演習問題

¶ ³

微積分・演習

演習問題

出題：４月１３日（月） 提出期限：４月２０日（月）１３：３０

µ ´

問題 1-1

以下の問いに答えなさい。

(1)

一辺の長さが

の正６角形の面積を

の関数として表しなさい。

(2)

半径

中心角（単位はラジアン）θ の扇形の周の長さ（直線部分も含む）を

と

の関数として表しなさい。

(3)

ある放射性元素は放射線を出しながら

日で半分の量に減る。ある時点のこの放射 性元素の量を

としたとき，それから

日後の量を

と

の関数として表しな さい。

問題 1-2 25^3/2, 10^2/3·10^−8/3, (

3^√2 )^√2

の値をそれぞれ計算しなさい。

問題 1-3 log₂256, log₁₀0.001, log₆3 + log₆12

の値をそれぞれ計算しなさい。

問題 1-4 sin7π

3 , cos2π 3 , sin

(−π 2

)

, sin(1112π)

の値をそれぞれ求めなさい。

問題 1-5 cosθ =a , sinθ > 0

の場合に

をそれぞれ

を用 いて表しなさい。

問題 1-6

以下の問いに答えなさい。

(1) f(x) = 3e^−3x+ 2e^−2x

とする。f

の値を求めなさい。

(2) f(x) = log(x²+ 2x)−log(x+ 2)

とする。f(1/e) の値を求めなさい。

問題 1-7 2

倍角の公式（または，半角の公式）を用いて，cos

8, sinπ

8

の値をそれぞれ求 めなさい。(

の中に

が現れる形でかまいません。)

以下の問いに答えなさい。

(1)

関数

のグラフは，放物線

を

方向に

方向に

だけ平行 移動したグラフとなる。g(x) を求め，そのグラフを描きなさい。

(2)

定義域

で関数

x+ 1

のグラフを描きなさい。

問題 1-9

y= 2 sin (

πx− π 5

)

のグラフの山の位置

となる

の値)，谷の位置

となる

の値)，および

軸を横切る位置

となる

の値) をそれぞれ求めなさい。また，

の範囲

でのグラフの概形を描きなさい。

微積

問

¶ ³

微積分・演習

演習問題

略解

µ ´

解 1-1

(1)

一片

の正

角形の面積は

√3 2 d×1

2 =

√3

4 d²

なので，正

角形の面積は

。

の単位が度ならば，弧の長さは

360

ですが，θ の単位はラジア ンなので弧の長さは

2π =rθ

となります。

(3) a

2ⁿ

（または，a2

）

25^3/2 = (5²)^3/2 = 5^2·3/2 = 5³ = 125. 10^2/3·10^−8/3 = 10^2/3−8/3 = 10⁻² = 0.01. (

3^√2 )^√2

= 3^√2·√2 = 3² = 9. 解1-3

log₂256 = log₂2⁸ = 8 log₂2 = 8.

log₁₀0.001 = log₁₀10⁻³ =−3 log₁₀10 =−3.

log₆3 + log₆12 = log₆(3·12) = log₆36 = log₆6² = 2 log₆6 = 2. 解 1-4

sin7π 3 = sin

(

2π+π 3

)

= sin (π

3 )

=

√3

2 . cos2π 3 =−1

2. sin

(−π 2

)

=−sin (π

2 )

=−1. sin(1112π) = sin(2π×556) = 0. 解 1-5 sinθ =√

1−a²

なので

cosθ =

√1−a²

a , cot(−θ) = cos(−θ)

sin(−θ) = cosθ

−sinθ =− a

√1−a² . sec θ= 1

cosθ = 1

a, cosec(−θ) = 1

sin(−θ) = 1

−sinθ =− 1

√1−a² . 解 1-6

(1) f(log 3) = 3e^{−3 log 3}+ 2e^{−2 log 3} = 3e^{log 3−3}+ 2e^{log 3−2} = 3·3⁻³+ 2·3⁻² = 1 3. (2) log(x²+ 2x)−log(x+ 2) = logx(x+ 2) + log(x+ 2)⁻¹ = logx(x+ 2)

x+ 2 = logx

なの

で

解 1-7

√1

2 = cosπ 4 = cos

( 2× π

8 )

= 2 cos² π

8 −1

より

√2 4 +1

2. cosπ

8 >0

なので，cos

√ 2 +√

2

2 .

同様に

√2 = cosπ

4 = 1−2 sin² π

8

と

8 >0

より，sin

√ 2−√

2

2 .

あるいは

√2 = sinπ

4 = 2 sinπ 8 cosπ

8

より

8 = 1

2√

2 cos(π/8) = 1

√2√ 2 +√

2

と考え

ることもできます。以下の変形で

√ 2−√

2

2

と同じであることがわかります；

√ 1 2√

2 +√ 2

= 1

√2√ 2 +√

2

√ 2−√

√ 2 2−√

2

= 1

√2

√ 2−√

√ 2

4−2 =

√ 2−√

2

2 .

解 1-8

(1) y=f(x)

のグラフを

方向に

方向に

だけ平行移動したグラフを表す関数 は

なので

g(x) =−(x+ 2)²−2(x+ 2) + 1 =−x²−6x−7.

f(x) = −(x+ 1)²+ 1

のグラフは頂点が

の上に凸な放物線なので，g(x) のグ ラフは頂点が

の上に凸な放物線になると考えて，g(x) =

とし てもかまいません。

x y

-3

( 3,2)− 2

−7

(2) y =√

x+ 1

より

と

を入れ替えると，この関数のグラフは放物線と なります。従って，グラフは頂点

で

を通る横倒しの放物線の上側とな ります。

x y

1

−

1

微積

問

山の位置は

5 = π

2+ 2πn

より

2+ 2n (

= 0.7 + 2n )

, n = 0, ±1, ±2· · · (p1.1)

を満たす

となります。

谷の位置は

5 = 3π

2 +2πn

より

2+2n (

= 1.7+2n )

, n = 0, ±1, ±2· · · (p1.2)

を満たす

となります。

y= 0

となるのは

5 =πn

より

(

= 0.2 +n )

, n = 0, ±1, ±2· · · (p1.3)

を満たす

となります。

以上より，−

でのグラフの概形は以下のようになります：

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

-2 -1 1 2

x

y

¶ ³

微積分・演習

演習問題

出題：４月２０日（月） 提出期限：４月２７日（月）１３：３０

µ ´

問題 2-1

関数

を考える。f

を満たす

はそれぞれ

平面上でどのような図形を表すか，その概形を描きなさい。

問題 2-2

関数

を考える。f(x, y) = 1,

を満たす

はそ れぞれ

平面上でどのような図形を表すか，その概形を描きなさい。

問題 2-3

以下の関数

が

で連続となるように定数

の値を定めることができる場合は，

その値を求めなさい。

(1) f(x) = {

a (x= 0)

sin(3x)

x (x6= 0) (2) f(x) =

{ a (x= 0)

sin(3x)

|x| (x6= 0) 問題 2-4

以下の関数

が

で連続となるように定数

の値を定めることができる場合は，

その値を求めなさい。

(1) f(x) =





a (x= 1)

√x−1

x−1 (x6= 1) (2) f(x) =





a (x= 1)

3x²−5x+ 2

x² −4x+ 3 (x6= 1) 問題 2-5

以下の問いに答えなさい。

(1)

中間値の定理を用いて，方程式

は

と

の間に実数解をもつこ とを示しなさい。

(2)

中間値の定理を用いて，方程式

12 = 0

は

と

3

の間に実数解をもつこ

とを示しなさい。

微積

問

¶ ³

微積分・演習

演習問題

略解

µ ´

解 2-1

x²+y² = 25

は原点中心，半径

の円。x

は原点中心，半径

の円。x

は原点のみ。いろいろな

の値に対する曲線を描くと，等高線図が得られます。

-6 -4 -2 2 4 6

-6 -4 -2 2 4 6

x y

z=0 z=4

z=25

z =f(x, y)

の等高線の図

xy = 1

は

x

と書きかえられるので，f(x, y) = 1 を満たす

は

を通る直角双曲線を表します。

xy = −1

は

x

と書きかえられるので，f(x, y) =

を満たす

は

を通る直角双曲線を表します。

xy = 0

は

あるいは

と等価なので，f(x, y) = 0 を満たす

は

軸および

軸を表します。

いろいろな

の値に対する曲線を描くと，等高線図が得られます。

x y

-4 -2 2 4

-4 -2 2 4

z=1

z=1 z= −1 z= −1

z=0

z =f(x, y)

の等高線の図

解 2-3

¨

§

¥

桑村p.70¦

の例題

x→0lim sinx

x = 1 ^¨_§川薩四(5.9)^¥_¦ (p2.1)

を用います。

(1)

limx→0f(x) = 3 lim

x→0

sin(3x)

3x = 3 (p2.2)

より

とすれば

は

で連続となります。

( )f x

/ x π

(参考図)

解答には必要ありません。

(2)

f(x) =







−^sin(3x)_x (x <0) a (x= 0)

sin(3x)

x (x >0)

(p2.3)

なので，x を左から

に近付けた左側極限は

xlim→−0f(x) = − lim

x→−0

sin(3x)

x =−3 (p2.4)

となり，x を右から

に近付けた右側極限は

xlim→+0f(x) = lim

x→+0

sin(3x)

x = 3 (p2.5)

となります。従って

の値をどう定めても，f

は

で連続とはなりません。

( )f x

/ x π

(参考図)

解答には必要ありません。

微積

問

(1)

xlim→1f(x) = lim

x→1

√x−1 x−1 = lim

x→1

√x−1 x−1 ·

√x+ 1

√x+ 1 = lim

x→1

√ 1

x+ 1 = 1

2 (p2.6)

より

とすれば

は

で連続となります。

x=w

として

xlim→1f(x) = lim

w→1

w−1

w²−1 = lim

w→1

w−1

(w−1)(w+ 1) = lim

w→1

1

w+ 1 = 1

2 (p2.7)

と考えることもできます。

(2)

分子，分母とも

で

となる多項式なので

を因数に持つはず：

xlim→1f(x) = lim

x→1

3x²−5x+ 2

x²−4x+ 3 = lim

x→1

(x−1)(3x−2)

(x−1)(x−3) = lim

x→1

3x−2 x−3 =−1

2 (p2.8)

より

とすれば

は

で連続となります。

解 2-5

(1) f(x) = sinx−xcosx

とおくと，f(x) は連続で

な ので，中間値の定理より

と

の間に

となる

が少なくとも一 つあることがわかります。つまり，方程式

は

と

の間に少な くとも一つの解を持つことがわかります。

( ) f x

/ x π

(参考図)

解答には必要ありません。

(2) f(x) = 1−x² 2 +x³

12

とおくと，f(x) は連続で

3) = (√

3−2)/4<0

なので，中間値の定理より

と

3

の間に

となる

が少なくとも 一つあることがわかります。つまり，方程式

は

と

3

の間に少

なくとも一つの解を持つことがわかります。

x ( )

f x

(参考図)

解答には必要ありません。

¶ ³

微積分及び演習

演習問題

出題：４月２７日（月） 提出期限：５月１１日（月）１３：３０

µ ´

問題 3-1 微分の定義(8.4)にしたがって，次の関数 f(x) の導関数f⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x)

h ^を

それぞれ求めなさい。

(1) f(x) =x³ (2) f(x) = 1

x (3) f(x) =√ x²+ 1

問題 3-2 関数f(x) の導関数がf⁰(x)である場合に，次の関数g(x) の導関数 g⁰(x) をそれぞれ求め なさい。(答には，f(x)やf⁰(x)が現れます。)

(1) g(x) = 1

f(x) (2) g(x) =√

f(x) + 1

問題 3-3 問題 2-5の(2)で考えた方程式

f(x) = 0, ただし f(x) = x³ 12 −x²

2 + 1 は区間 (0,√

3)内に解を持つことがわかっています。また，関数f(x)はx= 2の近くで接線 g(x) =f(2) +f⁰(2)(x−2)

で近似できます。方程式 g(x) = 0を解いて，方程式f(x) = 0の近似解を求めなさい。(図3-1) なお，このように，ある点の関数の値と微分係数から方程式の数値解を計算する方法をニュート ン(Newton)法と呼びます。(→2年の科目「数値計算法」)

( ) f x

( ) g x

x

図3-1

x

1( ) f x

2( ) f x y

図3-2 問題 3-4 次の2つの関数

f₁(x) =x², f₂(x) = (x−1)²

4 + 1 = x²−2x+ 5 4 の共通接線を次の手順で求めなさい。(図3-2)

(1)関数f1(x) の点(a, f1(a))での接線の式をg1(x) =Ax+B とするとき，AとB をaで表し なさい。

(2)関数 f₂(x)の点(b, f₂(b))での接線の式をg₂(x) =Cx+Dとするとき，C とDをbで表し なさい。

(3)連立方程式{A=C , B=D}^から，aとbを求めなさい。(共通接線は2本あります。)

微積

問

¶ ³

微積分及び演習

演習問題

略解

µ ´

解 3-1 (1)

f⁰(x) = lim

h→0

(x+h)³−x³

h = lim

h→0

3x²h+ 3xh²+h³

h = lim

h→0

(

3x²+ 3xh+h² )

= 3x². (p3.1)

(2)

f⁰(x) = lim

h→0 1 x+h −¹_x

h =−lim

h→0

1

x(x+h) =− 1

x² . (p3.2)

(3)

f⁰(x) = lim

h→0

√(x+h)²+ 1−√ x²+ 1 h

= lim

h→0

(√(x+h)²+ 1−√

x²+ 1)(√

(x+h)²+ 1 +√ x²+ 1

) h(√

(x+h)²+ 1 +√ x²+ 1

)

= lim

h→0

(x+h)²+ 1−(x²+ 1) h(√

(x+h)²+ 1 +√ x²+ 1

) = lim

h→0

2xh+h² h(√

(x+h)²+ 1 +√ x²+ 1

)

= lim

h→0

2x+h (√(x+h)²+ 1 +√

x²+ 1

) = x

√x²+ 1. (p3.3)

解 3-2 商の微分の公式(^¨_§桑村p.64^¥_¦,^¨_§川薩四(2.7)^¥_¦)や合成関数の微分の公式(13.5)を用いてもよいで すが，ここでは導関数の定義式，g⁰(x) = lim

h→0

g(x+h)−g(x)

h ，から計算してみます。問題3-1の (2)のx や(3)のx²がf(x)になったと考えて計算手順を見比べて下さい。

(1)

g⁰(x) = lim

h→0 1

f(x+h) −_f(x)¹

h =−lim

h→0

1 f(x)f(x+h)

f(x+h)−f(x) h

= −lim

h→0

1

f(x)f(x+h) lim

h→0

f(x+h)−f(x)

h =−f⁰(x)

f(x)² . (p3.4) (2)

f⁰(x) = lim

h→0

√f(x+h) + 1−√

f(x) + 1 h

= lim

h→0

(√f(x+h) + 1−√

f(x) + 1)(√

f(x+h) + 1 +√

f(x) + 1 ) h(√

f(x+h) + 1 +√

f(x) + 1 )

= lim

h→0

f(x+h) + 1−(f(x) + 1) h(√

f(x+h) + 1 +√

f(x) + 1 )

= lim

h→0

(√ 1

f(x+h) + 1 +√

f(x) + 1 ) lim

h→0

f(x+h)−f(x) h

= f⁰(x) 2√

f(x) + 1. (p3.5)

解 3-3 f(x)の導関数は

f⁰(x) = df(x) dx = 1

12 dx³

dx −1 2

dx² dx = x²

4 −x (p3.6)

なので，f(x)の x= 2での接線の方程式は g(x) =−1

3 −(x−2) =−x+5

3 (p3.7)

となります。従って g(x) = 0より

x= 5 3

(

= 1.666· · ·)

(p3.8) が方程式 f(x) = 0 の近似解となります。尚，解のより精密な値はx= 1.663· · ·^{となります。}

解 3-4

(1)f1(x)の導関数はf₁⁰(x) = dx²

dx = 2x なので，(a , f1(a))での接線の方程式は

g₁(x) =f₁(a) +f₁⁰(a)(x−a) =a²+ 2a(x−a) = 2ax−a² (p3.9) となります。従って

A= 2a , B =−a². (p3.10)

(2)f₂(x)の導関数はf₂⁰(x) = 1 4

d(x²−2x+ 5)

dx = x−1

2 ^なので，(b , f₂(b))での接線の方程式は g₂(x) =f₂(b) +f₂⁰(b)(x−b) =b²−2b+ 5

4 + b−1

2 (x−b) = b−1

2 x+−b²+ 5

4 (p3.11) となります。従って

C = b−1

2 , D= −b²+ 5

4 . (p3.12)

(3){A=C , B=D}^より，aとbについての連立方程式 2a= b−1

2 , a²= b²−5

4 (p3.13)

が得られます。第1式，b= 4a+ 1，を第2式に代入して得られる2次方程式

3a²+ 2a−1 = (a+ 1)(3a−1) = 0 (p3.14) より，

a=−1, b=−3 (p3.15)

と

a= 1

3, b= 7

3 (p3.16)

が得られます。

微積

問

¶ ³

微積分・演習

演習問題

出題：５月１１日（月） 提出期限：５月１８日（水）１３：３０

µ ´

問題 4-1

次の関数を微分しなさい。ただし，微分の定義にもどって極限の計算をする必要は ありません。(以下の問についても同じです。)

(1) x³+ 5x²+ 4 (2) (x+ 1)⁶ (3) (x³+ 5x² + 4)²⁴ 問題 4-2

次の関数を微分しなさい。

(1) 1

1 +x+x² (2) √

(1 +x²)³ (3) cos(x²−3x) (4) cosec(x² + 1)

(

= 1

sin(x²+ 1) )

(5) 3^√x2+1 (6) e^cos(x2−3x)

(

= exp (

cos(x²−3x) ))

(7) log¯¯

¯¯x²+ 1 x⁴+ 3

¯¯¯¯

問題 4-3

関数

の導関数を

とするとき，次の関数を微分しなさい。答には

や

が現れます。

(1) f(x²−3x) (2) e^f(x2−3x) (3) f (

sin(x²−3x) )

(4) sin (

f(x² −3x) )

問題 4-4

次の関数の

での接線を表す式を書きなさい。

(1) y= 1

(1 +x²)⁴ (2) y=e^{−√x2+2x+2}

¶ ³

微積分・演習

演習問題

略解

µ ´

今回は合成関数の微分の公式，(13.5)， df(g(x))

dx = df(u) du

¯¯¯¯

u=g(x)

dg(x) dx

の練習です。この公式を使う場合，微分する関数のどの部分を u =g(x) と見なすかを自分で決めなけ ればなりません。df(u)/duの計算が最初のステップなので，f(u)は(4-3のように，f(x)の導関数が問 題に与えらえている場合を除き) (15.1)∼(15.4)に現れる基本的な関数，つまり

u^α, sin(u), cos(u), e^u, log|u| のどれかになっている必要があります。

解 4-1

(1) (x^α)⁰ =αx^α−1を用います：

d(x³+ 5x²+ 4)

dx = dx³

dx + 5dx²

dx = 3x²+ 10x . (p4.1) (2)u=x+ 1とおいて合成関数の微分の公式を用います:

d(x+ 1)⁶

dx = du⁶ du

¯¯¯¯

u=x+1

du

dx = 6u⁵|u=x+1

d(x+ 1)

dx = 6(x+ 1)⁵. (p4.2) 注意 ! (x+ 1)⁶を展開してから微分しても間違いではありませんが，合成関数の微分を用 いた方が計算が簡単になるのでお薦めです：

d(x+ 1)⁶

dx = d

dx

(x⁶+ 6x⁵+ 15x⁴+ 20x³+ 15x²+ 6x+ 1)

= 6x⁵+ 30x⁴+ 60x³+ 60x²+ 30x+ 6

= 6(

x⁵+ 5x⁴+ 10x³+ 10x²+ 5x+ 1)

= 6(x+ 1)⁵. (p4.3) (3)u =x³+ 5x²+ 4とおいて合成関数の微分の公式を用います。du/dxの計算には(1)の結果

が使えます。24乗を展開しようとするのはやめましょう：

d dx

(x³+ 5x²+ 4)24

= du²⁴ du

¯¯¯¯

u=x³+5x²+4

du

dx = 24u²³¯¯

u=x³+5x²+4

d(x³+ 5x²+ 4) dx

= 24(

x³+ 5x²+ 4)23 (

3x²+ 10x)

. (p4.4)

解 4-2

(1)u= 1 +x+x² とおいて合成関数の微分の公式を用います: d

dx 1

1 +x+x² = d dx

(1 +x+x²)₋1

= du⁻¹ du

¯¯¯¯

u=1+x+x²

du dx

= −u⁻²¯¯

u=1+x+x²

d(1 +x+x²) dx

= −(

1 +x+x²)₋2

(1 + 2x) (

=− 1 + 2x (1 +x+x²)²

)

. (p4.5)