一般相対論的運動方程式
曲がった時空での微分:絶対微分
曲がった時空での4元力学量
ニュートンの運動の法則の拡張
自由落下運動と測地線の方程式
光の運動方程式
一体問題の運動方程式
多体問題の運動方程式:
EIH
方程式 目次へ
絶対微分
曲がった時空における全微分の拡張
(通常の)全微分 d はテンソル化できない
D d
D
平行移動時の時空 の曲がりによる変
化絶対微分
=全微分-平行移動変化
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D
全微分とテンソルは相容れな い
一般座標変換 3 ˆˆ 0
u
E u
a
3 ˆ ˆ
ˆ ˆ
0
3 ˆ
ˆ 0
d d d
d
a a
a
u u E E u
E u
全微分の計算
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平行移動変化
ある量の平行移動変化
– 量そのものが小さければ小さい – 座標変化が小さければ小さい
双線形形式
3 3
0 0
d
A
A x
クリストッフェルの
記号
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クリストッフェル
Chirstoffel
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クリストッフェル記号
テンソルではない
– 適当な座標変換で(1点で)0にで きる
時空の接続係数3
0
2
g g
g g
x x x
3 0
g g
逆計量テンソル
重力加速度もどき
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曲がった時空での4元力学量
固有時
固有(静止)質量
4元座標
4元速度
4元運動量
4元加速度
d d u x
D d a u
p
mu
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運動の法則の拡張
ニュートン
運動量の時間微分=力
一般相対論
4元運動量の固有時間絶対微分=4元力
D d
p f
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自由落下運動
自由落下運動=重力のみ
重力は4元力ではない
4元力なし=測地線運動
光:長さ0
粒子:時間的
タキオン:空間的
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D 0
d
p
測地線の方程式
曲面上の幾何学:ガウス
測地線の起源:
– 地球楕円体面上の「直線」
測地線の方程式
2 3 3
2 0 0
d d d
d d d 0
x
x
x
時間的 (timelik e)
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光の運動方程式
ポスト・ニュートン近似+3次元化
2d 1 2 ,
dt
U
c
v v a
a v a
x
質点系重力場のときの近似解
重力レンズ現象の基礎
– 光の曲がり – 光の遅れ
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一体問題の運動方程式
シュバルツシルト計量の PN 近似
2
2 2
2
d 2 dt 1
2 1
c r c
c
v v
a v a v
ローレンツ力との類似
近点の永年変化
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r
3
a r
EIH 運動方程式
Einstein, Infeld, Hoffmann (1938)
最新の月・惑星運動理論の基礎方程式
3 3
2 3
,
d d
4 3
2
KJ J KJ KJ
K KJ KJ
J K KJ J K KJ
J L
JL J K L K J KJ JL
A
t r r
c r r
b r
v r v
r
次へ
r
KJ x
K x
J, v
KJ v
K v
JEIH 運動方程式(続
き)
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2 2
2
2 3 2
,
2 2
2 2 2 1
1
2 1 3
2 2
2 1 1
K KJ
L K KL KJ
KJ JL J KJ
L
L K J JL JL KJ
K K J J
A c r c r
c r r c r
r r v r
v v v v
2 1 2 1
KJ