雑誌名 教育実践総合センター研究紀要

オープンアプローチによる大学授業の構築について の一考察 −小学校教科「算数」における授業実践

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著者 市原 一裕, 大室 敦志

雑誌名 教育実践総合センター研究紀要

巻 19

ページ 189‑193

発行年 2010‑03‑31

その他のタイトル A study on a construction of classes in

university via Open Approach ―Class practices of Elementary Mathematics −

URL http://hdl.handle.net/10105/2980

１．はじめに

大学の教員養成課程における授業改善を試みた実践 研究として、1997年、弘前大学において「合同な三角 形」を題材とした授業実践が報告されている（吉川

［1］）。

理数離れが報告され、理数系教員の教科教育に関す る指導力の充実が求められている現在、改めて吉川に よる授業実践を見直し、算数・数学科の教員養成課程 での授業改善に向けて実験授業を行った。本稿はその 報告である。

今回の授業実践において具体的なねらいは、以下に 挙げる２項目である。

① 小学校で算数を教えるために必要とされる知識 の習得（図形の合同）

② 大学生の算数・数学観の意識変革

また、先行研究において取り入れられている指導法

（オープンアプローチ）に触れることもねらいの一つ とした。

１．１．小中間の接続を意識した内容理解

平成20年度の学習指導要領改訂によって、「図形の 合同」をはじめ、現行学習指導要領において中学校で 扱っていた内容の一部を小学校でも扱うこととなっ た。たとえば、図形領域においては、中学校第２学年 で扱っていた「図形の合同」の一部を、小学校第５学 年でも扱うこととなり、その他にも「拡大と縮小」

「対称な図形」などが、中学校より移行された（いず れも第６学年で扱う）。移行の目的は、「小学校と中学 校の間での指導内容の接続に配慮したものである」

（小学校学習指導要領解説［2］）と解説されており、

内容の程度を少しずつ高めてつなげていくスパイラル な教育課程を編成することを重視したものとなってい る。つまり、小学校で算数を教える際には、中学校、

あるいはそれより先にある数学の内容を理解してお き、見通しを持った指導を行っていくことが重視され ている。

たとえば、今回の実践授業の題材として扱った「図 形の合同」に関しては、小学校第５学年においては、

「合同な図形をかいたり，作ったりする活動を通して，

次の条件（三つの辺，二つの辺とその間の角，一つの

−小学校教科「算数」における授業実践−

市原一裕

（奈良教育大学数学教育講座）

大室敦志

（奈良教育大学大学院教育学研究科）

A study on a construction of classes in university via Open Approach

―Class practices of Elementary Mathematics −

Kazuhiro ICHIHARA

（Department of Mathematics Education, Nara University of Education) Atsushi OMURO

（Graduate School of Education, Nara University of Education）

要旨：教員養成課程における授業改善に向けて、小学校教科科目「算数」において行った実験授業について、その

キーワード：オープンアプローチ Open Approach, 授業改善 class improvement, 教員養成 teacher training

辺とその両端の角）が必要であることに気付かせてい くことが大切である」とされている（図１参照）。

一見、この３つの条件は、中学校第２学年で学習する 三角形の合同条件のようであるが、これらは、三角形 がただ１つに決まるための三角形の決定条件である。

合同条件は、２つの三角形が合同かどうかを判断する ための条件であり、２つの図形の比較を行っている点 で、小学校での扱われ方の違いが見られる。

このように、算数・数学を指導するためには、指導 する内容の系統を指導者が理解することが求められ る。そのためには、「図形の合同」のようなスパイラ ルな指導が求められ、その背景に数学的に広がりのあ る題材に触れることで、内容の系統を理解する視点を 持たせることが必要となってくると考えた。

１．２．算数は答えが１つ？

算数・数学は、よく「答えが１つしかない教科」だ と言われる。今回実践授業を行った小学校教科科目算 数の受講生も、「算数・数学の問題は、答えがただ１ つしかない」と認識している学生の割合の多いことが、

事前調査からわかった（２．４．事前調査の結果を参 照）。しかし、算数で指導すべきことは、単に問題の 解き方や答えなどを教えることだけではなく、「見通 しをもち筋道を立てて考え、表現する能力を育てる」

ことや「数理的な処理のよさに気付き、進んで生活や 学習に活用しようとする態度を育てる」ことであると、

学習指導要領の目標にも明記されている。

今回、先行研究［1］をふまえて、オープンアプロー チを取り入れた講義を行った。オープンアプローチの 特徴である多様な解や考え方を扱えるような題材を用 いた授業を行うことで、受講する学生にとって、算 数・数学の教材観や指導観が変わるきっかけとなりう ると考えた。

１．３．オープンアプローチによる指導

ここでは、オープンアプローチによる指導法を、

「解答や考え方を多様に考えることができる問題（オ ープンな問題）を用いて、児童・生徒（ここでは学生）

から出てきた多様な正答や考え方を活かしながら、授 業展開を行う指導法」であると規定する。この指導法 は、「子どもの発想を生かしながら，数学的アイデア を大切にして，一般化したりしながら展開するところ に，子どもと数学の両面に開かれた指導が可能」（能

田［3］）であり、今回の授業において目標としている、

数学的な広がりや学生の活動や発想の広がりを期待す ることができると考えた。

２．実践授業の構想

吉川の授業実践をもとに、実践授業の指導案を作成 した。同時に、実践授業の評価の１つとして、事前調 査、事後調査をアンケート形式で行った。

２．１．小学校教科科目「算数」

まず、授業実践を行った小学校教科科目「算数」の 目的を、本年度教育学部シラバスから引用する。

本年度は、事前調査実施日は38名、授業実践当日は 31名の受講生であった。受講生のほとんどが学校教育 教員養成課程の１回生であるが、数学教育専修の学生 だけでなく、教育学、国語教育、理科教育、音楽教育 や保健体育など、さまざまな専修の学生で構成されて いる。

２．２．どこをオープンにするのか

オープンアプローチによる授業を考えるためには、

学生から多様な答えや考え方を引き出すためのオープ ンな問題が必要である。今回の授業においては、３つ のオープンな問題をもとに授業を構成した。

（１）合同な三角形のかき方を考える

まずは、与えられた１つの三角形と合同な三角形の かき方を考えるオープンな問題を設定した。この問題 では、３辺の長さをはかる、２辺の長さとその間の角 の大きさをはかる、１辺の長さとその両端の角の大き さをはかる、といった三角形の決定条件をもとに合同 な図形をかくことができるが、それ以外にも、平行移 動や対称移動によってもとの三角形を移動させること を考えることができる。また、コンパスを用いての長 さのとり方、角度のとりかたといった作図方法の確認 にも言及することができる。

（２）四角形の決定条件を考える

三角形の決定条件を確認した後に、四角形の決定条 件を考える課題を設定した。この問題は、表１のよう に、さまざまな方法を考えることができる。また、三 角形と違い対角線がかけることから、組み合わせの幅 が広くなっている。さらにより一般に、考える図形の 図１：合同な図形をかくための条件

（小学校学習指導要領解説［2］より引用）

小学校の教科である「算数」に関して，教科内容 の背後にある数学を解説することを目的とします．

実際の算数科指導において使える内容を選び，そ れを題材にして子供たちに伝えるべき「数学的に 考える力・態度」が身につけられるよう，進めて いく予定です。

要素（角の大きさ、辺の長さなど）や、図形の分類基 準を変化させることで限りなく拡張させていくことが できる問題ともなっている。

表１：予想される反応例

（３）発展課題を考える

３つ目の課題として、三角形の決定条件、四角形の 決定条件を考えた後に、「この次には、どんなことを 考えてみたいですか？調べてみたいですか？」と問い かけることで、今回の活動から発展した内容を考えさ せた。たとえば、以下の表２のような発展課題が考え られる。

表２：予想される発展課題

この課題こそが、オープンアプローチが目指すとこ ろでもある子ども（学生）にも数学にも両方に開かれ た活動だということができるだろう。目指すべき子ど も（学生）の姿は、このような課題を与えなくても、

自ら進んで新たな課題を見つけるような状態である が、今回は、その道筋を授業者が示すことによって、

受講生の教材の見方を養うことをねらいとした。

２．３．指導案の概要

２．２．の３つのオープンな問題をもとに、90分間

の指導案を作成した。ここでは、授業のおおまかな流 れが把握できるように、学習活動を掲載する。

１．合同の定義と事前調査 1.1. 題材について

・Ｈ20年度学習指導要領では、小学校第５学年に 図形の合同が追加されるなど、中学校の内容の 一部が小学校へ移行された。

1.2. 合同の定義

・教科書で扱われている定義を確認する。

1.3. 合同な三角形をかく

1.4. 合同条件と決定条件

・小学校と中学校での扱われ方の比較を行い、合 同条件と決定条件の違いを説明する。

２．四角形の決定条件 2.1.合同な四角形をかく

（日本文教出版 小学算数 平成21年度用補助教材 ６年より抜粋）

2.2. 条件を少なくする

・４つの辺と４つの角の８つの要素を考え、なる べく少ない要素でかくことを考える。

2.3. グループ思考

・４人グループに分かれて、意見を出し合いなが ら四角形の決定条件をまとめる。

３．内容を発展させる

・四角形の決定条件からの発展課題を考える

４．オープンアプローチについて 4.1. 本授業とオープンアプローチ

・本授業におけるオープンアプローチの場面を説 明する

［三角形に帰着する方法］

まず、四角形の４つの頂点のうち３つを含む三角形 をかき、その後、その三角形の一辺（四角形の対角 線にあたるところ）を利用して三角形をもう１つか く方法。

≪はじめの三角形のかきかた≫

・２辺と１本の対角線長さが等しい。

・２辺とその間の角の大きさが等しい。

（※１辺とその両端の角の大きさでは、対角線が ひけない）

≪あとの三角形のかきかた≫

・１辺の長さとある１つの角が等しい。

・２辺の長さが等しい。

・他の対角線１本の長さとある１辺の長さが等しい。

［三角形の決定条件を使わない方法］

・３つの辺とその間の２つの角の大きさが等しい。

・２つの辺と３つの角の大きさが等しい。

・１辺と４つの角の大きさが等しい。（作図は難し いか）

［誤答例］

・４つの辺の長さが等しい。（誤答。反例を示す）

・辺と角度の位置関係を意識していない。

・四角形の決定条件は、全部でいくつ考えることがで きるのだろうか。

・四角形の合同条件を調べたい。

・五角形、六角形ではどうだろうか。

・三角形、四角形の相似条件はどうなるだろうか。

・ｎ角形ではどうだろうか。

きちんと重ね合わせることができる２つの図 形は、合同であるといいます。

4.2. オープンアプローチとは

・正答が多様な問題、解が多様な問題を中心に説 明を行う。

4.3. オープンな問題からさらにオープンへ

・多様な正答や解法がうまれるオープンな問題を 扱うことで、子どもの思考や活動が開かれたも の（オープン）になっていく。子どもの思考や 活動が開かれていくと、課題を解決した後に

「新たな問い」や「新たな疑問」といったものが うまれてくることで、さらに開かれた活動へと 展開していくことが期待できる。

２．４．事前調査の結果

実践授業の効果をはかるために、授業1週間前に、

図形の合同に関する学力調査と、算数・数学観に関す る調査を行った。その結果、図形の合同に関しては、

まず、三角形の合同条件が、２つの三角形が合同かど うか判断する条件だという認識のある学生がほとんど 居らず、三角形の決定条件を理解できている学生もほ とんどいないことがわかった。また、算数・数学観で は、半数近くの学生が、算数・数学に対して「答えは １つしかない教科」だと認識していることがわかった。

以下に、今回行った事前調査の結果の概要を掲載する。

【事前調査結果概要】

・調査日：11月29日（月）

・対 象：小学校教科科目算数 受講生38人

（学部１回生34名，４回生１名，大学院１回生３名）

（１−１）三角形の合同条件について説明してください。

・２つの三角形において３つの合同条件が適用できる。

・・・・・・・・ 2 人

・３つの合同条件の記述のみ・・・・・・・・28人

・３つの合同条件の２つ、または１つのみ 

・・・・・・・・ 4 人

・その他 ・・・・・・・・ 4 人

（１−２）三角形の決定条件について説明してください。

・決定条件の３つをあげることができる。

・・・・・・・・ 2 人

・内角の和が180° ・・・・・・・・12人

・最も長い１辺が他の２辺の長さの和よりも短い

・・・・・・・・ 5 人

・知らない。わからない ・・・・・・・・ 4 人

・その他 ・・・・・・・・ 4 人

（２）学校（小、中、高等学校）での算数・数学の授 業や問題に取り組むときのイメージ

（あてはまる − どちらともいえない − あてはまらない）

（１）算数・数学の問題を考えることは楽しい。

（ 27  − ３ − ８）

（２）公式や計算の仕方を習うとき、その理由や考え 方を理解しようとする。

（ 23  − 10 − ５）

（３）問題を解くとき、いろいろな方法で考えようと する。（例えば、図をかいたり、グラフを使ったりする）

（ 21  − 10  − ７）

（４）自分の解き方とちがう解き方を知ることはため になる。 （ 33  − ５ − ０）

（５）問題を解くとき、考え方や途中の計算をきちん と書く。 （ 22  − ９ − ７）

（６）算数・数学の問題は、答えがただ1つしかない。

（ 19  − 10  − ９）

（７）問題を解くとき、もっと簡単に解く方法がない か考える。 （ 26  − 10  − ２）

（８）問題を解くとき、途中の計算や考え方がわから なくても、答えさえ正解していればよい。

（５ − 10  − 23）

３．実践結果

授業は、客観的観察と学生の活動の正確な把握を目 的として、筆者２名によるティームティーチング方式 で行った。ここでは、特に注目したい学生の反応と事 後調査の結果概要を報告する。

３．１．授業中の学生の反応

ア．「1.3.合同な三角形をかく」活動では、ほとんどの 学生が、決定条件（３つの辺の長さ、２つの辺の 長さとその間の角の大きさ、１つの辺の長さとそ の両端の角の大きさ）をもとに作図していた。

イ．「２．四角形の決定条件」では、グループによっ てさまざまな話し合いが行われていた。反例をあ げながら決定条件が正しいかどうかを確かめてい る班があったり、決定条件の言語化（３辺の長さ とその間にある２つの角の大きさが等しい、など）

に着目している班があったりした。

ウ．「３．内容を発展させる」では、さまざまなアイ デアが考えられており、結果の予想まで考えてい る学生もいた。

以下の表４に、実際の学生の反応例を示す。

表４：学生の反応例

３．２．事後調査の結果概要

事後調査の結果概要は、以下の通りであった。

【事後調査結果概要】

・調査日：12月７日（月）

・対 象：小学校教科科目算数 受講生31人

（学部１回生28名，大学院１回生３名）

（あてはまる − どちらともいえない − あてはまらない）

（１）意欲的に取り組みたくなる問題であった。

（ 30  − １ − ０）

（２）課題では、1つの答えがかけたあと、別の答えや 考え方でやってみようとした。

（ 28  − ２ − １）

（３）答えがただ１つに決まらないと不安だ。

（８ − ７ − 16）

（４）課題では、途中の考え方が分からなくても、答 えさえ正解していればよいと思った。

（３ − ８ − 20）

（５）教育実習など学校で教える時にオープンアプロ ーチの授業を自分もやってみたい。

（ 28  − ３ − ０）

４．実践のねらいの達成度

まず、本授業のねらいとして挙げた３点からの考察 を行う。１つ目の算数・数学の学力に関しては、演習 プリント（課題２，３）の状況から見て、ある程度の 達成は出来ていると判断できる。２つ目の算数・数学 観に関しては、事前・事後アンケートから、たとえば、

別の考え方でやってみようとする学生が増えたことか ら、「答えや考え方が１つでない」と考えるようにな ったと判断することができる。最後にオープンアプロ ーチに関しては、事後アンケートの「自分もやってみ

たい」と答えた学生がほとんどだったことから、学生 が興味を持ったと判断することができる。

これら３点の達成度がある程度見られたことに加え、

多くの学生が意欲的に取り組めていた授業だったこと から、本実践授業は意義のあるものだったと考える。

５．今後の課題

今回の実践授業では、今後につながる課題もいくつ か見えてきたので、それらをあげておく。

・オープンアプローチによる授業の概念をよりはっき りと規定する必要がある。

・それぞれのグループ活動で話し合った過程をうまく 全体の流れに活かすことができないか。

・オープンに終わることで、何を学んだのかがはっき りしないことが考えられる。

・オープンアプローチによって得られた多様な答えや 考え方と評価の問題についての検討が必要である。

６．謝 辞

筆者らは「わかる数学の授業を構築するための基礎 研究」（科学研究費補助金（基礎研究（A）），研究代表 者:  吉田明史（奈良教育大学教職開発講座），（平成19 年度〜21年度）の研究分担者・研究協力者として援助 を受けた。本研究の詳細（指導計画書、アンケート集 計など）は、上記研究成果報告書に含まれる予定であ る。

なお本研究を行うに当たり、本学数学教育講座の重 松敬一先生、近藤裕先生、教職大学院の吉田明史先生、

また、帝塚山大学の勝美芳雄先生、天理大学の上田喜 彦先生から、多数のアドバイスをいただきました。こ こに記して感謝いたします。

７．参考文献

［１］．吉川行雄，「小学校教員養成課程におけるオープ ンエンドアプローチ −合同な三角形のかきか たを題材にして−」，『弘前大学教育学部紀要』， 第77号，1997年，pp.15〜27.

［２］．文部科学省，「小学校学習指導要領解説 算数編」， 2008年．

［３］．能田伸彦，『算数・数学科 オープン アプロー チによる指導の研究』，東洋館出版社，1983年，

pp.69.

［４］．静岡大学教育学部附属静岡中学校，「いろいろな 多角形の合同条件を考えよう」，『数学科実践事 例集２（平成16年度）』．

http://www.shizuchu.ed.shizuoka.ac.jp/kenkyu /kenkyu/jirei/suugaku/sugaku16-2.pdf

・四角形の相似条件

・円の合同条件

・四面体の合同条件、相似条件

・ｎ角形の合同条件

・なぜ4つの要素では決めれないのか

・必要な要素数とその法則性、規則性

・五角形、六角形、七角形、・・・

・三角形から四角形の合同条件を考えるとき、合同 条件に「対角線」が加わったが、多角形を考える とき、他に何か条件が増えるか

・間違った合同条件の反例を考える

・定規とコンパスだけで合同な図形や様々な図形を 描く方法を考える

・正多角形、平行四辺形、ひし形、台形のように、

特殊な図形ではどうか