2次 関数 練習
0 2 次 関数 υ= ″2 ̲ 2 ″十α( αは定数)の グラフが″軸と2点 A(α,0),B(β,0)で 交わるとき,
‑ 3 ≦α≦‑1と なるためには, アイウ ≦α≦匡 ヨロでなければならない。ただし,α<βである。
2 ) ″ の 2 次関数 / ( 2 ) = ″2 ̲ 物″十α2+5α+2(α は定数)に ついて,す べての実数″に対 して /(″)≧0と な るようなっの値の範囲は
導妻計 ≦α≦匡□である.つ ぎに,放 物線 g=穴 ″)の 頂点をPと するとき,Pの g 座標 が最大 とな るの は α=橿
計 の ときであ る.
0定 義域が ‑1≦ ″≦2で ある″の 2次 関数 g=物 ″2̲1坊 ̲。 (αは定数)が ある。この関数の最大値が 11で
あるようなαの値は, α= チ ツ , 匠□である。ただし匡ヨ< テ トとする.
3角 比 と図形 練習問題
0以 下の匿□,匡 ]に は≦または≧が入る。≦ならば0, 右図の 3角形で,α =″(b ttc)とすると,
≧な らば 1を 解答欄 (省略)に マークせよ.
cosA= ∴ cosA≧□ 一□ ′
よっこ と征 十 号 暢 合 は A □ □ 比 ′= 督 場 合 は■回 抑 °
ざ ミ
監壁 き ,岳 せ雰 蕃雪 猛及 監場 も ダ 夏 の と き で あ な
m ) は ∠畑 c = 腎 , △ 畑 C の 外接 円の半 径 = 昌 であ 社
(2)点 Dを △ABCの 外接 円上 に とり,4角 形 ABCDの 面積 を最大 にす るとき,AD=姪
乗撃辛 乳
4角 形 ABCDの 面積 =コ サ ロ でぁる.
個数 の処理 練習問題
00か ら9ま での 10個 の数字か ら4個 を選んで一列に並べて作 られる順列 は,全 部で 的P4通 りある。その うち に,少 な くとも 1つ が偶数であるものは アイウエ 通 りあり,奇 数よりも偶数のほうが多いような順列 は サ ー オカキク 通 りあ生 まん m L 通 り制 頂列のうちL ど の隣 りあう2 数についても 郎 が異なるも の」 は 「奇偶が同 じであるもの」 よりも ケコサ 通 り多い.
2)正 15角形の頂点 に 1,2,3,… ,15の 番号を右 まわ りにふ る.
(1)15頂 点か ら3頂 点を選んで,そ れ らを結ぶ 3角 形が 2等 辺 3角 形 (正3角 形 も含む)に なるものがい く つできるか数えてみよう。まず,頂 点 1を Aと し,他 の 2頂 点を B,Cと して,AB=ACと なるような 2等 辺 3角 形 ABCは 匠コ 個あるか ら,□ ×15と数えると,正 3角 形であるものを 区コ 重に数えることにな
り,正 3角 形 は全部で 区ヨ 個あるか ら,求 める個数 は,次 のようになる。
□ ×1 5 ‑ [ □X [ ヨ = オ カ ( 個)
(2)1〜 15の 15頂点か ら4頂 点を選び,そ れ らを結ぶ 4角 形が等脚台形 になるものがい くつできるか数えて みよう。 まず,出 来あがる等脚台形 は長方形ではない。長方形でない等脚台形 は 1本 の対称軸を持つが, こ こではその対称軸 は全部で キク 本考え られる。その うちの 1本 を決めると,そ れを対称軸に持つような等 脚台形 は ″ Cγ (個)の 形で数え られ,″ =区 コ ,γ=匡 ∃ であるか ら,求 める等脚台形の数 は
″ Cァ × キク =匝彊璽ヨ(個)
0サ イコロを 3回 投げるとき,63通 りの目の出方のうち,出 る目の数を順 にα,め,cと して, (1)α bcが 2の 倍数 となる出方 は アイウ 通 りある。
(2)α う cが 6の 倍数 となる出方 は エオカ 通 りである。
(3)α う oが 4の 倍数 となる出方 は キクケ 通 りである。
□ 練習問題
の 枚
は
き ︐
率 と 翔
卵 帥 む
初 幼
う
も ︐
の て 枚 い 2
陣 粧
ド
︐り
一 配 力 が の れ 枚 ぞ 2 れ の そ 人 の 肋 玖
● 表, 裏 が同 じ確率
号 で出る 1 枚のコインを 6 回続 けて投げるとき, 同 じ面が た回続 けて出る ( 角+ 1 回 は続 かない)確 率をったとすると,
九 = る 九二 昌 オ 呂 ル 増
01,2,3の カー ドが 2枚 ずつある。 これ ら6枚 のカー ドをよく切 って,3人 に 2枚 ずつ配 るとき, m ) ど の人の 2 枚のカー 出め いて転 その 2 枚が同 じ数字のカー ドである確剰 ま
昌 であ生
カー ドの数字がすべて異なる確率 は
橿計 である。
0当 た りくじ3本 ,外 れ くじ4本 の 7本 の くじを 7人 が 1本 ずつ引 くくじ引きで, 1本 目の当た りくじを引 く 人を 1等 ,2本 目の当たりくじを引 く人を 2等 ,3本 目の当たりくじを引 く人を 3等 と決める。
( 1 ) 最 後 に引 く人が 3 等 となる確率は
信計 である。
( 2 ) 2 等 になる確率が最 も高い人 は, 日 番 目に引 く人で, そ の確率 は
進轟卦 である。
0100円 ,200円 ,300円 ,4∞ 円,500円 ,600円 ,700円 ,800円 と書 いたカー ドが 1枚 ずつ計 8枚 ある。 こ れ ら8枚 か ら,2枚 のカー ドを無作為に選んで場に出 して,そ れによって,次 の 2通 りの賞金を定める方式を考 える。
方式 1.場 の 2枚 の うちの大 きいほうの金額を賞金額 とする。
方式 2.場 の 2枚 の うちの小 さいほうの金額の 2倍 を賞金額 とする.
(1)方 式 1の 期待金額 は アイウ 円で,方 式 2の 期待金額 は エオカ 円である.(1円 未満の端数が出る場合 は,そ れを切 り捨てて答えよ.)
(2)800円 のカー ドを 0円 に変えて (他の 7枚 はそのまま),方 式 1と 方式 2に よる期待金額を比較す ると方 式 匠画 のほうが クケコ 円大 きい。(2つ の差に 1円 未満の端数が出る場合は,そ れを切 り捨てて答えよ。)
あ る
□一□
で率
よの 確
で そ 人 番
目□
人
ま も低 最
カ
率
る
確
に な
ま
等
た
等
ま囲 練習問
0初 項が 50の等差数列 において,第 9項 か ら第 18項 までの和を 0と する。 このとき,公 差 は アイ であ り,
初めて負の数となるのは第 ウエ 項である.よ って,初項から第匠2□項までの和が最大となり,その最大値
は キクケ である.
0等 比数列 {α ″}の 初項か ら第 ″項 までの和を S″とす るとき,S10=100,S20=300で ある.こ のとき,公 比を
″ と する と″ + 1 で , 端= チ 罷 彗 些 十 である か稗 0 = □ である 。すると軌 0 = カ キク ケである 。
0等 差数列 {α ″}と 等比数列 {う ″}は ,
αl=う1=α ;α7=う7=64α ;α″>0, う″>0(1≦ ″≦7)
をみ た して い る。 この とき, αl か らα7 までの和 S と , D l か らう7 までの和 T と の大小 を比 べ よ う.
ま ず , S = 正 馨許α で ぁ り , { う ″ } の 公 比 を γ と す る と , γ = □で あ る か ら , T = カ キ クα で あ る 。
したがって,Stt Tである:区コの選択肢…①>,② =,③ <.
a)右 の表 のように,奇 数を順 々に並べてい く。(″‑1)行 日までにある奇数の個数 は 1
″(先
罫 型 上個であるか ら,″ 行日の左端の数は回 ″牛 オカ ″十□ である。
7 9 113 5よって, 1 9 9 1 が少行日の左端からα番目にあるとすると, p は
1 9 9 1 ≧ □ p 2 + オ カ p 十 匠□ をみたす最大の整数であるから, p = ク ヶ であり,
? = 匡 ヨである。また, p 行 目の総和は サシスセツ である。
O占(2″ ‑1)22″ ‑1=ア イ十空里重型 0次の 和S″ =キ十 ギ持十…十
1 + 掛 … 十 甲
を求めてみよう。
″2+□ ″十 日
0 捌 協″} は α″十 浄 た= 望 宅 豊 0 ≧ 0 ) 輔 たしてぃる.
漸化式 物″ +1 α″=匠 コ ″十匠□ (″≧0)が 成 り立つから,う″=α″+1 α″(z≧0)で 定義される数列 (う ″}に ついて,漸 化式 2b″ +1 b″=圧 ヨ (″≧0)が 成 り立つ。また,
あ =+妻 計 で あ る か らあ =□一 ぎ竿∽ ≧ ので あ 生す る と
13 15 17 21 23 25
一般に, 畠 五
号 ⊇ 上= 翌 埜 旦
饉 十 匡 坐 だか ら,
S ″ = 日島対覇は一亨韮卦)=□(桂 郵 ―
α ″ =日″ 一 回十 ギ 雪 雪 早 (″ ≧ 0)
数 と式 練習
0 (1)(2+採 D3=ァ ィ ̲(2‑「 )3により,(2+「 )3の整数部分は, ウエ である。
(2)α が正の有理数ならば,次 式はα2+オ カ α十匠□ となるから有理数である.
(1+丁2+丁万)(1‑″ 十張ア)(1+丁2‑押傷 )(1‑丁2‑張 ;)
0 牛 , 挙 がと軸 然数となるような自然数あ ? の組のれ 用 であるも例 ま□ 組あ, p > αであるものは匡 コ 組ある。
0 正 数 ″, g が 舛 g = 1 を みたす とき, 孝 十
手 のS / J ヽ 値 は □ で あ る。
a)集 合 A,B,Cに つ いて,次 の E王]に あて はまる言葉 を下 の 1,2,3,4か ら選 べ.
(1)AUB⊂ A∩ Bで ある ことは,A tt Bで あ るために □
(2)す べ ての Cに 対 して A∩ C⊂ B∩ Cで あることは,A⊂ Bで あるために 日 (3)A∪ C⊂ BuCと な る Cが あ ることは,A⊂ Bで あ るために 匡コ
1 必要かつ十分である。 2 必要であるが十分ではない。
3 +分 であるが必要ではない. 4 必要でも十分でもない
3角 関数 練習問
0(1)cos255° =望 零肇芦亘
(2)Sn15° 十cos15° 十tan15° + 1 =ソ征≡]十□
(3)s諸 号 ≧ 母 轄 多 =十の と き ,Sn郷 =留
(4)関 数 υ=4sirlr+4co財+8sin″ co財 のとり得る値の範囲は コサ ≦g≦□ ″ 十□
(5)‑180° ≦″≦180° で,siw十 採孔o並≧1を満たす″の範囲は セソタ °≦″≦匠 ヨ ° 0 孝 = θとおくと, 協n 萄°二卑 撃 偽n θ > 0 ょ り 協n θ‑ 1 + ン ロ
これより,2次 方程式 ″2̲坊tan2θ ̲2tanθ =0の 解は,″=日 ‑2予征画土●征亘亘卜□
0 0 ° < ″< 9 0 ° とするとき,
ω 並 刊 ぃ務 を満た力 舶 は 挽 = 垣 誕事
L " ∞ 勤 = 王 子垂零
I
(2)cos統 =cos坊 を満たす ″の値 ″2は '2=オ カ °である。次に,co財 2=す とおき与式を変形すると 4 デーロ メーロ酔 + 1 = 0 と なり, 0 < サ< 1 に 注意すると, ′= c o 財2 三―
岩 彗 亘
a)o。<″<9oOにおける関数o(″ )=
s拘成十sin2″十sin3rttsinィ鱗において,す=co財 とお くと, o ( す ) = ロ デ十日 メ十 ウエ ″となるから, o ( す ) のS / 1 ヽ 値は
翻
0 関 数 穴 つ = m 研 一c ぃげ + ● d 配 一韻n 銃ン は変形 して 持 ) = 区 コc い物一
橿 動的 + 嬉
撃 計 と書 け