数 学
Ⅱ
（全 問 必 答）
第１問 （配点 ３０）
〔"〕 座 標 平 面 上 に 点A（"，!），P（cos#θ，sin#θ），Q（#cos$θ，#sin$θ）を とる。θが π
$ ≦θ＜πの範囲を動くとき，AP２＋PQ２の最大値と最小値を 求めよう。
AP２は
AP２＝ ア − イ cos#θ
＝ ウ − エ cos２θ である。また，PQ２は
PQ２＝ オ − カ cosθ である。
（数学Ⅱ第１問は次ページに続く。）
― ４ ― （２２０５―４）
!π ≦θ＜πで あ る か ら， キク ＜cosθ≦ ケ
コ で あ る。し た
が っ て，AP２＋PQ２は，θ＝ サ
シ πの と き 最 大 値 スセ を と り，
θ＝ π
ソ のとき最小値 タ をとる。
（数学Ⅱ第１問は次ページに続く。）
― ５ ― （２２０５―５）
〔'〕 aを定数とする。xの方程式
４x＋a−２x＋a＋a＝% ……… がただ一つの解をもつとき，その解を求めよう。
X＝２xとおくと，Xのとり得る値の範囲は チ である。 チ に当てはまるものを，次の!〜$のうちから一つ選べ。
! X≧% " X＞% # X≧& $ X＞&
また，をXを用いて表すと，Xの'次方程式 ２ツテ
X２−２ト
X＋a＝% ……… となる。この'次方程式の判別式をDとすると
D＝２ツテ(
) ナ − ニ a*
+ である。
（数学Ⅱ第１問は次ページに続く。）
― ６ ― （２２０５―６）
a＝ ナ
ニ のとき，は チ の範囲でただ一つの解をもつ。し
たがって，もただ一つの解をもち，その解はx＝ ヌネ
ノ
である。
a ナ ニ
のとき，が チ の範囲でただ一つの解をもつため
の必要十分条件は， ハ である。 ハ に当てはまるものを，次の
!〜&のうちから一つ選べ。
! a＞' " a＜'
# a≧' $ a≦'
% a＞ ナ
ニ & a＜
ナ ニ
ハ のとき，もただ一つの解をもち，その解は x＝ ヒ a− フ ＋log(２
) ヘ ＋! ナ − ニ a*+
である。
― ７ ― （２２０５―７）
第２問 （配点 ３０）
aを 正 の 実 数 と し，放 物 線y＝#x２をC１，放 物 線y＝"x２＋a２をC２と す る。C１とC２の二つの共有点をx座標の小さい順にA，Bとする。また，C１と C２の両方に第!象限で接する直線をlとする。
Bの座標をaを用いて表すと$
% ア ， イ a ウ &
'である。
直線lと二つの放物線C１，C２の接点のx座標をそれぞれs，tとおく。lは x＝sでC１と接するので，lの方程式は
y＝ エ sx− オ sカ
と表せる。同様に，lはx＝tでC２と接するので，lの方程式は
y＝ キ tx− ク t カ
＋a２ とも表せる。これらにより，s，tは
s＝ ! ケ
コ a， t＝ ! ケ
サ a である。
放 物 線C１のs≦x≦ ア の 部 分，放 物 線C２の ア ≦x≦tの 部 分，x軸，および"直線x＝s，x＝tで囲まれた図形の面積は
シ ! ス − セ
ソ a タ
である。
（数学Ⅱ第２問は次ページに続く。）
― ８ ― （２２０５―８）
実 数p，q，rに 対 し，関 数（f x）＝x３＋px２＋qx＋rを 考 え る。（f x）は x＝−!で極値をとるとする。また，曲線y＝（f x）は点A，Bおよび原点を通 るとする。
こ の と き，p＝ チ ，q＝ ツテト ，r＝ ナ で あ り，（f x）の 極小値は ニヌネ である。
また，a＝ ノ ! ハ であり，曲線y＝（f x）と放物線C２の共有点
のうち，A，Bと異なる点の座標は"
# ヒフ ， ヘホ $
%である。
― ９ ― （２２０５―９）
第３問 （配点 ２０）
座 標 平 面 上 の)点（−)，'），（*，−)）を 通 る 直 線 をlと す る。ま た，点
（−(，a−(）を通り，傾きが − a
) である直線をmとする。ただし，aは正 の実数である。
lの 方 程 式 はx＋ ア y＋ イ ＝'で あ り，ま た，mの 方 程 式 は ウ x＋ エ y＋ オ −a＝'である。
a＝ カ
キ
の と き)直 線lとmは 一 致 し，a カ キ
の と きlとm
の交点は+
, ク ， ケコ -
.である。
以下，a カ キ
とし，連立不等式
!$
"
$#
x＋ ア y＋ イ ≧'
ウ x＋ エ y＋ オ −a≦' の表す領域をDとする。
Dから境界線を除いた領域に 原 点Oが 含 ま れ る た め の 必 要 十 分 条 件 は サ である。 サ に当てはまるものを，次の!〜&のうちから一つ選 べ。
! '＜a＜ カ
キ " カ
キ ＜a＜( # カ
キ ＜a＜)
$ カ
キ
＜a % (＜a & )＜a
（数学Ⅱ第３問は次ページに続く。）
― １０ ― （２２０５―１０）
aは サ を満たすとする。原点を中心とし，Dに含まれる円を考える。
そのような円のなかで半径が最大のものをCとする。Cの半径は
a≧ シ のとき !スセ
ソ
a＜ シ のとき
タ − チ
!a２＋ ツ
で あ る。特 にa＝ シ の と き，Cの 方 程 式 はx２＋y２＝ テ
ト で あ り，Cとl，Cとmの共有点の座標は，それぞれ
! "
ナニ ヌ
， ネノ ハ
# $
，!
"
ヒ フ
， ヘ ホ
# $
である。
― １１ ― （２２０５―１１）
第４問 （配点 ２０）
〔"〕 $乗してiとなる複素数zを求めよう。
z＝x＋yiとおく。ここで，x，yは実数である。等式
（x＋yi）３＝i において
（x＋yi）３＝x３− ア xy イ
＋%
& ウ x エ
y−y３' (i であるから，x，yは連立方程式
!$
"
$#
x３− ア xy イ
＝ オ ウ x エ
y−y３＝ カ の解である。
x＝!のとき，y＝ キク である。また，x !を満たす解は
x＝ ± ! ケ
コ
， y＝ サ コ
である。以上から，$乗してiとなる複素数zが三つ求められた。
さらに，それら三つの複素数の#乗の積は シス である。
（数学Ⅱ第４問は次ページに続く。）
― １２ ― （２２０５―１２）
〔#〕 次の式を考える。
P＝!
#%"＋$
%x＋ "
x &
'
３"
$&
４
………
また，A＝$
%x＋ "
x &
'
３とする。
相加平均と相乗平均の大小関係を利用すると，x＞!の範囲で，Aの最 小値は セ であり，最小値をとるときのxの値は ソ であること がわかる。
PをAで表すと
P＝ タ ＋ チ A＋ ツ A２＋ テ A３＋A４ …
となる。
また，の右辺を展開すると
P＝k＋s１x＋s２x２＋ … ＋s１２x１２＋ t１ x ＋ t２
x２ ＋ … ＋ t１２
x１２ … と な る。こ こ で，k，s１，s２，…，s１２お よ びt１，t２，…，t１２は 定 数 で あ る。kとs６を求めよう。
A，A２，A３，A４に二項定理を適用して，とを比較することにより
k ＝ タ ＋ ツ ×６C
ト ＋１２C ナ
＝ ニヌネノ であり
s６＝ ハヒフ であることがわかる。
― １３ ― （２２０５―１３）
