システム制御工学 B レポート課題 (2014 年 6 月 20 日出題)解答 問題

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(1)

システム制御工学 B レポート課題 (2014 年 6 月 20 日出題)解答 問題

 





 





 



2

1

), 1 ( 1 2

0 ) 1 1

( x

k x u a k

k x x

x ( )

で表わされる離散時間システムに対し,状態フィードバック u(k) f1x1(k)f2x2(k)

を施して,系の特性方程式の根をすべて0となるようにしたい.

1) この系の可制御性を調べよ.

可制御性行列C(A, b)は,

 

 

 



 

 

 



 

 

 

 

 0 2

1 1 1 1 2 0 1 1 , 1

) ,

( a a

Ab b b A C

であるから,可制御であるためには 1 0 2

1 1

det 1   

 

 

a a

より,a1

2) 特性方程式の根がすべて0となるようにf1, f2を定めよ.また,そのようなf1, f2が求まるた めのパラメータaに関する条件が1)の条件と一致することを示せ.

特性方程式の根がすべて0となる特性多項式は(z) z2であるので,アッカーマンの方 法により,

   

    

1 3 4

1 1 4

0 3 1 1 1 1

1 4

0 3 1 1 1

1 2 1 1 1 0

2 0 1 2 0 1 1 0

1 2 1 1 1 2 0

0 1 2

1 1 1 1 0

1 2 T

 



 

 

 



 



 

 



 



 



 

  

 





 

 

 

 

 

a a a a

a a

a

a a

a a

a f a

上式の分母が0とならないことと可制御の条件が一致している.

3) このシステムでy(k)

 

1 1x(k)およびa2とする.このシステムのオブザーバをその極が 2

, 1 2

1 となるように設計せよ.

特性方程式の根が 2 , 1 2

1 となる特性多項式は

 

2 , 1 )

(   2 

z z である.(A,c)に対応

する双対システム ~)

~, (A b



 



 

 





 



 1

) 1

~ ( 2 , 0 1 2

0

~ 1 T T

T

T b c c

a A a

A

(2)

のように考える.可制御性行列 ~)

~, (A b

C

 

 

 



 

 

 



 

 

 

 

 1 2

1 1 1 1 2 0 1 1

~ 1 ,~ ) ~ , ~ (~

a b a

A b b A C

である.状態フィードバック ~f

は,アッカーマンの方法により,

 

 

 

2 2

2 2

1 2 T

) 2 ( ) 2 3 ( ) 1 1 ( 1

) 2 ( ) 2 ( ) 1 (

0 )

1 1 (

1 1 1

2 0 1

2 0 1

1 1

1 2 1 1 1 0

2 0 1 2 1

1 1 1

~ 0

 



 

 

 



 

 

 

 

 

 





 

 

 

 

 

a a

a a a

a a

a a

a I f a

したがって,求めるオブザーバのゲインgは,

2 , 1

2 

 

a なので,

T T

T 2 2

4 3 4 5 4

9 4 15 3 1

2) 2 1 ( 2) 2 1 3 ( 2 2) 1 1 3 ( 1

~





 

 

 



     

f g

である.上記が正しいことは次のように確かめられる.

   

2 , 1 2 1 2

1 4

1

16 9 16

5 4 5 4 1 4

3 4 3 4 5 4

1

4 5 4

3

4 3 4 1 det 4 2 3 4

3

4 2 5 4 1 5 det

1 1 4 3 4 5 2 0

2 1 0

det 0 det

2 2

2 T

確かに,根は

 

 

 

 

 

 



 

 



 

 





 





 











 





 

 

z z

z

z z

z z

z z

z z

z gc z

A zI

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