行列の乗の確認★行列の乗の求め方のパターンを理解しておこう！

◎ 固有値を利用しない場合

行列 A ^の n ^乗の確認

★行列Aのn乗の求め方のパターンを理解しておこう！

⇒

_{nをkで割った余りで分類}

例）

2, 3,

A A と計算して A^k ● E

２

⇒

_Aⁿを推測し、数学的帰納法で証明

2, 3,

A A と計算して ある規則性が

３

⇒

^{CH 定理によりA2}  ^{sA tE O}とし

 ²  ^{ }

xn x  sx tE Q x  px q と計算できたなら、

AnpA qE CH 定理の利用 その① 割り算の応用

４

⇒

CH 定理により^A2 a b^Aab^E^Oで CH 定理の利用 その② 漸化式の応用

５

⇒

つまり( ) 0A  となるタイプ

CH 定理によりで ²

0

( ) ( )

A a d A ad bc E O



     なので A²(a d A ) （次数下げ）

CH 定理の利用 その③ A^1が存在しない

６

n n

n n

a b A c d

 

 

 とする

1

n n n

A^ A AAA から対応する成分を比較するこ とによりa_n1,b_n1,c_n1,d_n1をa b c d_n, , ,_{n n n}で表し、こ れらの漸化式を利用して、Aⁿの各成分を決定 数列の漸化式の利用

７

⇒

ⅰ) _{a b} のとき

   

A AaE b AaE より^{A An} a^Ebⁿ^Aa^E

   

A AbE a AbE より^{A An} b^Eaⁿ^Ab^E 辺々引いて整理すると

n n n n

An b a A ab ba E b a b a

 

 

ⅱ) _{a b} のとき

   

A AaE b AaE より

   

n n

A AaE a AaE

辺々a^n1で割って整理すると

 

1 1

n n n

A na^A n aE A2E のタイプ

⇒ ^{( )}

( )

n A n

A E n

 



が奇数のとき が偶数のとき

A2 E のタイプ

⇒

( 4 3)

( 4 2)

( 4 1)

( 4 )

n

A n m

E n m

A A n m

E n m

 

  

   

 



A2O のタイプ

⇒ AⁿO (n≧2)

cos sin

sin cos A a qq qq

  

 

  と表されると

cos sin

sin cos

n n n

A n n

q q

a q q

  

 

   原点を中心とする角θの回転移動

８

⇒

⇒

_Aⁿを推測し、数学的帰納法で証明

2, 3,

A A と計算して ある規則性が

１

万能型

◎ 固有値を利用する場合

固有方程式^k2 ^{a d k}  ^ad^bc⁰の２解を a b, とする．

●_{a b} のとき

●_{a b} のとき

■■□ 固有値・固有ベクトルとは □■■

行列Aに対してAuku u , 0を満たす実数kが存在するとき、kをAの固有値、uをkに対するAの固有 ベクトルという。

■■□ 固有方程式とは □■■

行列A ^{a b} c d

 

 

 の固有値kが存在することは、^{ }^{A kE}^{0を満たす実数k}が存在することと同値である。

ここで ^{A kE}⁰は^k2 ^{a d k}  ^ad^bc⁰のことでる。これをAの固有方程式という。固有値kは固 有方程式の実数解にあたる。

■■□ 固有値・固有ベクトルを求める □■■

固有値は ^{A kE}⁰または^k2 ^{a d k}  ^ad^bc⁰より求める。

固有ベクトルはAuku u , 0より^{A kE u} ⁰を満たすuを求める。

行列の対角化 ^{P AP1} ^{nP A P1 n の活用}

９

⇒

二項展開 AaPbQの活用

10

⇒

P p r q s

 

 

 とすると ^{1 0}

B P AP a0

  b

   よって ^{0 0}

0 0

n n

n

a a

b b

 

   

   

   

  

  

   

^{P AP1} ^{nP A P1 n から AnPB Pn 1}

一般に２次の正方行列Aが異なる２つの固有値a b, をもつとき aPbQA P Q Eを満たす行列

,

P Qに対して PQQPO, P²P Q, ²Q が 成 り 立 つ ． こ の よ う に 、 2 次 の 正 方 行 列 A を

 

AaPbQ P Q E の形に表すことをスペクト ル分解という

このとき ^An^aPbQ^{nanPbnQ}

（P Q E PQ, QPOのとき、PⁿP Q, ⁿQ） 固有ベクトルの活用

11

⇒

p p , r r

A A

q a q s b s

       

       

       

       

   

       から ⁿ p ⁿ p , ⁿ r ⁿ r

A A

q a q s b s

       

       

       

       

   

       

よって A^{n p r n}_n^{p n}_n^r

q s q s

a b

a b

 

   

  

   

  

  

    から

n n 1

n

n n

p r p r

A q s q s

a b a b

  

  

   

行列の三角化 ^{P AP1} ^{nP A P1 n の活用}

12

⇒

₁

0 P AP a x

  aのとき

0 0

n n

n n

x x

a a

a a

 

   

   

   

  

  

   で

xnを求める．このとき ¹ 0

n

n n

n

A P a x P a ^

 

 

   二項展開 ^{AaEN N} ^2O^の活用

13

⇒

このとき ^Ana^E^Nⁿa^nE ⁿ a^n1N