濃度の比較可能性と選択公理
alg-d
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2013
年
6
月
23
日
順序数や濃度の基本的な性質，Γ(X), K(X), κ∗, κ†については順序数・濃度の簡単なま とめを参照． 定義. 濃度κ, λが比較可能⇐⇒ κ ≤ λまたはλ ≤ κ 定理 1. 次の命題は(ZF上)同値 1. 選択公理 2. 任意の濃度κ, λは比較可能 3. ℵ0 ≤ κ, λならばκ, λは比較可能 4. 任意の濃度κ, λについて，κ≤∗ λまたはλ≤∗ κ． 5. ℵ0 ≤ κ, λならばκ≤∗ λまたはλ≤∗ κ． 証明. (1 =⇒ 2) X とY を任意の集合とする．整列可能定理によりX, Y を整列する．す ると整列順序の性質から|X| ≤ |Y |または|Y | ≤ |X|が分かる． 2 =⇒ 3と3 =⇒ 5と2 =⇒ 4と4 =⇒ 5は明らか． (5 =⇒ 1) 整 列 可 能 定 理 を 示 す ．X を 任 意 の 集 合 と し て Y := X ∪ N と す る ．「|A| ≤∗ |B| ならば |A| ≤ |P(B)|」であることに注意すると，|Γ(P(Y ))| ≰ |P(Y )| より|Γ(P(Y ))| ≰∗ |Y |が分かる．従って仮定4から |Y | ≤∗ |Γ(P(Y ))|となる．よって 全射f : Γ(P(Y )) −→ Y が存在する．Γ(P(Y ))は順序数だから，g(a) := min f−1(a) と して単射g : Y −→ Γ(P(Y )) が得られる．よってY は整列可能であり，X ⊂ Y だから
X も整列可能である．
濃度の比較可能性に制限を加えた，次の命題を考える．
命題 2. 任意の濃度µに対して「µ ≤ κ0 ≤ 2µ, µ ≤ κ1 ≤ 2µ なる濃度κ0, κ1 は比較可
能」である． 補題 3. 命題2 =⇒ 無限順序数αに対して|Γ(α)| ≤ |P(α)| 証明. α を無限順序数として κ := |P(α)| と置く．ℵ0 ≤ κ だから κ + 1 = κ である． また κ2 = (2|α|)2 = 22|α| = 2|α| = κ である．ここで κ† を考える．κ† の性質により κ < κ† ≤ 2κ2 だからκ≤ κ†≤ 2κ が分かる．一方|Γ(α)| ≤ 22|α|2 = 22|α| = 2κ であるか らκ ≤ κ + |Γ(α)| ≤ 2κ+ 2κ = 2κ+1 = 2κ となる．故に仮定から κ†とκ +|Γ(α)|は比 較可能である． (i) κ†≤ κ + |Γ(α)|のとき κ < κ† = 2κ ≤ |Γ(α)|である． ※ 順序数・濃度の簡単なまとめの命題16を参照． κ = |P(α)|で，|Γ(α)|はアレフだからP(α)は整列可能である．|P(α)| ≰ |α|だから Γ(α)の最小性により|Γ(α)| ≤ |P(α)|となる． (ii) κ +|Γ(α)| ≤ κ†のとき |Γ(α)| ≤ κ†である．κ† = |K(P(α))| だったから，W ⊂ K(P(α)) で|W | = |Γ(α)|と なるものが取れる．K の定義より，各f ∈ W はある順序数から P(α)への単射である． W は整列可能なので X := ∪ f∈W Im f (⊂ P(α)) も整列可能となる．ℵ = |X| と置く． X ⊂ P(α) だからΓ(X) ≤ Γ(P(α)) である．またX の定義より W ⊂ K(X) であり， |W | ≤ |K(X)|となる．ここでΓ(α)≤ Γ(P(α))であるが，もしΓ(α) < Γ(P(α))ならば Γ(P(α))の最小性より|Γ(α)| ≤ |P(α)|となるから，Γ(α) = Γ(P(α))としてよい．この とき ℵ < ℵ∗ =|Γ(X)| ≤ |Γ(P(α))| = |Γ(α)| となる．よってΓ(α)の最小性からℵ ≤ |α|なので |Γ(α)| = |W | ≤ |K(X)| = ℵ†= 2ℵ ≤ 2|α|=|P(α)| である． 定理 4. 選択公理⇐⇒命題2 証明. =⇒は定理より明らか．⇐=を示す．その為には整列可能定理と同値な「順序数α に対してP(α)は整列可能」を示せばよい． ※ 整列可能定理についての定理4を参照． 2
α を順序数とする．α は無限順序数としてよい．順序数 Γ(α) に補題 3 を適用して |Γ(Γ(α))| ≤ |P(Γ(α))|を得る．よって|Γ(α)| ≤ |Γ(Γ(α))| ≤ |P(Γ(α))| = 2|Γ(α)| とな る．|α| ≤ |Γ(α)|だから|Γ(α)| ≤ |Γ(α)| + 2|α| ≤ 2|Γ(α)|+ 2|Γ(α)| = 2|Γ(α)|である．従っ て仮定により|Γ(Γ(α))|と|Γ(α)| + 2|α|は比較可能である． |Γ(Γ(α))| ≤ |Γ(α)| + 2|α|と仮定すると|Γ(Γ(α))| ≤ |Γ(α)|または|Γ(Γ(α))| ≤ 2|α| で なければならないが，どちらも成立せず，矛盾する．よって|P(α)| = 2|α| ≤ |Γ(α)|+2|α| ≤ |Γ(Γ(α))|となりP(α)は整列可能である． 系. 一般連続体仮説(κ≤ µ ≤ 2κならばµ = κまたはµ = 2κ) =⇒選択公理 定理 5. 次の命題は(ZF上)同値 1. 選択公理 2. µ < 2κ ならばκとµは比較可能である． 3. ℵ < 2κ ならばκとℵは比較可能である． 証明. 1 =⇒ 2と2 =⇒ 3は明らか． (3 =⇒ 1) 整列可能定理を示す．X を任意の集合としてκ := |X|と置く．κ∗ ≤ 222κ である．κ∗ はアレフだから，もしκ∗ = 222κ ならばκ ≤ 222κ = κ∗ より X は整列可能 である．そこでκ∗ < 222κ だとすると仮定3によりκ∗ と22κ は比較可能である．もし 22κ ≤ κ∗ ならばκ ≤ 22κ ≤ κ∗ となりX は整列可能である．そこで κ∗ < 22κ だとする と再び仮定3によりκ∗ と2κは比較可能である．もし2κ ≤ κ∗ならばκ≤ 2κ ≤ κ∗ とな りX は整列可能である．そこでκ∗ < 2κ だとすると再び仮定3によりκ∗ とκは比較可 能である．このときκ∗ の定義からκ≤ κ∗となり，Xは整列可能である． 補題 6. κ + 1 = κならば2κ− κ = 2κ 証明. κ = |X|となる集合X を取る．X ∋ x 7−→ {x} ∈ P(X)により X ⊂ P(X)とみ なしたとき|P(X)| ≤ |P(X) \ X|を示せばよい． X に含まれない元∞を一つ取りX := X∪ {∞}と置く．f : P(X) −→ P(X) \ X を f (Y ) := Y ∪ {∞}で定める．これは明らかに単射だから|P(X)| ≤ |P(X) \ X|である． ここでκ + 1 = κだから|X| = |X|であり，よって|P(X) \ X| = |P(X) \ X|となる． 従って|P(X)| ≤ |P(X) \ X|． 定理 7. 選択公理 ⇐⇒ κ0, κ1 ≥ ℵ0 とする．次の条件を満たすとき κ0 と κ1 は比較可能である．ある 3
µ≥ κ0, κ1 が存在して，任意のν0, ν1 に対して「κ0+ ν0 = κ1+ ν1 = µ =⇒ ν0 = ν1」 証明. (=⇒)明らか (⇐=)定理の条件3を示す．κ0, κ1 をℵ0 ≤ κ0, κ1 なる濃度とする．µ := 2κ0+κ1 と置 けばµ≥ κ0, κ1である．κ0+ ν0 = µとすると補題6より明らかにν0 = µである．κ1 に ついても同様だから，「κ0+ ν0 = κ1+ ν1 = µ =⇒ ν0 = ν1」が成立する．よってκ0, κ1 は比較可能である． 定理 8. 次の命題は(ZF上)同値 1. 選択公理
2. 任意のx, yに対して|Pfin(x)|と|Pfin(y)|は比較可能である．
3. 任意のx, yに対して|x|と|Pfin(y)|は比較可能である．
4. 任意のx, yに対して|x| ≤ |Pfin(y)|または|y| ≤ |Pfin(x)|である．
証明. 1 =⇒ 2と1 =⇒ 3は明らか．
(2 =⇒ 4) |Pfin(x)| ≤ |Pfin(y)|ならば |x| ≤ |Pfin(x)| ≤ |Pfin(y)|であり，|Pfin(y)| ≤
|Pfin(x)|ならば|y| ≤ |Pfin(y)| ≤ |Pfin(x)|である．
(3 =⇒ 4) |x| ≤ |Pfin(y)|ならばよい．|Pfin(y)| ≤ |x|ならば|y| ≤ |Pfin(y)| ≤ |x| ≤
|Pfin(x)|である．
(4 =⇒ 1) 整列可能定理を示す．x を集合としてy := Γ(Pfin(x)) と置く．仮定 4 よ
り|x| ≤ |Pfin(y)| または|y| ≤ |Pfin(x)| である．y の定義により|y| ≰ |Pfin(x)|だから
|x| ≤ |Pfin(y)|となる．yは順序数だから|y| = |Pfin(y)|である．
※ 順序数・濃度の簡単なまとめの命題11を参照．
故に|x| ≤ |y|である．よってxは整列可能である．
参考文献
[1] H. Rubin and J. Rubin, Equivalents of the axiom of choice II, North Holland, 1985.
