Akbulut-Karakurt diagram L = K 1 K 2 in S 3 Stein corks W = W (L). W the Mazur manifold K 1, K 2 are unknotted lk(k 1, K 2 ) = ±1 Involution τ : K 1 K

Akbulut-Karakurt

論文の内容紹介

２０１４年５月１３日 講演分

次の条件をみたす diagram L = K1∪ K2 in S3 をもつ Stein corks W = W (L) について考える. 典型的なW の例は the Mazur manifold：

 ・K1, K2 are unknotted ・lk(K1, K2) =±1  ・∃ Involution τ : K1 ↔ K2  ・admits a Stein diagram h0∪ h1∪ h2 （h2 is attached by tb− 1 framing）

主定理 The involution τ on ∂W acts non-trivially on HF+(−∂W ). In fact,

c+(ξ) 6= τ∗(c+(ξ)) ∈ HF+(−∂W )

Moreover, c+(ξ)6= τ∗(c+(ξ)) in HF_red+ (−∂W ) = Coker : HF∞(−∂W ) → HF+(−∂W ).

1

Heegaard Floer Homology

について

(Y, t)でSpinc構造を指定した３次元多様体とする. Y のHeegaard分解(Σ; α, β; z)をもとに,対称積 Σg/Sg内のLagrangian torus Tα, Tβ が構成され（詳細は省略）,以下のchain complex が構成され,そ

のホモロジーHF◦(Y, t)（_{◦ = ∞, +, −, d}HF , HFred）が構成される. d CF = < x∈ Tα∩ Tβ > CF∞ = < [x, i]| x ∈ Tα∩ Tβ, i∈ Z > CF− = < [x, i]| x ∈ Tα∩ Tβ, i∈ Z, i < 0 > CF+ = CF∞/CF−

CF の元には 相対grading（状況に依ってはabsolute grading）が定まる. また,次のような作用素U を

導入して,係数環はZ[U]などを用いる.

U の作用：U の作用は次の通り. gradingを２つ下げる.

U [x, i] = [x, i− 1], gr([x, i]) = gr(x) + 2i

＃U の幾何的な意味が分かりにくいのですが, 後述のF_(X,s)◦ の非自明degree d(X, s)やBlow up公式 （定理 3）などから推測しますと, “boundする４次元多様体の中で交叉形式などがどうなるかを境界で 測る目盛りの単位(Unit)”という感じがします. 計算例１（代数的）：CF = < x >, ∂[x, i] = 0d のとき [x, 0]をx（[x, i] = U−ix）と表すことにすると HF∞ = Z[U, U−1] < x >,

HF− = U · Z[U] < x > = Z[Ux] ⊕ Z[U2x]⊕ Z[U3x]⊕ · · ·

HF+ = Z[U, U−1] < x >/U · Z[U] < x > = Z[U−1] < x > ∼= T_{(deg x)}+ 計算例２（代数的）：CF = < x, y >, ∂[x, i] = [y, id − 1], ∂[y, i] = 0のとき

HF∞ = {0}

HF− = Z < Uy >

HF+ = Z < x > ∼=Z

CFには次の自然なpairingが備わっている（Y のHeegaard分解(Σ; α, β; z)に対して_−Y のHeegaard 分解として(−Σ; α, β; z)を用いる.） h , i : CF∞(Y )⊗ CF∞(−Y ) −→ Z by h [x, i] , [y, j] i =    1 if x = y and i + j + 1 = 0 0 otherwise この paringから 次が定まる. h , i : HF∞_{(Y )⊗ HF}∞_{(−Y ) −→ Z} h , i : HF+_{(Y )⊗ HF}−_{(−Y ) −→ Z} h , i : HF+

red(Y )⊗ HFred− (−Y ) −→ Z

幾何的な例１： S3の場合 HF_n+(S3) =    Z n ≡ 0 (2) and n ≥ 0 0 otherwise = T + (0) HF_n−(S3) =    Z n ≡ 0 (2) and n ≤ −2 0 otherwise 記号： HF₀+(S3) の生成元をΘ+₀, HF₋₂−(S3) の生成元をΘ−₋₂ とする.

α1 β1 α1 β1 α2 β2 図1: S1_{× S}2_{, ]}2_S1_{× S}2 _{のHeegaard 分解} 記号： “生成元のU−1による軌道が並んでいる” T_(s)+ = ∞ ⊕ n=0 Z(s+2n) = ∞ ⊕ n=0 Z[Θ+ s+2n], U n_Θ+ s+2n= Θ + s 幾何的な例２ [OS3, p.341]： (]nS1× S2, t), c1(t) = 0の場合 d HF (]nS1× S2) = ∧∗H1(]nS1× S2) (rank = 2n) HF∞(]nS1× S2) = Z[U, U−1] ⊗_Z∧∗H1(]nS1× S2) HF−(]nS1× S2) = (U· Z[U]) ⊗_Z∧∗H1(]nS1× S2) HF+(]nS1× S2) = Z[U−1] ⊗_Z∧∗H1(]nS1× S2) 例えば, H1(S1× S2) =Z[a], H1(]nS1× S2) =Z[a1,· · · an]として d HF (S1× S2) = ∧∗H1(S1× S2) = ∧0⊕ ∧1 =Z · 1 ⊕ Z[a] d HF (S1× S2]S1× S2) = ∧∗H1(S1× S2]S1× S2) = ∧0⊕ ∧1⊕ ∧2 = Z · 1 ⊕ Z[a1, a2] ⊕ Z[a1∧ a2]

α1 β1 A C B A C B _α 2 α3 β2 β3 A C B A C B 図2: T3 のHeegaard 分解 幾何的な例３ [OS, p.50]： T3 = S1× S1× S1の場合, H1(T3)-moduleとして d HF (T3) = H2(T3)⊕ H1(T3) HF∞(T3) = (H2(T3)⊕ H1(T3))⊗_ZZ[U, U−1] HF+(T3) = (H2(T3)⊕ H1(T3))⊗_ZZ[U−1] gr(H2(T3)) = 1/2, gr(H1(T3)) =−1/2. ＃T3のHeegaard図式を描いても,なぜ rank dHF = 6なのか よくわかりません：図 2. 以下は 論文 [AD, OS]で紹介されている具体例：    HF +_{(Σ(2, 3, 5)) ∼= T}+ (2)  HF +_{(−Σ(2, 3, 5)) ∼= T}+ (−2)  HF+_{(Σ(2, 3, 7)) ∼= T}+ (0)⊕ Z(−1)  HF+(−Σ(2, 3, 7)) ∼= T(0)+ ⊕ Z(0) HF+((41; 1 n) ) = HF+(Σ(2, 3, 6n + 1)) ∼= T₍₀₎+ ⊕ Zn₍₋₁₎  HF+(Σ(2, 5, 7)) ∼= T₍₀₎+ ⊕ Z2₍₋₁₎  HF+(−Σ(2, 5, 7)) ∼= T₍₀₎+ ⊕ Z2₍₀₎ HF+(ΣMazur) ∼= T₍₀₎+ ⊕ Z(0)⊕ Z(0) これらは Casson不変量などとも合う（後述 _§4）.

p r q 図 3: M (p, q, r) = (Borromian link; p, q, r) 例：論文 [OS2]（最後の２つは,論文 [OS]）で計算されている具体例 M (p, q, r) = (Borromean ring; p, q, r)を表すとする. 特に M (−1, −1, r) = (T (2, 3)!; r) M (−1, −1, −1) = (T (2, 3)!; −1) = Σ(2, 3, 5), M (−1, −1, 1) = (T (2, 3)!; 1) = −Σ(2, 3, 7), M (−1, 1, 0) = (41; 0) M (1, 0, 0) = (Wh; 0, 0) HF_k+( M (−1, −1, −1) ) = Z if k ≡ 0(2) and k ≥ 2 HF_k+( M (−1, −1, 0) ) = Z if k ≡ 1/2(1) and k ≥ 1/2 HF_k+( M (−1, −1, 1) ) =    Z ⊕ Z if k = 0 Z if k≡ 0(2) and k > 0 HF_k+( M (−1, 1, 0) ) =    Z ⊕ Z if k = −1/2 Z if k≡ 1/2(1) and k ≥ 1/2 HF_k∞( M (1, 0, 0) ) = Z ⊕ Z for each k d HF ( M (1, 0, 0) ) = Z2₍₋₁₎⊕ Z2₍₀₎

For any (Y, t),

{0} −→ CF−(Y, t) −→ CFι ∞(Y, t) −→ CFπ +(Y, t) −→ {0} が誘導する −→ HF−_{(Y, t)} ι −→ HF∞_{(Y, t)} π −→ HF+_{(Y, t) −→} において 定理 1.

HF_red− (Y, t) := Ker ι ∼= Coker π =: HF_red+ (Y, t)

定理 2. There exists an exact sequence

−→ HF+_(S3_{)−→ HF}+_(S3

0(K))−→ HF+(S13(K))−→

whose degree shifts of the middle two maps are −1/2, and also

−→ HF+_(S3 −1(K))−→ HF+(S30(K))−→ HF+(S3)−→ 例：K is the unknot, S₀3(K) = S1× S2 −→ HF+_(S3_{) −→ HF}+_(S3 0(K)) −→ HF+(S13(K)) −→ .. . ... ... Z(4) Z(3.5) Z(4) {0} Z(2.5) {0} Z(2) Z(1.5) Z(2) {0} Z(0.5) {0} Z(0) Z(−0.5) Z(0) k k k T(0) T(−0.5)⊕ T(0.5) T(0)

0 0 −5 −4 −2 −2 −1 図4: my P (−3, 3, 3), Mazur manifold, Σ(2, 5, 7)

注：[OS, OS3]では Pretzel knot P (−3, 3, 3)（の記号）が私のものと鏡像です. 例([AD]で下記の？の計算を実践)： K = Pr(−3, 3, 3), S3 1(K) = Σ(2, 5, 7) −→ HF+_(S3_{) −→ HF}+_(S3 0(K)) −→ HF+(S13(K)) −→ .. . ... Z(4) Z(4) {0} {0} Z(2) ？ Z(2) {0} {0} Z(0) Z(0) {0} Z(−1)⊕ Z(−1) ⇓ T(0) T(−0.5)⊕ T(0.5) T(0)⊕ Z(−1)⊕ Z(−1) ⊕Z(−0.5)⊕ Z(−0.5) 例([AD] 同上)： K = Pr(−3, 3, 3), S3₋₁(K) = ΣMazur. −→ HF+_(S3 −1(K)) −→ HF+(S03(K)) −→ HF+(S3) −→ .. . ... Z(3.5) Z(4) Z(2.5) {0} ？ _{Z(1.5) Z(2)} Z(0.5) {0} Z(−0.5)⊕ Z(−0.5)⊕ Z(−0.5) Z(0) ⇓ T₍₀₎⊕ Z₍₀₎⊕ Z₍₀₎ T_(−0.5)⊕ T_(0.5) T₍₀₎ ⊕Z(−0.5)⊕ Z(−0.5)

定理 3. ([OS3, Lemma 8.2], Blow up formula)

Let W = ([0, 1]× Y )]CP2_{. For each Spin}c _{structure t on Y , the map} F_W,s◦ : HF◦(Y, s)→ HF◦(Y, s)

is the action of U`(`+1)/2, where s is characterized by c1|Y_×{0} = t and hc1(s), Ei = ±(2` + 1) with `≥ 0.

Note that the degree shift of U`(`+1)/2 is −`(` + 1) and

c1(s)2− (2χ(W ) + 3σ(W )) 4 = −(2` + 1)2<sub>− (2 · 1 + 3(−1))</sub> 4 =−`(` + 1)

2

Basic class

d(W, s) = c1(s) 2_{− (2χ(W ) + 3σ(W ))} 4 のところ以外は zero map. 参考 W c1(s) c1(s)2 χ(W ) σ(W ) d(W, s) d(W２穴, s) CP2 _{−3H 9 3 +1 0 1} CP2 _{E −1 3 −1 −1 0} K3 0 0 24 −16 0 1 E(n) [T ] 0 12n −8n 0 1

論文 [OS2, p.19]の具体例：Let E be a plumbing negative E8 plumbing 4-manifold. By deleting a

disjoint open 4-ball from E, we regard it as −Σ(2, 3, 5)cob S3.

F_E+

穴,s: HF

+

−2(−Σ(2, 3, 5)) −→ HF0+(S3)

is an isomorphism for a Spinc structure s. この例ではχ(E穴) = 8, σ(E穴) =−8, c1(s) = 0 d(s) = c1(s)

2_{− (2χ(E}

穴) + 3σ(E穴))

4 = 2

＃注：negative E8 plumbing 4-manifoldの境界はΣ(2, 3, 5)ですが, Cobordismの“底面”は法ベクトル

を逆向きにとって,多様体の境界としての向きとは逆向きに扱うようです. （Y × [0, 1]は Y cob Y と見

補題 1. ([OS3, Theorem 3.4], Composition Low) Let W1 : Y1 cob

Y2 and W2 : Y2 cob

Y3 be a pair of

connected cobordisms and W = W1∪Y2W2: Y1

cob

Y3 be their composite. Fix Spinc structures si on Wi (i = 1, 2) such that s1|Y2 = s2|Y2. Then

F_W◦_2,s2 ◦ F_W◦_1,s1 = ∑

s

±FW,s◦

where the condition on s at the sumation is {s ∈ SpincW | s|W1 = s1, s|W2 = s2}.

HF∞ については 次が成り立つ

補題 2. ([OS3, Lemma 8.2]) For a Spinc cobordism (W4, s) : (Y1, t1) cob

(Y2, t2) with b+2(W ) > 0, F_W,s∞ : HF∞(Y1, t1)→ HF∞(Y2, t2)

is a zero map：F_W,s∞ = 0.

補題 2 を利用して,次のW のadmissible cutを経由することにより,後の写像F_W,smixが得られる

定義 4. Spinc cobordism (W4, s) 内の 3-manifold N がW を２つW1, W2 (b2(Wi) > 0)に分割し, δH1(N ;Z) = {0} ⊂ H2(W, ∂W ;Z)のとき, admissible cutという.

例：b+₂(W ) > 0のとき, W 内で,向き付け可能曲面Σをとってその管状近傍の境界∂N (Σ)を使って N = Y1]∂N (Σ)（あるいは∂N (Σ)]Y2）とすれば, N はadmissible cut.

定義 5. ([OS3, Definition 8.3]) For a Spinc cobordism (W4, s) : (Y1, t1) cob

(Y2, t2) with b+2(W ) > 1,

we can define

F_W,smix: HF−(Y1, t1)→ HF+(Y2, t2)

admissible cut N をとり, s|N = t.5とする. FW,smixは, 次の図式を追いかけることによる. 写像を逆向

きに進むところが２カ所あり, HF∞に関する補題2 が効いている. また,図式の中のδ−1は連結準同型 δ（同型；定理 1）の逆写像. ここで gradingを+1することになる. HF−(Y1, t1) ι −→ HF∞_(Y 1, t1) ↓ ↓ 0 HF−(N, t.5) ι −→ HF∞_{(N, t.5)} ∪ Ker ι ∼= HF_red− (N, t.5) k ↓ δ−1 Coker π ∼= HF_red+ (N, t.5) ↑ HF+(N, t.5) π ←− HF∞_{(N, t.5)} ↓ ↓ 0 HF+(Y2, t2) ←− HFπ ∞(Y2, t2) ［Fmixを定義するための図式］

命題 1. ([OS3, Proposition 8.7]) There are only finitely many Spinc structures s of W , F_W,smix is non-trivial.

定義 6. ([OS3, §9]) Let X be a closed 4-manifold with b+₂(X) > 2 (and assume H1(X) ={0}). By

deleting a pair of disjoint open 4-balls from X, we regard it as S3 cob S3. We can define absolute

invariant of X to be the (Z-linear) map

ΦX,s : Z[U] −→ Z/{±1}

by

F_X,smix( UnΘ−₋₂) = ΦX,s(Un)Θ+0

where Θ−₋₂ (or Θ+₀ respectiely) is a generator of HF−(S3) whose degree is maximal (or HF+(S3) whose degree is minimal). The map ΦX,s vanishes on those homegeneous elements whose degree is

different from d(s) = c1(s) 2_{− (2χ(X) + 3σ(X))} 4 ＃注：このd(s)に関して,丹下氏と相談しました：Cobordismの場合, F_X◦_２穴 (◦ = +, −, ∞)のnontrivial degree shift は d = c1(s) 2_{− (2χ(X} ２穴) + 3σ(X２穴)) 4 = d(s) + 1

でしたが, F_X,smix のそれは,構成の途中でHF_red− (N, t.5)からHF_red+ (N, t.5) へ同一視するための連結準同

型（同型）の逆写像δ−1のため, grading が+1ずれて

d + 1 = d(s) + 2

となるので

gr(Θ+₀)− gr(UnΘ−₋₂) = 0− (−2 − 2n) = 2n + 2

と比較して 2n = d(s)のところで意味のある情報が引き出せることになります.

定理 7. ([OS3, Theorem 10.1]) Let (Y, t) be a Spinc QHS with HFred(Y, t) = 0. Suppose that X

is a smooth closed oriented 4-manifold which admits a decomposition X1]YX2, with b+2(Xi) > 1 for i = 1, 2. For each Spinc structure s with s|Y = t, then we have ΦX,s = 0.

定理 8. ([OS3, Theorem 1.5], Adjunction formula) Let Σ be a homologically non-trivial embedded surface with genus g ≥ 1 and with non-negative self intersection number. Then for each Spinc structure

s with ΦX,s6= 0, we have that

hc1(s), [Σ]i + [Σ] · [Σ] ≤ 2g − 2

定理 9. ([OS2, Theorem 1.1]) If (X, ω) is a closed symplectic 4-manifold with b+₂(X) > 1, then for the canonical Spinc structure k, we have

命題 2. ([OS2, Proposition 1.1]) For the K3 surface, ΦK3,k =    1 if c1(s) = 0 0 otherwise

定理 10. ([OS2, Theorem 5.1]) Let π : X → S2 be a relatively minimal Lefschetz fibration over the sphere with b+₂(X) > 1 whose generic fiber F has genus g > 1. Then for the canonical Spinc structure

k, we have

hc1(k), [F ]i = 2 − 2g, ΦX,k=±1

Moreover, for any other Spinc structure s6= k with ΦX,s 6= 0, we have

hc1(k), [F ]i = 2 − 2g < hc1(s), [F ]i.

3

Casson invariant

まず最初にCorrection term の定義,性質とその典型的な応用例を引用しておく.

定義 11. ([OS, p.21], Correction term) For a Spinc QHS (Y, t), d(Y, t) is the minimal grading of any

non-torsion element in the image of HF∞(Y, t) in HF+(Y, t).

補題 3. ([OS, Corollary 9.8], Correction term の性質)

d(Y1]Y2, t1]t2) = d(Y1, t1) + d(Y2, t2), d(Y, t) = d(Y, t), d(−Y, t) = −d(Y, t)

ここで, 3-, 4-manifold のSpinc構造を, それぞれnowhere vanishing vector 場, almost complex str.

J で表すことにすれば, conjugation t7→ t はv7→ −v, J 7→ −Jに対応する.

補題 4. ([OS, Corollary 9.8]) For a ZHS Y with d(Y ) < 0, there is no negative-definite 4-manifold X

with ∂X = Y , in fact

QX(ξ, ξ) + rkH2(X;Z) ≤ 4d(Y )

for each characteristic vector ξ.

さて, Y を整係数ホモロジー球面とする（よってSpinc構造は一意的）とき,

λ(Y ) ： Casson不変量

χ(HF_red+ (Y )) ： HF_red+ のオイラー標数

d(Y ) ： Correction term

の間に次の関係式が成り立つ.

定理 12. ([OS, p.30])

ただし, Casson不変量はλ(Σ(2, 3, 5)) =−1となるよう正規化している（Σ(2, 3, 5)はnegative definite

E8 plumbingの境界で,−1-framed 左手trefoil）.

Casson 不変量の公式を思い出しておく. λ ( (K;1 n) ) = n 2∆K 00_(1),  例：∆31(t) = t− 1 + t−1で∆0031(1) = 2. ∆41(t) =−t + 3 − t−1で∆0041(1) =−2.

また, Seifert 3-manifold (b; (a1, b1), (a2, b2),· · · , (an, bn)) に対する値は

{( 2− n −∑ i 1 a2_i ) 1 12e+ e 12 − sgn(e) 4 − ∑ i S(bi, ai) }/ 2 ここで e = b +∑ i bi ai . S(bi, ai)はDedekind和で,簡単なところでは S(1, p) = (p− 1)(p − 2) 12p , S(2, p) = (p− 1)(p − 5) 24p . 前述の例で 公式を確認してみる.

Y HF+(Y ) HF_red+ (Y ) χ(HF_red+ (Y )) d(Y ) λ(Y )

S3 T₍₀₎+ {0} 0 0 0 Σ(2, 3, 5) T₍₂₎+ {0} 0? 2? −1 −Σ(2, 3, 5) T₍+₋₂₎ {0} 0 −2 1 Σ(2, 3, 7) T₍₀₎+ ⊕ Z(−1) Z(−1) −1 0 −1 −Σ(2, 3, 7) T₍₀₎+ ⊕ Z₍₀₎ Z₍₀₎ 1 0 1 (41; 1/n) T₍₀₎+ ⊕ Z₍n₋₂₎ Zn₍₋₂₎ n 0 n (41;−1/n) T₍₀₎+ ⊕ Z₍n₋₁₎ Zn₍₋₁₎ −n 0 −n Σ(2, 5, 7) T₍₀₎+ ⊕ Z2₍₋₁₎ Z2₍₋₁₎ −2 0 −2 −Σ(2, 5, 7) T₍₀₎+ ⊕ Z2₍₀₎ Z2₍₀₎ 2 0 2 ΣMazur T₍₀₎+ ⊕ Z2₍₀₎ Z2₍₀₎ 2 0 2 Seifert invariants: Σ(2, 3, 5) = (−1; (2, 1), (3, 1), (5, 1)), −Σ(2, 3, 5) = (−2; (2, 1), (3, 2), (5, 4)) Σ(2, 3, 7) = (−2; (2, 1), (3, 2), (7, 6)), −Σ(2, 3, 7) = (−1; (2, 1), (3, 1), (7, 1)) Σ(2, 5, 7) = (−2; (2, 1), (5, 4), (7, 5)), −Σ(2, 5, 7) = (−1; (2, 1), (5, 1), (7, 2)) (41; 1/n) =−Σ(2, 3, 6n + 1) = (−1, (2, 1), (3, 1), (6n + 1, n))

4

Akbulut-Karakurt

論文の内容紹介

主定理 The involution τ on ∂W acts non-trivially on HF+(−∂W ). In fact,

c+(ξ) 6= τ∗(c+(ξ)) ∈ HF+(−∂W )

Moreover, c+(ξ)6= τ∗(c+(ξ)) in HF_red+ (−∂W ) = Coker : HF∞(−∂W ) → HF+(−∂W ). 例 ([AD])：HF+(ΣMazur) = T₍₀₎+ ⊕ Z(0)⊕ Z(0) への τ∗の作用は２つのZ(0)の交換.

＃注：論文には「T₍₀₎+ と 一方の_Z(0)（の生成元）を交換」と書かれていますが, τ はinvolution なので

(τ∗)2 = idのはずです. 丹下さんが本人に確認して下さいました.

主定理のKeyとなる定理.

定理13. [AO] Any Stein fillable contact manifold (Y, ξ) admits a concave symplectic filling V = V0∪V1,

where

V0 : Y cob

Y0 0-framed 2-handle attachment

along the connected binding of the open book of ξ

Y0 : surface bundle over S1 V1 : V1→ D2 LF over D2 extending Y0 with b+₂(V )≥ 2. V0 V1 Y _Y 0 W S3 V0 V1 Y S3 V W M X V ∂W ∂W 0 0 1 1 M W W τ = 図5: 参考図

［Step 1］まず, Contact 3-manifold (Y, ξ) をopen book表示(Σ, ϕ)する. このとき, 必要ならpositive Hopf plumbing して, binding を連結に（つまり knot に）しておく. このknotに沿う0-surgery を

(Y0, t0),このcobordismをV0 : Y cob

Y0 とする,ここでt0, sはcanonical Spinc 構造. Y0は, Σをclose したもの を Fiber とするS1上のFiber束(bΣ, ˆϕ)となる. これについて HF+(−Y0, t0) = Z[c] ∼= Z. が知られている. これと(V0, s)が定める写像F_(V+_0,s) : HF+(−Y0, t0)→ HF+(−Y, t)を利用してc+(ξ)∈ HF+(−Y, t)を定義する. （このとき,向き について−Y とせざるを得ない慣習らしい） 定義 14. [Contact invariant]  c+(ξ) = F_(V+ 0,s)(c) ∈ HF +_{(−Y, t) (up to±1)}

［Step 2］S1上の曲面(bΣ)束をD2上の Lefschetz Fibration に拡張したものが定理13のV1である. V0 とV1をY1で貼合せたV = V0∪ V1（∂V = Y）に穴をあけて向きを逆にしてV穴: S3 cob −Y とみなす. この cobordism が定める写像F_(V,s)+ : HF+(S3)→ HF+(−Y, t)について,次のことが知られている

補題 5. If c1(ξ)∈ H2(Y ) is torsion, then

F_(V,s)+ (Θ−₋₂) =±c+(ξ) ∈ HF+(−Y, t)

［Step 3］ここまで読むと (Y, ξ) = (∂W, ξ) に補題を適用しそうになるが, もう１ひねり必要. 主旨は 「2-handleのみの Stein cobordism M を挟み込んでも大丈夫」.

補題6. Let (Y, ξ) be a Stein fillable contact manifold with torsion c1(ξ). Let M be any Stein cobordism

built on (Y, ξ) which does not contain any 1-handles. Then M can be extended to a concave filling V of (Y, ξ) such that F_(V,s)mix(Θ−₋₂) =±c+(ξ).

［Step 4］Relative version Φ_(W,s)(ξ) of Ozsv´ath-Szab´o invariant.

Stein 4-manifold W with (∂W, ξ)（言い換えて (∂W, t)) に対して, W穴 : −∂W cob S3 _を考えて Φ(W,s)(ξ) (∈ Z/{±1}) を次で定める. 定義 15.  F_(W+ 穴,s)(c +_{(ξ)) = Φ} (W,s)(ξ)Θ+0 ∈ HF+(S3) (up to sign)

主定理の証明： 定理13のrelatively minimal Lefschetz Fibration X = W∪ M ∪ V についてのHF

と LFのBasic class に関する定理 9 「Φ(X,k) =±1」をX２穴 = W穴∪ M ∪ V穴 に適用して Θ+₀ = ± F_(Xmix ２穴,s)(Θ − −2) = ± F_(W+ 穴,s)◦ F mix M∪V穴(Θ − −2) = ± F_(W+ 穴,s)(c +_(ξ)) 特に, c+(ξ)がnontrivial であることがわかる.

一方, Mを ハンドルを使ってうまく構成する([AY])とW のCork twist τ でXτ = W ∪τM∪ V が

adjunction formula を壊す Surface を（W ∪τM 内に）もつようにできて, このとき定理 10 の後半に より 0 = ± F_(Xmix τ, ２穴,s)(Θ − −2) = ± F_(W+ 穴,s)◦ τ ∗_{◦ F}mix M∪V穴(Θ − −2) = ± F_(W+ 穴,s)(τ ∗_c+_(ξ))

このことから τ∗c+(ξ) 6= c+(ξ) ∈ HF (−∂W, t) が得られる. 後半は, τ∗ : HF+(−∂W ) → HF+(−∂W )が U -同変で HF∞(−∂W )の像を保つことから. 謝辞. このメモの初期の版に注意深く目を通していただき,有意義なコメントをくださった丹下基生さん に 感謝いたします. また,安部哲哉さんを始め,ハンドルセミナーの皆様に感謝いたします.

参考文献

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boundary , preprint Arxiv: math.SG/0110170v2

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