e iτ k } m−1 k=0  m À Ï;È2Ã˷LjÎÓÎÅ2Æ Ç Æ È Ç2Ï;ÊÏ;Ë Ì ¾ × Ç2Ï ¿À ÆÜ LRÝ ÏÖ Þ ÇˆÎÈ Æ2Ð ρ(z, E

%'&()*,+-

(.*

/10 243

*65879.);:<=

>?A@CBED2FGHB2IEJGHB K

LNMPORQORSUT1VWQWXZYEOR[UXUXCSPLRQW\UVW]8^_Ma`\bLdceVfT1]gLh!\bLRijLa]8Vf1LR]dLRijLkSPlZOmf1fO

OR\UOmlZXUT1XUnUVfSUXPMa]oSUQ,pPiVrqPpP\USU[UXUs

1

tuG,vwG,xzy2{R|#}~€,bGW‚G,ƒR|„W…j†9|ˆ‡ˆy

‰wŠ;‹ŒŽŽ,‘;’“”;–•;‘;’•;Ž,‘—;˜™‹•—;WšŽŠ•;–›Žœ9Rž •;ŸW ˜ Ž›R‹•‹’—;Ž—”; ˜ š—1›dšŠ“¡™W¢“•;š£—¤¥¦‘“˜ š‹§

¨j©

—RŠŽ˜ ›Œ’—;ª–—Pª™‹™¦‹••;¡™8š•;–”•;¡™8ž •;ŸW ˜ Ž›‹8”; šm¡™Š;‹•—”•;¤RŽšŠ“Ÿ•;Ž˜ Ž—«

¬m­ ®d¯'°±;²8°_³­ ´;±;µ#¶·‹•‹’—;Ž—”; ˜ š‹¸¹¢“•;š£—;¸¥jº¦;—•—”•œ9¤wšŠ“¡–¥jž •;ŸW ˜ Ž›»•“’;–¤¼‹•‹’—;Ž—”; ˜ š¤

¢“•;š£——«

½P¾¿ÀÁ

D

ÂÄÎÅ2Æ Ç Æ È Ç É1ÊAË Ì

¾Í

LjÎmËÏÐ6Ñ'҈ÃË

¿

Ç2Ï;ÊÓÑ'҈Ï

¿

ËÏ

¿À

ÆÔ

T

ÂÄÃ Í Ï Í

̈ÎÇ Æ ÕˆÎ'Ô

H( D )

^{ÂgÐ6Ç2ÏÖ}

× Ã

¿ÀØ

Ï

Ø¿

ÎÙAÎLjÎÒ2Æ

À

Æ È2Ã

¿

Ë Æ'Ù

Ø

D

Ú ¾

Ç Ë Õ Æ ÊÔ

Z _f

^{ÂgÐ6Ç2Ï × Ã ¿ÀØ ÏZÇ ¾ ҈ÃÊ À Ï × ÅˆÃ ¿ÀØ ÃÇ Ç2ÏbÏ À} Ò2Æ È Ç2Ï;Ê Ï À Ç ¾

Ò2ÛÚ

¾

Ç Ë Õ Æ Æ

f ∈ H( D )

^Ô

E = { e ^{iτ k} } ^m−1 k=0

^Â

m

^À Ï;È2Ã˷LjÎÓÎÅ2Æ Ç Æ È Ç2Ï;ÊÏ;Ë Ì

¾ ×

Ç2Ï

¿À

ÆÜ LRÝ

ÏÖ

Þ

LjÎÈ Æ2Ð

ρ(z, E ) = dist(z, E)

^{Âß̈Π¿¿À ÏÛ'Ç Æ2Ã!Ï À Ñ Ì2Ï;Æ Þ Ø ÏÒ Á Ç2Ï;Ê À Ï;È Ë Æ}

z ∈ D

ňÏAÐ6Ç2Ï

× Ã

¿ÀØ

Î

E

^Ü

Q Î

¿¿

Ð,Ï

À

Ì Æ2ÐàË'ÒÎ

¿¿

H ϕ (E) =

f ∈ H( D ) : ln | f(z) | 6 c _f ϕ 1

ρ(z, E )

, z ∈ D

,

Í

ňÃ

ϕ

^{ÂáÐ,Ï;Ç2Ï À Ï;Ç Ç2Ï Ø Ï Þ ÌˆÎ ¿À} ÎâRãäÎÛwÑ2Ï҈Ï

× Æ À

ÎÒ

Á

LjÎÛÚ

¾

Ç Ë Õ Æ ÛåLjÎ

R ₊

Ü

Y

ňÃ

¿Á

Æ Ø ÅÎÒ

Á

Ç2ÃÊ æçÃÐ1ÔrÃ

¿

Ò2ÆèÇ2ÃáÏ Í Ï Ø

Ï;Ì2ÃÇ2ÏéÆ Ç2ÏÃÔrÐ6É Ý ¾

ňÃÐêÏ Ý Ï Þ

LjÎȈΠÀÁ

È2ÃÌ2Ã

Þ

C, c, c ₁ , . . . , c _n (α, β, . . .)

^{Ñ2ÏÒˆÏ × Æ À ÃŽÒ Á Ç ÉdÃ!ËÏ;Ç ¿À ÎÇ À ÉZÔ Þ Î Ø Æ ¿ Û'ã!Æ2ÃbÏ À}

α, β, . . .

] À

ÏÐ

¿ Ò ¾

ȈÎ;ÃÔËÏ

Í

ÅÎ

E

^{¿ Ï ¿À Ï;Æ À Æ Þ ÏÅ2Ç2Ï;Ê À Ï;È Ë ÆÔ}

ϕ(t) = t ^q

^Ô

0 < q < 1

ÔÑ2ÏÒ2Ç2ÏÃAÏ;Ñ Æ

¿

ÎÖ

Ç Æ2Ã!ËÏ;Ì Ç2Ã

Ø

É8ÙÐ6Ç2Ï

× Ã

¿ÀØ

Ë'ÒÎ

¿¿

Î

H _ϕ (E)

^{Ý É8҈ÏåÑ2ÏÒ ¾ È2ÃÇ2Ï Ø ÌˆÎ Ý Ï À ÎÙ ` Ü ` Ü h × Ì Ý} Îæ!Û'LjηëíìŽîºÔ

M

ÜïðÎÑ Æ Ì2ÏåÆ

O

ÜïkÆ'Ò Å

¿

ηëñîºÜ ]NÝ

à ¿

ËÏ;Ç2ÃÈ Ç2ÏÐ

¿ Ò ¾

ȈÎ;ÃÔËÏ

Í

ÅÎ

E = T

Ô

ϕ(t) = ln t

^{Ì2Ã Þ ¾ Ò ÁÀ Î À}

Ï;ËÏ;Ç ÈˆÎ

À

ÎÒ

Á

Ç2Ï

Í

ÏÓÙÎ̈ÎË

À

Ã̈Î

Ý

É8Ò¼Ñ2ÏÒ

¾

È2ÃÇ S Ü f

ÃÊ Ñ2ÏÐÄò

¿

Ð1ÜëóîõôŽÜ

½

ÏÒ2Ç2ÏÃbÏ;Ñ Æ

¿

ÎÇ Æ2ÃZËÏ;Ì Ç2Ã

Ø

É8Ù

Ð6Ç2Ï

× Ã

¿ÀØ

Æ·ÚbÎË

À

Ï;Ì Æ

Þ

ÎÕ Æ2Ï;Ç Ç2ÏÃäÑ Ì2ÎÅ

¿À

Î Ø

҈ÃÇ Æ2ÃäË'ÒÎ

¿¿

Î

H _ϕ (E)

^Ô

E = T

Ô Øå¿

Ò ¾ ȈÎ;Ã

Ý

Ï҈ÃÃçÏ Ý Ö

ã!Æ'Ù Ø Ã ¿ Ï Ø

Ñ2ÏÒ

¾

È2ÃÇ2ϼÃãçà Øö÷

ÖøÙ ÍÍ

Ü q Ü O

ÜïðÎ;Ð,ÏÛ'Ç2ÏÐáò

¿

Ð1Ü·ëùú'ûîõôŽÜ

½

Ì Æ

Ø

ÎňÃÐNÇ2ÃËÏ

À

Ï;Ì ÉdÃ

Ì2Ã Þ ¾ Ò

ÁÀ

Î À ÉÄÆ

ÞUü

À

Æ'Ù¹ÌˆÎ Ý Ï À Ü

½P¾¿ÀÁ

ϕ(x)

^{ÂýÐ,Ï;Ç2Ï À Ï;Ç Ç2Ï Ø Ï Þ ÌˆÎ ¿À} ÎâRãäÎÛ_Ñ2Ï҈Ï

× Æ À

ÎÒ

Á

LjÎÛþÚ

¾

Ç Ë Õ Æ Û9Ô

ϕ ∈ C ⁽¹⁾ (1, + ∞ )

^Ô

À

ÎË'ÎÛ9Ô2È À Ï

lim

x→+∞

ϕ ⁰ (x)x

ϕ(x) = β _ϕ , lim

x→+∞

ϕ ⁰ (x)x

ϕ(x) = α _ϕ , (1)

Æ

1 < β _ϕ 6 α _ϕ < + ∞

^Ü

f

Ñ ÌˆÎ

Ø

ΊÒ2Æ Ø É ¿

҈ÎÅ

¾

âRã!Æ2Ã

¾ÀØ

ÃÌ

×

ňÃÇ Æ Û9ÿ

^{‹ž2¸•d«W«}¥' ¦;—;š›‹9««

1

‹ŒŽŽŽ‹9›Žœ9‘;’•;–•‹9‘;Š—¢—•‹•;˜ ›¤‘; ¦¦ ŠŸš'Ž˜ ˜–—¤;˜ š¡™j¢j•¦‹¢“•¦‹ž2–•;Ž‹’Ž•œ96—;˜ ˜–’;º¦›‹•—¤¥

‘;ŠŽ š § § ¥—! m—•—;˜  Š˜ Ž›‹ŽŒŽŠ;‹ª ›‹•—;¸m—R•‹ “š—"d¥‘;ŠŽ š# « «$ «

û

#|{RywGm 2

∆ _k,l = n

1 − ₂ ¹ k 6 | z | < 1 − ₂ k+1 ¹ , ^πl _{2 k} 6 arg z < ^π(l+1) _{2 k} o

"E$ E

>jE$ – $ ;$ -;- #"2 *

k = 0, 1, 2, . . . , l = − 2 ^k , . . . , 2 ^k − 1

^*

Z = { z _k } ^+∞ k=1

0 - E– -

$ - ¹ - w2

D

^*

n _k,l

;E - -

{ z _k }

^{ä0#" - ;- $ 2}

∆ _k,l

^{7d+- »E–2 !E}

E'–" b$ »"$

-

$ /!

1. Z = Z _f f ∈ H ϕ ( T )

^*

2. n _k,l 6 cϕ(2 ^k )

^*

k = 1, 2, . . . , l = − 2 ^k , . . . , 2 ^k − 1

⁷

#|{Ry#"»G$m 2

ψ(x)

- $ - -

$ $

-

%/1&A&'1 $ o$ 0 - -

(0, + ∞ )

^*

& -

x→+∞ lim ψ(x) = 0

^*

ϕ(x)

- $ - - $ $ - - "&A& 0 - - äE $&(1 $ *

ϕ ∈ C ⁽¹⁾ (1, + ∞ )

^{* - E -} " A&» 2 -

(1)

^7m+- AE–2 !E E'–" b$ Ó"$ -

$ /!

1.

^{?ä 0#" - 2 - $ - r0 - E– - $ -}

{ z _k } ^+∞ k=1 = Z _f

^*

f ∈ H ϕ ( T )

^{* ) - E*þ"}

P +∞

k=1 ψ

1 1−|z _k |

< + ∞

⁺

2. R +∞

1 ψ(x) ϕ(x) dx < + ∞

⁷

]

ÅÎÒ

Á

Ç2ÃÊ æçÃÐàÅ Ò2Û

¿ Ò ¾

ȈÎÛ9ÔËÏ

Í

ÅÎ

E ⊂ T

 ËÏ;Ç2ÃÈ Ç2ÏÃçÐ6Ç2Ï

× Ã

¿ÀØ

Ï À

Ï;È2ÃËLjÎÓÎÅ2Æ Ç Æ È Ç2Ï;Ê

Ï;Ë Ì

¾ ×

Ç2Ï

¿À

ÆÔ

Ø

ÌˆÎ Ý Ï À

ÃAë,î

Ý

É8҈Ï

¾¿À

ÎÇ2Ï

Ø

҈ÃÇ2Ï

¿

҈ÎÅ

¾

âRãçÃÃ

¾ÀØ

ÃÌ

×

ňÃÇ Æ2Ãÿ

#|{Ry.-»G/8

f ∈ H _ϕ (E)

^*

ϕ(t) = t ^q

^*

q > 0

^*

{ z _k } ^+∞ _k=1

0 - E– - $ - w$ E

1 $

f

^{* - ) -} E*å" 0

X +∞

k=1

(ρ(z _k , E)) ^{(q−1+ε) +} (1 − | z _k | ) < + ∞ ,



ε

- ç ;- $ - - m0 - - äE $ - ä;E -*

x ₊ = max(x, 0)

⁷

]

Ç2ÎÅÎ

Ø

Ç Æ'ÙåÌˆÎ Ý Ï À

ÎÙ l Ü i

ÏÒ2Æ Ç

¿

ËÏ

Í

Ï Ô f Ü S ¾

Ñ Æ ÇˆÎ'Ô

f Ü q Î Ø

Ï;Ì2Ï

Ø

Î'Ô l Ü Q

ÎÅ2È2ÃÇ ËÏAÑ2Ï

¿

҈ÎÅ2Ç Æ Ê

Ì2Ã Þ ¾ Ò

ÁÀ

Î À Ý É8ÒþÏ

Ý Ï Ý

ãçÃÇ

Ø

̈Î

Þ

Ò2Æ È Ç É8ÙuLjÎÑ ÌˆÎ

Ø

҈ÃÇ Æ ÛÙ ò¿ Ð1Üë

ö

úììŽîõôŽÜ

½

ÏňÏ

Ý

Ç ÉdÃåÌ2Ã Þ ¾ Ò

ÁÀ

Î À É

Æ2Ð,Ãâ

À

Ì#ÛÅ Ø Î ×

Ç É8Ù·Ñ Ì Æ'҈Ï

×

ÃÇ Æ Ê Ø¹À

ÃÏ;Ì Æ Æ_Ï;Ñ2Ã̈Î

À

Ï;Ì2Ï Ø Ô À

ÃÏ;Ì Æ ÆuÎÑ Ñ Ì2Ï;Ë

¿

Æ2ÐWÎÕ Æ ÆuÆ·Å2Ì

¾Í

Æ'Ù

̈Î

Þ

ňÎÒÎÙËÏÐ6Ñ'҈ÃË

¿

Ç2Ï

Í

ÏåÆ·Ú

¾

Ç Ë Õ Æ2Ï;LjÎÒ

Á

Ç2Ï

Í

ϹÎLjÎÒ2Æ

Þ

ηò

¿

Ð1Ü

À

Î;Ð

×

ÃôŽÜ

]

ȈÎ

¿À

Ç2Ï

¿À

ÆÔ

Ø

̈Î

Ý

ÏÖ

À

ùëíììŽîºÔÎ ØÀ

Ï;Ì ÉaÑ2ÏÒ

¾

È Æ'Ò2ÆuÎLjÎ҈Ï

Í

Ç2ÃÏ

Ý

Ù#ÏÅ2Æ2Ð,Ï Í Ï

¾¿

҈Ï

Ø

Æ Û Ø¹À

ÃÏ;Ì2ÃÐ,Ã21NÅ Ò2Û·Ë'ÒÎ

¿¿

Î

H _ϕ (E)

^Ü

L

Å2LjÎËÏ!Ñ2ÏÒ2Ç2Ï

Í

ÏçÏ;Ñ Æ

¿

ÎÇ Æ Û»ËÏ;Ì Ç2Ã

Ø

É8ÙåÐ6Ç2Ï

× Ã

¿ÀØ

Ë'ÒÎ

¿¿

Î

H _ϕ (E)

^{ÅˆÏ ¿} Æ'ÙAÑ2Ï;Ì»Ç2Ã

Ý

É8҈ÏbÑ2ÏÒ

¾

È2ÎÖ

Ç2Ï Ü

\

Î;Ð6Æ·Å Ò2Û

¿ Ò ¾

ȈÎÛ·ËÏ;Ç2ÃÈ Ç2Ï

Í

ÏwÐ6Ç2Ï

× Ã

¿ÀØ

Î

E = { e ^{iτ k} } ^m−1 k=0 ⊂ T

^¾¿À ÎÇ2Ï

Ø

҈ÃÇ É

¿

҈ÎÅ

¾

âRã!Æ2Ã

Ì2Ã Þ ¾ Ò

ÁÀ

Î À ÉZÿ

#|{Ry DˆG3m 2

ϕ

- $ - - $ $ - - "&A&Ä0 - - äE $&41 $ *

ϕ ∈ C ⁽¹⁾ (1, + ∞ )

^{* & * -}

x→+∞ lim ϕ ⁰ (x)x

ϕ(x) = α _ϕ . (2)

/8

f ∈ H _ϕ (E)

Z _f = { z _n } ^+∞ n=1

* - å ! -;-

R > 1

0#"'– - E$

X

1

R 6ρ(z n ,E)62

(1 − | z _n | ² ) 6 c _f

ϕ(R)

R +

Z R 1

ϕ(x) x ² dx

. (3)

Ž"$ -*

ô

α _ϕ / ∈ Z ₊

^*

{ z _n } ^+∞ n=1

0#" - 2 - $&»0 - E– - $ - å - »2

D

^{* - E -}

" A&Ó 2 -

(3)

^*

ûû

ô

α _ϕ ∈ Z ₊ \ { 1 }

^*

{ z _n } ^+∞ n=1

0#" - 2 - $&0 - E– - $ - - 2

D

^{* -}

E

-

" A&w$" 2 8 2

-

E

(3)

^{2 -}

sup

0 6 k 6 m−1

X

1

R 6 ρ(z n ,E) 6 2

i e ^{iτ k} + z _n e ^{iτ k} − z _n

−α ϕ 6 M, M > 0,

0#"

sup

x>1

x ^{α ϕ}

ϕ(x) < + ∞ ,

- ä$ - 0 - Ž" - E 1 $

g ∈ H _ϕ (E)

^{* $ _ - - " - à - 0&bA - ; 6 0 - E– -}

$

-

{ z _n } ^+∞ n=1

7

L À

Ð,Ã

À

Æ2Ð1Ô È À Ï À

Ì2Ã Ý Ï Ø

ÎÇ Æ2Ã

Í

ÒÎÅ2ËÏ

¿À

ƼÚ

¾

Ç Ë Õ Æ Æ

ϕ

^LjÎ

(1, + ∞ )

^{Ð,Ï × Ç2Ï Þ Î;Ð,ÃÇ Æ ÀÁ LjΠ¾¿ ҈ÏÖ}

Ø

Æ2Ã

ϕ ∈ C ⁽¹⁾ (a, + ∞ )

^{Ô Í ÅˆÃ}

a

^{ÂßÑ Ì2Ï;Æ Þ Ø ÏÒ Á Ç2ÏÃUÅˆÏ ¿À Î À Ï;È Ç2Ï Ý ÏÒ Á} æçÏÃUÑ2Ï҈Ï

× Æ À

ÎÒ

Á

Ç2ÏÃbÈ Æ

¿

ÒˆÏ Ü

#|{Ry EG3m 2

ϕ

- $ - -

$ $

- -

"&A&Ä0

- -

äE $&41 $

*

ϕ ∈

C ⁽¹⁾ (1, + ∞ )

^7m5 E–2 !E1 E'–" b$ »"$ - $ /!

1.

^{?ä u ! - u0 - E– - $ -}

{ z _n } ^+∞ n=1 = Z _f

^*

f ∈ H _ϕ (E)

^{* /10 - $ *_ 2 - E}

!2

* 7 7

X +∞

n=1

(1 − | z _n | ) < + ∞ ,

2.

^{1 $}

ϕ

^{- E - " Z 2 -}

+∞ Z

1

ϕ(x)

x ² dx < + ∞ . (4)

#|{Ry I9G3m 2

ϕ

- $ - - $ $ - - "&A&Ä0 - - äE $&41 $ *

ϕ ∈ C ⁽¹⁾ (1, + ∞ )

^{* & * -}

α _ϕ > 1

^*

f ∈ H _ϕ (E)

^*

{ z _n } ^+∞ n=1 = Z _f

^*

ψ(x) ↓ 0

^*

x → 0+

^*

ψ ∈ C ⁽¹⁾ (0, + ∞ )

^{* ¹0#" -}

R→+∞ lim ψ 1

R

ϕ(R)

R < + ∞ .

+- *

+∞ R

1

ψ ⁰ _x ¹ _ϕ(x)

x ³ dx < + ∞

^{* -}

+∞ X

k=1

ψ(ρ(z _k , E))(1 − | z _k | ) < + ∞ . (5)

Ž"$ -*

R +∞

1 ψ ^{0 1} _{x ϕ(x)}

x ³ dx = + ∞

^{* - - ä$ - '$ - #m0 - Ž" - E 1 $}

g ∈ H _ϕ (E)

^*

g 6≡ 0

^{* ß -}

g(z _k ) = 0

^*

k = 1, 2, . . . ,

^{å - - " - ¹"}

(5)

^{") - E* 7}

»V ¿

Ò2Æ

Ø

ÚZÏ;Ì2Ð

¾

Ò2Æ Ì2Ï

Ø

ËÃ

À

ÃÏ;Ì2ÃÐ6ÉáóåÑ2Ï҈Ï

× Æ

ÀÁ

0 < α _ϕ < 1

^{Ô À ϹÌ#ÛÅròô}

Ý ¾

ňà ÀA¿

Ù#ÏÅ2Æ ÀÁ¿

ÛwÅÎ

× Ã ØäÀ

ÏÐ

¿ Ò ¾

ȈÎ;ÃÔ ËÏ

Í

ÅÎ

ψ(x) > δ > 0

^Ô

x ∈ R ₊

ò¿

Ð1ÜíÔ ÇˆÎÑ Ì Æ2Ð,ÃÌÔëù;îõôŽÜ L À Ö

Ð,Ã

À

Æ2Ð

À

ÎË

×

ÃÔ È

À

ÏçÐ,Ã

À

ÏŹňÏ;Ë'Î Þ Î À

ÃŽÒ Á¿ÀØ

Î À

ÃÏ;Ì2ÃÐrìú'ó

¿¾

ãçÃ

¿ÀØ

ÃÇ Ç2ÏçÏ

À

Ò2Æ ÈˆÎ;à À¿

Û¼Ï

À

Ð,Ã

À

ÏÅˆÏ Ø Ô

Æ ¿ Ñ2ÏÒ

Á Þ ¾

ÃÐ6É8Ù ØÓ¿À

Î

ÀÁ

ÛÙ_ë,úììŽîºÔ2Æ

Ø

Ñ2ÃÌ

Ø

ÉdÃ

Ý

É8Ò¼Ñ Ì Æ2Ð,ÃÇ2ÃÇÑ2ÃÌ

Ø

ÉdÐ Î ØÀ

Ï;Ì2ÏÐ

Ø

ÌˆÎ Ý Ï À

ÎÙ_ëíìñ'Ô

ìóîºÜ

!gX

Ç À ÃÌ2Ã

¿

Ç2Ï

¿

̈Î

Ø

Ç Æ ÀÁ

Ì2Ã Þ ¾ Ò

ÁÀ

Î

ÀþÀ

ÃÏ;Ì2ÃÐ6ÉéñÅ Ò2Û

¿ Ò ¾

ȈÎÛàÇ

¾

҈ÃÊÔd̈Î

¿ Ö

Ñ2Ï҈Ï

×

ÃÇ Ç É8٠LjÎüÎÅ2Æ

¾¿

Ã

(0, 1)

ÎÅ2Æ Ç Æ È Ç2Ï

Í

ÏþË Ì

¾Í

Î'Ô

¿ Ï ¿

҈ÎÅ

¾

âRãçÃÊ

À

ÃÏ;Ì2ÃÐ,Ï;Ê

M

ÃÊ2ÐWÎLjÎ_Â

S

Ï;Ì2ÃÇ

Ý

Ò2âPÐWμò

¿

Ð1Üëíìù;îõôŽÜ

û ,

#|{RyN‚G m 2

ϕ

- $ - - $ $ - - "&A& 0 - - äE $& 1 $ _$

R ₊

⁷

5

E–2 !E1 E'–" b$ »"$

-

$ /!

1.

^{?ä ¹ ! - ¼0 - E– - $ -}

{ r _n } ^+∞ n=1 = Z _f

^*

f ∈ H _ϕ ( T )

^*

r _n > 0

^*

n ∈ N ,

^{/10 - $}

*» 2 - E !2

X +∞

n=1

(1 − r _n ) < + ∞ ,

2.

^{1 $}

ϕ

^{- E - " b 2 -}

Z +∞

1

ϕ(x) x ³

¹ ₂

dx < + ∞ . (6)

X Þ ¿

Ù#ÏÅ2Æ2Ð,Ï

¿À

Æ¹Æ Ç À à Í

̈ÎÒλòøûô

¿

҈ÎÅ

¾ Ã Àç¿

Ù#ÏÅ2Æ2Ð,Ï

¿ÀÁ

Æ Ç À Ã Í

̈ÎÒÎåòùôŽÔÇ2ÏbÏ

Ý

̈Î

À

Ç2ÏÃRÇ2Ã

Ø

ÃÌ Ç2Ï Ü

\ Î ü À Ï ¾

Ë'Î Þ É Ø

Î;Ã

À

Ñ Ì Æ2Ð,ÃÌÚ

¾

Ç Ë Õ Æ Æ

ϕ(x) = _{(ln 2x)} ^x 2 , x > 1

^Ü

h

Ï;Ë'Î Þ Î À

ÃŽÒ Á¿ÀØ

ÏaÏ

¿

Ç2Ï

Ø

Ç É8ÙCÌ2Ã Þ ¾ Ò

ÁÀ

Î À Ï Ø

Ï;Ñ Æ ÌˆÎ;à À¿

ÛßLjÎ

¿

҈ÎÅ

¾

âRã!Æ2Ã Ø¿

Ñ2ÏÐ,Ï Í Î À

ÎÒ

Á

Ç ÉdÃ

¾ÀØ

ÃÌ

×

ňÃÇ Æ Û9Ü

{P{RyNDˆG m 2

w = ρe ^iθ = i ^e _e ^iτ _iτ ⁰ ₀ ^+z _−z

- $% - "E6$ - - - Ž"A$ Eå– $ ;$ -;- #"2

$ç'–"'$ k0

-

0

-

-

C ₊

^{* }

0 6 τ ₀ 6 2π

^{7Z+- A0#"¼'}

0 < θ < π

^*

1 6 ρ < + ∞

0#"'– / - E$

sin θ

ρ 6 1 − | z | ² 6 4 sin θ

ρ , (7)

1

ρ 6 | e ^{iτ 0} − z | 6 2

ρ . (8)

C

½ Ï ¿

ËÏÒ Á Ë ¾

w = ρe ^iθ = i ^e _e ^iτ iτ ⁰ 0 ^+z −z

^Ô

À Ï

z = e ^{iτ 0 1+iw} _1−iw

^{Ô Ï À Ë ¾ ÅÎ}

1 − | z | ² = 4ρ sin θ

1 + 2ρ sin θ + ρ ² = 4 sin θ ρ

1

1

ρ ² + ^{2 sin} _ρ ^θ + 1 .

p

È Æ À É Ø

ÎÛ9Ô È

À Ï

1 6 ρ < + ∞

^Æ

sin θ > 0

^{Ô Ñ2ÏÒ ¾ ȈÎ;ÃÐ1ÿ}

1 6 1

ρ ² + 2 sin θ

ρ + 1 6 1 + 2 sin θ + 1 6 4,

Ï À Ë ¾

ÅÎbÇ2ÃÑ2Ï

¿

Ì2ÎÅ

¿ÀØ

ÃÇ Ç2Ï

¿

҈ÎÅ

¾ Ã À

Ç2Ã̈Î

Ø

ÃÇ

¿ÀØ

ϼò,ôŽÜ

½ Ï ¿

ËÏÒ Á Ë ¾

w = ρe ^iθ = i ^e _e ^iτ iτ ⁰ 0 ^+z −z

^Ô

À Ï

e ^{iτ 0} − z = _1−iw ²

^{Ü h Î҈ÃÃÔ}

| 1 − z | = 2

| 1 + ρ sin θ − iρ cos θ | = 2 ρ

q 1

1

ρ ² + ^{2 sin} _ρ ^θ + 1 ,

Ï À Ë ¾ ÅÎ'Ô

¿

Ç2Ï Ø Î ¾

È Æ À É Ø

ÎÛ9Ô È

À Ï

1 6 ρ < + ∞

^Æ

sin θ > 0

^{Ô Ñ2ÏÒ ¾} È Æ2ÐþÇ2Ã̈Î

Ø

ÃÇ

¿ÀØ

Ïò

ö

ôŽÜ

B

f

҈ÎÅ

¾

âRãçÃÃ

¾ÀØ

ÃÌ

×

ňÃÇ Æ2ÃZÇ2ÃÑ2Ï

¿

Ì2ÎÅ

¿ÀØ

ÃÇ Ç2Ï

¿

҈ÎÅ

¾ Ã À Æ Þ

Ï;Ñ Ì2ÎňÎ҈ÃÇ Æ ÛwË'ÒÎ

¿¿

Î

H ϕ (E)

^ÿ

{P{Ry EG,@P

H _ϕ (E)

^{- 0Ód - (1 $}

H _ϕ ^∗ (E) = (

f ∈ H( D ) : ln | f(z) | 6 c _f

m−1 X

k=0

ϕ

1

| z − e ^{iτ k} |

!

, z ∈ D )

,



ϕ

- "&A&w0 - - äE $& 1 $ *

ϕ ∈ C ⁽¹⁾ (1, + ∞ )

⁷

û 1 ¾

ňÃÐþÆ

¿¿

ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î

ÀÁ»¿À

Ì ¾ Ë À¾

Ì ¾ ËÏ;Ì Ç2Ã

Ø

É8ÙwÐ6Ç2Ï

× Ã

¿ÀØ

Ë'ÒÎ

¿¿

Î

H ^∗ _ϕ

^Ü

½

Ì ÆßňÏ;Ë'Î Þ Î À

ÃŽÒ Á¿ÀØ

ÃNÏ

¿

Ç2Ï

Ø

Ç2Ï

Í

ÏgÌ2Ã Þ ¾ Ò

ÁÀ

Î À Î

¿¾

ãçÃ

¿ÀØ

ÃÇ Ç

¾ â Ì2ÏÒ Á Æ Í

̈Î;à Àa¿

҈ÎÅ

¾

âRãçÃÃ

¾ÀØ

ÃÌ

×

ňÃÇ Æ2ÃÔAÇ2ÃÏ

Ý

Ù#ÏÅ2Æ2ÐWÎÛðȈÎ

¿ÀÁ

ËÏ

À

Ï;Ì2Ï Í Ï

¾¿À

ÎÇ2Ï

Ø

҈ÃLjÎ

Ø

̈Î

Ý Ï À à ëíìóîºÔAÎàňÏ

¿À

Î À Ï;È ÇˆÎÛ

ȈÎ

¿ÀÁ

Â Ø ÌˆÎ

Ý Ï À

ÃAëíìîºÿ

#|{RyuG%m 2

ϕ(t)

- $ - -

$ $

- -

"&A&A0

- -

äE $& 1 $ ç$

R ₊

^*

ϕ ∈ C ⁽¹⁾ ( R ₊ )

^*

α _ϕ > 1

⁷

/8 ·0 - E– - $ -

{ ρ _n e ^{iθ n} }

^*

ρ _n > ρ ₀ > 0

^{* -} ·2b'–"'$E·0 - 0 - -

C ₊

' *r - "$E/de6$ - A - e$E - - " - N$E$ E - 1 $ r2

H _ϕ ^∞ (C ₊ ) = { f ∈ H(C ₊ ) : ln | f (w) | 6 cϕ( | w | ) }

^{* -}

X

0<ρ 0 <ρ n 6R

sin θ _n

ρ _n 6 C ϕ(R)

R , (9)



C > 0

⁷

Ž"$ -*

{ ρ _n e ^{iθ n} }

^*

ρ _n > ρ ₀ > 0

0#" - 2 - $& 0 - E– - $ - þ - 2

'–"'$E¼0 - 0 - -

C +

* - E - " A&å 2 -

(9)

^¹0#"

α ϕ ∈ Z ₊

^{2 -}

X

0<ρ 0 <ρ n 6 R

1 ρ ^α n ^ϕ e ^{iα ϕ θ n}

6 M, 0 < R < + ∞ ,

sup

x>1

x ^{α ϕ}

ϕ(x) < + ∞ ,

- - ä$ - 0 - Ž" - E 1 $

g ∈ H _ϕ ^∞ (C ₊ )

^{* $ Ó - - " - - 0&b!0 - E– - $ -}

{ ρ _n e ^{iθ n} }

⁷

½

ÃÌ2ÃÊ'ňÃР˹ňÏ;Ë'Î Þ Î À

ÃŽÒ Á¿Àؾ

Ï ¿ Ç2Ï

Ø

Ç É8ÙwÌ2Ã Þ ¾ Ò

ÁÀ

Î À Ï Øå¿À

Î

ÀÁ

ÆÜ

C

»q

Æ Ë

¿

Æ Ì

¾

ÃÐ

e ^{iτ 0} ∈ E

^{Ü ] Ø ÃŽÅˆÃÐ Ï Ý Ï Þ} LjÎÈ2ÃÇ Æ2Ãÿ

l _E = min _06k,j6n−1 | e ^{iτ k} − e ^{iτ j} |

^Ô

k 6 = j

^{Ü L È2Ã Ø Æ'Å2Ç2Ï ÔÈ À Ï}

l _E > 0

^{Ü L À Ï Ý ÌˆÎ Þ Æ2Ð} ÎÅ2Æ Ç Æ È Ç É1Ê·Ë Ì

¾Í

D

LjÎ

Ø

ÃÌÙ'Ç âRâgÑ2ÏÒ

¾

Ñ'҈Ï

¿

ËÏ

¿ÀÁ

C ₊

^{¿ Ñ2ÏÐ,Ï;ã Á âkÚ ¾ Ç Ë Õ Æ Æ}

w = i ^e _e ^iτ _iτ ⁰ ₀ ^+z _−z

^Ü

LRÝ

Ï Þ

LjÎÈ Æ2ÐàÈ2ÃÌ2Ã

Þ

x _k = i ^{e iτ 0 +e iτk} _{e iτ 0 −e iτk}

^{Ô À Ü2ÃÜ}

e ^{iτ k} = e ^{iτ 0 x k −i} _x

k +i

^Ô

x _k ∈ R

Ü

]

É1Û

¿

Ç Æ2Ð1Ô2Ë'ÎË Æ2Ã

¾¿

҈Ï

Ø

Æ ÛwLjÎË'ÒÎÅ2É

Ø

Îâ À¿

ÛwLjÎ

x _k

^Ü

| x _k | = 2

x _k + i − i 2

6 2 | x _k + i |

2 + 1 = 2

| e ^{iτ 0} − e ^{iτ k} | + 1 6 2 l _E + 1.

T

ÎË Æ2ÐàÏ

Ý

̈Î

Þ

ÏÐ1Ô Ø¿

à 
Ï;È Ë Æ

x _k

^{LjÎÙ#ÏÅ2Û À¿ Û Ø Ç ¾À Ì ÆwÑ2ÏÒ ¾ Ë Ì ¾Í Î}

C _E ⁺ :=

w ∈ C ₊ : | w | 6 2 l E

+ 1

.

½P¾¿ÀÁ

r _E = 2

1 l E + 1

Ü

\

ÃUÏ

Í

̈ÎÇ Æ È Æ

Ø

ÎÛ¼Ï

Ý

ã!Ç2Ï

¿À

ÆÔ Ý ¾

ňÃÐ

¿

È Æ À Î

ÀÁ

Ô2È

À

ÏäÐ6Ç2Ï

× Ã

¿ÀØ

Ï

E

^{¿ Ï ¿À Ï;Æ À Æ Þ ÏÅ2Ç2Ï;Ê À Ï;È Ë ÆÔ}

À

Ü2ÃÜ

E = { e ^{iτ 0} }

^Ü

Q Î

¿¿

Ð,Ï

À

Ì Æ2ÐrÚ

¾

Ç Ë Õ Æ â

F (w) = f

e ^{iτ 0 iw+1} _iw−1

Ô

w ∈ C ₊

^{ÔÎLjÎÒ2Æ À Æ È2à ¿ Ë ¾ â ØAØ} ÃÌÙ'Ç2ÃÊÑ2ÏÒ

¾ Ö

Ñ'҈Ï

¿

ËÏ

¿À

ÆÜ

T

ÎËwË'ÎË

f ∈ H _ϕ ^∗

^{Ô À Ï}

ln | F (w) | 6 c _f ϕ

| w + i | 2

6 c _f ϕ

| w | + 1 2

6 c _f ϕ( | w | ), (10)

û

Ñ Ì Æ Ø¿

ÎÙ

w : | w | > 1

^Ü

LRÝ

Ï Þ

LjÎÈ Æ2Ð

{ ρ _n e ^{iθ n} } ^+∞ n=1

^ÂrÑ2Ï

¿

ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î À

ÎÒ

Á

Ç2Ï

¿ÀÁ

Ç ¾ ҈ÃÊbÚ

¾

Ç Ë Õ Æ Æ

F

^{Ü ½P¾¿ÀÁ ÅÎ҈ÃÃ}

F _η (w) = F (w + iη)

^Ô

η > 0

^{Ü L È2Ã Ø} Æ'Å2Ç2Ï ÔmÈ

À Ï

F _η

^{ ÎLjÎÒ2Æ À Æ È2à ¿ Ë'ÎÛ Ø Ñ2ÏÒ ¾ Ñ'ÒˆÏ ¿ ËÏ ¿À Æ}

Im w > − η

^Ü

½

Ì Æ2Ð,ÃÇ Æ2ÐþËwÚ

¾

Ç Ë Õ Æ Æ

F _η (w)

^{ÚZÏ;Ì2Ð ¾ Ò ¾ S} ÎÌ'҈ÃÐWÎLjÎ

Ø

Ñ2ÏÒ

¾

ËÏÒ

Á

Õ2Ã

C _{r E ,R} := { w ∈ C ₊ : r _E 6

| w | 6 R }

^{ò ¿} Ð1ÜíÔ ÇˆÎÑ Ì Æ2Ð,ÃÌÔëíìû'Ô

¿

ÜìóîõôŽÿ

X

r _E 6 ρ e n 6R

1 e ρ _n − ρ e n

R ²

sin θ e _n = 1 πR

Z π 0

ln | F _η (Re ^iθ ) | sin θ dθ

+ 1 2π

Z

r E 6 |x| 6 R

1 x ² − 1

R ²

ln | F η (x) || F η ( − x) | dx + A η (R, f ),

Í

ňÃ

A _η (R, f) = _2π ¹ R π 0 Im {

e ^−iθ

r E − ^{r E} _R ^e 2 ^iθ

ln F _η (r _E e ^iθ ) } dθ

^Ô

{e ρ _n e ^{i θ e n} }

^{ Ñ2Ï ¿ ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î À ÃŽÒ Á Ç2Ï ¿ÀÁ}

Ç ¾ ҈ÃʼÚ

¾

Ç Ë Õ Æ Æ

F _η

^{Ø Ñ2ÏÒ ¾ ËÏÒ Á Õ2Ã}

C _{r E ,R}

^Ü

Y

Î;Ð,Ã

À

Æ2Ð1Ô2È À Ï

Ø¿

à ¿ ÒÎ

Í

Î;ÃÐ6ÉdÃ

Ø

҈Ã

Ø

Ï;ʼȈÎ

¿À

ÆẅÎ

Ø

ÃÇ

¿ÀØ

ÎäÇ2ÃÏ

À

Ì Æ ÕˆÎ

À

ÎÒ

Á

Ç ÉZÔÑ2Ï ü À

ÏÐ

¾

Ô Ñ Ì Æ'Ö

Ç Æ2ÐWÎÛ Ø Ï Ø

Ç Æ2ÐWÎÇ Æ2ÃbÏ;Õ2ÃÇ Ë

¾

ò ì

÷

ôŽÔ Ñ2ÏÒ

¾

È Æ2Ð1ÿ

X

r _E 6 ρ e n 6R

1 e ρ _n − ρ e _n

R ²

sin θ e _n 6 C e _f



 ϕ(R + η)

R +

Z R r E

ϕ(x + η) x ² dx



 + A _η (R, f ).

] ¾¿

҈Ï

Ø

Æ ÛÙ

À

ÃÏ;Ì2ÃÐ6ÉÄÐ,Ï

×

Ç2ÏAÑ2ÃÌ2ÃÊ

À

ÆwË¹Ñ Ì2ÎňÎÒ

¾

Ñ Ì Æ

η → 0+

^{Ü ½ ÏÒ ¾ È Æ2Ð1ÿ}

X

r E 6 ρ n 6 R

1 ρ _n − ρ n

R ²

sin θ _n 6 C _f



 ϕ(R)

R +

Z R r E

ϕ(x) x ² dx



 + A(R, f ), (11)

Í

ňÃ

A(R, f) = _2π ¹ R π 0

Im n

e ^−iθ

r E − ^{r E} _R ^{e 2 iθ}

ln F r _E e ^iθ o

dθ = O(1)

^{Ñ Ì Æ}

R → + ∞

^Ü

½

Ï҈Ï

×

Æ2Ð

À

ÃÑ2ÃÌ

Á

R ⁰ = ^R ₂

^{Ü ] É Ý Æ ÌˆÎÛþÇ ¾ Ò2Æ À ÏÒ Á ËÏ4Æ Þ ËÏÒ Á ՈÎ}

r E 6 ρ n 6 R ⁰

^{ÔWÆ Þ ò ììô}

Ñ2ÏÒ

¾

È Æ2Ð1ÿ

X

r E 6 ρ n 6 R ⁰

sin θ _n ρ n

6 C _f



 ϕ(2R ⁰ ) 2R ⁰ +

2R ⁰

Z

r E

ϕ(x) x ² dx



 . (12)

½ Ï ¿

ËÏÒ Á Ë ¾

2R R ⁰

r E

ϕ(x) x ² dx =

R ⁰

R

r E

. . . +

2R R ⁰

R ⁰

. . . 6

R ⁰

R

r E

ϕ(x)

x ² dx + ^ϕ(2R _2R 0 ^{0 )}

^Ô

ØØ

Æ'Å

¾ Ø Ï Þ

̈Î

¿À

ÎÇ Æ Û Ú ¾ Ç Ë'Ö

Õ Æ Æ

ϕ(x)

^{Ô À} ÏAÏ;Õ2ÃÇ Ë'Îwò ìñô ü Ë Ø Æ Ø

Î҈ÃÇ

À

LjÎÓÏ;Õ2ÃÇ ËÃ

X

r E 6 ρ n 6 R ⁰

sin θ _n ρ n

6 C _f



 ϕ(2R ⁰ ) R ⁰ +

R ⁰

Z

r E

ϕ(x) x ² dx



 . (13)

T

ÃÑ2ÃÌ Á Þ

Î;Ð,Ã

À

Æ2Ð1Ô;È

À

Ï1Å Ò2ÛUÑ Ì2Ï;Æ Þ Ø

ÏÒ

Á

Ç2Ï

Í

ÏRÑ2Ï҈Ï

× Æ À

ÎÒ

Á

Ç2Ï

Í Ï

ε > 0

^{Ñ Ì ÆZÅˆÏ ¿À Î À Ï;È Ç2Ï Ý ÏÒ Á æ!Æ'Ù}

x

¿

Ñ ÌˆÎ

Ø

ΊÒ2Æ Ø Ï

ϕ(cx) 6 c ^{α ϕ +ε} ϕ(x), (14)

Í

ňÃ

c > 0

^Ü

, h

ÃÊ

¿ÀØ

Æ À ÎÒ

Á

Ç2Ï ÔÆ

Þ

òøñô

¿

҈ÎÅ

¾ Ã À

ÔÈ

À

ÏdÅ Ò2Û Ø¿

ÎÙ

t > t ₀ (ε)

^Ø É1Ñ2ÏÒ2Ç Û Ã À¿

Û!Ç2Ã̈Î

Ø

ÃÇ

¿ÀØ

Ï

tϕ ⁰ (t) ϕ(t) <

α _ϕ + ε

^{Ô'Ñ2Ï ü À ÏÐ ¾}

Z cx x

ϕ ⁰ (t)

ϕ(t) dt 6 (α _ϕ + ε) Z cx

x

dt t ,

Î Þ ÇˆÎÈ Æ

À Ô

ln ^ϕ(cx) _ϕ(x) 6 (α ϕ + ε) ln c

^{Ô Ï À Ë ¾ ÅÎ ¿ ҈Ί¾ à À ò ìùôŽÜ}

½

Ì Æ Ç Æ2ÐWÎÛ Ø Ï Ø

Ç Æ2ÐWÎÇ Æ2ÃZÏ;Õ2ÃÇ Ë

¾

ò ìùôŽÔ Æ

Þ

ò ìóôÑ2ÏÒ

¾

È Æ2Ð1ÿ

X

r E 6 ρ n 6 R

sin θ n

ρ _n 6 C _f



2 ^{α ϕ +ε} ϕ(R)

R +

Z R r E

ϕ(x) x ² dx



 . (15)

] Ø

Æ'Å

¾

Ï;Õ2ÃÇ2Ï;Ëuò ,ôŽÔò

ö

ôŽÔ Ç2Ã̈Î

Ø

ÃÇ

¿ÀØ

Ïò ìô ü Ë Ø Æ Ø

Î҈ÃÇ

À

Ç2ÏAÇ2Ã̈Î

Ø

ÃÇ

¿Àؾ

X

1

R 6|e ^{iτ 0} −z n |62

(1 − | z n | ² ) 6 C _f



 ϕ(R)

R +

Z R r E

ϕ(x) x ² dx



 . (16)

] ¿

Æ'Ò

¾

Ñ Ì2Ï;Æ Þ Ø

ÏÒ

Á

Ç2Ï

¿À

Æ Ø É Ý Ï;̈Î

À

Ï;È Ë Æ

e ^{iτ 0}

^{Æ Þ Ð6Ç2Ï × Ã ¿ÀØ Î}

E ⊂ T

Æ ¾ È Æ

À É Ø

ÎÛ ÒˆÃÐ,Ð

¾

ñ'Ô

ňÎÒÎ;ÃÐ Ø É Ø

ÏÅÏ

¿

Ñ ÌˆÎ

Ø

ΊÒ2Æ Ø Ï

¿À

Æ·Ï;Õ2ÃÇ Ë ÆuòøóôŽÜ

\

ÃÏ

Ý

Ù#ÏÅ2Æ2Ð,Ï

¿ÀÁ

ňÏ;Ë'Î

Þ

ÎLjÎ'Ü

½

ÃÌ2ÃÊ'ňÃР˹ňÏ;Ë'Î Þ Î À

ÃŽÒ Á¿Àؾ

Ï Ý ÌˆÎ

À

Ç2Ï Í Ï

¾ÀØ

ÃÌ

×

ňÃÇ Æ Û9Ü

½P¾¿ÀÁ

{ z _n } ^+∞ n=1

^{Â Ñ Ì2Ï;Æ}

Þ Ø

ÏÒ

Á

LjÎÛoÑ2Ï

¿

ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î À

ÎÒ

Á

Ç2Ï

¿ÀÁàÀ

Ï;È2ÃËoÆ Þ

D

Ô ¾

ňÏ

Ø

҈à ÀØ

Ï;Ì#Û'âRãäÎÛ

¾¿

҈Ï

Ø

Æ â òøóôŽÔ

α _ϕ ∈ / Z ₊

Ô

α _ϕ > 1

^{Ü h Ï;Ë'Î × ÃÐ1Ô,È À ÏÐ,Ï × Ç2ÏÑ2Ï ¿À Ì2Ï;Æ ÀÁ Ú ¾ Ç Ë Õ Æ â}

g ∈ H _ϕ (E)

^Ô

Ç ¾ Ò2ÆwËÏ

À

Ï;Ì2Ï;Ê

¿ Ï Ø

шÎÅÎâ ÀÓ¿UÀ

Ï;È Ë'Î;Ð6ƼÑ2Ï

¿

ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î À

ÎÒ

Á

Ç2Ï

¿À

Æ

{ z _n } ^+∞ n=1

^Ü

S

ÎË ÆþÑ Ì ÆþňÏ;Ë'Î Þ Î À

ÃŽÒ Á¿ÀØ

üÇ2ÃÏ

Ý

Ù#ÏÅ2Æ2Ð,Ï

¿À

ÆÔdÏ À Ï Ý

̈Î

Þ

Æ2ÐðÎÅ2Æ Ç Æ È Ç É1ÊàË Ì

¾Í

LjÎ

Ø

ÃÌÙ'Ç âRâ

Ñ2ÏÒ

¾

Ñ'҈Ï

¿

ËÏ

¿ÀÁ_¿

Ñ2ÏÐ,Ï;ã

Á â Ú ¾

Ç Ë Õ Æ Æ

w = i ^e _e ^iτ _iτ ⁰ ₀ ^+z _−z

^{Ü T} Ï;È Ë ÆþÑ2Ï

¿

ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î À

ÎÒ

Á

Ç2Ï

¿À

Æ

{ z _n } ∈ D

Ï À Ï Ý ÌˆÎ

Þ Û À¿

Û ¿ ÏÏ

ÀØ

Ã

À¿Ø

ÃÇ Ç2ÏäLjÎ

À

Ï;È Ë Æ¹Ñ2Ï

¿

ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î À

ÎÒ

Á

Ç2Ï

¿À

Æ

{ ρ n e ^{iθ n} } ∈ C +

^Ô

ρ n e ^{iθ n} = i ^{e iτ 0 +z n} _e iτ 0 −z n

¾

ňÏ

Ø

҈à ÀØ

Ï;Ì#Û'âRã!Æ2ÃÔ ØØ

Æ'Å

¾

҈ÃÐ,Ð6ÉðìÔ2Ï;Õ2ÃÇ Ëûò ìôŽÜ

½

Ì Æ2Ð,ÃÇ Û'ÛwÑ ÌˆÎ

Ø

Æ'҈Ï

l

Ï;Ñ Æ

À

ÎÒ2Û9Ô2҈Ã

Í

ËÏ

¾ Ý

ÎÅ2Æ ÀÁ¿

Û

ØA¿

Ñ ÌˆÎ

Ø

ΊÒ2Æ Ø Ï

¿À

Æ·Ï;Õ2ÃÇ Ë Æÿ

Z R r E

ϕ(x)

x ² dx 6 C ϕ(R) R .

½ Ï ü À

ÏÐ

¾

Ç2Ã̈Î

Ø

ÃÇ

¿ÀØ

Ï·òøóôWÅ Ò2Û

E = { e ^{iτ 0} }

^{Ð,Ï ×} Ç2ÏAÑ2ÃÌ2ÃÑ Æ

¿ Î ÀÁÓØäØ

Æ'ňÃÿ

X

1

R 6 |e ^{iτ 0} −z n | 6 2

(1 − | z _n | ² ) 6 C ϕ(R)

R . (17)

] ¿

Æ'Ò

¾

҈ÃÐ,Ð6ÉðìPÇ2Ã̈Î

Ø

ÃÇ

¿ÀØ

Ï·ò ì&,ô ü Ë Ø Æ Ø

Î҈ÃÇ

À

Ç2Ïò ôŽÜ

½ Ï À

ÃÏ;Ì2ÃÐ,Ã

h

Ô;Ã

¿

Ò2ÆäÑ2Ï

¿

ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î À

ÎÒ

Á

Ç2Ï

¿ÀÁ!À

Ï;È2ÃËçÆ Þ Ø

ÃÌÙ'Ç2ÃÊäÑ2ÏÒ

¾

Ñ'҈Ï

¿

ËÏ

¿À

Æ

{ ρ _n e ^{iθ n} }

^{¾ ňÏÖ}

Ø

҈à ÀØ

Ï;Ì#Û Ã À便

҈Ï

Ø

Æ âßòô,Ñ Ì Æ

α ϕ > 1

^{Ô À Ï!Ð,Ï × Ç2ÏçÑ2Ï ¿À Ì2Ï;Æ ÀÁ Ú ¾ Ç Ë Õ Æ â}

g(w) ∈ H(C + )

^{À ÎË ¾ âçÔ}

È À Ï

ln | g(w) | 6 ϕ( | w | )

^{Ô8Ç ¾ Ò2ÆþËÏ À Ï;Ì2Ï;Ê ¿ Ï Ø ÑˆÎÅÎâ Àu¿ Ñ2Ï ¿ ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î À ÃŽÒ Á Ç2Ï ¿ÀÁ â}

{ ρ _n e ^{iθ n} }

^{Ü Q Î ¿ Ö}

¿

Ð,Ï

À

Ì Æ2Ð Ú ¾

Ç Ë Õ Æ â

G(z) = g i ^{e iτ 0 +z}

e ^{iτ 0} −z

Ü L È2Ã

Ø

Æ'Å2Ç2Ï Ô

G(z) ∈ H( D )

^{Ü 18Ï҈Ãà À Ï Í Ï Ô}

G ∈ H _ϕ (E)

^Ü

\ ¾

Ò2ÆÚ

¾

Ç Ë Õ Æ Æ

G

^{¿ Ï Ø ÑˆÎÅÎâ À¹¿ Ñ2Ï ¿ ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î À ÃŽÒ Á Ç2Ï ¿ÀÁ â}

{ z _n }

^Ô

z _n = ^iρ _iρ ^{n e iθn +1}

n e ^iθn −1

^Æ

Ø

É1Ñ2ÏÒ2Ç Û Ã À¿

Û

Ï;Õ2ÃÇ Ë'μò ì&,ôŽÜ

f

Ñ ÌˆÎ

Ø

ΊÒ2Æ Ø Ï

¿ÀÁ

Ñ ¾ Ç Ë

À Î Ý ô

¾¿À

ÎLjÎ

Ø

Ò2Æ

Ø

Î;Ã À¿

ÛÄÎLjÎ҈Ï

Í

Æ È Ç ÉdÐáÏ

Ý

̈Î

Þ

ÏÐ1Ü h Ï

¿À

Î À Ï;È Ç2Ï

¿ÀÁ

ňÏ;Ë'Î

Þ

ÎLjÎ'Ü

B

,ì

h

Ò2Û

¾

ÅˆÏ Ý ¿ÀØ

μÆ

Þ

҈Ï

×

ÃÇ Æ Û ÅˆÏ;Ë'Î

×

ÃÐ

À

ÃÑ2ÃÌ Á·À

ÃÏ;Ì2ÃÐ

¾

ó'Ü ] Ø

ÎňÃÐNňÏ;Ñ2ÏÒ2Ç Æ

À

ÎÒ

Á

Ç ÉdüÏ

Ý

ÏÖ

Þ

LjÎÈ2ÃÇ Æ Û9Ü

h

Ò2ÛwÒ2â

Ý Ï Í Ï

β > − 1

^{¿ Æ2Ð Ø Ï҈ÏÐ}

π _β (z, z _k )

^{Ý ¾ ňÃÐ Ï Ý Ï Þ ÇˆÎȈΠÀÁ Ý Ã ¿} ËÏ;Ç2ÃÈ Ç2ÏÃçÑ Ì2Ï;Æ Þ Ö

Ø

ÎňÃÇ Æ2Ã

` Ü ` Ü h × Ì Ý

Îæ!Û'LjÎ

¿ Ç ¾

Ò2Û Ð6Æ ØäÀ

Ï;È Ë'ÎÙwÑ2Ï

¿

ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î À

ÎÒ

Á

Ç2Ï

¿À

Æ

{ z _k } ^+∞ k=1

^ò

¿

Ð1ÜëíìŽîõôŽÿ

π _β (z, z _k ) =

+∞ Y

k=1

1 − z

z _k

exp( − U _β (z, z _k )),

Í

ňÃ

U _β (z, z _k ) = 2(β + 1) π

Z 1 0

Z π

−π

(1 − ρ ² ) ^β ln | 1 − ^ρe _{z k} ^iθ |

(1 − zρe ^−iθ ) ^β+2 dθρ dρ.

S

ÎË

¾¿À

ÎÇ2Ï

Ø

҈ÃÇ2Ï

Ø

ëíìŽîºÔ;Ñ Ì2Ï;Æ Þ Ø

ÎňÃÇ Æ2Ã

π _β (z, z _k )

^{¿ Ù#ÏÅ2Æ À¿ ÛÓÎ Ý ¿ ÏÒ2â À Ç2ÏPÆ!̈ΠØ} Ç2ÏÐ,ÃÌ Ç2Ï

Ø

D

^À Ï Í ÅÎ

Æ À ÏÒ

Á

ËÏ À Ï Í

ÅÎ'Ô2ËÏ

Í

ÅÎ

¿

Ù#ÏÅ2Æ À¿

Û¼Ì#ÛÅ

+∞ X

k=1

(1 − | z _k | ) ^β+2 < + ∞ .

C

q

Æ Ë

¿

Æ Ì

¾

ÃÐ

τ 0 ∈ R

Ü ½ Ì2Ï

Ø

ÎňÃÐuňÏ;Ë'Î Þ Î À

ÃŽÒ Á¿ÀØ

ÏäÅ Ò2Û

¿ Ò ¾

ȈÎÛ

E = { e ^{iτ 0} }

^Ü

L À Ï Ý

̈Î

Þ

Æ2Ð1ÔË'ÎËçÆ

Ø

É1æçÃÔÎÅ2Æ Ç Æ È Ç É1ÊçË Ì

¾Í

D

LjÎ

Ø

ÃÌÙ'Ç âRâ Ñ2ÏÒ

¾

Ñ'҈Ï

¿

ËÏ

¿ÀÁ

C ₊

^{¿ Ñ2ÏÐ,Ï;ã Á â}

Ú ¾

Ç Ë Õ Æ Æ

w = i ^e _e ^iτ iτ ⁰ 0 ^+z −z

^Ü

T

Ï;È Ë ÆoÑ2Ï

¿

ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î À

ÎÒ

Á

Ç2Ï

¿À

Æ

{ z n } ∈ D

Ô

{ z n } = Z _f

^{ÔdÏ À Ï Ý ÌˆÎ Þ Û À¿ Û}

¿

ÏÏ ÀØ

Ã

À¿ÀØ

ÃÇ Ç2ÏÓLjÎ

À

Ï;È Ë ÆwÑ2Ï

¿

ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î À

ÎÒ

Á

Ç2Ï

¿À

Æ

{ ρ _n e ^{iθ n} } ∈ C ₊

^Ô

ρ _n e ^{iθ n} = i ^{e iτ 0 +z n} _e iτ 0 −z n

Ü

½P¾¿ÀÁ

s(ρ) = P

r E <ρ n 6ρ sin θ n

ρ n

^Ü

T Ï Í

ÅÎÓÅ Ò2Û¼Ò2â

Ý

Ï;ÊÚ

¾

Ç Ë Õ Æ Æ

ψ ∈ C ⁽¹⁾ (0, + ∞ )

^{¿ Ñ ÌˆÎ Ø ÃŽÅ Ò2Æ Ø Ï}

̈Î

Ø

ÃÇ

¿ÀØ

Ï ÿ

X

r E <ρ n 6 R

ψ 1

ρ _n

sin θ _n ρ _n =

Z R r E

ψ 1

x

ds(x) = I(R).

f

ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î À

ÎÒ

Á

Ç2Ï Ô

I(R) = s(R)ψ 1

R

+ Z R r E

ψ ⁰ 1

x 1

x ² s(x) dx.

\ Ï

ψ ^{0 1} _x

> 0

^{Ô'Ñ2Ï ü À ÏÐ ¾ Ô ¾ È Æ À É Ø ÎÛ9Ô È À Ï}

s(x) 6 ^ϕ(x) _x

^Ñ2Ï

À

ÃÏ;Ì2ÃÐ,Ã

h

Ô Ñ2ÏÒ

¾

ȈÎ;ÃÐ1ÿ

I (R) 6 ϕ(R)

R ψ

1 R

+

Z R r E

ψ ⁰ 1

x

ϕ(x) x ³ dx.

] ¾¿

҈Ï

Ø

Æ ÛÙ

À

ÃÏ;Ì2ÃÐ6É

I (R)

^{Ï Í} ̈ÎÇ Æ È2ÃÇ2Ï Ô

Þ

LjÎÈ Æ À Ô ¿

Ù#ÏÅ2Æ À¿

Û¼Ì#ÛÅ

X

r E <ρ n 6 R

ψ 1

ρ _n

sin θ _n

ρ _n < + ∞ . (18)

\

Ïwò ì ö ô

ØØ

Æ'Å

¾

҈ÃÐ,Ð6Éðì ü Ë Ø Æ Ø

Î҈ÃÇ

À

Ç2ÏòôŽÜ

½

ÃÌ2ÃÊ'ňÃР˷ňÏ;Ë'Î Þ Î À

ÃŽÒ Á¿Àؾ

Ï Ý ÌˆÎ

À

Ç2Ï Í Ï

¾ÀØ

ÃÌ

×

ňÃÇ Æ Û ü À

Ï;Ê

À

ÃÏ;Ì2ÃÐ6ÉZÜ

\

ÃäÏ

Í

̈ÎÇ Æ È Æ

Ø

ÎÛ

Ï Ý ã!Ç2Ï

¿À

ÆԈÐ,Ï

×

Ç2ÏÓÑ2ÏÒÎ Í Î

ÀÁ

ԈÈ

À Ï

τ ₀ = 0

^{Ü Q Î Þ Ï Ý Á ÃÐ Ñ2ÏÒ ¾ Æ Ç À ÃÌ Ø ÎÒ}

[0, 1)

^{LjÎäÑ2ÏÒ ¾ Þ Î;Ð6Ë Ç ¾À ÉdÃ}

Æ Ç

À

ÃÌ

Ø

ÎÒ2É

∆ _k =

1 − ₂ ^{1 k} , 1 − ₂ ^{k+1 1}

Ô

k = 0, 1, 2, . . .

^{½ Ï ¿À} Ì2Ï;Æ2Ð_Ñ2Ï

¿

ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î À

ÎÒ

Á

Ç2Ï

¿ÀÁ

{ r _k }

^{¿ ҈ÎÖ}

Å ¾

âRã!Æ2зÏ

Ý

̈Î

Þ

ÏÐ1ÿ

r _k ∈ ∆ _k

^{Ô À ÜÃÜ}

1 − ₂ ^{1 k} 6 r _k < 1 − ₂ ^{k+1 1}

^Ô

k = 0, 1, 2, . . .

Ô;Ñ Ì Æ È2ÃÐË ÌˆÎ

À

Ç2Ï

¿ÀÁ

r _k

,;ñ

̈Î

Ø

LjÎ

[ϕ(2 ^k )]

^{Ô Í ÅˆÃ}

[a]

ÂßÕ2ÎÒÎÛwȈÎ

¿ÀÁ

a ∈ R

Ü h Ï;Ë'Î

×

ÃÐ1ԈÈ

À

ÏAÃ

¿

Ò2Æ

R +∞

r E ψ ^{0 1} _x ϕ(x)

x ³ dx = + ∞

^Ô

À

ÏwÌ#ÛÅoòôP̈Î

¿

Ù#ÏÅ2Æ À¿

Û9Ü LRÝ

Ï Þ

LjÎÈ Æ2Ð

Ω _k

^{Ñ2ÏÒ ¾ Þ Î;Ð6Ç ¾À É1ÊuÆ Ç À ÃÌ Ø ÎÒ}

[2 ^k , 2 ^k+1 )

^Ô

k = 0, 1, 2, . . .

T Ï Í

ÅÎ

[1, + ∞ ) = S +∞

k=0 Ω _k

^Ü

h

Ò2ÛåÒ2â

Ý Ï Í Ï

p > 1

^{¿ Ñ ÌˆÎ Ø ÃŽÅ Ò2Æ Ø Ï ÿ}

2 ^p

Z

1

ϕ(t) t ³ ψ ⁰

1 t

dt =

p−1 X

k=0

Z

Ω k

ϕ(t) t ³ ψ ⁰

1 t

dt =

X p−1 k=0

2 Z ^k+1

2 ^k

ϕ(t) t ψ ⁰

1 t

1 t ² dt

6 X p−1 k=0

ϕ(2 ^k+1 ) 2 ^k

2 Z ^k+1

2 ^k

ψ ⁰ 1

t 1

t ² dt = 2 X p−1 k=0

ϕ(2 ^k+1 ) 2 ^k+1

ψ

1 2 ^k

− ψ 1

2 ^k+1

6 2

p−1 X

k=0

ϕ(2 ^k+1 ) 2 ^k+1 ψ

1 2 ^k

,

ØØ

Æ'Å

¾åÀ

Ï Í Ï Ô È

À Ï

ψ ¹ ₂ k+1

> 0

^Ô

k = 0, 1, 2, . . . , p − 1

^Ü

½

Ì Æ2Ð,ÃÇ Û'Û¼Ï;Õ2ÃÇ Ë

¾

ò ìùôŽÔ2Ï;ËÏ;Ç ÈˆÎ

À

ÎÒ

Á

Ç2ÏÓÑ2ÏÒ

¾

È Æ2Ð1ÿ

2 ^p

Z

1

ϕ(t) t ³ ψ ⁰

1 t

dt 6 c _ϕ X p−1 k=0

ϕ(2 ^k ) 2 ^k ψ

1 2 ^k

.

T

ÎË_Ë'ÎË4Æ Ç À Ã Í

̈ÎÒ

Ø

҈Ã

Ø

Ï;Ê4ȈÎ

¿À

Æ4Ç2Ã̈Î

Ø

ÃÇ

¿ÀØ

Î

¿À

Ì2ÃÐ6Æ À¿

Û4Ë Ý Ã ¿

ËÏ;Ç2ÃÈ Ç2Ï

¿À

ÆuÑ Ì Æ

p → + ∞

^Ô

À

Ïä̈Î

¿

Ù#ÏÅ2Æ À¿

Û¼Ì#ÛÅ

X +∞

k=0

ϕ(2 ^k ) 2 ^k ψ

1 2 ^k

= + ∞ . (19)

\

ÏdÌ#ÛÅ2Éoò ôÆ»ò ì ôÂr̈Î

Ø

Ç2Ï;̈Î

¿

Ù#ÏÅ2Û'ã!Æ2Ã

¿

ÛçÑ Ì Æ

¾

Ë'Î

Þ

ÎÇ Ç2ÏÐ Ø É Ý

Ï;Ì2ÃWÑ2Ï

¿

ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î À

ÎÒ

Á

Ç2Ï

¿À

Æ

{ z _k }

^Ô

¿

ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î À

ÎÒ

Á

Ç2Ï ÔˆÌ#ÛÅ òô̈Î

¿

Ù#ÏÅ2Æ À¿

Û9Ü

q ¾

Ç Ë Õ Æ â

g(z)

^{Ý ¾ ňÃÐ ¿À Ì2Ï;Æ ÀÁ¼ØwØ Æ'ÅˆÃ Ý Ã ¿} ËÏ;Ç2ÃÈ Ç2Ï

Í

Ï¼Ñ Ì2Ï;Æ Þ Ø

ÎňÃÇ Æ Û

` Ü ` Ü h × Ì Ý

Îæ!Û'LjÎ

π _β (z, z _k )

^{¿ Ç ¾ Ò2Û Ð6Æ}

z _k = r _k

^Ô

k = 1, 2, . . .

^{Ô Í ÅˆÃ}

{ r _k }

^{ÂCÑ2Ï ¿À Ì2ÏÃÇ ÇˆÎÛ Ø É1æçà ¾ Ë'Î Þ ÎÇ Ç ÉdÐàÏ Ý ÌˆÎ Þ ÏÐ}

Ñ2Ï

¿

ÒˆÃŽÅˆÏ Ø Î À

ÎÒ

Á

Ç2Ï

¿ÀÁ

Ü

½

Ï;Ë'Î

×

ÃÐ1Ô;È À Ï

Ød¾¿

҈Ï

Ø

Æ ÛÙ

À

ÃÏ;Ì2ÃÐ6É_Ñ Ì2Ï;Æ Þ Ø

ÎňÃÇ Æ2Ã

π _β (z, r _k )

^{¿ Ù#ÏÅ2Æ À¿ Û!Ñ Ì Æ Ø¿ ÎÙ}

β > α _ϕ − 2

^Ü

Q Î

¿¿

Ð,Ï

À

Ì Æ2ÐàÌ#ÛÅ

X +∞

k=1

(1 − | z _k | ) ^β+2 = X

k > 1

X

r m ∈∆ k

(1 − r _m ) ^β+2 n _m 6

+∞ X

k=1

ϕ(2 ^k ) 2 ^k(β+2) .

+∞ X

k=1

(1 − | z _k | ) ^β+2 6 X +∞

k=1

2 −k((β+2)−(α ϕ +ε)) .

L

È2Ã

Ø

Æ'Å2Ç2Ï ÔÌ#ÛÅ

¿

Ù#ÏÅ2Æ À¿

Û4Ñ Ì Æ Ø¿

ÎÙ

β > α _ϕ − 2

^Ô

0 < ε < β + 2 − α _ϕ

^{Ü X Þ ¿ Ù#ÏÅ2Æ2Ð,Ï ¿À ÆuÌ#ÛÅÎ}

P +∞

k=1 (1 − | z _k | ) ^β+2

^{¿ ҈Ί¾ à À Î Ý ¿ ÏÒ2â À LjÎ۹ƹ̈ΠØ} Ç2ÏÐ,ÃÌ ÇˆÎÛ

¿

Ù#ÏÅ2Æ2Ð,Ï

¿ÀÁ Ý Ã ¿

ËÏ;Ç2ÃÈ Ç2Ï

Í

ÏAÑ Ì2Ï;Æ Þ Ø

ÎÖ

ňÃÇ Æ Û

π _β (z, z _k )

^Ü

T

ÃÑ2ÃÌ

Á

ňÏ;Ë'Î

×

ÃÐ1Ô'È

À Ï

π _β (z, r _k ) ∈ H _ϕ (E)

^{Ü X ¿ Ñ2ÏÒ Á Þ ¾ ÃÐ Æ Þ Ø Ã ¿À Ç ¾ âNÏ;Õ2ÃÇ Ë ¾ Ñ Ì2Ï;Æ Þ Ø ÃŽÅˆÃÇ Æ Û}

` Ü h × Ì Ý

Îæ!Û'Ljμò

¿

Ð1Üëù;îõôŽÿ

ln | π _β (z, z _k ) | 6 c(β) X +∞

k=1

1 − | z _k |

| 1 − z _k z | β+2

.

,;ó

P¿

Ç2Ï Ô È À Ï

ln | π _β (z, r _k ) | 6 c(β) X +∞

k=1

1 − r _k

| 1 − r _k z | β+2

= c(β) X

k > 1

X

r m ∈∆ k

n _m ·

1 − r _m

| 1 − r _m z | β+2

,

ln | π _β (z, r _k ) | 6 c(β) X

k>1

ϕ(2 ^k ) 2 ^k(β+2)

1

| 1 − r _k z | ^β+2 . (20)

½P¾¿ÀÁ

1

2 ⁿ⁺¹ 6 | 1 − z | < ₂ ¹ n

^Ô

Í

ňÃ

n

^{ ÚUÆ Ë ¿ Æ Ì2Ï Ø} ÎÇ Ç2ÏÃbLjΠÀ¾

̈ÎÒ

Á

Ç2ÏÃ!È Æ

¿

ÒˆÏ Ü

Q Î Þ Ï Ý Á

ÃÐ Ì#ÛÅLjÎ

ȈÎ

¿À

Æÿ

I = X

k > 1

ϕ(2 ^k ) 2 ^k(β+2)

1

| 1 − r _k z | ^β+2

=

n−1 X

k=1

(. . .) + ϕ(2 ⁿ ) 2 ^n(β+2)

1

| 1 − r n z | ^β+2 + ϕ(2 ⁿ⁺¹ ) 2 ^(n+1)(β+2)

1

| 1 − r n+1 z | ^β+2 + X +∞

k=n+2

(. . .)

= I 1 + (I n + I n+1 ) + I 2 .

Q Î

¿¿

Ð,Ï

À

Ì Æ2Ð

¿¾

Ð,Ð

¾

I ₁

^{Ü L Õ2ÃÇ Æ2Ð ¿ Ç Æ Þ ¾}

| 1 − r _k z |

^{Ñ Ì Æ}

1 6 k 6 n − 1

^ÿ

| 1 − r _k z | = | (1 − r _k ) + r _k (1 − z) | > (1 − r _k ) − | 1 − z | > (1 − r _k ) − 1 − r _k 2 > 1

2 ^k+2 .

f ¾

È2Ã

À

ÏÐ ü À

Ï;ʼÏ;Õ2ÃÇ Ë ÆwÑ2ÏÒ

¾

ȈÎ;ÃÐ1ÿ

I 1 =

n−1 X

k=1

ϕ(2 ^k ) 2 ^k(β+2)

1

| 1 − r _k z | ^β+2 6 2 ^2(β+2)

n−1 X

k=1

ϕ(2 ^k ).

\ Ï

n−1 P

k=1

ϕ(2 ^k ) 6 2 ⁿ⁻¹ P

k=1 2 ^k+1 R

2 ^k ϕ(t)

t dt

^{Ô'Ñ2Ï ü À ÏÐ ¾¹¿ Ñ ÌˆÎ Ø ÃŽÅ Ò2Æ Ø} ÎÓÏ;Õ2ÃÇ Ë'Î

n−1 X

k=1

ϕ(2 ^k ) 6 2

2 ⁿ

Z

1

ϕ(t) t dt.

½

Ï;Ë'Î

×

ÃÐ1Ô9È À Ï

R y 1

ϕ(t)

t dt ∼ _α ¹ _ϕ ϕ(y)

^{Ñ Ì Æ}

y → + ∞

^Ô

0 < α _ϕ < + ∞

^{Ü ] Ï ¿ Ñ2ÏÒ Á Þ ¾ ÃÐ ¿ ÛÑ ÌˆÎ Ø Æ'҈ÏÐ}

l

Ï;Ñ Æ

À

ÎÒ2Û

y→+∞ lim R y 1

ϕ(t) t dt

ϕ(y) = lim

y→+∞

ϕ(y) yϕ ⁰ (y) = 1

α _ϕ ,

Ñ2Ï ü À

ÏÐ

¾ Þ

ÎË'Ò2âRȈÎ;ÃÐ1Ô2È

À Ï

I ₁ 6 c _ϕ,β ϕ(2 ⁿ ).

Q Î

¿¿

Ð,Ï

À

Ì Æ2Ð

I 2

^Ü

L

Õ2ÃÇ Æ2Ð

¿

Ç Æ Þ ¾

| 1 − r _k z |

^{Ñ Ì Æ}

k > n + 2

^ÿ

| 1 − r _k z | = | (1 − z) + z(1 − r _k ) | > | 1 − z | − (1 − r _k ) > | 1 − z | − 1

2 ⁿ⁺² > | 1 − z | 2 > 1

2 ⁿ⁺² .

f ¾

È2Ã

À

ÏÐ ü À

Ï;ʼÏ;Õ2ÃÇ Ë ÆwÑ2ÏÒ

¾

ȈÎ;ÃÐ

I ₂ 6 X

k>n+2

ϕ(2 ^k )

2 ^k(β+2) 2 ^(n+2)(β+2) 6 2 ^(n+2)(β+2) X

k>n+2 2 Z ^k+1

2 ^k

ϕ(t)

t ^β+3 dt 6 2 ^(n+2)(β+2) Z +∞

2 ⁿ⁺²

ϕ(t)

t ^β+3 dt.