Upper and Lower Bounds of the Discrepancy of the Sequence (αn + βnlogn)

Upper and Lower Bounds ofthe lDiscrepancy ofthe Sequence

(伽

+μ

10g乃

₎

GOTO,Kazuo*

l Abstract

We give upper and lower bounds of the discrepancy of the sequencc(α

η

tt

β

p10g婉_).

Key words:Discrepancy,Exponenti』 Sums.

2000 Mathematics Subject Classirlcation,1lL07 or llK31,

2 Lenaュ

mas

The discrepancy DN of the given sequence αl,.中 ,αⅣ iS deined by

DN=墜

鴻 ≦

1卜

地

n:Щ

β一引 ,

whereス

_(〔

α

,β):N)iS the nunber of terns whose fractional part is induded in tα,β)⊂ 10,11.

Lemma l(Erdbs and匂 氏■

hn inequality t2,Chap.2,2.51).F9″

α

,v″

ο

δ

ゲ

ι

ゲ

υ

9ぢ

攪

ι

9_ ♂Cr ηι, υ9んαυ9

DN≦

∴

+争

虐

1畦

烈

引・

Lemma 2(Gototll,TheOrem 3.1)。

_(i)Lcι O≦ α

<l

_αη」β

>o.FOr any(>0,υ

9 んαυ9

庭

を

2Ttlα,十

β

捌

%→

￨≦

謗

二

::￨:::与

￨三 :±

_獅

_+ο

(▼

語 淫 考

)+ο

OOgり

' 切んctt ιん9 cοndιαttιd力れ ,Jぢ認 by ιんc O Ъαtt αbdο′包ιc αtt」 _{露}万dιん9/Tacι づοttαど_,α″ι9/2.

(li)あCι

O<β ≦

1/(21og 2)。 /br

α

pυ

_O<(<1,り

_9ん

α

υ

₉

陸

92Tilan拗

劇

*Department of Regional Planning,F艇 _{■lty of Educaion and Regional Sciences,Tottott University}

1 146 GoTo,Kazuo:Upper and lower Bounds of he Discrepancy ofhe Sequencc(α ヵ十β″b8')

￨

≧

>単

甲

旦

薇 ・

什

―

農

_}+ο

(寺 )+卿

鰯憫

≧」ケ

9-著

マ

々

V・ (9弟

_1-5手

手

:下

[}+°

(ギ

移

)+ο

l10g凝

ゝ

, υんcr9とん9 cο口婿ιαttιdぢmP′ガcJ by ιん

90る

αre αうじο′yι9,

3 Theorem

Throughtout this sectiont the cOnstants imphed by the<∈ are absolute.

Theorem■

.Forれ

cβ

ん

cttPancy DN o/ι

ん

c sc999ncc(α

η

+β

p 10g■_{),り 9ん}

_αυ

9

DN≧

_{A券 ,つ}

_N≦

B需

_{ズ 恥}

/OT Sο ttC Pο Sttυ C ω ttι αns A αpどB,υ んcrc,(Ⅳ_)づS αηy力nct'οηυんゲcん ι9ηJs ttοttOιOttcα′Jv

ι

_ο力が

,づ

ι

♂

.

Pr99/0/TんCο

κ開

1,We setて

=lin Lemma 2.Then

に

♂πЖ

a71■p州

蛯→

￨≦

寿 農

薇

+ο

侍 吊 絡 巧

)+ο

ttgり

場

れο

_勝

_)・

Ol10g Nl

≪vttVF.

TherefOre

睦♂

π

Ж

ttV強

→

￨=岡

≪

師獅

・

For any funcdOn♂ _(党

_)Whた

h tends monoto c』ly to inn ty,we have

#塊

券‰下

=0,

which implies that there e _{sts anハ}

_ち

(ん,β)suCh that

鳥取大学教育地域科学部紀要 地域研究 第

3巻

第

2号 (2002) 147

By Lemma l,we have as pΥ

_)∞

DN≪

為

+逐

_{手凸側≪嘉}

+券

ズ

リ

bg駐

We choose阿

_=〔

Ⅳ

1/2].Then,by the dennition ofす

(η ),

DN≪

Ⅳ

‐

″

+持

ズ

刺嘘Ⅳ

≪需ズ嚇

for all N≧ maXttVo,(ん +1)2)。

By the tKN,Chap.2,Cor.5.1]and Lemma 2,we have

的 ≧陸μ陣拗劇

≧

洗

eXメ

ー

か

獅 。

_(eXメ

弟

)-1-手

_{藉 寺}

_}+ο

_(舟

斐

₎

Wherethecottail::ipliedbythe)>dependS On only

_β

_・

Therefore we have 4Ⅳ

DN≫

∼

示

F if o<β

<1/(21og 2).

□

Refbrences

[1]K.Goto,

肋 η

9陀

dvJιS Oη うιι′cυοοする_PЮb胞阿 αれ 'OTJづ cz`PTob′9れ

_{, Math.」}

.

Okayama uniV.41(1999),121-136,

pl L.Kuipers and H.Nttderrener,肋 _ゎTれ

Dれ

Tづbvι】ο■ げ 鹿9留cnCCS,Wiley,1974.

[3〕 E.C.Titchmarsh and D.R.Heath―

Brown,Tん

cTん9οry 9/ιんc R19前ann zctα‐五ォηctiοれ,

second edition Reviced by D.R,Heath―

BЮ

wn,Oxfordi1986.

Faculty of Education and Resional SCiences,

Tottori University,

Tottori―shi,680-0945,Japan