1．は じ め に
従来のコンピュータ上では 0 もしくは 1 の二つの状態 （ビット）によって情報を表現し計算を行っている．こ の 0 状態や 1 状態は，電圧の高低や，スイッチのオン・ オフ，電荷がたまった状態とそうでない状態など，巨視 的に異なる状態によって表現されており，量子力学的な 効果はほとんど現れない（集積回路の発熱問題の原因で あるリーク電流は，配線幅を小さくしてしまったため生 じる量子力学的なトンネル効果を由来とする）．しかし， ミクロな世界では，原子や電子などは，粒子であると同 時に波としても振る舞う．量子力学は，古典物理学，す なわち，粒子の力学（ニュートン力学）と波の力学（マ クスウェルの電磁気学）を統合する形で，ミクロな世界 を記述する物理学として 1920 年代に構築され，現在に おいても最も基本的な物理学の枠組みとなっている． 量子力学では，例えば電子は粒子であると同時に，波 の性質も併せもつため，電子の位置は確定せず，複数の 場所に存在する電子が波として重ね合わさった状態とし て記述される．これは単に確率的に特定の場所にランダ ムに電子を見いだすというものとは少し異なる．電子の 状態は複素確率振幅という複素数によって記述され，確 率よりもより原始的な意味をもち，複素確率振幅の絶対 値の 2 乗が電子をある場所に見いだす確率に対応する． 確率と複素確率振幅の決定的な違いは，複素数である複 素確率振幅は波として干渉し強め合ったり弱め合ったり することである．これは単なる正の実数である確率では 起こり得ない現象である． このような量子力学的に振る舞う電子に情報を担わせ ることを考えよう．右の箱に電子がある状態を 0 状態， 左の箱に電子がある状態 1 状態とする．量子力学に従う と，0 状態（右の箱に存在）と 1 状態（左の箱に存在） が確定していない，量子的重ね合わせ状態が許されて いる．我々の日常の直感とは反するので重ね合わせをイ メージすることはなかなか難しい．0 状態（右の箱に電 子がいる）を準備して 1 状態（左の箱に電子がいる）へ と移そうとしたときに，途中に止めてしまい，かといっ て電子一つを分割するわけにはいかないので，右左どち らとも確定していない，実にあやふやな状態がミクロな 世界では許されているのだ．このため，古典物理学では 0 と 1 どちらかを確実にとっていたのに比べ，量子力学 ではその二つの状態の（あやふやな）重ね合わせ状態を 利用してより複雑な情報を表現できることになる．この ような現象は，古くから量子力学の基礎的な研究対象と して研究されてきた．そして，最近の技術の進展に伴っ て，このような量子的な現象を制御し，積極的に計算に 利用する量子情報処理が可能となりつつある．量子コン ピュータはこのような量子力学の原理に基づいて計算を 行うコンピュータであり，素因数分解問題，量子化学計 算，そして機械学習などの特定の問題において従来のコ ンピュータ（以降，古典コンピュータと呼ぶことにする） よりも高速に計算を行うことができると期待されている [Fujii 15a, Nielsen 10]．高速に計算ができる，といったときには二つの方向性 がある．一つは，問題のサイズに対して計算に必要なス テップ数（計算量）が古典コンピュータに比べて少なく てすむというものである．量子版のチューリングマシン と互換性がある万能量子コンピュータの高速性を議論す る場合はこのような意味の高速性であり，上記の素因数 分解，量子化学計算，特定の機械学習問題などはその例 である．後で説明するように，量子力学系の時間発展は， 複素数ベクトルに対するユニタリー変換にほかならな い．そして，この複素ベクトルの次元は粒子数に対して
量子レザバー計算
─量子多体実時間ダイナミクスの機械学習への応用─
Quantum Reservoir Computing
─ Harnessing Quantum Many-Body Dynamics for Machine Learning ─
藤井 啓祐
京都大学大学院理学研究科物理学・宇宙物理学専攻Keisuke Fujii Department of Physics, Graduate School of Science, Kyoto University. [email protected]
Keywords:
quantum information processing, reservoir computing, quantum reservoir computing, quantummachine learning. 「物理学と AI」
指数的に増えていく．上記の問題においては，量子力学 系がもつこの指数的に大きな次元の線形代数構造をうま く利用している．具体的には，指数的に大きなサイズの 行列の固有値を多項式的なステップ数で計算することに よって計算の加速を実現する．素因数分解の場合は，固 有値に群の位数の情報が含まれていることを利用し，量 子化学計算では最小固有値が分子のエネルギーに対応す ることを利用する．機械学習への応用では，エルミート 化した行列の固有値を推定し，その逆数を計算すること によって逆行列を計算することになる [Harrow 09]． もう一つの方向性は，量子力学に従った物理系とし て並列計算を行っているアナログ並列専用マシンとして の高速性である．量子アニーリングマシンなど計算量的 な優位性は保証されていないが，組合せ最適化問題や機 械学習（ボルツマン機械学習）に応用されているものは このアナログ並列マシンとしての高速性である場合が多 い．本稿では，アンサンブル量子系という特殊な量子系 の量子実時間ダイナミクスを用いて時系列データ処理を 行う量子レザバー計算を紹介する．このアプローチは指 数的に大きな次元の線形代数構造を利用し，時系列デー タ処理に利用する新たな方法である [Fujii 17]．このア プローチでは量子系が粒子数に対して指数的に多くの次 元の複素ベクトルによって表現されることを利用して， 複雑な非線形関数を表現する，アナログ並列マシンとし て機能している．以降では，量子力学の基礎的な説明か ら始めて，量子レザバー計算について解説する．
2．量子力学と情報処理
古典コンピュータの 1 ビットを表現するには一つの変 数 x∈{0, 1} があれば十分である．しかし，0 と 1 が確定 していない重ね合わせ状態を記述するためには，どれく らいの重みで 0 もしくは 1 になっているのか，といった 情報を用いて状態を表現することになる．この重みは確 率そのものとは異なり，複素数を用いて 0 の重みがα， 1の重みがβという形で，二次元複素ベクトル = 1 0 + 0 1 β α α β ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ （1） として表現する． 10 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ や 01 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ は 0 状態，1 状態にそ れぞれ対応し，計算に使う基底を構成している．この 0 状態と 1 状態が重ね合わさった状態は量子の世界の情報 の最小単位であり，量子ビットと呼ばれている．α＝ 1， β＝ 0 とすれば 1 状態，α＝ 0，β＝1 とすれば 0 状態に なるので，従来のビットを含んだより一般的な情報の表 現になっている． 列ベクトルで書くとスペースをとるので，ディラックの ブラケット表記と呼ばれる表記を採用して列ベクトルを |0 = 1 , |1 = 0 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ （2） のように書くことにする．この表記を用いると， |ψ =α|0 + |1β （3） と簡潔に記述することができる．｜ψ〉の双対ベクトル 空間の元（行ベクトル）は〈ψ｜＝（｜ψ〉）†と書くことに する．†は転置および複素共役をとる操作を意味する． 残念ながら，量子ビットに対する何らかの読出し操作 をしても，複素数であるαやβの情報を直接取得するこ とはできない．量子力学では量子ビット｜ψ〉を測定す ると確率的に 0 や 1 が得られることになり，その確率は p0=| |α2, p1=| |β2 （4） で与えられる．このため，α，βは｜α｜2＋｜β｜2＝ 1 を 満たし規格化されているものとする．ただし，量子ビッ トはあくまでαとβという複素数で表現されるので，0 や 1 を確率｜α｜2や｜β｜2で乱拓したものとは全く異な ることに注意すべきである．測定をして量子ビットの状 態を読み出すという行為をしたときに初めて，複素数で あるαやβの絶対値の 2 乗が確率と対応し測定結果が得 られる．このため，重ね合わせの重みを表す複素数は確 率と区別するために複素確率振幅と呼ばれている．この 複素確率振幅は，一つの量子ビットに対して 1 回の測定 によって直接定めることができない量であるにもかかわ らず，複素確率振幅によって記述されていると考えない と量子系は説明することはできない（全く同じ量子ビッ トが複数あった場合は，何回もサンプリングすることに よって複素確率振幅を物理量として取り出すことができ る）．そして，量子コンピュータとは，量子状態を記述 している複素確率振幅（確率そのものではない）を物理 法則に従って変換していくコンピュータといえる．複素 確率振幅と確率は似ているように思うかもしれないが， この両者の決定的な差が量子コンピュータと古典確率計 算の計算能力の差を生む． さて，どのような変換が量子力学で許されているだろ うか？ まず，量子力学は線形な方程式（シュレーディ ンガー方程式と呼ばれる）で記述されるので，複素ベク トルに対する線形変換しか許されていない．そして，複 素確率振幅は絶対値の 2 乗，つまりユークリッドノルム の 2 乗が確率の合計に対応しているので，その規格化条 件を保った変換，つまりユニタリー演算子 U（U†U＝I） が量子ビットに許された変換ということになる．例えば， 1量子ビットに作用するアダマール演算子 H =√1 2 1 1 1 −1⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ （5） を｜0〉に作用させると，重ね合わせ状態が得られる．H|0 =√1 2 1 1 1 −1 1 0 = 1 √ 2(|0 + |1 ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎛ （6） この重ね合わせ状態は 0 と 1 がランダムに 1/2 の確率で 決まっている状態とは異なることを考察しておこう．も し，この時点の量子状態が確率 1/2 で，｜0〉 もしくは｜1〉 に定まっていたとすると，再びアダマール演算 H を作 用させたとき確率 1/2 でそれぞれ H|0 =√1 2(|0 + |1 ) （7） H|1 =√1 2(|0 1 ) （8） が得られる．それぞれにおいて確率 1/2 で 0 と 1 が得ら れるので，結局 0 と 1 の結果が 1/2 の確率で得られるこ とになる．しかし，量子力学的な計算に従うと HH|0 = |0 （9） となり｜0〉 状態に戻ってくる．つまり，一度重ね合わせ 状態になったものが再び適切な操作をすると元の状態に 戻ってくる（干渉する）ことができる．ここに，量子力 学的な重ね合わせと単なる確率的な乱択との違いが現れ る． さて，これまで 1 量子ビットの記述とそれに対する量 子力学で許された演算を見てきたが，1 量子ビットだけ では二次元の複素ベクトル空間の回転にすぎない．n 個 の量子ビットがある場合の記述を説明する必要がある． n個の古典ビットの状態は n 個の 0, 1 の数字によって表 現され，そのパターンの総数は 2n個ある．量子力学では， これらすべてのパターンの重ね合わせ状態を一つの量子 状態として表現することが許されている．よって，どの ビット列がどのような重みで重ね合わせになっているか という 2n個の複素確率振幅で |x = x00...0|00...0 + x00...1|00...1 + · · · +x11...1|11...1 = x00...0 x00...1 ... x11...1
⎟
⎟ ⎠ ⎞⎜
⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ （10） のように n 量子ビットの状態が表現される．ただし，複 素確率振幅は規格化 Σi1, …, in｜xi1…in｜ 2＝1 されているもの とする．このように n 量子ビットの重ね合わせ状態は， nに対して指数的に大きい 2n次元の複素ベクトル空間で 記述する必要がある．一方，n ビットの古典ビットは n 次元の 0, 1 を成分としてもつベクトルによって表現され るので，ここに古典ビットと量子ビットの次元の違いが 顕著に現れる．この n 量子ビットの量子状態を測定する とビット列 i1…inが確率 pi1...in =|xi1...in| 2 （11） でランダムに得られる． 1量子ビットの場合と同様に，n 量子ビットに許され た操作は 2n次元の複素ベクトル空間上のユニタリー変 換である．つまり，量子コンピュータ（量子力学に従う 物理系）は，量子ビット数に対して指数的に大きな複素 ベクトルで状態が表現され，それに対するユニタリー変 換が物理的な時間発展として行えるようなコンピュータ になっている．はじめに述べたように，この指数的に大 きな次元の複素ベクトルとそれに対するユニタリー変 換，という量子力学が自然にもつ線形代数構造を用いる ことによって，特定の問題を従来のコンピュータに比べ て指数的に高速に解くことができる． 計算精度が保証されたディジタル万能量子コンピュー タの実現に向けた実験も，各国の大学・研究機関，そし て Google や IBM といった巨大 IT 企業の支援のもと精 力的に進められている [Barends 14, Kelly 15]．量子多 体系がもつ複雑性をそのまま利用するアナログ量子シ ミュレーションもさまざまな物理系を用いて実験が進め られている [Bloch 12, Cirac 12, Georgescu 14]．アナロ グ量子ダイナミクスを組合せ最適化問題を解くヒューリ スティックとして利用する量子アニーリングも，カナダ のベンチャー企業によって研究・商用化が進められてい る [Boixo 14, Farhi 01, Kadowaki 98, Rønnow 14]．し かしながら，計算機科学的な仮定のもと古典コンピュー タに対する優位性（quantum computing supremacy） [Fujii 15b, Fujii 16, Morimae 14]が示されているような 複雑な量子ダイナミクスを，汎用的な情報処理に応用す る方法はまだ確立されていない．本稿で紹介する量子レ ザバー計算は，そのような試みのうちの一つであり，量 子多体系の複雑な実時間ダイナミクスを機械学習，特に 時系列データ処理に応用するための新たな枠組みである [Fujii 17]．3．時系列データ処理とレザバー計算
時系列データ処理とは，時間に依存するようなデータ 処理であり，言語認識，自然言語処理，ロボットのモー タ制御，株価予測など我々の身の回りにありふれた問 題である．時系列データ処理では，入力の時系列データ {u（t）}が与えられたときに，過去の入力に対して非線形 関数 f を作用させた出力 ¯y(t) = f (u(t), u(t− 1), ...) （12） を汎化することになる．例えば，ベンチマークとして使 われる短期記憶タスクでは，r ステップ前の入力を出力 として出すタスクであり
¯
を学習することになる．このタスクは線形なシステムで も実行することができるタスクである．一方，例えば入 力が 2 値変数 u（t）∈ {0, 1} の場合， ¯ y(t) = r k=1 u(t− k) （14） のような過去の入力の偶・奇を出力させるパリティ検査 タスクを定義することができる．これは非線形性を必要 とするタスクである．また，教師時系列データから一つ 先の入力 ¯ y(t) = u(t + 1) （15） を学習させ，この出力 y（t）を次の時刻の入力として系 にフィードバックしてやると，時系列データの埋込みと それによる予測ができる．これら過去の入力の履歴を用 いた非線形関数の汎化を時系列データ処理と呼ぶことに する． このような問題に対して，脳型情報処理の一つであ るレザバー計算が研究されている [David 07, Jaeger 04, Maass 02]．レザバー計算では，フィードフォワード型 のニューラルネットワークと異なり，メモリ効果をもつ ようなリカレントネットワーク [Dambre 12, Rabinovich 08]が用いられる． x(t) = x1(t) ... xN(t) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ （16） を時刻 t における N 個のノードの状態としよう．次の時 刻のノードの状態は，外部からの入力 u（t）と現在のノー ドの状態から x(t + 1) = tanh(W x(t) + Winu(t)) （17） のように与えられる．ここで，W は前の時刻の情報か らどのような重みで足し合わせるかを決める遷移行列， Winは外部入力をどのような重みで各ノードに追加する かを決める入力行列である．tanh はベクトルの各要素に 非線形変換を施す．出力 y（t）は，各ノードを読出し用 の行列 Woutを用いて線形に重み付けを行うことによって y(t) = Woutx(t) （18） で与えられる．従来のリカレントニューラルネットワー クでは，目的の時系列処理を実行するために，教師デー タ y（t）とネットワークの出力の誤差が最小になるよう に，遷移行列 W を誤差伝搬法などを使って学習するこ とになる．一方，レザバー計算のアプローチでは，遷移 行列はあらかじめランダムに決めてしまい（最大特異値 が 1 付近になるような規格化は行う），出力だけを線形 回帰によって学習する [David 07, Jaeger 04, Maass 02]． この結果，学習が安定的に行えるため，ネットワークの 規模を大きくすることができ，その結果，線形回帰だけ でもリカレントニューラルネットワークに匹敵する性能 を引き出すことができる[Jaeger 04]．レザバー計算では， もはやネットワークの内部構造を調整する必要がないの で，非線形性をもった大自由度力学系であればどのよう な物理系であってもレザバー計算として時系列データ処 理に利用することができる．このため，さまざまな物理 系が固有にもつ複雑性を計算に利用するフィジカルレザ バー計算が，レーザ系，脳型チップ，ソフトロボットな どさまざまな物理系を用いて実装されている [Appeltant 11, Brunner 13, Caluwaerts 14, Fernando 03, Hauser 11, Larger 12, Nakajima 13a, Nakajima 13b, Nakajima 14, Nakajima 15, Paquot 12, Stieg 12, Vandoorne 14, Woods 12]．
4．量子レザバー計算
量子レザバー計算とは，量子力学系の実時間ダイナ ミクスの複雑性をレザバー計算として利用する方法であ る．先述の量子力学系を用いてどのようにレザバー計算 をするか説明する．量子状態は 2n次元の複素ベクトル ｜x〉で記述されるのであった．量子レザバー計算では この 2n次元の複素ベクトルの要素 x i1…i（in k∈ {0, 1}）を ネットワークのノードとみなすことになる．時刻 t の量 子状態を |x(t) = x1(t) ... x2n(t) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ （19） と書くことにする．ただし，添字をビット列から通し番 号へと変更した．量子力学系の時間発展はユニタリー変 換だったので 2n×2n ユニタリー行列 U を用いて次の時 刻の状態 |x(t + 1) = U|x(t) （20） 図 1 量子レザバー計算． （a）外部からの時系列データを量子多体系に入力．（b）読 出し用のノードを物理量の平均値として取得する．（c）1 ス テップを V 分割し，N 個の読出し用ノードすべてに対して V個の仮想ノードを得る．（d）教師データと N × V 個の読 出しノードを用いて読出し用の重み Woutを擬似逆行列を用 いて計算するが与えられる．リカレントニューラルネットワークの時 間発展に似てきたが，線形変換しかできていないし，外 部入力も入れることができていない．残念ながら量子状 態に対して |x(t) + |u(t) （21） のように加法的に外部入力を加えることはできない．規 格化条件を満たさなくなってしまうからだ．その代わり， 外部入力 u（t）に依存した操作は，外部入力に依存した ユニタリー変換 |x(t + 1) = Uu(t)|x(t) （22） によって行うことができる．そうすると，Uu（t）そのもの は線形変換であるが，u（t）依存性をもった行列なので， 時間発展を繰り返し行うことによって外部入力 u（t）の 非線形項も誘導されることがわかる．ネットワークの出 力は，読み出す物理量に対応する N 個のエルミート行 列 {Ai}Ni＝1の平均値 Ai(t) = x(t)|Ai|x(t) （23） から構成される読出しノード a(t) = A1(t) ... AN(t) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ （24） を読出し用の行列 Woutで重み付けすることによって y(t) = Wout a(t) （25） として得られる．物理量としてはそれぞれの量子ビット がどれくらい｜0〉であるか，｜1〉であるかを表すパウリ Z演算子 Z =|0 0| − |1 1| = 1 0 0 −1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ （26） を利用することができる．｜0〉 状態の場合は，〈0｜Z｜0〉 ＝＋1, ｜1〉 状態の場合は，〈1｜Z｜1〉＝−1 となる．一般 の状態｜ψ 〉＝α｜0〉＋β｜1〉の場合は〈 ψ｜Z｜ψ 〉＝｜α｜2− ｜β｜2となり−1 から＋1 までの値をとる量が得られる． 以上のように，量子力学における量子ビットに対して 指数的に増える複素確率振幅に対する入力依存性をもっ たユニタリー変換をネットワークのダイナミクスとして 用い，物理量に対応するエルミート行列の平均値を読出 しノードとして用いるレザバー計算が量子レザバー計算 である（図 1）＊1． 量子レザバーの出力値（25）を計算するためには，物 理量の平均値（24）を得る必要がある．通常の量子系 であれば，物理量の平均値の取得は何度も繰り返し測定 をすることによって確率的に得られる結果から平均値を 求める必要がある．また，測定によって量子状態も反作 用を受けて変わってしまう．しかし，全く同じ量子系の コピーがたくさんあるようなアンサンブル量子系であれ ば，物理量の平均値をほぼ反作用なく読み出すことがで きる．このような性質を満たす量子系としては，MRI （Magnetic Resonance Imaging：磁気共鳴画像）に利用 される固体 NMR（Nuclear Magnetic Resonance：核 磁気共鳴）スピンアンサンブル系がある．固体 NMR ス ピンアンサンブル系の場合は，分子を構成する各原子 の核スピンを量子ビットとして用いるため，試料には 全く同じ分子のコピーが 1018∼ 1020ほど含まれている （1 mol には 1023個の分子が含まれていることを思い出 そう）．一つ一つの核スピンの磁化は小さいが，膨大な 数のコピーがあるおかげでコイルをを通じて読み出すこ とができる．このとき，分子一つ一つに対しては非常に 弱い測定になっており，ほぼ反作用のない測定ができる．
5．量子レザバー計算の性能評価
簡単のため一次元の時系列データ u（t）を入力として 与え，非線形関数 ¯y(t) = f (u(t), u(t− 1), · · · ) （27） を学習するタスクを考える．y‾（t）も一次元データとする． {u（t）}T t＝1に対する出力 { y‾（t）}Tt＝1を教師データとする．入 力 u（t）に依存したユニタリー変換で状態を時間発展さ せ，N 個の物理量の平均値 a（t）を得る．時間発展は， 横磁場イジング模型と呼ばれるハミルトニアン HIsing= ij JijZiZj+ h Xi （28） によるダイナミクスを利用した．ここで，Ziや Xiは i 番目の量子ビットに作用するパウリ演算子 Z =|0 0| − |1 1| （29） X =|0 1| + |1 0| （30） である．このハミルトニアンは量子アニーリングなどで も利用されているハミルトニアンである．本研究では， 結合定数である Jijを−J/2 から J/2 の間でランダムに選 び，h＝J としている．このハミルトニアンのもとでの 時間間隔τの時間発展は，ユニタリー演算子 e−iHIsingτ （31） によって与えられる（H はエルミート演算子であること に注意）．この時間間隔τの時間発展を 1 ステップとし て量子レザバーに外部入力を入れることになる．そして， 各ステップ時間の時間発展をさらに V 分割してそれぞれ ＊1 簡単のために量子純粋状態を用いた説明を行ったが，論文 [Fujii 17]では，古典的な確率混合も含めたより一般的な量子状 態の記述方法である密度演算子と，それに対する最も一般的な 量子操作，CPTP（Completely Positive and Trace Preserving） 写像を用いて量子レザバー計算を構成している．
の時刻で量子系から物理量 Ziの平均値〈Zi〉を取得す ることによって各ノード当たり V 個の仮想ノードを導入 し，各ステップ合計 NV ノードを読出しノードとして利 用する．損失関数 T t=1 (¯y(t)− y(t))2= T t=1
(¯y(t)− Wouta(t))2
（32）
を最小化する Woutは，連立方程式（t＝1, …, T）
¯
y(t) = a(t)Wout （33）
を 2 乗誤差が最小になるように解く．これは，擬似逆 行列を特異値分解を用いて得ることによって解くことが できる．得られた Woutを用いて，時刻 t＝T＋1 以降の 入力に対して量子レザバーの出力と比較を行い，量子レ ザバーの性能を評価した [Fujii 17]．評価においては量 子系のダイナミクスを従来の計算機を用いてシミュレー ションすることによって行った．実際の固体 NMR スピ ンアンサンブル系を用いた実験も現在進行中である． 性能評価を行うために，u（t）∈ {0, 1} として短期記 憶タスクとパリティ検査タスクの二つのタスクを行っ た．前者は r ステップ前までの入力を記憶し出力すると いう短期記憶の容量のためのタスクであり，後者は r ス テップ前までの入力の偶・奇を出力するという非線形性 を必要とするタスクである．比較対象として，通常の リカレントネットワークに対してレザバー計算の手法 を用いているエコーステートネットワーク（echo state network）[Jaeger 04] と比較をした．その結果，量子 ビット数が 7 程度（27＝128 次元の量子系）の量子レザ バーが 100 ∼ 500 ノードのエコーステートネットワー クにおける短期記憶とパリティ検査の性能を示すことが わかった．また，時間間隔τの選び方によって，τが小 さすぎると短期記憶とパリティ検査，ともに性能は低く なる．これはτ＝0 でダイナミクスが恒等演算子になっ てしまうため，外部入力が系にうまく入力されないため である．τを大きくすると短期記憶はあるτで最適にな り，それ以降減少していく．これは，τが大きくなりす ぎると，時間発展に対応するユニタリー変換によって指 数的に大きな複素ベクトル空間全体へと情報が非局在化 されてしまい，読出しから線形回帰によって過去の入力 を再構築できなくなってしまうことによる．一方，非線 形性を必要とするパリティ検査タスクはτ増加に伴って 単調に増加する．これはユニタリー変換による時間発展 がより複雑になることによってより複雑な非線形項が得 られるためである． 入力は 0, 1 に限定する必要はなく，連続値の入力の 学習タスクも可能である．カオス時系列データの一つで ある Machy-Glass 時系列データを 1 万ステップ学習し， 予測した結果を図 2 に紹介する．
6．ま と め
量子レザバー計算では，量子多体系の実時間ダイナミ クスがもつ複雑性をレザバー計算として時系列データ処 理に利用する．量子系を機械学習に利用する提案はこれ までもあるが [Adcock 15, Briegel 12, Lloyd 14, Paparo 14, Rebentrost 14, Wiebe 14]，これらの方法はどれも万 能な量子コンピュータを前提としており，誤り訂正を 伴った精度保証できるディジタル量子コンピュータ上の アルゴリズムとして機能する．このような，ソフトウェ アとしてディジタル量子コンピュータ上で動く量子ア ルゴリズムとは異なり，量子レザバー計算では，ハミル トニアンの系のパラメータを詳細に調整する必要がな く，量子多体系の複雑なアナログダイナミクスをそのま ま計算リソースとして利用することができる．少数の量 子ビットであっても，実時間ダイナミクスを高い精度で 得ることができれば計算のリソースとして利用できるた め，近未来的に実現される量子デバイスを用いた実装が 期待される． また，量子レザバー計算では，レザバー計算の思想に 基づいて，ネットワークの内部（ユニタリー変換）を調 整せず，量子多体系の自然なダイナミクスを計算に利用 した．一方，通常のニューラルネットワークでは，誤差 逆伝搬などによって，ネットワーク遷移行列を精密に調 整している．量子計算においても，量子回路を自在に制 御することが可能となりつつある．パラメータが付与さ れた量子回路部分をネットワークとし，勾配を用いて損 図 2 カオス時系列データの予測 [Fujii 17]． （a）非カオス領域の周期的な力学系の学習．（b） カオス領域の学習．最初の 200 ステップは正 しい時系列データへの追従をしている．また アトラクタの構造も MG 時系列データのそれ を模倣している失関数を最小化することによって非線形関数の汎化や分 類を行う方法である量子回路学習も最近提案されている [Mitarai 18]．また，量子演算を用いてニューロンを構 成する方法も提案されている [Cao 17]．以上のように， 量子レザバー計算を含め，量子系を用いた機械学習は今 後さらなる研究が進むと予想される．また，ユニタリー 変換という量子系特有の制約を既存のニュラールネット ワークの設計に取り込むのも興味深い． 謝 辞 本解説で紹介した内容は，東京大学大学院情報理工学 系研究科 中嶋浩平氏との共同研究によって得られた成 果である．
◇ 参 考 文 献 ◇
[Adcock 15] Adcock, J., Allen, E., Day, M., Frick, S., Hinchliff, J., Johnson, M., Morley-Short, S., Pallister, S., Price, A. and Stanisic, S.: Advances in quantum machine learning, arXiv preprint, arXiv:1512.02900（2015）
[Appeltant 11] Appeltant, L., Soriano, M. C., Sande, Van der G., Danckaert, J., Massar, S., Dambre, J., Schrauwen, B., Mirasso, C. R. and Fischer, I.: Information processing using a single dynamical node as complex system, Nature Communications, Vol. 2, p. 468（2011）
[Barends 14] Barends, R., Kelly, J., Megrant, A., Veitia, A., Sank, D., Jeffrey, E., White, T. C., Mutus, J., Fowler, A. G. and Campbell, B., et al.: Superconducting quantum circuits at the surface code threshold for fault tolerance, Nature, Vol. 508, No. 7497, p. 500（2014）
[Bloch 12] Bloch, I., Dalibard, J. and Nascimbene, S.: Quantum simulations with ultracold quantum gases, Nature Physics, Vol. 8, No. 4, p. 267（2012）
[Boixo 14] Boixo, S., Rønnow, T. F., Isakov, S. V., Wang, Z., Wecker, D., Lidar, D. A., Martinis, J. M. and Troyer, M.: Evidence for quantum annealing with more than one hundred qubits, Nature Physics, Vol. 10, No. 3, p. 218（2014）
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