (1.1) of MZVs, and the other using integral expressions. We introduce the integral expression in the next section, and here we give a proof using series.

For an integer N , let ζ_N(k₁, . . . , k_r) be the truncated finite sum

ζ_N(k₁, . . . , k_r) = ! 0<m1<···<mr<N 1 mk1 1 · · · mkrr . (2.3)

When k_r > 1, this converges to ζ(k₁, . . . , k_r) as N _{→ ∞.}

For two indices k = (k₁, . . . , k_r) and l = (l₁, . . . , l_s), we prove by induction on the sum r + s of depths that

ζ_N(k)ζ_N(l) is a sum of ζ_N(m)’s with some indices m’s. When r + s = 2, i.e., r = s = 1, this is true because

ζ_N(k)ζ_N(l) = ! 0<m<N 1 mk ! 0<n<N 1 nl = ! 0<m,n<N 1 mknl = " ! 0<m<n<N + ! 0<n<m<N + ! 0<m=n<N # 1 mknl = ζ_N(k, l) + ζ_N(l, k) + ζ_N(k + l).

Let r + s > 2 and suppose the assertion is true for the product of lesser sum of depths. We compute the product in a similar manner as

ζ_N(k)ζ_N(l) = ! 0<m1<···<mr<N 0<n1<···<ns<N 1 mk1 1 · · · mkrrnl11 · · · nlss = $ _! 0<ns<mr<N 0<m1<···<mr 0<n1<···<ns + ! 0<mr <ns<N 0<m1<···<mr 0<n1<···<ns + ! 0<mr =ns<N 0<m1<···<mr 0<n1<···<ns % 1 mk1 1 · · · mkrrnl11 · · · nlss = ! 0<mr<N ζ_m_r(k₋)ζ_m_r(l) 1 mkr r + ! 0<ns<N ζ_n_s(k)ζ_n_s(l₋) 1 nls s + ! 0<mr<N ζ_m_r(k₋)ζ_m_r(l₋) 1 mkr+ls r , 4

(8)

Th (Goncharov, Terasoma, 2002)

dim

_Q

_Z

_k

_{ d}

_k

.

(9)

Example of relations (double shuﬄe relations)

(10)

は収束し，ζ(k, 2) を与える．この先同様に x で割って積分，x で割って積分，を繰り返すことにより n の冪が増えていき，結局次の積分表示に到達する． ! · · · ! 0<t₁<_···<t_k1+k2 <x dt₁ 1 _{− t}₁ dt₂ t₂ · · · dt_k t_k₁ · dt_k₁₊₁ 1 _{− t}_k₁₊₁ dt_k₁₊₂ t_k₁₊₂ · · · dt_k₁_+k₂ t_k₁_+k₂ = " 0<m₁<m₂ xm2 mk1 1 m k₂ 2 そして，k₂ > 1 であれば（admissible）x = 1 と出来て， ζ(k₁, k₂) = ! · · · ! 0<t₁<_···<t_k1+k2 <1 dt₁ 1 _{− t}₁ dt₂ t₂ · · · dt_k t_k₁ · dt_k₁₊₁ 1 _{− t}_k₁₊₁ dt_k₁₊₂ t_k₁₊₂ · · · dt_k₁_+k₂ t_k₁_+k₂ という，二重ゼータ値の積分による表示が得られる．これで一般の場合もお分かりと思うが，1 _{− t} で割ることにより深さが一つ増え，そのあとの dt/t の繰り返しが最後のインデックスを 1 ずつ増やしていく．一般の場合はさぼってここには書かないことにするが，川崎さんの稿で出て来る山本さんの積分は，この多重ゼータ値の積分表示を一般化し，かつ簡明な表記を与える．証明は原則，上でやったような，多重積分を順々に積分していく逐次積分である．この積分表示が，多重ゼータ値の空間に新たな積構造を与える．これを一番簡単な例 ζ(2)2 で見よう．ζ(2) の積分表示は ζ(2) = ! 0<t₁<t₂<1 dt₁ 1 _{− t}₁ dt₂ t₂ である．この二つの積は次のように計算される． ζ(2)2 = ! 0<t₁<t₂<1 dt₁ 1 _{− t}₁ dt₂ t₂ ! 0<s₁<s₂<1 ds₁ 1 _{− s}₁ ds₂ s₂ = ! 0<t1<t2<1 0<s1<s2<1 dt₁ 1 _{− t}₁ dt₂ t₂ ds₁ 1 _{− s}₁ ds₂ s₂ = #! 0<t₁<t₂<s₁<s₂<1 + ! 0<t₁<s₁<t₂<s₂<1 + ! 0<t₁<s₁<s₂<t₂<1 + ! 0<s₁<t₁<t₂<s₂<1 + ! 0<s₁<t₁<s₂<t₂<1 + ! 0<s₁<s₂<t₁<t₂<1 $ dt₁ 1 _{− t}₁ dt₂ t₂ ds₁ 1 _{− s}₁ ds₂ s₂ = ! 0<t₁<t₂<s₁<s₂<1 dt₁ 1 _{− t}₁ dt₂ t₂ ds₁ 1 _{− s}₁ ds₂ s₂ + ! 0<t₁<s₁<t₂<s₂<1 dt₁ 1 _{− t}₁ ds₁ 1 _{− s}₁ dt₂ t₂ ds₂ s₂ + ! 0<t₁<s₁<s₂<t₂<1 dt₁ 1 _{− t}₁ ds₁ 1 _{− s}₁ ds₂ s₂ dt₂ t₂ + ! 0<s₁<t₁<t₂<s₂<1 ds₁ 1 _{− s}₁ dt₁ 1 _{− t}₁ dt₂ t₂ ds₂ s₂ + ! 0<s₁<t₁<s₂<t₂<1 ds₁ 1 _{− s}₁ dt₁ 1 _{− t}₁ ds₂ s₂ dt₂ t₂ + ! 0<s₁<s₂<t₁<t₂<1 ds₁ 1 _{− s}₁ ds₂ s₂ dt₁ 1 _{− t}₁ dt₂ t₂ = ζ(2, 2) + ζ(1, 3) + ζ(1, 3) + ζ(1, 3) + ζ(1, 3) + ζ(2, 2) = 2ζ(2, 2) + 4ζ(1, 3). これは，要領は級数の積のときと同じで，4 次元空間の中の積分領域 {(t1, t2, s1, s2) ∈ [0, 1]4 | 0 < t1 < t2 < 1, 0 < s1 < s2 < 1} を，t_i, s_j の大小関係に従って六つに分割するのである．そうするとそれぞれの積分が多重ゼータ値を与える．t₁ = s₁ のような場合は領域の次元が落ちて，測度が 0 となり積分値には寄与しな 9 integral expression of MZV

(11)

!

4

2 "

= 6

通りあるが，それぞれご

との積分の和になると言っているのと同じである．この並べ方をトランプカードのシャッフルにな

ぞらえて，

dt

₁

1 _−t

₁

dt

₂

t

₂

と

ds

₁

1 _−s

₁

ds

₂

s

₂

のシャッフルといい（これもカタカナだけで訳語は聞かないですね，

切り混ぜ？），こうして得られる多重ゼータ値の積をシャッフル積

(shuﬄe product)

という．

（収束

インデックスに対する）多重ゼータ値の積分表示に現れる微分形式は

dt

1 _−t

か

dt

t

のいずれかで，一

番左は

dt

1 _−t

，一番右は

dt

t

となっている．このことはシャッフルをしても変わらないので，各項が

収束する多重ゼータ値になるのである．

このシャッフル積を代数的に記述するのに便利なのは，

Hoﬀman

代数とも呼ばれる，非可換多項

式環

H :=

Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩

である．

e

₀

が

dt

_t

に，

e

₁

が

₁

dt

_−t

に対応していると思って，

Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩

の語（

word,

単項式）のうち

e

₁

で始まり

e

₀

で終わるものと多重ゼータ値を一対一に対応づける．例えば

ζ(2)

に

対応するのは

e

₁

e

₀

であり，これが先の積分表示を表していると思うのである．

Q⟨e

₀

, e

₁

⟩

のシャッ

フル積

x

は帰納的に

• 積は

Q

双線形，

• 1xw = wx1 = w, ∀w : word,

• (uw)x(u

′

w

′

) = u(w

xu

′

w

′

) + u

′

(uw

xw

′

),

∀u, u

′

∈ {e

₀

, e

₁

}, ∀w, w

′

: words

で定義されて，

_Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩

の部分空間

H

0 :=

Q + e

₁

Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩e

₀

が

x

で閉じた部分代数となる．この

とき，

e

₁

e

k

1

−1

0 · · · e

1 e

k

0

r

−1

に

ζ(k

1 , . . . , k

r

)

を対応させる写像を

Q

線形に拡張したものを

Z

と書く

ことにすると，多重ゼータ値のシャッフル積は「

Z

が

H

0 から

R

への準同型である」ということに

他ならない．

積分表示を述べたついでに言っておくべきこととして双対性がある．これは，収束インデック

スを

k = (1, . . . , 1

# $% &

a

₁

₋₁

, b

₁

+ 1, . . . , 1, . . . , 1

# $% &

a

_h

₋₁

, b

_h

+ 1)

(a

₁

, b

_i

_{≥ 1)}

という形に書いて（常にこのように一通りに書ける），

k

の双対インデックス

k

†

を

k

†

= (1, . . . , 1

# $% &

b

_h

₋₁

, a

_h

+ 1, . . . , 1, . . . , 1

# $% &

b

₁

₋₁

, a

₁

+ 1)

で定義するとき，等式

ζ(k

†

) = ζ(k)

が成り立つ，というものである．証明は積分表示において変数変換

t

_i

_{→ 1 − s}

_k+1

_−i

を行えば直ち

に出来る．初めての方はまず一番簡単な例である

ζ(1, 2) = ζ(3)

について確かめてみられるとよ

い．この変数変換は

H

の言葉では，

e

₀

と

e

₁

を入れ替えて逆順に並べる，という操作に対応する．

インデックス

k = (k

₁

, . . . , k

_r

)

に対し

[k]

∈ R

と

e

₁

e

k

1

−1

0 · · · e

1 e

k

0

r

−1

∈ H

を同一視することで，

H

のシャッフル積を

R

に移行してきて，

R

にシャッフル積

x

を入れることが出来る．この積に関

して

_Q

代数とみた

_R

を

_R

_x

と書く．

_R

0 は

_x

に関する部分代数となり，これを

_R

0 x

と書く．

ζ(2)

2 の例で言うと

[2]x[2] = 2[2, 2] + 4[1, 3]

が対応する

_R

での積である．

_Q

線形写像

ζ :

_R

0 _{→ R}

が

R

0 _x

から

R

への準同型になっているわけである：

ζ([k]

が右という順序があって，

それぞれの順序は保ちつつ，四つを並べる方法，それはつまり

!

4

2 "

= 6

通りあるが，それぞれご

との積分の和になると言っているのと同じである．この並べ方をトランプカードのシャッフルにな

ぞらえて，

dt

₁

1 _−t

₁

dt

₂

t

₂

と

ds

₁

1 _−s

₁

ds

₂

s

₂

のシャッフルといい（これもカタカナだけで訳語は聞かないですね，

切り混ぜ？），こうして得られる多重ゼータ値の積をシャッフル積

(shuﬄe product)

という．

（収束

インデックスに対する）多重ゼータ値の積分表示に現れる微分形式は

dt

1 _−t

か

dt

t

のいずれかで，一

番左は

dt

1 _−t

，一番右は

dt

t

となっている．このことはシャッフルをしても変わらないので，各項が

収束する多重ゼータ値になるのである．

このシャッフル積を代数的に記述するのに便利なのは，

Hoﬀman

代数とも呼ばれる，非可換多項

式環

H :=

Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩

である．

e

₀

が

dt

_t

に，

e

₁

が

₁

dt

_−t

に対応していると思って，

Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩

の語（

word,

単項式）のうち

e

₁

で始まり

e

₀

で終わるものと多重ゼータ値を一対一に対応づける．例えば

ζ(2)

に

対応するのは

e

₁

e

₀

であり，これが先の積分表示を表していると思うのである．

Q⟨e

₀

, e

₁

⟩

のシャッ

フル積

x

は帰納的に

• 積は

Q

双線形，

• 1xw = wx1 = w, ∀w : word,

• (uw)x(u

′

w

′

) = u(w

xu

′

w

′

) + u

′

(uw

xw

′

),

_{∀u, u}

′

_{∈ {e}

₀

, e

₁

_{}, ∀w, w}

′

: words

で定義されて，

_Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩

の部分空間

H

0 :=

Q + e

₁

Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩e

₀

が

x

で閉じた部分代数となる．この

とき，

e

₁

e

k

1

−1

0 · · · e

1 e

k

0

r

−1

に

ζ(k

1 , . . . , k

r

)

を対応させる写像を

Q

線形に拡張したものを

Z

と書く

ことにすると，多重ゼータ値のシャッフル積は「

Z

が

H

0 から

R

への準同型である」ということに

他ならない．

積分表示を述べたついでに言っておくべきこととして双対性がある．これは，収束インデック

スを

k = (1, . . . , 1

# $% &

a

₁

₋₁

, b

₁

+ 1, . . . , 1, . . . , 1

# $% &

a

_h

₋₁

, b

_h

+ 1)

(a

₁

, b

_i

_{≥ 1)}

という形に書いて（常にこのように一通りに書ける），

k

の双対インデックス

k

†

を

k

†

= (1, . . . , 1

# $% &

b

_h

₋₁

, a

_h

+ 1, . . . , 1, . . . , 1

# $% &

b

₁

₋₁

, a

₁

+ 1)

で定義するとき，等式

ζ(k

†

) = ζ(k)

が成り立つ，というものである．証明は積分表示において変数変換

t

_i

_{→ 1 − s}

_k+1

_−i

を行えば直ち

に出来る．初めての方はまず一番簡単な例である

ζ(1, 2) = ζ(3)

について確かめてみられるとよ

い．この変数変換は

H

の言葉では，

e

₀

と

e

₁

を入れ替えて逆順に並べる，という操作に対応する．

インデックス

k = (k

₁

, . . . , k

_r

)

に対し

[k]

_{∈ R}

と

e

₁

e

k

1

−1

0 · · · e

1 e

k

0

r

−1

∈ H

を同一視することで，

H

のシャッフル積を

R

に移行してきて，

R

にシャッフル積

x

を入れることが出来る．この積に関

して

_Q

代数とみた

_R

を

_R

_x

と書く．

_R

0 は

_x

に関する部分代数となり，これを

_R

0 x

と書く．

ζ(2)

2 の例で言うと

[2]x[2] = 2[2, 2] + 4[1, 3]

が対応する

_R

での積である．

_Q

線形写像

ζ :

R

0 → R

が

R

0 _x

から

R

への準同型になっているわけである：

ζ([k]

が右という順序があって，

それぞれの順序は保ちつつ，四つを並べる方法，それはつまり

!

4

2 "

= 6

通りあるが，それぞれご

との積分の和になると言っているのと同じである．この並べ方をトランプカードのシャッフルにな

ぞらえて，

dt

₁

1 _−t

₁

dt

₂

t

₂

と

ds

₁

1 _−s

₁

ds

₂

s

₂

のシャッフルといい（これもカタカナだけで訳語は聞かないですね，

切り混ぜ？），こうして得られる多重ゼータ値の積をシャッフル積

(shuﬄe product)

という．

（収束

インデックスに対する）多重ゼータ値の積分表示に現れる微分形式は

dt

1 _−t

か

dt

t

のいずれかで，一

番左は

dt

1 _−t

，一番右は

dt

t

となっている．このことはシャッフルをしても変わらないので，各項が

収束する多重ゼータ値になるのである．

このシャッフル積を代数的に記述するのに便利なのは，

Hoﬀman

代数とも呼ばれる，非可換多項

式環

H :=

Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩

である．

e

₀

が

dt

_t

に，

e

₁

が

₁

dt

_−t

に対応していると思って，

Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩

の語（

word,

単項式）のうち

e

₁

で始まり

e

₀

で終わるものと多重ゼータ値を一対一に対応づける．例えば

ζ(2)

に

対応するのは

e

₁

e

₀

であり，これが先の積分表示を表していると思うのである．

Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩

のシャッ

フル積

x

は帰納的に

• 積は

Q

双線形，

• 1xw = wx1 = w, ∀w : word,

• (uw)x(u

′

w

′

) = u(w

xu

′

w

′

) + u

′

(uw

xw

′

),

_{∀u, u}

′

_{∈ {e}

₀

, e

₁

_{}, ∀w, w}

′

: words

で定義されて，

_Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩

の部分空間

H

0 :=

Q + e

₁

Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩e

₀

が

x

で閉じた部分代数となる．この

とき，

e

₁

e

k

1

−1

0 · · · e

1 e

k

0

r

−1

に

ζ(k

1 , . . . , k

r

)

を対応させる写像を

Q

線形に拡張したものを

Z

と書く

ことにすると，多重ゼータ値のシャッフル積は「

Z

が

H

0 から

R

への準同型である」ということに

他ならない．

積分表示を述べたついでに言っておくべきこととして双対性がある．これは，収束インデック

スを

k = (1, . . . , 1

# $% &

a

₁

₋₁

, b

₁

+ 1, . . . , 1, . . . , 1

# $% &

a

_h

₋₁

, b

_h

+ 1)

(a

₁

, b

_i

_{≥ 1)}

という形に書いて（常にこのように一通りに書ける），

k

の双対インデックス

k

†

を

k

†

= (1, . . . , 1

# $% &

b

_h

₋₁

, a

_h

+ 1, . . . , 1, . . . , 1

# $% &

b

₁

₋₁

, a

₁

+ 1)

で定義するとき，等式

ζ(k

†

) = ζ(k)

が成り立つ，というものである．証明は積分表示において変数変換

t

_i

_{→ 1 − s}

_k+1

_−i

を行えば直ち

に出来る．初めての方はまず一番簡単な例である

ζ(1, 2) = ζ(3)

について確かめてみられるとよ

い．この変数変換は

H

の言葉では，

e

₀

と

e

₁

を入れ替えて逆順に並べる，という操作に対応する．

インデックス

k = (k

₁

, . . . , k

_r

)

に対し

[k]

_{∈ R}

と

e

₁

e

k

1

−1

0 · · · e

1 e

k

0

r

−1

∈ H

を同一視することで，

H

のシャッフル積を

R

に移行してきて，

R

にシャッフル積

x

を入れることが出来る．この積に関

して

_Q

代数とみた

_R

を

_R

_x

と書く．

_R

0 は

_x

に関する部分代数となり，これを

_R

0 x

と書く．

ζ(2)

2 の例で言うと

[2]x[2] = 2[2, 2] + 4[1, 3]

が対応する

_R

での積である．

_Q

線形写像

ζ :

R

0 → R

が

R

0 _x

から

R

への準同型になっているわけである：

ζ([k]

x [l]) = ζ(k)ζ(l).

(3.1)

には

ds₁ 1_−s₁

が左で

ds₂ s₂

が右という順序があって，

それぞれの順序は保ちつつ，四つを並べる方法，それはつまり

!

4 2

"

= 6

通りあるが，それぞれご

との積分の和になると言っているのと同じである．この並べ方をトランプカードのシャッフルにな

ぞらえて，

dt₁ 1_−t₁ dt₂ t₂

と

ds₁ 1_−s₁ ds₂ s₂

のシャッフルといい（これもカタカナだけで訳語は聞かないですね，

切り混ぜ？），こうして得られる多重ゼータ値の積をシャッフル積

(shuﬄe product)

という．

（収束

インデックスに対する）多重ゼータ値の積分表示に現れる微分形式は

dt 1_−t

か

dt t

のいずれかで，一

番左は

dt 1_−t

，一番右は

dt t

となっている．このことはシャッフルをしても変わらないので，各項が

収束する多重ゼータ値になるのである．

このシャッフル積を代数的に記述するのに便利なのは，

Hoﬀman

代数とも呼ばれる，非可換多項

式環

H :=

Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩

である．

e

₀

が

dt_t

に，

e

₁

が

₁dt_−t

に対応していると思って，

Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩

の語（

word,

単項式）のうち

e

₁

で始まり

e

₀

で終わるものと多重ゼータ値を一対一に対応づける．例えば

ζ(2)

に

対応するのは

e

₁

e

₀

であり，これが先の積分表示を表していると思うのである．

Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩

のシャッ

フル積

x

は帰納的に

• 積は

Q

双線形，

• 1xw = wx1 = w, ∀w : word,

• (uw)x(u

_{}, ∀w, w}

′

: words

で定義されて，

_Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩

の部分空間

H

0

:=

Q + e

₁

Q⟨e

₀

, e

₁

_⟩e

₀

が

x

で閉じた部分代数となる．この

とき，

e

₁

e

k1−1 0

· · · e

1

e

k0r −1

に

ζ(k

1

, . . . , k

r

)

を対応させる写像を

Q

線形に拡張したものを

Z

と書く

ことにすると，多重ゼータ値のシャッフル積は「

Z

が

H

0

から

R

への準同型である」ということに

他ならない．

積分表示を述べたついでに言っておくべきこととして双対性がある．これは，収束インデック

スを

_{≥ 1)}

という形に書いて（常にこのように一通りに書ける），

k

の双対インデックス

k

†

を

k

†

= (1, . . . , 1

# $% &

b_h₋₁

, a

_h

+ 1, . . . , 1, . . . , 1

# $% &

b₁₋₁

, a

₁

+ 1)

で定義するとき，等式

ζ(k

†

) = ζ(k)

が成り立つ，というものである．証明は積分表示において変数変換

t

_i

→ 1 − s

_k+1_−i

を行えば直ち

に出来る．初めての方はまず一番簡単な例である

ζ(1, 2) = ζ(3)

について確かめてみられるとよ

い．この変数変換は

H

の言葉では，

e

₀

と

e

₁

を入れ替えて逆順に並べる，という操作に対応する．

インデックス

k = (k

₁

, . . . , k

_r

)

に対し

[k]

_{∈ R}

と

e

₁

e

k1−1 0

· · · e

1

e

k0r −1

∈ H

を同一視することで，

H

のシャッフル積を

R

に移行してきて，

R

にシャッフル積

x

を入れることが出来る．この積に関

して

_Q

代数とみた

_R

を

_R

_x

と書く．

_R

0

は

_x

に関する部分代数となり，これを

_R

0 x

と書く．

ζ(2)

2

の例で言うと

[2]x[2] = 2[2, 2] + 4[1, 3]

が対応する

_R

での積である．

_Q

線形写像

ζ :

_R

0

_{→ R}

が

R

0_x

から

R

への準同型になっているわけである：

ζ([k]

x [l]) = ζ(k)ζ(l).

(3.1)

10

オイラー（18世紀） L. Euler (1707 — 1783) • ζ(2n) = (−1)₂n−1 _(2n)!B2n (2π)2n (n = 1, 2, 3, . . .) • ζ(_{−n) = −}B_n+1n+1 (n = 0, 1, 2, . . .) ここにB_n はベルヌーイ数： x 1 − e−x = ∞ ! n=0 B_nx n n! regularized values いことに注意．この分割は結局，四つの微分形式 dt₁ 1_−t1 , dt₂ t2 , ds₁ 1_−s1 , ds₂ s2 があるなかで， dt₁ 1_−t1 , dt₂ t2 には dt₁ 1_−t1 が左で dt₂ t2 が右という順序があり， ds₁ 1_−s1 , ds₂ s2 には ds₁ 1_−s1 が左で ds₂ s2 が右という順序があって，それぞれの順序は保ちつつ，四つを並べる方法，それはつまり !4 2 " = 6 通りあるが，それぞれごとの積分の和になると言っているのと同じである．この並べ方をトランプカードのシャッフルになぞらえて， dt₁ 1_−t1 dt₂ t2 と ds₁ 1_−s1 ds₂ s2 のシャッフルといい（これもカタカナだけで訳語は聞かないですね，切り混ぜ？），こうして得られる多重ゼータ値の積をシャッフル積 (shuﬄe product) という．（収束インデックスに対する）多重ゼータ値の積分表示に現れる微分形式は dt 1_−t か dt t のいずれかで，一番左は dt 1_−t ，一番右は dtt となっている．このことはシャッフルをしても変わらないので，各項が収束する多重ゼータ値になるのである．このシャッフル積を代数的に記述するのに便利なのは，Hoﬀman 代数とも呼ばれる，非可換多項

式環 H := Q⟨e₀, e₁_⟩ である．e₀ が dt_t に，e₁ が ₁dt_−t に対応していると思って，Q⟨e₀, e₁_⟩ の語（word,

単項式）のうち e₁ で始まり e₀ で終わるものと多重ゼータ値を一対一に対応づける．例えば ζ(2) に

対応するのは e₁e₀ であり，これが先の積分表示を表していると思うのである．Q⟨e₀, e₁_⟩ のシャッ

フル積 x は帰納的に

• 積は Q 双線形，

• 1xw = wx1 = w, ∀w : word,

• (uw)x(u′w′) = u(wxu′w′) + u′(uwxw′), _{∀u, u}′ _{∈ {e}₀, e₁_{}, ∀w, w}′ : words

で定義されて，_Q⟨e0, e1⟩ の部分空間 H0 := Q + e1Q⟨e0, e1⟩e0 が x で閉じた部分代数となる．この

とき，e₁ek1−1 0 · · · e1ek0r−1 に ζ(k1, . . . , kr) を対応させる写像を Q 線形に拡張したものを Z と書くことにすると，多重ゼータ値のシャッフル積は「Z が H0 から R への準同型である」ということに他ならない．積分表示を述べたついでに言っておくべきこととして双対性がある．これは，収束インデックスを k = (1, . . . , 1 # $% & a1−1 , b₁ + 1, . . . , 1, . . . , 1 # $% & a_h₋₁ , b_h + 1) (a₁, b_i _{≥ 1)} という形に書いて（常にこのように一通りに書ける），k の双対インデックス k† を k† = (1, . . . , 1 # $% & b_h₋₁ , a_h + 1, . . . , 1, . . . , 1 # $% & b₁₋₁ , a₁ + 1) で定義するとき，等式 ζ(k†) = ζ(k) が成り立つ，というものである．証明は積分表示において変数変換 t_i _{→ 1 − s}_k+1_−i を行えば直ちに出来る．初めての方はまず一番簡単な例である ζ(1, 2) = ζ(3) について確かめてみられるとよい．この変数変換は H の言葉では，e₀ と e₁ を入れ替えて逆順に並べる，という操作に対応する．インデックス k = (k₁, . . . , k_r) に対し [k] _{∈ R} と e₁ek1−1 0 · · · e1ek0r−1 ∈ H を同一視することで， H のシャッフル積を _R に移行してきて，_R にシャッフル積 x を入れることが出来る．この積に関して _Q 代数とみた _R を _R_x と書く．_R0 は _x に関する部分代数となり，これを _R0 x と書く．ζ(2)2 の例で言うと [2]x[2] = 2[2, 2] + 4[1, 3] が対応する _R での積である．Q 線形写像 ζ : _R0 _{→ R} が R0x から R への準同型になっているわけである： ζ([k] x [l]) = ζ(k)ζ(l). (3.1) 10

(14)

Conjecture (folklore)

Regularized double shuﬄe relations are enough to describe all linear relations among multiple zeta values.

Various other relations are known which are conjectured to give all relations of multiple zeta values.

・̶ associator relations

・̶ Kawashima relations

・̶ conﬂuence relations

(15)

Brown s Th. (2012)

This is indeed so.

Many important consequence like the Deligne-Ihara conjecture

Hoﬀman s conj. (1997) being either 2 or 3. is generated by _k_i Zagier予想 (1994) Qベクトル空間 Z_k := ! k₁+···+k_r=k Q · ζ(k₁, . . . , k_r) の次元は, d_k = d_k₋₂ + d_k₋₃, d₀ = 1, d_<0 = 0 で与えられる数列d_k に等しいだろう． =⇒ 多重ゼータ値間の多くの関係式の存在を示唆 s with all

(16)

Finite multiple zeta values (with D. Zagier) For a prime p X 0<m₁<_···<m_r<p 1 mk1 1 · · · mkrr mod p _{2 Z/pZ}

・This ring is a algebra (of char. 0). _Q

A := Y

p prime

Z/pZ . M

p prime

Z/pZ

(17)

⇣_p(k₁, . . . , k_r) = X 0<m₁<_···<m_r<p 1 mk1 1 · · · mkrr ⇣A(k₁, . . . , k_r) = ⇣_p(k₁, . . . , k_r) mod p _{p prime} 2 A Deﬁnition where

・May consider similar problems as in the classical case.

(18)

Ex 1) If

_k

6= 0

then _⇣A_{(k) = 0.} * ) p 1 - k ) p 1 X m=1 1 mk ⌘ 0 (mod p). 2) _⇣A_(k₁_{, k}₂_{) = ( 1)}k2 ✓ k₁ + k₂ k₁ ◆ Z(k₁ + k₂). with _{Z(k) :=} ✓ B_{p k} k mod p ◆ p 2 A.

* ) Seki-Bernoulli formula for sum of powers

X 0<m<n<p 1 mk1nk2 ⌘ X 0<m<n<p mp 1 k1 n k2 (mod p).

(19)

Q vector space is of dimension _? ZA,k := X k₁+_···+k_r=k Q _{· ⇣}A(k₁, . . . , k_r) Dimension conjecture d_{k 3} ( = d_k d_{k 2}) The

(20)

As an analog of the classical sum formula 6 Masanobu Kaneko とが知られている [18]6．またこの問題を以前伊原康隆先生が論じておられた「数の微分」の言葉 [8] で言うと，有理数 x に対し，「微分」‘dx’ が有限個を除くすべての素数で零点を持てば x = _±1 か？という問題になる． § 2. 有限多重ゼータ値のいろいろな関係式例えば定義から簡単に分かる関係として（定義の和の m_i _{→ p − m}_i とする） ζA(k₁, . . . , k_r) = (−1)k1+···+kr ζA(k r, . . . , k1) があり，[7], [23] にはそのほかいくつかの関係式が証明されている．ここでは古典的な場合との類似の観点から，有名な関係式の系列について述べてみたい．和公式古典的な場合の「和公式」 ! k1+···+kr =k kr ≥2 ζ(k₁, . . . , k_r) = ζ(k) はよく知られ，何通りもの証明が知られている．その有限類似を筆者は以前 [11] において予想した．それはまだ _A という環で考える枠組みを知る前だったので，各素数について成り立つ合同式という形で提唱したものであったが，それを ζA の言葉で書くと，各重さ k，深さ r について ! k1+···+kr =k kr ≥2 ζA(k₁, . . . , k_r) = "1 + (−1)r # k _{− 1} r _{− 1} $ % Z(k) が成り立つか，という問題になる．これは最近 Saito-Wakabayashi [16] により証明された. 収束の問題がないので k_r _{≥ 2} という条件は意味をなさないように思われるのであるが，この条件を課すことで類似の公式が成り立つのである．k_r _{≥ 1} とすると左辺の和は 0 になる．この公式は，「等号付き多重ゼータ値」ζ⋆(k₁, . . . , k_r) に対する和公式が ! k1+···+kr =k kr ≥2 ζ⋆(k₁, . . . , k_r) = # k _{− 1} r _{− 1} $ ζ(k) であることを考えると，面白い形をしている．また有限多重ゼータ値の等号付き版 ζA,⋆ を考えたときの和公式は ! k1+···+kr =k kr ≥2 ζA,⋆(k₁, . . . , k_r) = "(−1)r + # k _{− 1} r _{− 1} $ % Z(k) となっていて，これも [16] で証明されている． 6この文献を山下剛氏に教わった． we have (Saito-Wakabayashi) Example of relations 6 Masanobu Kaneko とが知られている [18]6．またこの問題を以前伊原康隆先生が論じておられた「数の微分」の言葉 [8] で言うと，有理数 x に対し，「微分」‘dx’ が有限個を除くすべての素数で零点を持てば x = _±1 か？という問題になる． § 2. 有限多重ゼータ値のいろいろな関係式例えば定義から簡単に分かる関係として（定義の和の m_i _{→ p − m}_i とする） ζA(k₁, . . . , k_r) = (−1)k1+···+kr ζA(k r, . . . , k1) があり，[7], [23] にはそのほかいくつかの関係式が証明されている．ここでは古典的な場合との類似の観点から，有名な関係式の系列について述べてみたい．和公式古典的な場合の「和公式」 ! k1+···+kr =k kr ≥2 ζ(k₁, . . . , k_r) = ζ(k) はよく知られ，何通りもの証明が知られている．その有限類似を筆者は以前 [11] において予想した．それはまだ _A という環で考える枠組みを知る前だったので，各素数について成り立つ合同式という形で提唱したものであったが，それを ζA の言葉で書くと，各重さ k，深さ r について ! k1+···+kr =k kr ≥2 ζA(k₁, . . . , k_r) = "1 + (−1)r # k _{− 1} r _{− 1} $_% Z(k) が成り立つか，という問題になる．これは最近 Saito-Wakabayashi [16] により証明された. 収束の問題がないので k_r _{≥ 2} という条件は意味をなさないように思われるのであるが，この条件を課すことで類似の公式が成り立つのである．k_r _{≥ 1} とすると左辺の和は 0 になる．この公式は，「等号付き多重ゼータ値」ζ⋆(k₁, . . . , k_r) に対する和公式が ! k1+···+kr =k kr ≥2 ζ⋆(k₁, . . . , k_r) = # k _{− 1} r _{− 1} $ ζ(k) であることを考えると，面白い形をしている．また有限多重ゼータ値の等号付き版 ζA,⋆ を考えたときの和公式は ! k1+···+kr =k kr ≥2 ζA,⋆(k₁, . . . , k_r) = "(−1)r + # k _{− 1} r _{− 1} $_% Z(k) となっていて，これも [16] で証明されている． 6この文献を山下剛氏に教わった． Z(k) = ✓ B_{p k} k mod p ◆ p 2 A !

(21)

Explanation 4 Masanobu Kaneko 主予想 [14] Q 代数の同型 ZA ≃ ZR/ζ(2)ZR で，ζA(k₁, . . . , k_r) が ζF (k₁, . . . , k_r) に対応するものが存在する．近年 Brown（[3] など）による研究の進展が著しい「モチビック多重ゼータ値」の代数と _Z_R の構造が予想通り同型であるとすれば， Z_R/ζ(2)_Z_R _{≃ Q⟨z}? ₃, z₅, z₇, z₉, . . ._⟩X と予想される．この右辺は，ベクトル空間としては 3 以上の奇数で番号づけられた非可換な不定元の単項式（z_k の重さを k とする）で生成され，そこに「シャッフル積 X」（例えば z₃z_5Xz₇ = z₇z₃z₅ + z₃z₇z₅ + z₃z₅z₇）により次数付き可換代数の構造を入れたものである（さらにここに Hopf _{代数の構造が入る）．主予想が正しくかつこの予想も正しいと} すると，次元予想は従う．この次元予想によれば，有限多重ゼータ値についてもやはり豊富な関係式の存在が予期され，それらを見つけることが一つの課題となる．関係式については次節で述べるとし，その前に ζA 値の例をいくつか述べる．例 1.3. 深さ 1 の場合，k が０でなければ ζA(k) = 0 となる．これは p_{−1 ! k} であれば !p_m=1−1 m−k _{≡ 0 (mod p)} であることから従う．ζA(0) = −1 である．深さが 2 のときは， (1.2) ζA(k₁, k₂) = (−1)k2 " k₁ + k₂ k₁ # Z(k₁ + k₂) (∀k₁, k₂ _{≥ 1)} となる．ここに，k _{≥ 2} に対し Z(k) _{∈ A} は Z(k)_(p) = Bp−k k mod p (Bp−kはベルヌーイ数) で定めたものである．公式 (1.2)（の p 成分を取りだしたもの）は Hoffman [7], Zhao [23] にあるが，関ーベルヌーイのべき乗和公式を用いて容易に計算できる．実は ζA(1, k − 1) は古くすでに Vandiver [20] に（本質的に同値な公式が）出ている．上に見たように，「リーマンゼータ値」ζ(k) の素朴な類似物 ζA(k) は０であるが，この Z(k) が ζ(k) の実質的な類似であると考えられる．その傍証はこの小論でいくつか述べるが，ひとつの発見的な説明は以下の通り（最初の合同式は数学的に意味がない）． ζ(k) “ _≡ Fermat ” ζ(k − (p − 1)) =Euler − B_p_−k p _{− k} ≡ Z(k)(p) (mod p). When is even, ・ Is when is odd？ Is this an analog of ？ 4 Masanobu Kaneko 主予想 [14] Q 代数の同型 ZA ≃ ZR/ζ(2)ZR で，ζA(k₁, . . . , k_r) が ζF (k₁, . . . , k_r) に対応するものが存在する．近年 Brown（[3] など）による研究の進展が著しい「モチビック多重ゼータ値」の代数と _Z_R の構造が予想通り同型であるとすれば， ZR/ζ(2)ZR ≃ Q⟨z? 3, z5, z7, z9, . . .⟩X と予想される．この右辺は，ベクトル空間としては 3 以上の奇数で番号づけられた非可換な不定元の単項式（z_k の重さを k とする）で生成され，そこに「シャッフル積 X」（例えば z₃z_5Xz₇ = z₇z₃z₅ + z₃z₇z₅ + z₃z₅z₇）により次数付き可換代数の構造を入れたものである（さらにここに Hopf 代数の構造が入る）．主予想が正しくかつこの予想も正しいとすると，次元予想は従う．この次元予想によれば，有限多重ゼータ値についてもやはり豊富な関係式の存在が予期され，それらを見つけることが一つの課題となる．関係式については次節で述べるとし，その前に ζA 値の例をいくつか述べる．例 1.3. 深さ 1 の場合，k が０でなければ ζA(k) = 0 となる．これは p_{−1 ! k} であれば !p_m=1−1 m−k _{≡ 0 (mod p)} であることから従う．ζA(0) = −1 である．深さが 2 のときは， (1.2) ζA(k₁, k₂) = (−1)k2 " k₁ + k₂ k₁ # Z(k₁ + k₂) (∀k₁, k₂ _{≥ 1)} となる．ここに，k _{≥ 2} に対し Z(k) _{∈ A} は Z(k)_(p) = Bp−k k mod p (Bp−kはベルヌーイ数) で定めたものである．公式 (1.2)（の p 成分を取りだしたもの）は Hoffman [7], Zhao [23] にあるが，関ーベルヌーイのべき乗和公式を用いて容易に計算できる．実は ζA(1, k − 1) は古くすでに Vandiver [20] に（本質的に同値な公式が）出ている．上に見たように，「リーマンゼータ値」ζ(k) の素朴な類似物 ζA(k) は０であるが，この Z(k) が ζ(k) の実質的な類似であると考えられる．その傍証はこの小論でいくつか述べるが，ひとつの発見的な説明は以下の通り（最初の合同式は数学的に意味がない）． ζ(k) “ _≡ Fermat ” ζ(k − (p − 1)) =Euler − B_p_−k p _{− k} ≡ Z(k)(p) (mod p). 4 Masanobu Kaneko 主予想 [14] Q 代数の同型 ZA ≃ ZR/ζ(2)ZR で，ζA(k₁, . . . , k_r) が ζF (k₁, . . . , k_r) に対応するものが存在する．近年 Brown（[3] など）による研究の進展が著しい「モチビック多重ゼータ値」の代数と _Z_R の構造が予想通り同型であるとすれば， ZR/ζ(2)ZR ≃ Q⟨z? 3, z5, z7, z9, . . .⟩X と予想される．この右辺は，ベクトル空間としては 3 _{以上の奇数で番号づけられた非可換} な不定元の単項式（z_k の重さを k とする）で生成され，そこに「シャッフル積 X」（例えば z₃z_5Xz₇ = z₇z₃z₅ + z₃z₇z₅ + z₃z₅z₇）により次数付き可換代数の構造を入れたものである（さらにここに Hopf 代数の構造が入る）．主予想が正しくかつこの予想も正しいとすると，次元予想は従う．この次元予想によれば，有限多重ゼータ値についてもやはり豊富な関係式の存在が予期され，それらを見つけることが一つの課題となる．関係式については次節で述べるとし，その前に ζA 値の例をいくつか述べる．例 1.3. 深さ 1 _の場合，k が０でなければ ζA(k) = 0 となる．これは p_{−1 ! k} であれば !p_m=1−1 m−k _{≡ 0 (mod p)} であることから従う．ζA(0) = −1 である．深さが 2 _{のときは，} (1.2) ζA(k₁, k₂) = (−1)k2 " k₁ + k₂ k₁ # Z(k₁ + k₂) (∀k₁, k₂ _{≥ 1)} となる．ここに，k _{≥ 2} に対し Z(k) _{∈ A} は Z(k)_(p) = Bp−k k mod p (Bp−kはベルヌーイ数) で定めたものである．公式 (1.2)（の p 成分を取りだしたもの）は Hoffman [7], Zhao [23] にあるが，関ーベルヌーイのべき乗和公式を用いて容易に計算できる．実は ζA(1, k − 1) は古くすでに Vandiver [20] _{に（本質的に同値な公式が）出ている．} 上に見たように，「リーマンゼータ値」ζ(k) の素朴な類似物 ζA(k) は０であるが，この Z(k) が ζ(k) の実質的な類似であると考えられる．その傍証はこの小論でいくつか述べるが，ひとつの発見的な説明は以下の通り（最初の合同式は数学的に意味がない）． ζ(k) “ _≡ Fermat ” ζ(k − (p − 1)) =Euler − B_p_−k p _{− k} ≡ Z(k)(p) (mod p).