( その５ ) 全学ゼミナール「じっくり学ぶ数学」レポート問題

全学ゼミナール「じっくり学ぶ数学」

レポート問題 ( その５ )

問1.

(1) f(x) = _cos¹_x のTaylor展開を, 1

cosx =d₀ +d₁x+d₂x²+d₃x³+d₄x⁴+d₅x⁵+· · · と表わすことにする. このとき,

1 = cosx· 1 cosx

= (

1− x² 2! +x⁴

4! − · · · )

·(d₀+d₁x+d₂x² +d₃x³+d₄x⁴+d₅x⁵+· · ·)

の両辺の x^k, (k = 0,1,· · · ,5)の係数を比較することで,d_k, (k = 0,1,· · · ,5)

を求めよ.

(2) (1)の結果を用いて, tanx= sinx·_cos¹_x のTaylor展開をx⁵ の項まで求めよ.

問2. f(x) =e^xsinx とする. このとき,次の問に答えよ.

(1) f^(k)(0), (k = 0,1,2,3) を直接計算することで, f(x) のTaylor展開を x³ の 項まで求めよ.

(2) e^y とTaylor展開と y =xsinx のTaylor展開を用いて, f(x) のTaylor展開 を x⁶ の項まで求めよ.

1