Q-alg` ebres p-semi-norm´ ees presque commutatives

Volumen 38 (2004), p´aginas 1–5

Q-alg` ebres p-semi-norm´ ees presque commutatives

Abdellah El Kinani Ecole Normale Sup´erieure, Maroc

Abstract.Using the spectral radius, we obtain an equivalent condition to the commutativity of an algebra modulo its Jacobson radical.

Resume.En utilisant le rayon spectral, nous obtenons une condition ´equivalente

`a la commutativit´e d’une alg`ebre modulo son radical de Jacobson.

Keywords and phrases.Quasi-norm,p-normed algebra, Jacobson radical, spectral radius, subharmonic fonction, almost commutative algebra.

2000 Mathematics Subject Classification.Primary : 46H20.

Dans une alg`ebre de Banach, il est bien connu que la sous-additivit´e et la sous-multiplicativit´e du rayon spectral sont deux notions ´equivalentes `a la com- mutativit´e modulo le radical de Jacobson. Dans cet article nous consid´erons, sur une alg`ebre quelconque, des conditions qui font seulement appel au rayon spectral et qui sont ´equivalentes `a la presque commutativit´e. Dans toute la suite, les alg`ebres consid´er´ees sont complexes. Une alg`ebreA est dite presque commutative si A/Rad(A) est commutative, o`u Rad(A) d´esigne le radical de Jacobson deA.SiAest une alg`ebre unitaire, on d´esigne par 1 son unit´e et par ρ(a) = sup{|λ|:λ∈Sp a}, le rayon spectral dea∈A, o`uSp aest le spectre de a.Rappelons aussi qu’une alg`ebre p-semi-norm´ee, 0< p≤1, est dite une Q-alg`ebre si son groupe des ´el´ements inversibles est ouvert.

Th´eor`eme 1. SoitA une alg`ebre unitaire. Les assertions suivantes sont ´equi- valentes.

1) sup{ρ(xy) :ρ(y)≤1}<+∞, pour toutx∈Aet la fonction x7−→ |x|= sup{ρ(xy) :ρ(y)≤1}

est sous-additive i.e., il existe α >0 telle que

|x+y| ≤α(|x|+|y|), pour tousx, y∈A.

1

2) Aest une Q-alg`ebrep-semi-norm´ee (pour un certain p∈]0,1]) presque commutative.

D´emonstration. L’implication 2)=⇒1) est triviale. Montrons 1)=⇒ 2). Tout d’abord, la fonction x7−→ |x|est une quasi-semi-norme sur A([1], p.159). De plus, comme

ρ(xy)≤ρ(y)|x|, pour tousx, y∈A, (1) on a

|ab| ≤ |a| |b|, pour tousa, b∈A. (2)

Par ([1], p. 159-161) et (2), il existe unep-semi-norme d’espace vectorielk.k_p, sur A ([1], p.160), telle que kabk_p ≤ kak_pkbk_p, pour tous a, b ∈ A et deux constantes positivesk1et k2telles que

k1kxk_p^1p ≤ |x| ≤k2kxk_p^1p, pour toutx∈A.

Posons B = A/Rad(A) et s la surjection canonique de A sur B. On munit l’alg`ebre B de la p-semi-norme d’alg`ebre ([5]), not´ee encore k.k_p, d´efinie par ks(x)k_p=kxk_p,pour toutx∈A. C’est unep-norme surB car

{x∈A:|x|= 0}=Rad(A).

Et commeρ(s(a)) =ρ(a), pour touta∈A,il en r´esulte que³

B,k.k_p´

est une Q-alg`ebre. Soientx, y ∈A et λun nombre complexe tel que |λ|> ρ(y) +|x|.

Alors (λ−y) est inversible. En tenant compte de l’egalit´e λ−(x+y) = (λ−y)£

1−(λ−y)⁻¹x¤ et du fait que

ρ£

(λ−y)⁻¹x¤

≤ |x|

|λ| −ρ(y)<1, on voit queλ−(x+y) est inversible. Ainsi

ρ(x+y)≤ρ(y) +|x|, pour tousx, y∈A.

Posons|s(x)|=|x|, pour toutx∈A. Alors

ρ[s(x) +s(y)]≤ρ[s(y)] +|s(x)|, pour tousx, y∈A.

SoitB^∧ la compl´et´ee deB et^∧ρle rayon spectral dansB.^∧ Puisque

³ B,k.k_p

´ est une Q-alg`ebre et k.k<sub>p</sub> et ´equivalente `a|.|, l’in´egalit´e pr´ec´edente s’´etend `a B.^∧ Pouraetbdeux ´el´ements quelconques deA, consid´erons la fonctionf d´efinie, surC,I par

f(z) = e^zs(a)s(b)e^−zs(a)−s(b)

z siλ6= 0 et f(0) =s(ab−ba).

Alorsz7−→^∧ρ(f(z)) est sous-harmonique. En effet soit kxk= sup

½

∧ρ(x+y)−^∧ρ(y) :y∈B^∧

¾

, pour toutx∈B.^∧

Il est clair que, pour toutλ∈CI et tousa, b∈B, on a^∧ kλak=|λ| kak et ka+bk ≤ kak+kbk. De plus

∧ρ(a)≤ kak ≤ |a|, pour touta∈B.^∧ Par suite, on a

∧ρ(a)≤ kaⁿkⁿ¹ ≤k₂ⁿ¹ kaⁿk_p^pn1 , pour touta∈B^∧ et toutn= 1,2, ...

D’o`u, par passage `a la limite, b

ρ(a)≤lim

n kaⁿkⁿ¹ ≤lim

n kaⁿk_p^np1 ≤^∧ρ(a), pour touta∈B.^∧ Ainsi

∧ρ(a) = lim

n kaⁿkⁿ¹ , pour touta∈B^∧

Donc, comme dans [4], on montre que la fonction z 7−→ ^∧ρ(f(z)) est sous- harmonique. De plus, pour toutz6= 0, on a

∧ρ(f(z))≤ ρ(b) +|b|

|z| .

Ainsi la fonction z 7−→ ^∧ρ(f(z)) tend vers z´ero `a l’infini. Par le th´eor`eme de Liouville pour les fonctions sous-harmoniques, on a ^∧ρ(f(z)) = 0, pour tout z∈C.I Doncρ(ab−ba) = 0. Enfin soitxun ´el´ement quelconque de A. Alors, par (1), on aρ[(ab−ba)x] = 0 et doncab−ba∈Rad(A). On en conclut que

A/Rad(A) est commutative. ¤X

Comme cons´equence, on a le r´esultat suivant.

Corollaire 2. SoitAune alg`ebre unitaire. Les assertions suivantes sont ´equivalentes.

1) ρ(x)<+∞, pour toutx∈Aet il existe une constante β >0 telle que ρ(xy)≤βρ(x)ρ(y), pour tousx, y∈A.

2) Aest une Q-alg`ebrep-semi-norm´ee (pour un certain p∈]0,1]) presque commutative.

D´emonstration. Il reste `a montrer que 1)=⇒2). Pour toutx∈A, on a sup{ρ(xy) :ρ(y)≤1} ≤βρ(x)<+∞.

Soient x, y ∈ A et λ un nombre complexe tel que |λ| > ρ(x) +βρ(y). Alors (λ−x) est inversible. De plus

λ−(x+y) = (λ−x)£

1−(λ−x)⁻¹y¤

et

ρ£

(λ−x)⁻¹y¤

≤ βρ(y)

|λ| −ρ(x) <1.

Par suiteλ−(x+y) est inversible. Ainsi

ρ(x+y)≤ρ(x) +βρ(y), pour tousx, y∈A.

Il en r´esulte que

|a+b| ≤(1 +β) (|a|+|b|), pour tousa, b∈A.

Et on conclut par le th´eor`eme 1. ¤X

Dans le cas d’une alg`ebre norm´ee, on a le r´esultat suivant.

Th´eor`eme 3. Soit (A,k.k) une alg`ebre norm´ee unitaire. Les assertions sui- vantes sont ´equivalentes.

1) Il existe une constante c >0 telle que|x| ≤ckxk, pour toutx∈A.

2) A est uneQ-alg`ebre norm´ee presque commutative.

D´emonstration. 2)=⇒1) Pour toutx∈A, on a

|x|= sup{ρ(xy) :ρ(y)≤1} ≤ρ(x)≤ kxk. 1)=⇒2). Par 1), on a

ρ(xy)≤cρ(y)kxk, pour tousx, y∈A. (3)

Doncρ(x)≤ kxk,pour toutx∈Aet par suite (A,k.k) est uneQ-alg`ebre. De plus, comme au th´eor`eme 1, on montre `a partir de (3) que

ρ(x+y)≤ρ(y) +ckxk, pour tousx, y∈A. (4)

SoitA^∧ la compl´et´ee deAet^∧ρle rayon spectral dansA.^∧ Puisque (A,k.k) est une Q-alg`ebre, l’in´egalit´e (4) s’´etend `aA. Pour^∧ a, bdansA,on consid´ere la fonction g d´efinie, surC,I par

g(z) = e^zabe^−za−b

z siλ6= 0 et g(0) =ab−ba.

Alorsz7−→^∧ρ(g(z)) est sous-harmonique par [4]. De plus elle tend vers z´ero `a l’infini. Elle est donc identiquement nulle.On obtient alors la presque commu- tativit´e deA`a partir de^∧ρ(g(0)) = 0 et de (2) ¤X Remarques 4. 1) Dans le cas d’une alg`ebreA non n´ec´essairement unitaire, on serait tent´e de penser que

(|x|<+∞,∀x∈A) =⇒(ρ(x)<+∞,∀x∈A).

En fait, ce n’est pas le cas comme le montre le contre-exemple suivant : soient E=XC[X], o`u C[X]est l’alg`ebre des polynˆomes etF une alg`ebre de Banach unitaire commutative quelconque. SurA=E×F, on consid`ere les op´erations

ordinaires. Comme ρE(x) = +∞, pour tout ´el´ement x non nul de E, on a

|(a, b)| < +∞, pour tout (a, b) ∈ A alors que ρA[(a, b)] = +∞, pour tout (a, b)∈Aavec a6= 0.

2)SoitAest une alg`ebre non unitaire telle queρ(x)<+∞, pour toutx∈A.

Si|x|<+∞, pour tout x∈A, alorsρ(x)≤ |x|, pour toutx∈A. En effet, on a ρ(xy)≤ρ(x)|y|, pour tous x, y ∈A. Prenons y =xⁿ, pour n= 1,2, ..., on obtient ρ(x)≤ρ(x)ⁿ⁺¹¹ |x|ⁿ⁺¹ⁿ . D’o`u le r´esultat par passage `a la limite.

3) Avec l’hypoth`ese suppl´ementaire ρ(x) < +∞, pour tout x ∈ A, les th´eor`emes 1 et 3 restent encore valables dans le cas non unitaire.

R´ef´erences

[1] G. K¨othe,Topological vector spaces I, Springer-verlag, 1983.

[2] C. Le Page, Sur quelques conditions impliquant la commutativit´e dans les alg`ebres de Banach, C.R.A.S. Paris, Ser. A-B ; 265, (1967), A 235-A 237.

[3] T. Palmer , Spectral algebras, Rocky Mountain Journal of Mathematics, 22 (1992), no 1, 293–328.

[4] E. Vesentini,On the subharmonicity of the spectral radius, Boll, Un. Mat. Ital.

4(1968), 427–492.

[5] W. Zelazko, Selected topics on topological algebras, Lecture notes series 31, Aarhus, 1971.

(Recibido en febrero de 2003)

D´epartement de Math´ematiques Ecole Normale Sup´erieure Takaddoum B.P. 5118 Rabat 10105, Maroc e-mail :abdellah [email protected]