ディスカッションペーパーシリーズ（日本語版） 2004-J-24 要約 マリアバン解析を用いたオプションのリスク指標の数値計算について
38
0
0
全文
(2) 備考： 備考： 日本銀行金融研究所ディスカッション・ペーパー 日本銀行金融研究所ディスカッション・ペーパー・シ ・ペーパー・シ リーズは、金融研究所スタッフおよび外部研究者による 研究成果をとりまとめたもので、学界、研究機関等、関 連する方々から幅広くコメントを頂戴することを意図し ている。ただし、ディスカッション・ペーパーの内容や ている。ただし、ディスカッション ・ペーパーの内容や 意見は、執筆者個人に属し、日本銀行あるいは金融研究 所の公式見解を示すものではない。.
(3) IMES Discussion Paper Series 2004-J-24 2004 年 9 月. マリアバン解析を用いたオプションの リスク指標の数値計算について. いまむら. さとる. うちだ. よしひこ. たかはし. あきひこ. 今 村 悟*・内田 善 彦**・高 橋 明 彦+. 要. 旨. 本稿では、マリアバン解析とモンテカルロ法を用い、原資産価格が拡散 過程に従うときのプレーンバニラ、デジタル、アジア型の各オプション のリスク指標(デルタ、ガンマ)に対する効率的計算方法を検討した。特 に、Fournié et al.[1999]の方法を拡張し、プレーンバニラ・オプション のガンマなどに対してはより効率的な方法を、アジア型オプションのガ ンマに対しては新しい計算方法をそれぞれ考案した。また、価格の変動 を記述する確率微分方程式についても、彼らが用いた例(対数正規過程) と共に、CEV(Constant Elasticity of Variance)過程に対し、我々の方 法の有効性を検証、確認した。さらに、対数正規過程に関する既存の結 果に関しても明示されていなかった証明を示した。 キーワード：マリアバン解析、リスク指標、モンテカルロ法、CEV 過 程 JEL classification: C00、C69 * ** +. 東京大学大学院数理科学研究科（現三井アセット信託銀行年金信託部） 日本銀行金融研究所(E-mail:[email protected]) 東京大学大学院経済学研究科. 本稿は、高橋が日本銀行金融研究所の国内客員研究員として、今村が同研究生として 行ってきた研究プロジェクトの成果の一部である。草稿段階において、匿名の査読者 および金融研究所金融基礎研究担当 FE 班の諸氏より有益な助言を得たことに感謝す る。なお、本稿で示されている内容および意見は筆者たち個人に属し、日本銀行、金 融研究所あるいは三井アセット信託銀行の公式見解を示すものではない。また、あり うべき誤りはすべて筆者たち個人に属する。.
(4) A 4
(5) t4«$¨ = o IUvV v t{ vy _ l !A f ,8#" c5=%$'& {)( * + _ 75-,CD*H/.5!10'y z2 5+3+4 c y U8V5-%8E8K*D ^ _ k £A “ 08 rDqVmU ” $65 7j[§ _ UvVrW£Yq78+9«[§ _ l + : Am4: v i<;oi ;%= A%>TF%?D8K'A)@+A+B ¤*8= |8}DC*E §8 +F+ +G J QZR !*A U8V'5 H§ IA> F?D K A I = ]^ _ A 4 t I«$i1{JK« § _ l !ALC c y f ,87£ 1M+ 4+ qA%> F8?D8K =¤'^ _2N£+O£ ^ y+PRQm “ 0 DqV'U ” + _ l n = r4+ -2C ^8¤' A)@+A+B i2S/1 q U8V- 8= J1K ^ _ k+ =+T1U + )VR k N£ A “ 08 rDqV U ” -1%qEqKmD ^ _<W+X 7: _ l 0 rDvVmU ” A 1UqVIW£Yq7 "£# c=Y _<WX .M Z8 y£/£7t% M .q/ “ § _ %H)F +R1 A'4+ $ = U8VXWY87'"# c=%[ §+\t c%] ,7'. / § _ H8$7+^/*lH'Ak+ `b8c'def , ^ y+PRQ' T%_ T%`+a y def ,qA b8cq7:dfeDgvm§q{£/ _ l M ££'n = “ 0v rD8VmU ” AMh8 8jio<: j$Dk Pm§ _ + : 4: qAER4:l£A 023£46 =¤ ^ _ 1 U A N£+O : _ H) K (Delta δ) $ 2 U A N£+O : _ \v! (Gamma γ) A `£bqcmdte£f , =8m lq-8n£{ o ^o_ lvy+p H£)oKmm023 468A +q 1I =*]^ _ +F+ 41 8A*+I -rCiXm\8!'5'05234568A +q 1I =*] ^o_ H£)oKmAm+I -<Cjir{£/ _ l s t ££m023£4£6 X 7o 1UqV:h8u8v a (w vm)Mxq!%y£D ):v a ) A t £ 1. t. (. dXt = r(t)Xt dt + σ(Xt )dWt. ,. (1). k+Soir r(t)(≥ 0) Mzc ='>? $'@*<{+| T = pF} _~+ PF ¤* 7 φ +8 § _R D8+>N8A ++ P B Q R !<o-r# _ l::£«$ir{£ BoCrDq!1 qEqFjs P£B QoR ! : ψ = ψ(X ) = (X − K) • HqJqKr) s P£B QoR ! • : ψ = ψ(X ) = 1 £ £ J m v N £ P B !. Q R • : ψ = ψ(X k Soi X˜˜ )==R ( XX˜ds− K) - ] $ ^ _ l φ(X ) = e ψ(X ) $<pfe$MH§jrA + : 4£68 w q')Mx !8ytDm):v a A t u(x) = E [φ(X )] $C«[§ _ 7 MHmAm4t6qA |: £ O (H 6 X0 = x. T. T. {K≤XT ≤K 0 } 1 + T T. T. T t. T. −. T 0. r(t)dt x. 1. Ex[ · ]. T. 1. T. E[ · |X0 = x]. 1. +. t 0. s.
(6) )oK ) u (x) = E [φ(X )] 2 +O£ (\8! ) u (x) = E [φ(X )] -m*%o!'& (m) +r,o-r.q/{ `£bqc£=mde^o_ Hqm$ - "[Y$ ^o_ l y f ,«$ir{t q r/ ε =m] ir{ u(x + ε) u(x) u(x − ε) -8!m§m§%o! &( )o+1, = |q} ir{ 0. d dx. x. 00. T. d2 dx2. u(x + ε) − u(x − ε) , 2ε u(x + ε) − 2u(x) + u(x − ε) , u00 (x) = ε2 u0 (x) =. x. T. (2) (3). $ ^
(7) _ £ ,v7: _ l«ir©oirMH1§ £ φ A £ t A = |mª£{q7q/ W:X 7: _ lfm{: q7 ε A = ^ _ \jim = ^o_ $r f'y£/ l = ~: PR ¤m φ - £^o_ Hv$ = |q} u0 (x) = E x [φ0 × weight],. (4). (5) k Soir weight F − vqy £b ^o_rf ,q7+ _ 7 HqJ8Kr) s P£B Q R !mA W+X ~ PR ¤' φ 7 £ ! k+'.8/ _ H8$7+ 8@'y/'l MkLBTCD8! 8E8Fs PB Q~R !'A W+X 8 ~+ P 7#" q@my£/£k £\q!' =m /£{£$.M v@my£/ml φ = ] iI{ Fourni´e et al.[1999] tU % + & ')( + * vA z-, 1 - .0/ -1. u00 (x) = E x [φ00 × weight],. 6$ C E + _ ¤ HI§ /£{. T. u0 (x) = E x [φ × weight],. (6). u00 (x) = E x [φ × weight],. (7). 8A K BA%C+E -%F'k'li© iaH'A+ 5I% !'&(')T+, -$. ^ _ $ ^#eA WX21
(8) 3 , (weight) A4 A : 75 @e67 78q/ lM! H m 1 Av| ? y9 : I (localization) -;v/MHmA:Z8 -"<jir{£/ _ l 9 : Ij$1£ φ ) K8 £>? mA@BqA:lv-C£/£{ £ = H v \ !': £ C D m@BqA l8-C£/£{#" = % !2>oV , yE support - F . • φ = φ1 + φ2 • φ1. 1. • φ2. $ « " ir{£ φ =m] ri {£ (H ) Kmyo 1 £\q!mtyo 2 ) ir{|G: o-r%!m& ( ) +r, = |q} de i1 φ = ] ir{ £U%£+&f')( -I.q/{ ~: PM ¤m - £7H 1. 2. 2.
(9) \ = | G: -r% ! &£( )o+1, = | } d£e^ _ l#H A $ @m φ 4 v =m /£{t ~: MP ¤ - £ iIko$ @ A 1
(10) 3: , A t: 7 i1y£/o$ @ = { q e1y _ l f φ 4 ~: PM ¤' 7%£!<>oV-, yEq- F k: £: 75 @Mery _ Hq1$ 7 [§ _ l M £££\8! =m] ir{ φ φ £yfe φ -r.8/k 1. 2. 00. 0. u00 (x) = E x [φ0 × weight],. (8). A8K BA -
(11) ^ _ l H§ = |8}¨ J 'NPB QZR !'A5\8!' =¤ i{ , | } 5 = `b c y %! &t( ) +I, = | _1 dte 7 $1y _ H $ -1¦ ^ $t$ = £B CDq! 8EvF s PB QZR ! =¤ i{H'A%C+E -.8/£k!9 : I87£ Fourni´e et al.[1999] A f , |q}m £§8{/ _ Hq$m-1¦ ^ l k Fourni´e et al.[1999] A $ zAm¡¢8qFF'V s QZR D')
(12) s %H)
(13) % H)+ A 8- ]+8= i{/k7
(14) %H)8A “ 08 D8V'U ” y zA%L+C c y U8VWY m"# c£=Y o[§ _ l !MH8 £ Hr§j1A ¡£¢o-j: c£= v|q}6: j$1y _ %£H£) -<V qAm%H) = 9qpoi1 q: £¥m¦«[§8{£/£y£©ª£kmq¥8r¦ ^ l H AMh8 £ ~+ PM ¤m φ =m] ir{ Φ(z) = R φ(y)dy $ir{ 2. z 0. u0 (x) = E x [Φ × weight],. (9). u00 (x) = E x [Φ × weight],. (10). A8K BA
(15) iwHxJ8K) s P5B QTR ! =¤ i{H'A%C+E -.8/k ~+ PR ¤m A "q7m ` : _<W:X 7+ _ Hq$m1¦ ^ l i * =
(16) %5H)$ ! Constant Elasticity of Variance %5H)" f A W1X8=' / {8 # =m de - ;q/£:P §RPm§qA f ,vAm `£ -rg s £^o_ l tvA%$ s t A $jp}j _ l7 '& t)(*«$iI{ 1 !1"t#vA)+t',-vy z' - .q¥ i /10 3 &R 24365
(17) 7 89:;<4=>/@?BACDEFHGIJ
(18) KLM4N O PF4G QR0 ^ /10 5 S D` ab 2XY Z[ c_d6e:f g4NhiF SGQ'T j 2kUDV0 WK)XD Y`'Z a [b\H0 N ] ._P l'mno/ p :)qrNst G6Q 6S 3 ST. 4. u v w
(19) 2xy Sz
(20) { D`
(21) |}GIJ
(22) K1~
(23) /
(24) n
(25) 4^ ^ Ba4GC434A ]}i S T :'w 4N F4GQCH3 4A6]i:
(26) }
(27) A5)
(28) :
(29) : c2. 2. Ikeda. 2. ¡ ¢1£¥¤¦§¨©ª¬«¥®¥¯±°²R³¥´¥µ¡¶·¸ 3.
(30) /. /. /
(31). /
(32). [2003] K)N>
(33) m'aQ N 4dFHG Q W N 1 y ! A#"$ d^#%& < '(#)*,+A (Ω, F , P ) 4G}1&¡< '#(2)*3+¬AN2456 (augmentation) ^ m 7:dF4G Q S {F } - W T/.0 N and Watanabe[1989]. [1999] Nualart[1995]. [2004]. t. t. t. Z n S : = F =f. ∞. h1 (t)dWt , · · · ,. Z. ∞. . o hn (t)dWt ; n ∈ N, h1 , · · · , hn ∈ L2 (R+ ), f ∈ CP∞ ,. T n98 FHG Q ^ 2 B;C?D h E XAE V :F; N¬L G^ % z;: T<- % L% (Ω) - % Ω = :;:! ! <)?) >A>@ @ D d>E <IH )J>@
(34) : D > @D E ^ 2 BKC D h L (Ω × R ) Ω × [0, ∞) = EXIE V:
(35) N6L F%Q D L ^b CNM4AO h {D F, t ≥ 0} ∈ L (Ω × R ) N F ∈S 0. 0. 3. 2. 2. +. 2. t. +. Z ∞ Z ∞ n X ∂f Dt F := h1 (t)dWt , · · · , hn (t)dWt hi (t), ∂xi 0 0 i=1. T n98 FHG QP mI% 4. F ∈S. (11). D L ^ bKQ<RN 2. kF k1,2 := E[F ]. 12. Z + E[. ∞ 2. (Dt F ) dt]. 12. ,. (12). n 8F G QT):UQ6<VR k · k T S NWIA6 ^ mSU N D T L'F Q F ∈ L (Ω) D9L T^ S b {F } ⊂ S % F → F in L (Ω) N d%G d D -AXSYAZA[ <\ T^] G%mA_A% D F :?`Va T?bAc F G Qe;T T F ∈ L (Ω) D?L ^¬b D F := lim D F ∈ L (Ω × R ) d ^b n98 FHGQ L (Ω × R ) yD%kD
(36) aGCM A#O h: wW deHNO P'FHGQ z k% X - % 0. 1,2. 1,2. n. 2. n. 2. +. 2. +. 2. t. 2. t. n→∞. t. n. t. n. t. (. dXt = r(t)Xt dt + σ(Xt )dWt X0 = x. ,. (13). D fhgd>FHG Q
(37) miH^% r(t) -j Ii
(38) |:/n WK kIl
(39) EX % σ(z) - 2 m kIlO h C/n % % σ (z) - opT Mq*sr#t/uv N#wmF_d>F4G (z -/x XQ z:y9z )Q{ σ (z) - op D% z: NnF GQ |} 0. 00. σ(z) ≥ > 0. 3. CP∞. 4 ∂f ∂xi. ~f i ¦1§¦1« ¦¬£>¸ 1 ¦ ¡¢£¤ ¸ ~ ¥ ¨ ©£¤ 4. (14).
(40) . T] %. 1 (Nualart[1995] p.29) φ. N kIlOh CSn K'E%X%. F ∈ D1,2. Dt φ(F ) = φ0 (F )Dt F.. 2 (Nualart[1995] p.109) X : “ Y x D G EX O h
(41) HNw
(42) m)F%Q t. P mI%. Yt. : “ Y. NwmF%Q 6D% X˜. (. D G E)X. Y0 = 1. :=. - %. Xs ds 0. d>F4Gd%. : Y. ˜t X. Y˜t =. Z. x. D GO'h. (16). Y˜t :=. ,. ∂ ˜ X ∂x t. (17). - %. t. Ys ds,. (18). 0. T. 3 (Nualart[1995] p.109) Dt XT = YT Yt−1 σ(Xt )1{t≤T } . RT 1 YT = Dt XT σ(Xt )−1 Yt (t ≤ T ) · dt T 0. d x ^
(43) D. T 4N K'a : T %. dKGQP m% N GQ. } . - x z: : . .. ∂ Yt x ”Zt := ∂x ( dZt = r(t)Zt dt + (σ 00 (Xt )Yt2 + σ 0 (Xt )Zt )dWt. Rt. ∂ X ∂x t. ” Yt :=. Z0 = 0. t. φ(F ) ∈ D1,2 (15). dYt = r(t)Yt dt + σ 0 (Xt )Yt dWt. T st>HGQ : CM A#O h - y T HGQ X. . d FHGd %. 1(. 1 YT = T. (20). : HN. 1=. !#"$&%('). Dom(δ) :=. . u:. YT. Z. NF_d#% -. 1 T. t. D. T. Dt XT σ(Xt )−1 Yt dt,. (20). T %. YT−1. (19). 0. Z. T. Dt XT σ(Xt )−1 Yt dt,. (21). 0. ) (Nualart[1995] p.35)
(44) Z T
(45)
(46)
(47) ;
(48)
(49) E {Dt φ}u(t)dt
(50)
(51) ≤ C(u)kφk1,2, ∀φ ∈ D1,2 0 C(u) u ,. *. miH^. 5. -. D + FHGnX.
(52) dF4G Q u ∈ Dom(δ) :Vr D h δ(u) N/% `
(53) : L ^6b%yHNw
(54) m)F7:Hd ^6bn 8 FHGQ E [φδ(u)] = E. Z. φ ∈ D1,2. T. d `
(55) :nX. D. T >0. . {Dt φ}u(t)dt .. (22). * TI] Gdr D h -D h d FHGQ
(56) ;r D h - * T K b 7n8F4GT
(57) d
(58) T G
(59) %)e:
(60) D - %XY Z [
(61) T K aQeT T %y:/de
(62) JD K
(63) GQ 0. u(t). . p.40) Nu W4(Nualart[1995] * T u ∈ Dom(δ) %. F ∈ D1,2. N. C >K x X d'^mHd %. FT. δ(F u) = F δ(u) −. Z. T. {Dt F }udt.. (23). 0. ! " ( # $ %'& ( ) * ) + , . /
(64) EX
(65) φ(X ) (∈ L (Ω)) T L 4G2w 10 T :32#)Ar54 6.798 ::; < A=I)<>@HN6
(66) a b - y YC< . 3. 2. T. u(x) = E x [φ(XT )],. D L >HG6Q yD% X˜ = R X ds d ^b% . >/EX
(67) /I% qI*+DA'% NA@Ht G QT:Hd9%/qI*N+A:BC
(68) w D0 uy/z t 0. t. s. u. (24). L > HG)? T DEH> GA :F:; T. ˜T ) φ(X. ˜ T )], u(x) = E x [φ(X. (25). D L 4GQ z :}T- %qs(#)BA G %;?B= < %? H /1q*V+¬A:;}<4= % ?
(69) AC D E4^bXYZ[ =/o
(70) KL}M4Ns
(71) tG Q'KR`%6w S :no %%p}:q
(72) r -IKJ DP d_'mQ. L M NPOQPRPS T UPL1V WO3X1YPZ1[3\ T5UP]1V W^3_1Y1\P[ `a 1 bcd>efgh φ(X ) ij1kmlonpqrFst3uvr 3.1. T. u0 (x) =. d u(x) = E x [φ0 (XT )YT ] dx 6. (26).
(73) Z 1 T −1 σ(Xt ) Yt dWt = E φ(XT ) T 0 Z h 2 1 n T x = E Φ(XT ) 2 σ(Xt )−1 Yt dWt YT−1 T 0 Z T (σ(Xt )−1 Yt )2 dt YT−1 − 0 oi Z T Z T −1 −2 −1 . σ(Xt ) Yt Dt YT dt YT σ(Xt ) Yt dWt + x. (27). (28). r (26) vr φ(z) h >i
(74)
(75) >i n n"!$# &%R %'>fgh (%)Dkmlon*i +l φ (z) p-,on ! . pqFr%r Φ
(76) %v
(77) Φ(z) = φ(y)dy /102(%)Dkl>r (28) >v Φ(X ) ∈ L (Ω) % 1 n2! 3 4 576%8 r φ(z) = (z − K) opq φ (z) = 1 (z = K i&9>v%:;
(78) <i= <n/?>- %@ A )! <Br E [φ · · ·]((26) ) r E [φ · · ·]((27) ) r E [Φ · · ·]((28) ) 3 C& LD
(79) j E>h n vrbcdefFg φ 1% F
(80) /%G *H
(81) %I
(82) Jlon&/?>K %,on i&n2! M 1 X h
(83) N
(84) OKPstr%,
(85) <Q
(86) R 0. 0. 0. z 0. T. +. x. 0. 0. 2. {z≥K}. x. x. t. (. dXt = rXt dt + σXt dWt X0 = x. ,. (29). %ST>pq U & r r r σ &v (Fg V r. 1 0 u (x) = E φ (XT ) XT x 1 x = E φ(XT ) WT xσT 1 1 2 x (WT + σT WT − T ) . = E Φ(XT ) 2 2 xσ T XT 0. x. (30) (31) (32). ] & W XP^1Y[Z[\ T UP]1V W^3X1YPZ1[3\ T5UP]1V W^3_[]1^$^ `a 2 bcd>efgh φ(X ) ij1kmlonpq%_`%avr 3.2. T. d2 u(x) u (x) = dx2 00. (33) 7.
(87) &$ r. = E x φ00 (XT )YT2 + φ0 (XT )ZT Z T 1 0 x −1 = E φ (XT ) σ(Xt ) Yt dWt YT T 0 Z 1 T −1 Dt YT σ(Xt ) Yt dt + ZT − T 0 Z T h n 1 Z T 2 1 x −1 = E φ(XT ) 2 σ(Xt ) Yt dWt − 2 (σ(Xt )−1 Yt )2 dt T T 0 0 Z oi 1 T −2 0 2 −1 −σ(Xt ) σ (Xt )Yt + σ(Xt ) Zt dWt . + T 0. (34). (35). (36). v φ(z) h C i* * 1&1*&& 2 *&1*i&n & 1 r (35) v φ(z) h* >i%
(88) %
(89) &% %1%i n
(90) r +ll
(91) n ! 3 4
(92) < g 9
(93) <?02 c. F j > E v
(94) r # ?
(95) u (x) = E [Φ · · ·] >u
(96) i < &L ?2 ! . r 1<% & ?%& (35)
(97) v Y &a ! "?` D Y !# L n$% h >n2!?#Al v & '
(98) i>q* r ()
(99) ! *on ( +,.-0/ 1 [2004])! 1. (34). 00. x. T. Z. 2 Xt. h
(100) N
(101) OKPst
(102) %S >Fpqr 00. u (x) = = = =. 3.3. `a. Z. T. σ 0 (Xu )Dt Yu dWu r(u)Dt Yu du + t t Z T σ 00 (Xu )σ(Xt )Yu2 Yt−1 dWu . +σ 0 (Xt )Yt +. Dt Y T =. M. T. t T. (37). t. 1 2 00 E φ (XT ) 2 XT x 1 0 x E φ (XT ) 2 (WT XT − σT XT ) x σT 1 2 x E φ(XT ) 2 2 2 (WT − σT WT − T ) xσ T 1 1 3 2 2 x (WT − (3T + σ T )WT ) . E Φ(XT ) 2 3 3 x σ T XT x. (38) (39) (40) (41). 2PZ325456P]57 W^3_1Y1\P[ ˜t = 3 X. Rt 0. Xs ds. p-,on2!bcdefg>h. u0 (x) =. ˜T ) φ(X. ijDkl3npFqAstouvr. d x ˜ T )] = E x [φ0 (X ˜ T )Y˜T ] E [φ(X dx 8. (42).
(103) i h ˜ T ) · 2δ σ(Xt )−1 Y 2 Y˜ −1 = E x φ(X t T Z T ˜ T ) · 2 Y˜ −1 σ(Xt )−1 Yt2 dWt = E x φ(X T 0 Z T Z T −1 2 ˜ −2 Dt Ys ds dt . σ(Xt ) Yt YT +. r. 0. (43). (44). t. v φ(z) h% i% *
(104)
(105) % *
(106) %>i n
(107) n2! M 3 X h
(108) N
(109) OKPst
(110) %S >Fpqr (42). t. . 1 ˜T ) X ˜T u (x) = E φ (X x Z 2 ˜ −1 T 1 x ˜ = E φ(XT ) Xt dWt + X . xσ T 0 x 0. 0. (45) (46). 2PZ325456P]57 W^3_[]1^$^. 3.4. `a. x. ˜t = 4 X. &$ r. Rt 0. Xs ds. p-,on2!bcdefg>h. ˜T ) φ(X. ijDkl3npFq%_
(111) `%avr. d2 x ˜ T )] u (x) = E [φ(X dx2h i ˜ T )Y˜ 2 + φ0 (X ˜ T )Z˜T = E x φ00 (X T Z T x 0 ˜ −1 2 = E φ ( XT ) 2 σ(Xt ) Yt dWt + Z˜T . 00. (47) (48) (49). 0. v φ(z) h C i* * 1&1*&& 2 *&1*i&n & 1 r v φ(z) h* >i%
(112) %
(113) &% %1%i n
(114) r +ll
(115) n ! M 4 X h
(116) N
(117) OKPst
(118) %S >Fpqr 1. (48). (49). . t. 1 ˜2 ˜ u (x) = E φ (XT ) 2 XT x Z T 1 0 ˜ x = E φ ( XT ) Xt dWt . xσ 0 00. x. . 00. (50) (51). i vr st3ur _1`%a&g&9
(119) % f r (
(120)
(121) ! - &
(122)
(123) 1 p r ( )i
(124) ,on bcdefg*
(125)
(126) r*P?`t $
(127) ?"#&,on2! 4. 9.
(128) r. Rd. 9 . h . Xu (0, z) (0 ≤ u ≤ T, z ∈ Rd ) Z u Z u Xu (0, z) = z + V0 (Xs (t, z))ds + V (Xs (t, z))dWs .. ,
(129) %o6 p .r& >nfg f E[f (X %(0,z))] P$` t 1/
(130) 0 ,3 n&#p* n ! r dc - 1 1/
(131) 0 n & r # & ,3n ! ,
(132) < Q
(133) RFr 0. 0. 5. T. Z. ¯u = z + X. u. ¯ η(s) )ds + V 0 (X. Z. u. ¯ η(s) )dWs . V (X. r η(s) = [ns/T ]T /n i 0 r [y] v y 6 <!"
(134) # g?Aj , !?#% pFqr $&%(') N ) * Jl P`t
(135) /n 9>vr 0. 0. N 1 X ¯ f (X T ) j , N j=1. $ %') ./i&n ! i j1kl3n ! # #ir [U] (j = 1, ..., N) v * g U j +-, & 0 rAbcdefg * 11% 2 6 n !bcde p v 354 $ 1 6 78 ? 9 ,!: 3 i v;&< =?>&@ ?!1 r j. u0 (x) = E x [φ × weight], u00 (x) = E x [φ × weight],. D u c &j E$A 6 ! r #* . . P$`
(136) t $21% ,3np r(B & C c E (weight) F
(137) % h" q GHhI%!
(138) +
(139) #ir φ • φ = φ1 + φ2. J st3uiv% >i% 1 %
(140) % * % _`*aiv C i%
(141) %
(142) 1% L!K %&
(143) % • φ J <`2MLNOE <P QR p-! US34 V 2 > 6 ir φ v ( st u%<?J 1 r_1 `a<?J 2 ) UTV 9?"P?` ! t
(144) /
(145) 0 r φ U v ;W< U= >&@ 7
(146) bc d eFfg?" X (TV9 2P7`Ft "
(147)
(148) / 0 ,on !$#opFqr φ F
(149) (R D vFb c>d eFfFg7 pFqYC c E h L<opFq (Z[ (\ k! < n ! >r φ FL
(150) bcd>ef gh&<` M?NOE <P
(151) ]QR >h" q 2< n #>p • φ1. 1. 2. 1. 2. 1. 2. 5. V0. ^ V a_ `cbcdcecfcgihkjalcmknaocpcqkrtscukvcwcnaxkyczt{c|k}a~ckrakvaa{5 ka 10.
(152) h%1k l3n ! %
(153) vr bcdefg11
(154) / G ()& 2 1 R uAc h&$0 r st u% f r E x [φ0 (XT ) · · ·] = E x [φ01 (XT ) · · ·] + E x [φ2 (XT ) · · ·],. (52). E x [φ0 (XT ) · · ·] = E x [φ1 (XT ) · · ·] + E x [Φ2 (XT ) · · ·],. (53). E x [φ00 (XT ) · · ·] = E x [φ001 (XT ) · · ·] + E x [φ02 (XT ) · · ·],. (54). E x [φ00 (XT ) · · ·] = E x [φ1 (XT ) · · ·] + E x [Φ2 (XT ) · · ·],. (55). nv _
(155) `%a& f r. <p o , n&#>p2
(156) /
(157) 0 r k J2 GH? L n #pAhiqn2! 4.1. φ(z) = (z − K)+ _P[P]. ./
(158) q g 9 ) >p rAbcde fg6F&16Ph <&` M N E i&< L >h"oq 2<n !
(159) +
(160) #irFstou% R
(161) v φ = φ + φ • φ h*i%
(162) % &
(163) % 1% • φ h <` MLNOE <P1 QR p2<>n /?>- L r 1. 2. 1 2. E x [φ0 (XT ) · · ·] = E x [φ01 (XT ) · · ·] + E x [φ2 (XT ) · · ·],. (56). E x [φ00 (XT ) · · ·] = E x [φ001 (XT ) · · ·] + E x [φ02 (XT ) · · ·],. (57). p-, n2!
(164) _
(165) `%a& ( vr • φ h C i*
(166) %
(167) %q 2 %
(168) * • φ h*i%
(169) % &
(170) %q2
(171) * • φ h <` MLNOE <P1 QR p2<>n /?>- L r 1. 1. 2 0 2. p g 9 ,l 0 8 G Hh <n !
(172) Kv%2
(173) c1` " - d ` sKt3u r ( j )! _
(174) `a R
(175) r
(176) ? / >- Fbcdefg2 φ = φ1 + φ2 ,. (58) 11.
(177) 0. for z ∈ (−∞, K − ∆). 1 (z 4∆. − (K − ∆))2 for z z−K for z 0 for − 1 (z − (K − ∆))2 for 4∆ φ2 (z) = 1 − 4∆ (z − (K + ∆))2 for 0 for. φ1 (z) =. . rd %`% & v%
(178) z . 1 z˜ T. ∈ [K − ∆, K + ∆) ,. (59). ∈ [K + ∆, ∞) z ∈ (−∞, K − ∆) z ∈ [K − ∆, K). ,. z ∈ [K, K + ∆). (60). z ∈ [K + ∆, ∞). q 6
(179) *
(180) . 6. !. φ(z) = 1{K≤z≤K 0} _. [ P] s u t - d ` 9f 9v rmb c d e f g h < `cM N E < PKi n 9i k n $ v < ! rK C D h *
(181) J l n 9i9r + 5F
(182) f g G H i q n F h n ! v r s u t - d ` s9t urK_ ` a σ = V ar[φ(X ) · · ·] r σ = V ar[Φ(X ) · · ·] r σ = Cov [φ(X ) · · · , Φ(X ) · · ·] r 4.2. 2 1. T. 2 2. T. α=. p-, n2!?#%opq rstour&_
(183) `%a
(184) . 12. T. T. σ22 − σ12 , σ12 + σ22 − 2σ12. (61). u0 (x) = αE x [φ(XT ) · · ·] + (1 − α)E x [Φ(XT ) · · ·],. (62). u00 (x) = αE x [φ(XT ) · · ·] + (1 − α)E x [Φ(XT ) · · ·],. (63). /0 # L ! r (62) =(: 1 >v (31) >r: 2 v
(185) (: 1 v (40) r: 2 v (41) i n !$#Alvr. (32). i0mr. φ = φ1 + φ2 ,. z˜. (64). φ1 (z) = αφ(z),. (65). φ2 (z) = (1 − α)Φ(z),. (66). p
(186) %
(187) r
(188) ##i
(189) L α vrs tou>p2_
(190) `ar +lFl (62) r !
(191) %P?`
(192) !t i # n r ? !\
(193) %,on
(194) %i n2! 61 T. (63). _ r 0 T n !"$#%'&av (ancr)c 12. (63). .
(195) . i v r i # g9 ! q
(196) `!" .- d `Frs >u tr % d% `*st3ur_1`*ag&9 5 &,3n ! r
(197) Pst1p r N1 O Pst1p *Pst$ 1 ! N1O Pstv: 3 1 i />- r
(198) X h !"#$% 5. (. dXt = rXt dt + σXt dWt X0 = x. ,. (67). ,. (68). &')(+*, $ - .0/12435% x = 100 % r = 0.1 % σ = 0.2 6874.5/ 9:<; *, = %<>?@AB X CD< E F!G "!# $% (. dXt = rXt dt + σXtγ dWt X0 = x. &')(+*, $ - .0/12435% x = 100 % r = 0.1 % σ = 0.2 % γ = 0.5 60H4IJ/ K 1%LMN O!"PQRS<TU=%VWYXZ T = 1[[ ] 630\!% • ]4^0G 5_`acbdR]!e4f hg φ(X ) = (X − K) % K = 100 ,ij b+R] e4f )g % K = 100 % K = 110 • φ(X ) = 1 i ˜ )=( X ˜ − K) % K = 100 kl R]emf< ng • k φ(X 6o7pq rE.0/s t &xEy \ = % (67) zE% (68) zE"{ | } ~ zZRQmaGbm &. U. w u v 30% , j %!E Z “ ~ ”(W "4Z ε = 0.1 6351 )%< 3 " $m301 “E [φ · · ·]” % “E [φ · · ·]” “E [Φ · · ·]” " j QE]"E%wH 4 $E® m31 P QERES TUE"~w¡ E%!Z£¢ ¤3\ * ¥ ¦ m§ & .em¨ ©ª^Gwe«f¬ Z 301/12m35%c¯+[4Z 1000 ~!°t 301/ ±! 7².³ 6 & X Cµ´ & .¶{!|C±-.<C!% X "µ·¸ & max(X , 0) Z¶¹4º .¿ t »µy"46o7².0/ K 1% 9:; *±, & H y \!= σ(z)t = z = 0 " K ¸ $<&¼!Æ U¿ ½!y ¾4&Z5V Ç 1 C % C TUE$À Á 7pt . ³E 60$ ( Ât Ã7m./w7 ¸EÄ% g(z) ZÅ ~ ε 3 & y \ z t≥ ε $!= g(z) = σ(z) 6 . ¤ C T<U635% ȱ" g(z) Z σ(z) "µ·¸ t .0/ t H % ÉEÂ"Ê!ËE% X "Ì!ÍECÎmIÏ%wÐÑ~°m»0ÒEÓpI 301 1Ô % X < 0 6 . ³ 60= ÓÕ1/ ³¬" (Ö& {X } Z × ÀØÁÙ3Ú\¬ÛÝÜßÞà1à» "á" Ntëâªê "ä&áãªÇ åäæáçà" è×íé« Z {X } (t = , , · · · , T = 1) 6£7Ù.¬/ {Y } % {Z } 3¬\ì» ÀªÁî3¬1ì»w"ìZ T T T. x. 0. x. +. T. 0. {K≤XT ≤K 0 } 1 + T T. x. t. t. t. ∞. ∞. 0. t. (j) j=1,2,···,N t. t. 1 2 1000 1000. t. t. 13.
(199) t²ê Z5¤ y \µÀ!% Á{Z351 } » Z F$Ø!$µ7µ!/!7 W/4³ p"6 < %
(200) ~ ~pZ Z NF â$Ø!±M 7¿6± 3¶1±\±Ð% ±{X$ } P y .0/ E [F ]
(201)
(202) Y6 30\ F Z0¤ È<ÞÞ
(203) ¿ 6!3\%"! E[F ] &Ç 7p.$# |
(204) %'& y .5/ 12435% E[F ] =)* *!,+ ]p^5G − E[F ] %Í( = { N1 X( F E[F 5 Z ¤ )} , _E`aëb Rw]ef , % ,EiE$j ] + b R ] emf , &Ç 3\ =% '¡ - s & ÛcÜ8Þm.$mZ¤ y 1 C %×ÈÞ', .'/E', +m$ = j %10,»$6 EC y 632E¸Þm. 7, »+m j ( 9 :; * ', +E,& 6 H4 . ,EiEj5+9 :b R; · · ·] h g (27) zE%Ø g (36) z i % *] ,e+f & H4±.k %µi kµlR= ]E[φ , 4 + j , e²j f y = E[φ · · ·] h(42) 3¿ z i %ÈÞ./ $!= < 4 E$Em31 89˸ QE] ) Z ¤ \ F Z 100 :  M 1m6
(205) %'&; =Z !c6301/ N
(206) Â 5Z M ¿ 1m
(207) 6
(208)
(209) ! E[F ] &<Ç 745.
(210)
(211) >~ = (j). {Yt }j=1,2,···,N. (j) j=1,2,···,N t. (j) t. (j). N j=1. 1 N. x. N. 7. (j). (j). 1 2. 2. j=1. 0. (j). V. ". # N 1 1 X (j) F /E[F ] = V F (j) /E[F ]2 , N j=1 N. $ -E./ Õw\ %!³& ÞmZ-E.$?@A &B ¿ º1 y 6 CED'F t ' MEÂUí=# |
(212) %!Í ( 2 G >H74.E6 I4º!.0/ J
(213) >'KèéE=CML 2 CAL 3 460H 5N -./ K 1
(214) &'O0P & CQ Mí U 6 Ç7 R 7S. %A&T; < Z¬]í§UWV£3 1YXwaáSwZSZT[w1¬/ t H7C J L7 ÌY;Q& \í= J] C ! ^ Ò \_`J C
(215) !' &
(216) +f 1% ^ Ò a\N _`C! J−h 1% &^ Òx ay \_
(217) 4Z5b35CL T<74.È
(218) c
(219) de= L< 301<'/ .g = C G \¹'i4Z=jk4.0/ l 'm npoqprps t3uplwv xo ywzw{p| ( }1~ 4 5 ) )* *á,+ y C 9µ:¬; *×,+A & & CJPµQªR SäN T¬U Z }Ø~Ùê 3Ú1 u (x) & =t E [φ (X ) · · ·]((26) z ) y ¬×ìZ£¤ 1 uávÙ6ßá~× .£u×vÙ6 =A« 6 D ßèáé Õ\ . / ¿ Ü & CÖP QERSt TU&< '} y ~ÂUEC
(220) ut (x) = yE [φ(XK ) · · ·]((27) z )C u (x) = E [Φ(X*!),· ·+ ·]((28) N
(221) z ) 6 . C
(222) 9 ':; C
(223) *wY,'í+I & Õ\ y .0/ 1'C Fourni´e et al.[1999] C)* 3 1QN '? C'C H \E»S # |Yw% Í' ( Z$ Ü 337m Z I87. & 5.1. 0. 0. x. 0. T. -.³6C<~ÓÕ1/. 7. . (26). . F = φ0 (XT )YT. . (j) (j) F (j) = φ0 XT YT. 14. x. . 0. T. x. T.
(224) l 'm npoqprps t3uplwv xo ywo ( }1~ 6 7 8 ) ~ N = WëCj & IAC N 3 è é & I E [φ& (X ) · · ·]((35) z ) Q j ]×C - .á³ y 6ÚC ~ Óª.Ú/ M? T«3Ú\á=C
(225) Ý3ØI bÙ3 E [φ(X ) · · ·]((36) z ) 1 E [φ (X ) · · ·]((35) z ) Q±] Ø«ZϤ C E [φ (X ) · · ·]((34) z ) 6 E [φ (X ) · · ·] ((35) z ) Z89¬Ëภe et al.[1999] .£á«ZפÙ3£1×CAC Fourni´ 3£1 E [φ (X ) · · ·] ((34) z ) 6 E [φ(X ) · · ·]((36) z ) Z58 9 ËE¸ .0!c6 >'K74.=DFC-E.0/ 7& ? 7£C PwQíRES¬T UZ~w¡w7ì. TUT j Z$d & Ôí. CAC$ì H º (59) z 6 (60) N z j ~×&¡ØÇ 7ì.ÚÊ×ËC φ Z ×7M «a ØG ∆ Z Ôª. DAF C×-à. /0Èà³ C «a ×G 3\ # í & | % Æ Í' (¿ y mZ '& Ek 1 (L 6)/ X a SÓmÜ$C Fourni´ t ∆ e et al.[1999] y & y C
(226) 3 ∆K C 6Q y =7? éEy Cá-mÜ ¸ Þ! # á|EC" E I & Õ \ .ᳪ6ÚC¬~àÆ Óª.¿ / 1&¬C Ç ∆ C#" s ÊØN ˪=M$C
(227) Ù3 تC Fourni´e et al.[1999] × >Akà\#Øá|ªC I ∆ 3£\ ª -ª.سª6£Cä~ªÓà. /µ³£Þà=AC E [φÆ (X¿ ) · · ·]((35) z ) 6 E [φ(X ) · · ·]((36) z ) Z5>' k 1m6
(228) ê'E& [φr (X ) · · ·] C
(229) # t |tC y IN C È ~ t j # |EC" E. I Ü 1Ô -E.6 m a% G ∆ C" E I Õ \E»áC ÈÞ 5.2. x. x. x. T 0. x. T. x. 00. 0. T. T. x. 0. x. 00. T. T. T. 2. x. x. x. T. 0. 0. T. T. 2¸<Þ4.0/. z(w| { t3uplwv xo ywzw{p| ( }1~ 9 10 ) )* *,+ &C Ç 9!:; *,'+ & ~ N = 10 :Â*)y uvÂU N í=
(230) =*+mÜoÞ ty ÓµÕ×1 /à³ Þ 3SC 3 & E [φ(X ) · · &·]((27) z ) Z£,
(231) ¤ 6 1ê uwví = I At 3 \ .0/ P!QERx STU ~!¡ y Tm30\='C , , j'4k . é=-+my ÜÞ Ó Õ 1/ ³ÞÆE&='C 2 %. zmZ0¤ 1em& ¨ ©E^0& G ef t
(232) # |~ C" y 1 ÔC¬~ Z 0 t y 7mN. α C 0.96 !)6 1 / ÀI E [φ(X ) · · ·] 'E 9 Z¤ 1u v60" EC 1Ô -./ 5.3. x. T. x. T. z(w| { t3uplwv x o ywo ( }1~ 11 12 ) ,ài j + b RØ]Øeªf , ,+ j 6ÚD 1 & C ×~Ø N = M C2+«Ü Þ3C K 1MC E [φ(X ) · · ·] &4- IÏu!v± = N - .5/ )* *±,+ & H4!.¶P!Q R S<TµU~±¡! &<x ((36) z ) y \ ='C ,'+ j 6=5 t ØC -ª.!) ' N -E.E63I º ./ t H'C=0!6 t α = 0.63 !)C 7 T¼ UE= −0.22 !) N -áÕw1 / c R ] e f , & Ç 3\E»á³ mZ ¤ y 1 C'C ,EiEj + b Rá]we f , á ,Q6 79 N ' N -µÕØ1 /"cTwRw] e f , N =7C ,íiíj+ b Rw]áe f , 5.4. x. 15. T.
(233) ,y +mj Ê!Ët 6D%1 & C 2 x %. & zmZ¤ &. 1Ô'C0-6 α ZÔ \» 1 / 5.5. y 1 ep¨¬©E^G emf ,
(234) # |~ EC%" À y & t Õ\43 K ( 1Ô N -.E6 2¸Þ4.0/. ( t3uplwv xo ywzw{p|. (. }1~. 13. . 14 ). (. }1~. 15. . 16 ). ] N ^ G , í_ `ªN aªb Rá]áte f , 9µ :¬7, ; +*Øj ,M6+ w ÁÙ3 1 èwé 6 t Õ<1 /!³ Þª=ACPáQíRªS T¬UªC - .ä1×Ô à- . / HMC H 4×. ? U×uØv =
(235) «3Ú1 /³ÚÞà=C ˜ ) · · ·] E [φ(X. ='CE T E6 2 ' ~ZU' s EÔE.$D7FEC CE 1 Â'u v ((44) z ) u v. Ð!Ñ~° U 2 G!RG G Ð!ÑZ5Fc3$C ¤ º t y 1Ô N .5/ x. 5.6. T. ( t3uplwv xo ywo.
(236) 3 I3b31t E [φ (XK ˜ ) · · ·] ((48) z ) y mZ¤ y . ³E6 E ¶C w~ j >3\' C%" cI Õ 1µ / 1¿ C ? t Z¤ C E [φ (X˜ ) · · ·]((47) z ) Q ]' .z6 8 9Ë ¸ .³6 C Ü cI .³ 60C~Ó Õ±1/ x. 0. T. x. 00. T. ( !" 17 ∼ 20 ) #$&%'&()*,+.-#/102'3&465487-#/90:';6<'8=>8?@&A8B'8C6D8EF&G> HIJ8K6L8MNO 3QPRS;T8UVXWYZ[@&\ O]^_ GZ`>8ab cd8eGSf8gh6A8i jlknmo Jp 38Vrqs@tu 5.7. 6. v y w x zn{ m|Z<'}=>?s@A. Z. φ φ00. m|n~,. φ0. V\nt. u00 (x) = E x [φ0 × weight],. (69). ; &#;8V& @&t8u p >Z45487-#/102'8;<'8=6>T@&A|Z M GQ6>8ijk~2B'8CD2EF&G> J&O]^_ f83&~ t2u&>Z}#$%' ()l*+-#/08'8>T,@&A|nZ p ;8V&\t8 lfZ Fourni´e et al.[1999] ;8¡G l}¢£ A\ Jnp 3Vqs@rt8u 16.
(237) t Z Fourni´e et al.[1999] ;Vk>|l 3&~ J
(238) BEV ; BnEl>,@&Z mq A\~ nt l¢q @tu ; m Z -T O φ >?s@A p u0 (x) = E x [Φ × weight],. (70). u00 (x) = E x [Φ × weight],. (71). ;&#;8¢& @&t8u! 5&E + -6#/90 '>T@&A|Z" - 8T O f #'$&% ~ (6mo J th2* ) ,J + |6~\6fZ p ; V&\6t 6- 2T O ; M- f.6i ' mo J / clfo Jnp 3¢qs@rt8u 021 > 3
(239) 2 B nE 3 4256}2 B nE Vr\ A O ]87 V ^n_ @rZ93:;¡nG ;. i8; V=< ?+ >@@&t8u pp m|Z#$%'&()* + -#/08'3&45487-#/02'8;<'=> ?@&A2B'8C6D8EF&G> HI6J8KL2MN6O 3 A ^_ G;8P6R;6T8U¢WYSZ&[@&\ O]6^ _ Gfijlkmo Jp 3Vq @&tu. B D E. C. FHG I J K L. M&N 1( O PQSR TSUWV XZYWO\[ ^ ] R&_a`Wbdcfe XgYWOd[ ]hR&id`\e c ) idjdk # '=$m% ' ~(n; C ; C T O } mq) u8l; φ ∈ L >}?s@A l Z φ ∈ C := { | 1 mq) u. A.1. ∞ 0. (i)φ ∈ C0∞. ∞. 2. ;,3n. 1 φ(XTx+h ) − φ(XTx ) → φ0 (XTx )YTx h. a.s.(h → 0),. mo J u to,@&Z X x Z X x+h |qp r8 X = x, x + h ;3n8; X V&)u 0 T T T o J u \ φ ∈ C ∞ l φ0 f.ul~;mnZvwl|o J M > 0 Vl\A. (72). YTx. ¢stlm. 0.
(240) x+h
(241)
(242) XT − XTx
(243). 1 x+h x
(244) , φ(XT ) − φ(XT ) ≤ M
(245)
(246)
(247) h h 17. (73).
(248) 3q) J p 3f mhn J ul X>Z*w | qt M mo J (7 Z ;
(249) 37 V )uAZ. Z. Protter[2004] p.301. φ(XTx+h ) − φ(XTx ) u (x) = E lim = E x [φ0 (XT )YT ]. h→0 h 0. p m. (26). fqs t}u. . (74). !#"$%& '() *+,- ./01*,2 )3 (21) 4 % 78:9; D X %<#*3 • (20) 4 56 t T 2 ? = A > @B 1[ CDFE"HGJIK ] %L);FMNPOQ 0 • Dt (φ(XT )) = φ (XT )Dt XT RFS FTUKP% 1 V W X 03 CYDFEP"ZG[IUK δ(· · ·) \ % ]^_` FaYK u , F aUK F -FK e;U> • T bFc d fUg 4 % L) *3 -i j0#*aK u k ]U^U_U` U(lmIK- no pq *3 h + rs δ(u) t @u -v ); w xy (z d *3 (20). V{}|) J 3 ~3#FY M ;
(250) Y ,l Z Z l Y8w ; 1 T 0 x ((74) ) = E φ (X ) DX. −1. t T σ(Xt ) Yt dt T 0 1 −1 x = E φ(XT ) δ σ(Xt ) Yt . T T. . |Ync lmo J ; m Z 1 T x −1 ((76) ) = E φ(XT ) σ(Xt ) Yt dWt . T 0 p m (27) fqs t}u>Z (21) ,V E x[ · ] >| . Z T Z T 1 x −1 −1 −1 ((77) ) = E φ(XT ) 2 σ(Xt ) Yt dWt YT Dt XT σ(Xt ) Yt dt . T 0 0 ~#nY F M ;
(251) Y ,V\ Z Z T 1 x −1 −1 −1 . ((78) ) = E Φ(XT ) 2 δ σ(Xt ) Yt dWt σ(Xt ) Yt YT T 0 ; 4 Z δ(· · ·) . −1. Z. T. =. Z. −. 0 T. −1. σ(Xt ) Yt dWt 0. Z. 0. T. −1. 2. YT−1. −. (76). (77). (78). (79). . δ{· · ·} = δ σ(Xt ) Yt σ(Xt ) Yt dWt YT−1 0 Z T − Dt YT−1 δ(σ(Xt )−1 Yt ) σ(Xt )−1 Yt dt . (75). Z. 0. T. Dt YT−1 δ σ(Xt )−1 Yt σ(Xt )−1 Yt dt. Dt δ(σ(Xt )−1 Yt ) YT−1 σ(Xt )−1 Yt dt. 18. (80). (81).
(252) h;|; M V&\t2u D δ (σ(X )−1Y ) | σ(X )−1Y fcP mo J ;m ~ t # F M 3r = r4 (,' M f .
(253) s@t on\ t σ(X )−1tY 3rt~ J u tnZ D Y −1 | t t t T 3 ~ J ;mZ c T O ; M >l −Y −2D Y r 2. t T. T. ((81). ) =. Z. T −1. σ(Xt ) Yt dWt. 0. −. Z. T. 2. YT−1 σ(Xt )−1 Yt. YT−1. 2. +. Z. T. YT−2 Dt YT δ σ(Xt )−1 Yt σ(Xt )−1 Yt dt. 0. dt.. (82). m σ(X ) Y f c m6o J ;6m δ(σ(X ) Y ) | M >&n J u, ; >8e J u tZ Y ¢ t > s&~\;mY >nZ p | t >~\n;m t m; M M ; l>e J ;nmZ. . 2. t. −1. 0. t. t. −1. t. T. ((82) p VZ. ) =. (79). Z. 2. T −1. YT−1. σ(Xt ) Yt dWt + 0 Z T 2 −1 −YT σ(Xt )−1 Yt dt. 0. l;. δ(· · ·). >Y{ |) . (28). YT−2. Z. T −1. σ(Xt ) Yt dWt. 0. Z. T. Dt YT σ(Xt )−1 Yt dt 0. (83). V J u. ;,3n l φ f lm.!";#V$\A M 8l~,3n> (26) lf !%) Jnp 3Vq)u > ? @A .&'"l( ; # V $n\ A φ0 } f
(254) Y m3n J u!$ @t(# >}?s@An| )* M f(+ φ M v+ M ,3 s@\,3 ) J . ~ -@ A /}!0>,3 Jp 3m R 12 m φ0 f
(255) Y lm3n J u V}Z φ (X ) → φ(X ) in L2(Ω) 3~ J 3 >,3 J u3n> φ0 f.!'"l; {φn } ⊂ C0∞ #l V $\ A lmo nJ ;TmZ |φ0 (x)T − φ0(x)| ↓ 0 ∀x ∈ R\{φ0 ; 4 5# } 36W>PR) 3 >3A |φ0 (X ) − φ0(Xn )| ↓ 0 in L2(Ω) 3rm n J u u (x) := E x[φ (X )] 3 ) J J T n n T 3 (i) ; 783 , un0 (x)T = E x[φ0 (X )Y ] 9:5; < (ii)φ(XT ) ∈ L2 (Ω). 5% = = 9 v(x) := E [φ (X )Y ] >@?A;< = B > nC φ B u (x) → u(x) H > @ D 5 E A F G O RMTQ]^QP U[D u (x) → v(x) ?I;J<'KML C φ N 6OQPSRT ?I;MUWV P >,' X YZ[;L\ 6 H_&`?.; < K(L C!abc bedfc!gh i&j Bk(lm P ! U D C n. n. x. 0. T. T. T. T. n. n. F. 0 n. >nP9&o(P ;<t n. 0 n. h i 2 2 |u0n (x) − v(x)| ≤ E x {φ0n (XT ) − φ0 (XT )} E x (YT )2 ,. (84). C >npqr< P ψ(x) N(s C G C ( P w ( a B G u(ZvH x ? ; x(yz{FG}|v~ Y x K ⊂R. n (x) := E x {φ0n (XT ) − φ0 (XT )}2 ψ(x) := E x [(YT )2 ] 19.
(256) P t G uZ :5; ] M 95G A;< C &C ?.; = > H9!o ; B 9 . n (x). N. xˆn. H
(257) Y. >. supx∈K n (x) = n (ˆ xn ). 2. sup |u0n (x) − v(x)| ≤ Mn (ˆ xn ) ,. (85). a A K B u B 9 B
(258)
(259) RT ?.;< = 9 C B > u& ;< {ˆ x }N q {ˆx } > C B R(T xˆ 9 (?'< = B > o N C φ → φ in L (Ω) U&D C |~ B ε > 0 P Y n (ˆx) H Y x∈K. n. 0 n. n. 0. 2. 0. >}?; = > H95o(; <. n ≥ n0 (ˆ x) ⇒ E xˆ. N. sup. h 2 i < ε, φ0n (XTxˆ ) − φ0 (XTxˆ ). (86). > u!;U.V P > XL B 9. n (x) ≤ E {φ0n (XTxˆn ) − φ0 (XTxˆn )}2. K L CC "!$# B%&(' ( Z Y |φ (x) − φ (x)| ↓ 0 > u{; U V P > XL B 9 C >o m B)* ) ≤ E {φ (X ) − φ (X )} ! ((87) RT ?.;(U.V P + >D-, Y(Z!; B 9 {ˆ x }N m! B )* ) → E {φ (X ) − φ (X )} ((88) 0 n. 0. x ˆn T. 0 n0 (ˆ x). x ˆn T. 0. (87). B. n ≥ n0 (ˆ x). 2. (88). n. 0 n0 (ˆ x). 0. x ˆ T. 2. (89). < ε.. PR T ?.; < .0/ U!D C |(~ B a . . UX(Y. x ˆ T. 0. K. (90). P Y. / 12 RT. • un (x) → u(x) ∀x ∈ K (n → ∞) • u0n (x) → v(x) (n → ∞). K. H
(260) Y u (x) = v(x) H_5`?46< K N | ~ 5
(261) 7 XL B u (x) H Y u (x) = v(x) = E [φ (X )Y ] > u06 <. 5H34C L<&UXY 5. /
(262) 5. H. K. u0(x). 0. x∈R. 0. 0. x. 0. T. T. P 8 ZY φ(x) = φ (x) − φ (x) >:9; P =< C {φ } ⊂ C C {φ } ⊂ C m N C m P 8 Z > B u06 UV P >:0>%? 2 B(@A=CB V = P n> = H < 5 C o%6< (28) φ ↑φ φ ↑ φ n C C Y Φ(X ) ∈ L (Ω) > o Φ(x) = Φ (x) − Φ (x) >D9; φ →φ Φ ↑Φ Φ ↑ Φ >E > F>5UZ < +. (27). + n. +. − n. + n. ∞ 0. − n. ∞ 0. −. − n. T. −. 2. +. −. −. 20. n. + n. +.
(263) 2(
(264) ! ) "#. A.2. B >o ] ^ 1 > ? 2 % P $ '> &)(* % B +-,).)/ H0%1 57 6 B 5 C. (i)φ ∈ C0∞. z)2. 4. u00 (x) = E x φ00 (XT )YT2 + E x [φ0 (XT )ZT ] Z 1 T 00 x −1 = E φ (XT )YT Dt XT σ(Xt ) Yt dt + E x [φ0 (XT )ZT ] T 0 1 0 −1 x = E φ (XT ) δ YT σ(Xt ) Yt + E x [φ0 (XT )ZT ] , T. (91) (92) (93). U&D C. = C ]^ 1 B. Z. T. Dt YT σ(Xt )−1 Yt dt δ(· · ·) = δ σ(Xt ) Yt YT − 0 Z T Z T −1 Dt YT σ(Xt )−1 Yt dt. σ(Xt ) Yt dWt − = YT −1. m!B δ(· · ·) P%3)4 ?
(265) 0> 7 68 Z0> C m!B ) (27). . 0. (93). (35). 8. m+65 6 <. (94) (95). 0. Z d x 1 T −1 u (x) = E φ(XT ) σ(Xt ) Yt dWt dx T 0 Z 1 T 0 −1 x σ(Xt ) Yt dWt = E φ (XT )YT T 0 Z 1 T x −2 0 2 −1 +E φ(XT ) −σ(Xt ) σ (Xt )Yt + σ(Xt ) Zt dWt . T 0 00. 9 1: B. E x [φ0 (XT ) · · ·]. N. 3)4 Y); a)<>=@?BADC !B ]>E 6 8 Z F> C. m. (96). (97). (20) Z Z 1 T 1 T x 0 x 0 −1 −1 E [φ (XT ) · · ·] = E φ (XT ) Dt XT σ(Xt ) Yt dt · σ(Xt ) Yt dWt (98) T 0 T 0 Z T 1 −1 −1 x σ(Xt ) Yt dWt (99) = E φ(XT ) 2 δ σ(Xt ) Yt T 0. HF GHI FKJKLKMONHPKQSR TVN>UXPpWKjY[>ZK \K]O^H_a` NbPac P ^dTV] R p P r j z p { > | l } ~ ^fehgjz il[kjOm>Knpc oHWKqpU P _psjtlR uwvlvpzxjKy P R _pjz[O RKZjXf j[pO> xj vlN T ^OSHxO vKzpT K P xSRK GfI vOT z x P n[bY v T¡dRa¢K£ HRa H_ f xj vlT ¤S¥ R gKijkjm jfxK vKThnp N vjXT §[z zxl¨O © P u O¦ _ KP u y 8. σ(·). (96). d dx. (97). RT 0. · · · dWt = r(·). σ 0 (·). 2. RT 0. d dx. · · · dWt σ 00 (·). −1. σ (·) Ikeda and Watanabe[1989] pp.254-263. 2.2 Protter[2004] pp.301-310. 21. 39.
(266) Z T 1 −1 σ(Xt )−1 Yt dWt = E φ(XT ) 2 δ σ(Xt ) Yt T 0 Z T Z T −1 −1 − Dt σ(Xt ) Yt dWt σ(Xt ) Yt dt . x. 57 6 5 δ(σ(X ) Y ) u 6 5 σ(X ) Y P 0 0. N. σ(Xt )−1 Yt RT Dt ( 0 σ(Xt )−1 Yt dWt ) ((100). . m. (97). . 0. t. −1. ". ) = E x φ(XT ). m . −1. t. t. (100). C P o /
(267) 6 . t. 1 T2. (Z. T. σ(Xt )−1 Yt dWt. 9 1 : P%3)4 F> 6 5 6 0. 2. −. Z. T. (σ(Xt )−1 Yt )2 dt 0. )#. .(101). o 5 "! # $' ZvY 2 $ 0 1 5 7 6 o {φ } ⊂ C m (34) φ C k x φ (X ) → φ(X ) φ (X ) → φ (X ) in L (Ω) |φ (x) − φ (x)| ↓ 0 ∀x ∈ R\{φ 2 @
(268) A 5 o
(269) 6 (35) m (36) m "! C ? y ] ^ } u6 UmV P > m ]^ 1 5(ii) 7 6$ 1 (26) (27) ?# % 2 &')( m (39) m (40) m
(270) m (35) m (36) m P r(t) = r σ(X ) = σX ) ! (38) (34) 3-4 F> 5 D 6 * P BS +-, i /. 5P
(271) !]A Y
(272) ,10 (41) m42"3 6 4 (41) m P15"6 6- -7" 1 89 2)3 :-; 5
(273) 7 6 < ]^ 2 5 1=)> Y ZF6 ?@ (21) m )A"BC+-, i o R 1= · uF6 5- (40) m E [ · ] )D P3)4 > D X dt (ii)φ(XT ) ∈ L2 (Ω). 1. n. T. ∞ 0. n. 00 n. T. 00. T. 2. T. 00 n. 00. 00. t. 1 σT. 1 XT. T 0. t. Dt. . x. T. Z T 1 1 2 Dt XT dt(WT − σT WT − T ) (102) u (x) = E φ(XT ) 2 3 3 · x σ T XT 0 1 1 x 2 = E Φ(XT ) 2 3 3 · δ (WT − σT WT − T ) , (103) xσ T XT Z T 1 1 2 δ(· · ·) = δ(WT − σT WT − T ) (WT2 − σT WT − T )dt. (104) − Dt XT X T 0 00. 5. t. x. . T. . 3)4E F> m )* ) = 1 (W ((104) . 2 3 δ(WT ) = WT − 2T WT 1 = − DXt X2 T = − XσT XT. δ(WT ) = WT2 − T. . . δ(1) = WT. 9. XT. 3 T. − (3T + σ 2 T 2 )WT ),. R R F H G 4 nJIjU P T R δ(W ) = W δ(1) − D (W ) · 1dt = W − 2W KML _ ¢ q δ(W ) = W δ(1) − R D (W )dt = W − T u aHR δ(1) = W R TMOHPHQRSUTHV [2004] n ¨HW u 9. 2 T. T. T. T 0. 2 T. T 0. t. T. 2 T. t. 2 T. 22. 3 T. T. T. T 0. (105). _MNKUHqKy R Y. Dt WT dt = WT3 − 2T WT Dt WT = t. u.
(274) u. (41). m+65 6. ) "# ]'^ s C? #
(275) 5 s ( ZE X˜ = R X ds 57 6/(\ (19) m *
(276) V 5 ouZ F 5 ]^ 3 s 6 . A.3. m. 3(. T 0. T.
(277) . s. 5 ˜ T = σ(Xt )Yt−1 (Y˜T − Y˜t ), Dt X Z T 2 ˜ ˜ T σ(Xt )−1 Y 2 dt. YT = 2 Dt X t.
(278) &')(. (106) (107). 0. 57 6 5
(279) * . Dt Xs = σ(Xt )Yt−1 Ys 1{t≤s} ,. RT 0. · ds Dt. (108). 6) Z. T. Xs ds. . =. σ(Xt )Yt−1. Z. T. Ys ds.. 68 ZY
(280) > ˜ = σ(X )Y (Y˜ − Y˜ ). DX (106) m
(281) 1 6 (107) m )* D X˜ 3)4 0> Z m ) * ((107) ) = 2 σ(X )Y (Y˜ − Y˜ )σ(X ) Y dt. ˜ X. (20). . 0. (109). t. Y˜. t. T. t. −1 t. T. t. t. (110). T. T. t. −1 t. T. t. t. −1. 2 t. (111). 0. Z. T. (Y˜T − Y˜t )Yt dt Z T Z T ˜ = 2Y T Yt dt − 2 Y˜t Yt dt = 2. (112). 0. 0.
(282) 3 & ')( φ ∈ C0∞. 5 1 8 . 0. 1 = 2Y˜T2 − 2 · Y˜T2 = Y˜T2 . 2. ˜ T ) ∈ L2 (Ω) φ(X. o ]^. 23. 1. 5 @A ?# 5 7 6 . (113).
(283) E "D 4 46 5- 1 o a-<%=?BA C ]%E U 5 ; ∂ ∂x. φ ∈ C0∞. z)2. 4. x. (42). m _5` 6 . Z. Z. T. σ(Xt ). −1. Yt2 dWt. −. 0 T. σ(Xt )−1 Yt2 dWt +. Z. T 0 T. Z. 0. (116). t. . σ(Xt ) = σXt Yt = Xt /x. . T. 0. u (x) = E. δ(· · ·). x. z2 4 6 8 F Z 6" δ(· · ·) =.
(284) 5 . (115). σ(Xt )−1 Yt2 Dt Y˜T−1 dt (117) Z T −1 2 ˜ −2 σ(Xt ) Yt YT Dt Ys ds dt. (118). (116) m 3-4E 0 m+ 5 6$ A BC+, i 5 (44) > )3 4 0> ˜ /x (116) m Y˜ = X 0. (114). 8 Z6) . = Y˜T−1. 65 6. m . ˜ T )Y˜T ] u0 (x) = E x [φ0 (X Z T x 0 ˜ −1 −1 2 ˜ ˜ = E φ ( XT ) Y T · 2 Dt XT σ(Xt ) Yt dt 0 h i ˜ T ) · 2δ Y˜ −1 σ(Xt )−1 Y 2 . = E x φ(X t T. δ(· · ·) = Y˜T−1. T. (43). m68 ( Z Y m 9 2: ((121) . . 1 −1 ˜ ˜ T ) δ 2Xt X . φ(X T xσ. ˜ −1 2δ(Xt )X T Z. ˜ −1 = 2X T. 0. T. . −2. Z. T. . 1 ˜ XT. . dt X t Dt Z T ˜ −2 Dt X ˜ T dt. Xt dWt + 2 Xt X T 0. . 0. ˜ t /x Y˜T = X ˜ T /x σ(Xt ) = σXt Y˜t = X. (106). ) = 2. Z. T. 0. Z. (119). 3)4 F>. ˜ −2 (Y˜T − Y˜t )Y −1 σ(Xt )dt Xt X t T. (121). (122). T. ˜ −2 (X ˜T − X ˜ t )X −1 σXt dt Xt X t T Z T Z T −1 −2 ˜ ˜ = 2σ XT Xt dt − XT Xt Xt dt 0 0 1 1 2 −1 −2 ˜ ˜ ·X ˜T + X ˜ · X = 2σ(1 − ) = σ. = 2σ X T T T 2 2 = 2. (120). (123). 0. . (121). m. 3)4 F>. (46). m465 6. 24. (124) (125).
(285) A.4. . 4(. ! ) "#. 5 1 φ ∈ C o1 m 3)4 5 (107) φ ∈ C0∞ ∞ 0. 8 φ(X˜ ) ∈ L (Ω) o ] ^ E a) <%+= ,4? l.A C / 5 o
(286) ]61E 5- 66 ; U. ∂ ∂x. x. 5 @A ?# 57 6 6 (48) m m (48) _5` 2. Z T h i 0 ˜ −1 2 x ˜ ˜ ˜ u (x) = E φ (XT ) · 2 Dt XT σ(Xt ) Yt dt + E φ (XT )ZT 0 h n oi ˜ T ) δ 2σ(Xt )−1 Y 2 + Z˜T . = E x φ 0 (X t 00. δ(· · ·). 2. T. x. . 00.
(287) 5 7 /6 5 ; a<=@? DA C 1 C o / ) E m ((127). Z 0 ˜ ) = E φ ( XT ) 2. T. x. A)BC+, i 5 . . σ(Xt ). 0. . −1. Yt2 dWt. + Z˜T. .. 3)4- F>. Z˜T = 0 σ(Xt ) = σXt Yt = Xt /x Z T 2 0 ˜ x ((128) ) = E φ (XT ) · 2 Xt dWt . xσ 0. m. . (126) (127). (128). (129). . # "% $' &
(288) B's (* )'+- ,'. w 6 : ! IMES Discussion Paper Series 2004 / forthcoming 3
(289) 4 ^#5-6 798! ;3' -: # - <;'='>@? 3A [2] 01F,32 8 :'B DC-E'F'G's H'I*J 2003 / 4PO'Q ' B 3R'S-T'" U 1999 V [3] K-L'M*N [1]. [4] Fourni´e, Eric, Jean-Michel Lasry, J´erˆome Lebuchoux, Pierre-Louis Lions and Nizar Touzi, “Application of Malliavin calculus to Monte Carlo Method in Finance,” Finance and Stochastics 3, 1999, pp.391-412. [5] Ikeda, Nobuyuki and Shinzo Watanabe, Stochastic Differential Equaitons and Diffusion Processes, 2nd ed., 1989, Kodansha/North-Holland. [6] Nualart, David, The Malliavin Calculus and Related Topics, 1995, Springer-Verlag. [7] Protter, Philip E., Stochastic Integration and Differential Equations 2nd ed., 2004, Springer-Verlag. 25.
(290) . 1: φ(x) = (x − K)+. . 60. φ φ1 φ2. 50. 40.
(291). . 30. 20. 10. 0. -10 40. 60. K = 100 δ = 30. ; 9<: = ε = 0.1 E[φ0 · · ·] E[φ · · ·]. 80. . 100. x. 120. 140. 160. φ(x) φ1 (x) φ2 (x). 2: !#1"%4$'3 &)(*+#,.7-&)!8 /0& 143 1'234 7&)8. 14'3 525)6 7'&8. 0.72575 0.72561 (0.746) 0.72563 (0.747) 0.72735 (2.187) 0.72670 (5.646) 0.72642 (0.292) δ = 65. 0.65168 0.65206 (0.753) 0.65211 (0.753) 0.65193 (2.291) 2 0.65207 (0.410) δ = 30. 0.016660 0.016139 (18.61) 0.016693 (2.364) 0.016744 (8.823) 0.016584 (27.15) 0.016659 (0.566) δ = 45. -0.0013350 -0.0004071 (290.1) 1 -0.0013457 (2.887) -0.0012956 (12.34) -0.0013438 (2.876) α = 0.96. >. -0.00038870 0.0280500 (19930) 1 -0.00038879 (2.099) -0.00038812 (2.897) -0.00038854 (1.509) α = 0.63. >. 0.029189 0.032063 (15.02) 0.029212 (2.423) 2 2 0.029140 (0.713) δ = 20. >. > > ?A@BC 9AO :?@D B!#P)"%CA$'Q&)(AGA*RS+ 123)4 )E -!F/0)&G:H'\)I%]J ^D)_AK` LA: 52A5)6-!/'0&MGNI%J D aAj bb D D TUVWXYG)kTAZUlA[ S): VW9MXA: Y'))ceZd#[ ;AD)n f'g S)hi ; \` ]^A_ ` ?A@BP)C - vT HwUixDV]AyW ^<_zAr {|+}sE$~V3 S WA_' X:)Y` )Am ` )oApAq >> tA!u "%$&)(e*+,-!'/0)& )XAYA# zA}~S c# S _)A` E[Φ · · ·]. 100. 10. (). (. ). 10. δ α. 1 2. 26.
(292) 3: !#1"%4$'3 &)(*+#,7-&)!'8 /0& 1A43 1 23)4 7&)8. A; 9<: =. 0.70885 0.70844 (0.700) 0.70847 (0.701) 0.71043 (2.089) 0.71052 (5.923) 0.70946 (0.238) δ = 65. ε = 0.1 E[φ0 · · ·] E[φ · · ·]. 0.017527 0.017800 (19.23) 0.017540 (2.034) 0.017633 (8.155) 4 0.017524 (0.549) δ = 45 (. -0.0017810 -0.0014025 (225.0) 1 -0.0017844 (2.630) -0.0017304 (10.88) -. >. 143 525)6 7'&8. -0.00040292 -0.0244306 (19896) 1 -0.00040296 (2.116) 4 -. >. 0.64313 0.64393 (0.726) 0.64393 (0.727) 3 2 -. >. > > > ?e@BC 9e:D ' : \)]A^ ^A
(293) _ `= } j \ l _ GRS TU aej wVbb WD XD YTUZ)[ VeWXYG)kZlA[ S : 9: )cAd# ;AD)n fFg S)hi ; \` ]^_ ` ?e@BP)C - vTH)U'D)iA]Ax^AVy_W <Ar zA+{s)|$'}E3 ~V S:W_`Xe)Y)m ` )opq >>> tA! u "%$ &)(O *'5+#25, -A6!'-!//0)& 0)& XA Y1A#4'3) zQe} `~S c#% S _A` > d ` E[Φ · · ·]. 10. (). ). 0.029741 0.030851 (14.81) 0.029738 (2.343) 2 2 0.029669 (0.745) δ = 20. > >. 100. (. ). 10. δ. 1 2 3 4. 5 3. . 5. 2. 4:. ! "$#$%'&)(*,+ - . ( . 0.80. 0.75.
(294). 0.70. 0.65. 8. 67. 0.60. 0.55. 91?1:<@ ;1> =1>. 0.50. Φ φ φ’. 0.45. 0.40. /103254 ) G ' k l S ;<AT= U )VWAXY DD E FBG TJ UB^ A S } C <. 0. 10,000. 20,000. 10. 30,000. 7. E x [φ0 · · ·]. 27. 40,000. 50,000. 60,000. 70,000. ).
(295) . $ "$#!%'&)(,,+ - . ( , . 5: 0.80. 0.75.
(296). 0.70. 0.65. 8. 67. 0.60. 0.55. 91?1:<@ ;1> =1>. 0.50. Φ φ φ’. 0.45. 0.40. /103254 ) G ' k l S ;<AT= U )VWAXY DD E FBG TJ UB^ A S } C <. 0. 10,000. 20,000. 10. 30,000. 40,000. 50,000. 60,000. 70,000. 7. E x [φ0 · · ·]. . 6:. . 5.0. φ’’ +φ’ φ’’ +φ. 4.5. 4.0. 3.5.
(297) . . 3.0. 2.5. 2.0. 1.5. 1.0. 0.5. 0 0. 10. DD. 20. 30. 40. . 50. ∆. 60. x 0 φ00 + φ0 E x [φ00 1 (XT ) · · ·] + E [φ2 (XT ) · · ·] x [φ (X ) · · ·] φ00 + φ E x [φ00 (X ) · · ·] + E 2 T T 1. 28. 70. 80. 90. G GARRSS 6 (. 100. ). ).
(298) . 7:. ! "$#$%'&)(*,+ - ( . ). 0.018. 0.016. 0.014.
(299). . . 0.012. 91?1:<@ ;1> =1>. 0.010. 0.008. 0.006 0. . 10,000. 20,000. 30,000. /103254. 40,000. 50,000. Φ φ φ’ 60,000. 70,000. 80,000. 90,000. 100,000. $ "$#!%'&)(,,+ - ( , . 8: 0.020. 0.018. 0.016.
(300). . . 0.014. 0.012. 91?1:<@ ;1> =1>. 0.010. 0.008. 0.006 0. 10,000. 20,000. 30,000. /103254. 40,000. 50,000. 29. φ φ’ 60,000. 70,000. 80,000. 90,000. 100,000. ).
(301) . 9:. $. & (,+ - . ( . ). -0.0012. -0.0013.
(302). -0.0014. 8. 67. -0.0015. -0.0016. 9<?<:1@ ;1> =1>. -0.0017. -0.0018 0. . 10:. 10,000. 20,000. 30,000. /10 2 4. 40,000. 50,000. Φ φ 60,000. 70,000. 80,000. 90,000. . & (,,+ - . ( , . 100,000. ). -0.0016.
(303). -0.0017. 8. 67 -0.0018. ?1@ > -0.0019 0. 10,000. 20,000. 30,000. /10 2 4. 40,000. 50,000. 30. Φ φ 60,000. 70,000. 80,000. 90,000. 100,000.
(304) . 11:. . &(,,+ - ( . ). -0.00038. -0.00039.
(305). . . -0.00040. -0.00041. 91?1:<@ ;1> =1>. -0.00042. -0.00043 0. 10,000. 20,000. ;<= D + v . 12:. /103254 G g G)_`. 30,000. 40,000. 50,000. Φ φ 60,000. 70,000. 80,000. 90,000. . & (,,+ - ( , . 100,000. ). -0.00038. -0.00039.
(306). . . -0.00040. -0.00041. ?1@ > -0.00042 0. 10,000. 20,000. 30,000. /103254. 40,000. 50,000. 31. φ 60,000. 70,000. 80,000. 90,000. 100,000.
(307) . 13:. $(,,+ - . ( . ). 0.68. 0.67. 0.66.
関連したドキュメント
（表2）。J－CAPRAポイントを合計したJ－CAPRA スコアについて，4以上の症例でPFSに有意差
ＭＰの提出にあたり用いる別紙様式１については、本通知の適用から１年間は 経過措置期間として、 「医薬品リスク管理計画の策定について」 （平成 24 年４月
用 語 本要綱において用いる用語の意味は、次のとおりとする。 （１）レーザー（LASER:Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation）
Table 1 contains the knot type, number of edges used, polygonal ropelength of the conformation after the min- imizing algorithm was run, and the computed upper bound for the
（注）本報告書に掲載している数値は端数を四捨五入しているため、表中の数値の合計が表に示されている合計
契約約款第 18 条第 1 項に基づき設計変更するために必要な資料の作成については，契約約 款第 18 条第
をき計測磁については 約機やぞの後の梅線道燦ω @J III 祭賞設けて、滋問の使用!窓織象件後紛えているをのもあ~.正し〈誕lÉをされていない官能筏
このアプリケーションノートは、降圧スイッチングレギュレータ IC 回路に必要なインダクタの選択と値の計算について説明し
