0
≦θ < 2 π
のとき，次の方程式を解け。(1)
sin 2 θ = cos θ
⇔2 sin cos θ θ = cos θ
⇔
cos (2 sin θ θ − = 1) 0
よってcos θ = 0
…① または1
sin θ = 2
…②①のとき
3
2 , 2
θ = π π
， ②のとき5 6 , 6 θ = π π
したがって
5 3
, , ,
6 2 6 2
π π
θ = π π
〔別解〕
sin 2 sin 2 θ = π − θ
n ∈
とし，一般角で考えて2 2
2
nθ = π − θ + π
より2
6 3
π
nπ θ = +
2 2
2
nθ π = − π − θ + π
よりθ = π 2 +
nπ
この中で，
0
≦θ < 2 π
にあたるものは5 3
, , ,
6 2 6 2
π π
θ = π π
(2)
cos 2 θ + cos θ + = 1 0
⇔2 cos
2θ − + 1 cos θ + = 1 0
⇔
cos (2 cos θ θ + = 1) 0
よってcos θ = 0
…① または1
cos θ = − 2
…②①のとき
θ = 0
， ②のとき2 4 3 , 3 θ = π π
したがって
2 4
0, ,
3 3
θ = π π
sin α = sin β
のとき，単純にα β =
とすることはできません。正しくはsin α = sin β
⇔α β = + 2n π
（n ∈
）またはα π β = − + 2n π
（n ∈
）です。
８６．三角関数を含む方程式③
(1)
5 3
, , ,
6 2 6 2
π π
θ = π π
(2)2 4
0, ,
3 3
θ = π π
(3)
3 5 3 7
, , , , ,
4 2 4 4 2 4
π π
θ = π π π π
(4)3 7 11 15
0, , , , ,
8 8 8 8
θ = π π π π π
(3)
cos θ + cos 3 θ = 0
⇔cos θ − 3cos θ + 4 cos
3θ = 0
⇔
2 cos
3θ − cos θ = 0
⇔
cos θ ( 2 cos θ + 1 )( 2 cos θ − = 1 ) 0
よって
cos θ = 0
…① または1
cos θ = 2
…② または1
cos θ = − 2
…③①のとき
3
2 , 2
θ = π π
， ②のとき7 4 , 4
θ = π π
， ③のとき3 5 4 , 4 θ = π π
したがって
3 5 3 7
, , , , ,
4 2 4 4 2 4
π π
θ = π π π π
(4)
sin 3 θ − sin θ = cos 3 θ − cos θ
⇔3 3 3 3
2 cos sin 2 sin sin
2 2 2 2
θ θ + θ θ − = − θ θ + θ θ −
⇔
2 cos 2 sin θ θ = − 2 sin 2 sin θ θ
⇔
sin (sin 2 θ θ + cos 2 ) θ = 0
⇔
sin 2 sin 2 0
4 θ ⋅ θ + π =
⇔
sin sin 2 0
4 θ θ + π =
よって
sin θ = 0
…① またはsin 2 0 4 θ π
+ =
…②①のとき
θ = 0, π
，②のとき
17
4 2 4 4
π
≦θ + π < π
であるから2 , 2 , 3 , 4 4
θ + π = π π π π
⇔3 7 11 15
, , ,
8 8 8 8
θ = π π π π
したがって
