Defects in Open String Field Theory

Defects in

Open String Field Theory

小路田 俊子

京都産業大学 益川塾

2016.2.23 SFT2016

In collaboration with

C.Maccaferri (Torino), T.Masuda(Nara Women’s Univ),

M.Schnabl(ASCR)

World-sheet Defect (佐藤さんのお話)

• CFT → BCFT (D-brane)→ DCFT

• 特に tension less defect (topological defect) を考える

• Topological defect は boundary condition (D-brane) を変えられる → open string field の古典解に関係するのでは

Cubic String Field Theory

• 運動方程式 𝑄_𝐵𝛹 + 𝛹 ∗ 𝛹 = 0

• 𝑄, 𝐷 = 0, 𝐷 𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐷𝐴 ∗ 𝐷𝐵 ⇒ Ψ = 𝐷Ψ_sol もまた解 このような演算 D が topological defect と見なせる

• Ising CFT をCSFT に乗せて実践する Talk Plan

1. Review of the (closed string) defect 2. Open string defect

3. defect in open string field theory

概要

defect

lim

𝑦→0

𝑇

1

𝑥 + 𝑖𝑦 − 𝑇

1

(𝑥 + 𝑖𝑦) = lim

𝑦→0

𝑇

2

𝑥 − 𝑖𝑦 − 𝑇

2

(𝑥 − 𝑖𝑦)

𝐂𝐅𝐓

_𝟏

𝐂𝐅𝐓

_𝟐

B(CFT

₁

⊗ CFT

₂

)

Un-folding World-sheet defect は二つの異なるCFT を分ける一次元のオブジェクトとして表 される。𝑇 − 𝑇 がdefect line で連続的ならば世界面は共形対称性を持ち、

defect は conformal defect と呼ばれる

右辺ゼロが conformal boundary condition (D-brane). それの自然な拡張 あるいは、un-folding trick を使って、CFT₁ ⊗ CFT₂ のconformal boundary と 見なしてもよい

𝑇₁ 𝑥 = 𝑇 ₁(𝑥), 𝑇₂ 𝑥 = 𝑇 ₂(𝑥) “totally reflective” 𝑇₁ 𝑥 = 𝑇₂(𝑥), 𝑇 ₁ 𝑥 = 𝑇 ₂ 𝑥 “totally transmissive” 簡単な解

Topological defect

Tensionless

ここでは完全透過型を考える。理由は後で分かる。 𝑇₁ 𝑥 = 𝑇₂(𝑥), 𝑇 ₁ 𝑥 = 𝑇 ₂ 𝑥 この defect を演算子 D で表すと 𝐿_𝑛, 𝐷 = 𝐿 _𝑛, 𝐷 = 0 (∀𝑛)

D は operator insertion あるいは他の defect にぶつからない限り自由に動かせ る。(動かしても相関関数を変えない)

→ トポロジカル

𝐂𝐅𝐓

_𝟏

𝐂𝐅𝐓

_𝟏

𝐿_𝑛, 𝐷 = 𝐿 _𝑛, 𝐷 = 0 (∀𝑛) ⇔ 𝐷𝑑 = 𝑛_𝑖𝑑

𝑖

𝑃𝑖

シューアの補題より、𝐷はVerma modules 𝑉_𝑗 × [𝑉 _𝑗] のprojection 𝑃_{𝑗 の} 線形結合で書かれる

係数 𝑛_𝑖𝑑 は、Modular inv から S-matrix と関係付けられる [’00 Petkova and Zuber]

𝐷_𝑎 = 𝑆𝑎𝑖 𝑆_0𝑖 𝑃𝑖 𝑖 𝐷 ≪ 𝐵|| (※以後 Diagonal minimal model に限る)

Topological defect

||𝐵_𝑎 ≫= 𝑆𝑎𝑖 𝑆_0𝑖 |𝑖 ≫ 𝑖

𝐿_𝑛 − 𝐿 _−𝑛 ||𝐵_𝑎 ≫= 0 and Modular inv c.f ) boundary state

𝐷_𝑑𝐷_𝑐 = 𝑁_𝑑𝑐 𝑒𝐷_𝑒 𝑒 　 𝐷_𝑑||𝛼 ≫= 𝑁_𝑑𝛼𝛽 ||𝛽 ≫ 𝛽 Just like Fusion Rule

Topological defect

𝐷_𝑎 = 𝑆𝑎𝑖 𝑆_0𝑖 𝑃𝑖

𝑖 より、defect 同士の代数、defect の boundary state

への作用が分かる

Boundary を 引きはがすと defect になる

𝑎 ₁

𝑎

=

𝐷_𝑎2 = 1 : group like defect → symmetry 𝐷_𝑎2 = 1 +(group like defect) → duality defect and symmetry/duality

開弦の場の理論におけるdefect

Open string filed に作用する operator “D “ を導入する。

上記を満たす演算子を構成できれば 与えられた古典解にD を作用させて、新しい古典解をつくることができる

D

Ψ

_𝑎→𝑏sol

= Ψ

_{𝐷𝑎→𝐷𝑏}sol 𝑄_𝐵𝛹 + 𝛹 ∗ 𝛹 = 0. • 𝑏_𝑛, _D = 𝑐_𝑛,_D = 0 • 𝑄_𝐵,_D = 0 • D Ψ ∗ Φ = _D Ψ ∗ _D Φ OSFT運動方程式 古典解 Ψ_𝑎→𝑏 BCFT_𝑎 から BCFT_𝑏 へシフトする解 ⟺ 𝐿_𝑛,D = 0 “topological”

D-brane の種類を変えたり、D-braneの生成を行う

→ defect で OSFT の古典解を構成できるか

𝐷_𝑑||𝛼 ≫= 𝑁_𝑑𝛼𝛽 ||𝛽 ≫ 𝛽 𝑎 𝑑 _𝑎′

Open string defect

D

Topological 𝐿_𝑛,D = 0 なのでVirasoro index は同じ Bulk field に作用する defect はprojector の線形結合で書けた

𝐷: ℋ𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑 → ℋ𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑

一方、 boundary field への作用は、defect が境界条件を変更するために projection では無い

: ℋ(𝑎,𝑏) ↛ ℋ(𝑎,𝑏)

Defect によって生成される新しい境界条件は、Fusion rule で与えられ、

fundamental b.c の足し合わせである。よって defect でマップされたboundary filed は fundamental b.c を持つ場の線形結合で書かれるだろう

D 𝑑𝜙_𝑖(𝑎𝑏) = _𝑎′_{∈𝑑×𝑎}𝑋_𝑖𝑎𝑑𝑎𝑏′_𝑏′

𝑏′∈𝑑×𝑎

𝜙_𝑖 𝑉_𝑗 𝑑 𝜙_𝑖 𝑎 𝑏 𝑎′ 𝑏′ 𝑑 𝑎′∈𝑑×𝑎 𝑏′∈𝑑×𝑏

Open string defect

D

Bulk field に作用する defect はprojector の線形結合で書けた 𝐷: ℋ𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑 → ℋ𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑

一方、 boundary field への作用は、defect が境界条件を変更するために projection では無い

: ℋ(𝑎,𝑏) ↛ ℋ(𝑎,𝑏)

Defect によって生成される新しい境界条件は、Fusion rule で与えられ、

fundamental b.c の足し合わせである。よって defect でマップされたboundary filed は fundamental b.c を持つ場の線形結合で書かれるだろう

D 𝑑𝜙_𝑖(𝑎𝑏) = _𝑎′_{∈𝑑×𝑎}𝑋_𝑖𝑎𝑑𝑎𝑏′_𝑏′

𝑏′_{∈𝑑×𝑎}

𝜙_𝑖(𝑎′𝑏′) where 𝜙 𝑎,𝑏 ∈ ℋ_open(𝑎𝑏)

Comments

• summation は境界条件に対する和なので ”direct sum” (下図参照) • 一般的に、defect の作用はfundamental b.c にならず、それらの線形和 になる。つまり行列サイズが増えて行く 𝜙(𝑎,𝑏) 𝑎′ ⋮ ⋯ 𝑋𝜙 𝑏′ D 𝑑 D 𝑐 𝑎′′ 𝑏′′ ⋮ ⋯ ⋯ 𝑋𝑋𝜙⋮ D 𝑑𝜙_𝑖(𝑎𝑏) = 𝑋_𝑖𝑎𝑑𝑎𝑏′_𝑏′ 𝑎′∈𝑑×𝑎 𝑏′∈𝑑×𝑎 𝜙_𝑖(𝑎′𝑏′) D

Open string defect

D

Preservation of star algebra

D 𝑑 𝜙_𝑖(𝑎𝑏)(𝑥)𝜙_𝑗(𝑏𝑐)(𝑦) = D 𝑑𝜙_𝑖(𝑎𝑏)(𝑥) D 𝑑𝜙_𝑗(𝑏𝑐)(𝑦)

[cf. ‘03 Graham and Watts ]

|Ψ >∗ Φ > = 𝛼_𝐼𝑖𝐿_−𝐼𝜓_𝑖 0 0 >∗ 𝛽_𝐽𝑗𝐿_−𝐽𝜙_𝑗 0 |0 > ~ 𝑉_𝐼𝐽𝐾𝐿_−𝐾 𝑒𝑣𝑚𝐿−𝑚 𝜓_𝑖 𝑥 𝜙_𝑗 𝑦

係数 𝑋_𝑖𝑝𝑞𝑑𝑎𝑏 と、boundary structure constant 𝐶_𝑖𝑗𝑘𝑎𝑏𝑐 の間の関係を得る 𝐶_𝑖𝑗𝑎𝑏𝑐 𝑘 = 𝐹_𝑏𝑘 𝑎 𝑐 _{𝑖 𝑗 を用いて書き直す}

Star product に対してdefect の作用が分配則を満たすように要請 D Ψ ∗ Φ = _D Ψ ∗ _D Φ

topological defect の場合、primary 場同士のOPEを調べれば良い Star product ∼ OPE

𝑋_𝑘𝑎𝑑𝑎𝑐′_𝑐′𝐹_𝑏𝑘 𝑎 𝑐 𝑖 𝑗 = 𝐹𝑏′𝑘 𝑎 ′ _𝑐′ 𝑖 𝑗 𝑋𝑘𝑎𝑑𝑎𝑏′𝑏′𝑋𝑘𝑏𝑑𝑏𝑐′𝑐′ 𝑏′∈𝑑×𝑏 　… (1)

F-matrices の Pentagon identity と似ている 𝐹_𝑏𝑘 𝑎 𝑐 _{𝑖 𝑗 = 𝐹𝑏}′_𝑘 𝑎

′ _𝑐′

𝑖 𝑗 𝑋𝑘𝑎𝑑𝑎𝑏′𝑏′𝑋𝑘𝑏𝑑𝑏𝑐′𝑐′ 𝑏′∈𝑑×𝑏

Preservation of star algebra

𝑋_𝑖𝑎𝑑𝑎𝑏′_𝑏′=𝑁(𝑑,𝑎,𝑎 ′₎ 𝑁(𝑑,𝑏,𝑏′) 𝐹𝑏𝑎′ 𝑖 𝑏′ 𝑎 𝑑 Pentagon identity はゲージ対称性を持つので、(1) の解は不定の係数 N を含む Zwist invariant 𝑋_𝑖𝑎𝑑𝑎𝑏′_𝑏′= 𝑋_𝑖𝑏𝑑𝑏𝑎′_𝑎′ を要請すると 𝑋_𝑖𝑎𝑑𝑎𝑏′_𝑏′ = ± 𝐹_𝑎𝑏′ 𝑖 𝑎 ′ 𝑏 𝑑 𝐹_𝑏𝑎′ 𝑖 𝑏 ′ 𝑎 𝑑 𝐹_𝑏𝑎′ 𝑖 𝑏 ′ 𝑎 𝑑 D 1 should be identity

D 同士の間の Fusion 則を調べる。bulk field に作用する 𝐷 は 𝐷𝑑𝐷𝑐 = 𝑁𝑒 𝑑𝑐 𝑒𝐷𝑒. ところがD は一般にこれを満たさない 境界条件の“ルート”(𝑎, 𝑏)→ (𝑎𝑐 ′, 𝑏′)→ (𝑎𝑑 ′′, 𝑏′′) と(𝑎, 𝑏)→ (𝑎𝑒 ′′, 𝑏′′) を結びつける 行列U が必要になる D 𝑑D 𝑐𝜙_𝑖 𝑎→𝑎′→𝑎′′ 𝑏→𝑏′→𝑏′′ = 𝑈_{𝑑𝑐 D} 𝑒𝜙_𝑖 𝑒∈𝑐×𝑑 𝑈_𝑑𝑐−1 𝑎→𝑎′→𝑎′′ 𝑏→𝑏′→𝑏′′ 𝑈_𝑑𝑐 𝑎→𝑎′→𝑎′′ 𝑒; 𝑎→𝑎′′ = 𝑈_𝑑𝑐−1 𝑒; 𝑎→𝑎′′ {𝑎→𝑎′→𝑎′′} = 𝐹_𝑎′_𝑒 𝑑 𝑐 𝑎′′ _𝑎 𝐹𝑒𝑎′ 𝑎 ′′ _𝑑 𝑎 𝑐

Fusion algebra of

D

𝜙(𝑎,𝑏) 𝑎′ ⋮ ⋯ 𝑋𝜙 𝑏′ 𝑎′′ _{⋯ 𝑋𝑋𝜙}⋮ 𝑏′′ D 𝑑 D 𝑐

𝜙_𝑖(𝑎𝑏)_𝑈−1 𝜙_𝑗(𝑏𝑐)

一つの bcco に対する作用を考えると、U-matrix が必要になるが、相関関数全 体を考えれば、U-matrix はキャンセルする。これは U matrix が Virasoro label に依存せず、片側の b.c のみに依存するためである。B.c がつながるように場 が並んでいれば、隣同士で相殺する。

この事実は closed string defect で fusion rule が成り立っていることからも望ま しい性質である。

Fusion algebra of

D

𝑎 𝑏 𝑐

𝑈

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 𝐹_{𝑝𝑞 𝑏 𝑑} 𝑎 𝑐 𝑞 𝑞 𝑝 𝑎 𝑑 _𝑑 𝑎′ 𝑎 𝑑 𝑑 𝑎′ = 𝐹_1𝑎′ 𝑎 𝑑 𝑎 𝑑 𝑎′ 𝑎 𝑑 1 ₌ 𝑎′

Geometrical approach

Topological defect は自由に変形できる

Boundary も defect の一種だということを思い出すと、defect を部分的に boundary に付着させた時、数因子が必要となることが分かる。

これを黒丸で表し junction と呼ぶ。

conformal block と同じ diagram “defect network” を要請してみる

𝑎 𝑎

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑝 𝑞 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑡 𝑟 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹_{𝑝𝑠 𝑎 𝑞 𝐹}𝑏 𝑐 _𝑞𝑡 𝑠 𝑑 𝑎 𝑒 𝐹𝑠𝑟 𝑐 𝑑𝑏 𝑡 𝑠 = 𝐹_{𝑞𝑟 𝑝 𝑒 𝐹}𝑐 𝑑 _𝑝𝑡 𝑏 𝑟 𝑎 𝑒

Geometrical approach

Just like associativity of OPE

𝑎 𝑏 𝑎′ _𝑏′ 𝑑 𝑖 𝑎′ 𝑏′ 𝑖 𝜙_𝑖 𝑎 𝑏 𝑎′ 𝑏′ 𝑑

Defect network は、代数的方法 (star 積に対する分配則)

で求めた D を再現する D 𝑑𝜙_𝑖(𝑎𝑏) = 𝐹𝑑𝑖 𝑎′ 𝑏′ 𝑎 𝑏 𝐹_1𝑖 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝐹_1𝑎′ 𝑎 𝑑 𝑎 𝑑 𝐹1𝑏′ 𝑏 𝑑 𝑏 𝑑 × Junctions = 𝑋_𝑖𝑎𝑑𝑎𝑏′_𝑏′ 𝜙_𝑖(𝑎 ′_𝑏′₎

Geometrical approach

(𝑎′, 𝑏′)成分 =

Ex) Critical Ising model

𝒄 =

𝟏

𝟐

ℎ, ℎ 1 𝜀 𝜎 (0,0) (1 2 , 1 2) (1 16, 1 16) Identity Spin operator Energy density 境界状態 ||1 ≫ ||𝜀 ≫ ||𝜎 ≫ Primary Fundamental b.c (D-brane) の間に伸びる開弦のスペクトラム

1 𝜀

𝜎

𝜀 1

𝜎

𝜎 𝜎 1 + 𝜀

||1 ≫ ||𝜀 ≫ ||𝜎 ≫ ||1 ≫ ||𝜀 ≫ ||𝜎 ≫ D-brane energy 1 1 2 1 2

Ex) Critical Ising model

𝒄 =

𝟏

𝟐

𝜀 × 𝜀 = 1

,

𝜀 × 𝜎 = 𝜎

,

𝜎 × 𝜎 = 1 + [𝜀]

𝐷

𝜀

𝐷

𝜀

= 𝐷

1

, 𝐷

𝜀

𝐷

𝜎

= 𝐷

𝜎

𝐷

𝜀

= 𝐷

𝜎

, 𝐷

𝜎

𝐷

𝜎

= 𝐷

1

+ 𝐷

𝜀

Fusion Rule

Defect Algebra

𝐷𝜀 : group like defect 𝑍₂ symmetry

𝐷𝜎: duality defect Kramers–Wannier (order/disorder) duality

𝜎(z) 𝜎 𝜎 𝜇(𝑧) 𝜀 𝜎(z) 𝜀 𝜀 −𝜎(z)

Defect on open string field

Ψ_𝜎→1を1-brane 上のBCFTを表す古典解とする。そのIsing sector は

Ψ_𝜎→1 = 𝜓₁(𝜎𝜎) + 𝜓_𝜀(𝜎𝜎) の形にかける |Ψ = 𝑎_𝐼𝐽𝐾𝑗 𝐼𝐽𝐾 𝐿 𝐼 −𝐼 |𝜙_𝑗(𝑎𝑏) ⊗ 𝐿𝑅−𝐽|0 ⊗ 𝐿𝑔ℎ−𝐾𝑐1|0 𝑗 (𝑎,𝑏)

Total central charge をゼロにするために(c=51/2)の補助空間を追加する

[‘13 M.Kudrna,C.Maccaferri, M.Schnabl],[’14 M.Kudrna,M.Rapcak, M.Schnabl]

Defect on open string field

𝑄_𝐵𝜓₁(𝜎𝜎) + 𝜓₁(𝜎𝜎) ∗ 𝜓₁𝜎𝜎 + 𝜓_𝜀(𝜎𝜎) ∗ 𝜓_𝜀𝜎𝜎 = 0 𝑄_𝐵𝜓_𝜀(𝜎𝜎) + 𝜓₁(𝜎𝜎) ∗ 𝜓_𝜀𝜎𝜎 + 𝜓_𝜀(𝜎𝜎) ∗ 𝜓₁𝜎𝜎 = 0 𝜓₁(𝜎𝜎) − 𝜓_𝜀(𝜎𝜎) 𝜓1 (𝜎𝜎) ±𝜓_𝜀(𝜎𝜎) ±𝜓_𝜀(𝜎𝜎) 𝜓₁(𝜎𝜎) Ψ_𝜎→1 を運動方程式𝑄_𝐵Ψ + Ψ ∗ Ψ = 0 へ代入すると、 運動方程式は二つのパート分かれる も解である。 D 𝜀 𝜓₁(𝜎𝜎) + 𝜓_𝜀(𝜎𝜎) = 𝜓₁(𝜎𝜎) − 𝜓_𝜀𝜎𝜎 = Ψ_𝐷𝜀 _𝜎→1 = Ψ_𝜎→𝜀 D 𝜎D 𝜎 𝜓₁(𝜎𝜎) + 𝜓_𝜀(𝜎𝜎) = 𝜓1 (𝜎𝜎) 𝜓_𝜀(𝜎𝜎) 𝜓_𝜀(𝜎𝜎) 𝜓₁(𝜎𝜎) = Ψ2𝜎→1+𝜀 数値計算によって、_𝜓1(𝜎𝜎) _{− 𝜓𝜀}(𝜎𝜎)_{は1-brane 解と同じエネルギーを出すことが}

示唆されていた → 𝜀-brane？[’14 M.Kudrna,M.Rapcak, M.Schnabl]

Defect on open string field

Comments

• 𝑄_𝐵,_{D = 0 の意味} 𝑄_𝐵D とD 𝑄_𝐵 では、𝑄_𝐵が作用するヒルベルト空間は違う。 Re: D Ψ_𝑎→𝑏 = Ψ_{𝐷𝑎→𝐷𝑏} 𝑄_{𝐵 のコホモロジーの観点 (モード展開) で言えば、両方の𝑄𝐵は異なる} 様々な D を何度も作用させる → 全てのコホモロジーを始めから用意 • Topological condition は任意の真空上で成り立つものではない 𝑄_Ψ,_{D 𝐴 = Ψ𝑐𝑙} − _DΨ𝑐𝑙 ∗ _{D𝐴 − −1} 𝐴 _{D𝐴 ∗ (Ψ𝑐𝑙} − _DΨ𝑐𝑙) ( −1 𝐷 = 1) • DΨ_𝑐𝑙 周りのBRST charge を考えると 𝑄_Ψ,_{D’ 𝐴 = DΨ𝑐𝑙} − _{D’DΨ𝑐𝑙} ∗ _{D’𝐴 − −1} 𝐴 _{D’𝐴 ∗ (DΨ𝑐𝑙} − _{D’DΨ𝑐𝑙}) Fusion rule で結びつくD,D‘ ならば消える (up to U matrix)

Gauge invariant observable

+ Gauge Invariant Observable (Ellwood inv)

• 𝑊(𝒱, Ψ) はゲージ不変量 [’01 Hashimoto,Itzhaki, ‘01 Gaiotto et al.]

• 開弦から閉弦への転化を表すvertex

• 開弦の場の指定する境界条件を持つ円板上の、On-shell closed string tadpole 𝒱 𝑐₀− 𝐵_Ψ を与える (conjecture) [’08 Ellwood]

𝑊 𝒱, 𝛹 ≡ 𝒱 𝑖 𝑤 ∘ 𝛹(0) _UHP = 𝒱 0 𝑓 ∘ 𝛹(1) _disk 𝑤 𝑧 = 2𝑧 1 − 𝑧2 , 𝑓 𝑧 = 1 + 𝑖𝑧 2 1 − 𝑖𝑧 2 𝑉_𝑗 𝑓 ∘ Ψ(𝑎𝑎) 𝑎 𝑤 ∘ Ψ(𝑎𝑎) 𝑉_𝑗 𝑧 = 1

𝒱: On-shell closed string vertex operator

𝑇𝑟_{𝑉𝑗 D} 𝑑Ψ = 𝑇𝑟_𝐷𝑑_𝑉 𝑗 Ψ 𝜙_𝑖 𝑎 𝑏 𝑎′ 𝑏′ 𝑑 𝑎′∈𝑑×𝑎 𝑏′_{∈𝑑×𝑏} 𝑉_𝑗 𝑧 = 1

Defect が作用したopen string field D 𝑑Ψ でGIO を構成する

𝑉_𝑗 𝑑 Ψ (𝑎𝑏) 𝑎′ 𝑎 𝑏 𝑎=𝑏 𝑎′_=𝑏′

Gauge invariant observable

Consistency check

𝑇𝑟_𝑉𝑗 D 𝑑Ψ = 𝐹_1𝑎′ 𝑎 𝑑 𝑎 𝑑 𝐹1𝑏′ 𝑏 𝑑 𝑏 𝑑 𝑉_𝑗 𝑑 𝑎 𝑞 𝑏 = 𝑎=𝑏 𝑎′=𝑏′ 𝑞 𝐹_𝑎′_𝑞 𝑎 𝑑 𝑏 𝑑 d-network junctions 𝑉_𝑗 𝑑 𝑎 1 = 𝑎 = 𝑇𝑟_𝐷𝑑_𝑉 𝑗[Ψ] ∵ 𝐹1𝑎′ 𝑎 𝑑 𝑎 𝑑 𝐹𝑎′𝑞 𝑎 𝑑 𝑎 𝑑 = 𝛿1𝑞 𝑎′ 𝑉_𝑗 𝑑 𝑎′ 𝑎 𝑏 𝑎′=𝑏′ 𝑎=𝑏 Ψ(𝑎𝑏) 𝑏′ Ψ(𝑎𝑏) Ψ(𝑎𝑏)

Defect network と F matrix の恒等式から証明される

Gauge invariant observable

c.f) Direct check

|𝐵DΨ ~𝑒(𝐿0+𝐿 0) 𝑃 𝑒𝑥𝑝 − 𝑑𝑡 ℒ𝑅 𝑡 + ℬ𝑅 𝑡 ,DΨ = 𝐷|𝐵Ψ ℬ_𝑅, Ψ ℬ_𝑅, Ψ ℬ_𝑅, Ψ ∵ 𝐵, D = 0 Closed string

Conclusion

• Topological defect を開弦の場の理論に導入することを提案した

• Topological defect の boundary field に対する作用を、OPEと交換するよう に構成したところ、F-matrix で表されることが分かった。このdefect の

fusion algebra を調べると、 up to U matrix で成り立つことが分かった。 但し U matrix は相関関数全体ではキャンセルする。

• Gauge invariant observable (GIO) を通して、 D Ψ_𝑋→𝑌 = Ψ_{𝐷𝑋→𝐷𝑌} を確認し た。但し、D は D の closed string counterpart.

• 広いクラスの(B)CFTへの拡張

• Defect を使ったDuality の解析をSFTから解析できるか？ • Topological でないDefect をSFTで解析？

まとめ