第 ７ 章 不 変 量 の 計 算
加 藤 １５．５．１８
前 の 章 で 定 義 し た 結 び 目 の 階 数 を 実 際 に 計 算 し て み ま す 。 さ ら に 、 結 び 目 が ほ ど け る 、 ほ ど け な い 、 を 調 べ る た め に 重 要 と な る と い う こ と を 見 て い き た い
と思います。
ち な み に 、 結 び 目 の 階 数 は よ く 結 び 目 の 彩 色 数 （ さ い し ょ く す う ） と い わ れ る ら し い で す。 定 義 は こ ん な 感 じ で す。 よ か っ た ら 見 て く だ さ い 。
彩 色 数 の 定 義
彩 色 数 を 定 義 す る 前 に 、 い く つ か の 用 語 を 説 明 す る 。
● 弧 ・ ・ ・ 射 影 図 の 交 点 の 数 を ｎ と す る と 結 び 目 の 射 影 図 は 切 れ 目 に よ っ て ｎ 個 の 曲 線 に 分 解 す る （ た だ し 、 ｎ ＝ Ｏ の 時 は １ つ ） こ の 曲 線 の こ と を 弧 と呼ぶ。
● 重 み （ 色 ） ・ ・ ・ 自 然 数 ｐ を 固 定 し 、 各 孤 に Ｏ か ら ｐ １ ま で の 整 数 の う ち １ つ を 対 応 さ せ た も の 。 重 み を つ け た 射 影 図 を 重 み の つ い た 射 影 図 と 呼 ぶ 。 Ｏ か ら ｐ １ の 数 が 色 の 種 類 を 表 す と 考 え る と イメ ー ジ が 湧 き や す い で あ ろ う 。 １ つ の 交 点 の 周 り に 着 目 し 、 各 弧 に 重 み を つ け る と 以 下 の よ う に
な る 。
（交点条件）
Ｙ
Ｚ。
Ｚ。
こ こ で 重 み の 付 け 方 に 関 し て 、 次 の 条 件 （ 交 点 条 件 ） を 考 え る 。
２ ｘ ｙ 十 ｚ （ ｍ ｏ ｄ ｐ ）
す べ て の 交 点 で 交 点 条 件 を 満 た す よ う な 重 み を 適 切 な 重 み と 呼 び 、 適 切 な 重 み の っ い た 射 影 図 の 総 数 を ｐ 一 彩 色 数 と 呼 ぶ 。 各 弧 に 同 じ 重 み を つ け る と 交 点 条 件 を 満 た す こ と は 明 ら か で あ る か ら 、 ｐ 一 彩 色 数 は ｐ 以 上 で あ る 。 し か し 、 結 び 目 に よ っ て は 各 弧 に そ れ ぞ れ 違 う 重 み 付 け を し て も 交 点 条 件 を 満 た す こ と が あ る 。 こ の よ う な と き 、 結 び 目 は ｐ 一 彩 色 可 能 と 呼 ば れ る 。
こ れ 実 際 、 階 数 の と こ が ｐ 一 彩 色 数 に 変 わ っ た だ け な ん で す け ど 、 一 応 の せ と き ま し た 。
こ こ で は 前 回 と 変 え る と め ん ど く さ い ん で 、 階 数 の ほ う で い き た い と思います。
１ 。 交 点 の な い 結 び 目
ま ず は 、 交 点 の な い 結 び 目 の 射 影 図 に つ い て 考 え ま し ょ う 。 交 点 の な い 結 び 目 に つ い て は 、 す べ て の ｐ に 対 し て 、 ｐ を 法 と し た 階 数 は （ ） で す 。 前 回 の 講 義 で 「 結 び 目 の 射 影 図 の 階 数 は 結 び 目 の （ ） で あ る 。 」 と 証 明 さ れ た の で 結 び 目 の ｐ を 法 と し た 階 数 が ｐ で な け れ ば そ の 結 び 目 は 自 明 な 結 び 目 で な い 。 つ ま り 、 結 び 目 は （ ） と い う こ と が 分 か る 。
２ ． ひ と え 結 び 目
次 の 図 の 結 び 目 に つ い て 、 そ の 階 級 を 計 算 し て み ま し ょ う 。 各 弧 の 重 み を 次 の ようにとります。
１
（１）２を法とした階級 各交点での交点条件
Ａ
Ｂ
Ｃ
・
・
・ 一
２、
Ｚ
こ の 方 程 式 を み た す ｘ ， ｙ ， ｚ （ Ｏ ｘ １ ， ０ ｙ １ ， ０ ｚ １ ） の 組 の 数 が 前 の ペ ー ジ の 射 影 図 で 表 さ れ た 結 び 目 の ２ を 法 と し た 階 数 に な
る。
計算
よ っ て 図 １ で 表 さ れ た 結 び 目 の ２ を 法 と す る 階 級 は （ こ れ で は ほ ど け る か ほ ど け な い か は わ か ら な い 。
（２）３を法とした階級 各 交 点 で の 交 点 条 件
Ａ
Ｂ
Ｃ
一
・
・ 一
拳 拳
）。
こ の 方 程 式 を み た す ｘ ， ｙ ， ｚ （ Ｏ ｘ ２ ， ０ ｙ ２ ， ０ ｚ ２ ） の 組 の 数 が 前 の ペ ー ジ の 射 影 図 で 表 さ れ た 結 び 目 の ３ を 法 と し た 階 数 に な る。
計算
よ っ て 図 １ で 表 さ れ た 結 び 目 の ３ を 法 と す る 階 級 は （ ） 。 階 級 は 不 変 量 な の で ひ と え 結 び １ ： Ｉ は ほ ど け な い こ と が わ か り ま し た。
練 習 １ ． １ 図 １ で 表 さ れ た 結 び 目 の ４ を 法 と し た 階 級
答え（
）
練 習 １ ． ２ 図 １ で 表 さ れ た 結 び 目 の ５ を 法 と し た 階 級
答え（ ）
（３）一般化してみよう
各 交 点 で の 交 点 条 件
Ａ：２ｙ ｘ＋ｚ（ｍｏｄｐ）
Ｂ：２ｘ ｙ＋ｚ（ｍｏｄｐ）
Ｃ φ一 ２ｚ ｘ＋ｙ（ｍｏｄｐ）
交 点 条 件 を 連 立 さ せ 、 準 簡 約 化 を 適 用 し 、 連 立 一 次 方 程 式 を 解 く
１ り １ ぐ
２１ １
ｊ １ １ 々
Ｒ ｊ Ｗ Ｗ
→
ＥＨ Ｈ
３
Ｈ に 図 陥
→ ９１ １１ ５１ ｏ ５ ｌ ｌ ｏｌ １ １ １ １ １１ １１ １１ １１ １１ １１ １１ １１ １ ｏｌ ｌ １１ ｏ ｌｌ １１ １ ｏｌ １ １１ １１ ０１ １１ ｏ ｌ ｉ ｌ ｌ Ｌ
２ ３
ｐ ３ｎ（ｎ：自然数）のとき連立一次方程式は
ＮＮ ＯＯ Ｍ
ｘ 十 ｙ ２ ｙ ０ ３ ｙ ３ ｚ ０
の
② 一 一 ９ 一
ＢＨ Ｈ
０
） イ
と な る が ｐ と ３ は 互 い に 素 で あ る か ら 、 第 ２ 式 よ り ｙ ｚ が 分 か る 。 し た が っ て 解 は
ｘ ＝ ｙ
一
一 ｚ（ｍｏｄｐ）
ゆ え に 、 こ の 結 び 目 の 彩 色 数 は と な る 。
ｐ ＝ ３ の と き 、 ② は 自 明 な 等 式 に な り 、 ① よ り 解 は パ ラ メ ー タ が ２ つ の 一 次 方 程 式 と な る 。
ｘ ｙ ＋ ２ ｚ （ ｍ ｏ ｄ ３ ） （ ｙ 、 ｚ は 任 意 ）
Ｏ ｙ ＜ ３ 、 ０ ｚ ＜ ３ よ り 、 交 点 条 件 を み た す 解 （ 射 影 図 ） の 個 数 は ９ 通 り で 階 数 は ９ で あ る 。
ｐ ＝ ６ の と き 、 ② は 自 明 な 等 式 に な り 、 ① よ り 解 は パ ラ メ ー タ が ２ つ の 一 次 方 程 式 と な る 。
ｘ ｙ ＋ ２ ｚ （ ｍ ｏ ｄ ３ ） （ｙ、ｚは任意）
Ｏ ｙ く ６ 、 ０ ｚ ＜ ６ よ り 、 交 点 条 件 を み た す 解 （ 射 影 図 ） の 個 数 は ３６通りで階数は３６である。
以 下 同 様 。
３ 。 ８ の 宇 結 び 目
次 に ８ の 字 結 び 目 に つ い て 、 そ の 階 級 を 計 算 し て み ま し ょ う 。 各 弧 の 重 み を 次 の よ う に と り ま す。
エ
Ｃ。
Ｄ
２。
練 習 ２ ． １ 図 ２ で 表 さ れ た 結 び 目 の ２ を 法 と し た 階 級
答え（
）
練 習 ２ ． ２ 図 ２ で 表 さ れ た 結 び 目 の ３ を 法 と し た 階 級
答 え （ ）
練 習 ２ ． ３ 図 ２ で 表 さ れ た 結 び 目 の ４ を 法 と し た 階 級
答え（ ）
４
練 習 ２ ． ４ 図 ２ で 表 さ れ た 結 び 目 の ５ を 法 と し た 階 級
答え（ ）
練習２．５８の宇結びＦ：１はほどけるかほどけないか
答え（
｀●・
二
｀ ｙ
二
）
で 、 い ま ま で の 計 算 結 果 を ま と め て み ま し ょ う 。
結び目の階数の表
●●●
とする数
結び目 ２ ３ ４ ５
ほどける結び目 ２ ３ ４ ５
ひとえ結び目 ２ ９ ４ ５
８ の 字 結 び 目 ２ ３ ４ ２５
こ の 表 を 見 る と ほ ど け る 結 び 目 、 ひ と え 結 び 目 、 ８ の 宇 結 び 目 は そ れ ぞ れ 違 う 結 び 目 で あ る こ と が わ か り ま す。
な ぜ な ら ば （ ） で あ る か ら で す 。
４ 。 結 び 目 の 不 変 量 の 性 質
（１） ｐ を 法 と し た 階 数 は 必 ず ｐ で 割 り 切 れ る
結 び 目 の 射 影 図 に 適 切 な 重 み が つ い て い る も の を 考 え ま し ょ う 。 各 点 の 交 点 条 件 は
ʻ １・
；・１
‥●
Ｘ
２．ｚｌ・、１．そ２．（ｈ・・ＪＩ））
で し た 。 こ こ で 、 各 弧 の 重 み に ｔ （ Ｏ ｔ ｐ １ ） を 足 し た も の を 考 え て み ま し ょ う 。 す る と 、 交 点 条 件 は
｜
｛１十ｔ
１十ｔ
ｘ．ｔｔ
２（ｘ＋ｔ） （ｙ＋ｔ）＋（ｚ＋ｔ）（ｍｏｄｐ）
２ｘ＋２ｔ ｙ＋ｚ＋２ｔ（ｍｏｄｐ）
２ｘ ｙ＋ｚ（ｍｏｄｐ）
ｔ の 選 び 方 は Ｏ か ら ｔ １ ま で の ｐ 通 り あ る の で 、 適 切 な 重 み が １ つ 得 ら れ れ ば 、 ｐ 個 の 適 切 な 重 み が 得 ら れ る 。 よ っ て 階 数 は ｐ の 倍 数 と な る 。
（２） ２ を 法 と し た 階 級 は つ ね に ２ で あ る ２ を 法 と し た と き の 交 点 条 件 は
２ｘ ｙ＋ｚ（ｍｏｄ２）
Ｏ ｙ＋ｚ（ｍｏｄ２）
ｙ ｚ（ｍｏｄ２）
こ れ は 、 交 点 の 下 を 通 る 弧 の 重 み は ２ を 法 と し て 合 同 で な け れ ぱ な ら な い と い う こ と を 表 し て い る 。 ひ と つ の 弧 に 重 み を つ け れ ば そ の 隣 の 弧 も 同 じ 重 み と な り 、 次 々 と 弧 の 重 み は 等 し く な っ て い く 。 ゆ え に 、 す べ て の 弧 の 重 み は 等 し く な る 。 孤 の 重 み の 選 び 方 は ２ を 法 と し て い る た め 、 Ｏ か １ の ２ 通 り 。 し た が っ て 、 ２ を 法 と し た 時 の 階 級 は つ ね に ２ で あ る 。
