1
フーリエ級数
1.1
周期関数と基本周期
[周期関数の定義] 関数 f (x) が f (x + T ) = f (x) (1.1) を満たすとき, f (x) を周期関数と呼ぶ。また, T をその周期という。 -6 f (x) x T -¾ 0 図 1 例) f (x) = sin x, T = 2π とすれば sin (x + 2π) = sin x が成り立つ。したがって, sin x は周期 2π の周期関数である。 [基本周期] nを任意の整数とすると f (x + nT ) = f (x) (1.2) を満たす最小の T を基本周期という。 [周期関数の性質] 2つの関数 f (x) と g(x) がともに周期 T の周期関数であれば, その線形結合 h1(x) = af (x)+ bg(x)およびこの 2 つの関数の積 h2(x) = f (x)g(x)も周期 T の周期関数となる。また, 2 つ の関数 f (x) と g(x) の周期が異なる場合は, 関数 f (x) の周期を T1, 関数 g(x) の周期を T2と おけば, その線形結合 p1(x) = af (x) + bg(x)の周期 T は 2 つの周期 T1 と T2の最小公倍数 となる。 周期が異なる 2 つの関数 f (x) と g(x) の積 p2(x) = f (x)g(x)の周期は, どうすれば計算で きるのか?[周期的拡張] 0≤ x < T 上でのみ定義されている関数 f(x) は, 0 ≤ x < T 上での関数 f(x) の値を繰り 返すことによって, −∞ < x < ∞ 上の周期関数 ˜f (x)に拡張することができる。このよう にして作られた周期関数 ˜f (x)を関数 f (x) の周期的拡張という。 ˜ f (x + nT ) = f (x) ただし 0≤ x < T, n = · · · , −1, 0, 1, · · · (1.3) -6 f (x) x T 0 図 2 -6 ˜ f (x) x T 2T 0 図 3 関数 f (x) が連続で, f (0) = f (T ) の場合, ˜f (x)は連続関数となるが, f (0)6=f(T ) の場合は, 関数 f (x) が連続であっても ˜f (x)は不連続関数 (区分的に連続な関数) となる。
1.2
直交関数系と直交条件
[関数の内積の定義] 区間 0≤ x ≤ T における関数 f(x) と g(x) の内積を次式で定義する。 (f, g) = Z T 0 f (x)g(x) dx (1.4) この内積の計算が (f, g) = 0 を満たすとき, 関数 f (x) と g(x) は区間 0≤ x ≤ T において直 交しているという。 ＜参考＞ベクトルの内積と直交性 ベクトル ~a と~b が与えられたとき, ~a, ~b のなす角を θ(0≤θ≤π) とすれば ~a·~b = |~a||~b| cos θ をベクトル~a, ~b の内積という。特にベクトルの成分が~a = (a1, a2,· · · , an), ~b = (b1, b2,· · · , bn) でそれぞれ与えられている場合, その内積は ~a·~b = n X i=1 aibi で計算できる。また, ~a, ~b が互いに垂直, すなわち, なす角が直角のとき ~a·~b = 0 となる。 [三角関数系の直交性]三角関数系{1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, · · ·} の直交性とは, 次の２つが成立することで ある。 (1) 自分と異なる三角関数系の関数との内積が 0 である。 Z 2π 0 1· cos mx dx = 0 (m = 1, 2, · · ·) (1.5) Z 2π 0 1· sin mx dx = 0 (m = 1, 2, · · ·) (1.6) Z 2π 0 cos mx sin nx dx = 0 (m = 1, 2,· · · と n = 1, 2, · · ·) (1.7) Z 2π 0 cos mx cos nx dx = 0 (m6=n なる m = 1, 2, · · · と n = 1, 2, · · ·) (1.8) Z 2π 0 sin mx sin nx dx = 0 (m6=n なる m = 1, 2, · · · と n = 1, 2, · · ·) (1.9) (2) 自分自身との内積が 0 でない。 Z 2π 0 12dx = 2π (1.10) Z 2π 0 cos2mx dx = π (m = 1, 2,· · ·) (1.11) Z 2π 0 sin2mx dx = π (m = 1, 2,· · ·) (1.12)
＜式 (1.5)∼式 (1.12) の計算＞ 積分の計算においては, 分母が 0 となる場合に注意せよ。場合分けが必要である。 Z 2π 0 1· cos mx dx = ·sin mx m ¸2π 0 = 1 m (sin 2mπ− sin 0) = 1 m(0− 0) = 0 (1.5) 0 Z 2π 0 1· sin mx dx = · −cos mx m ¸2π 0 =−1 m (cos 2mπ− cos 0) = − 1 m(1− 1) = 0 (1.6) 0 Z 2π 0 cos mx sin nx dx = 1 2 Z 2π 0 {sin (m + n)x − sin (m − n)x} dx = 1 2 ½Z 2π 0 sin (m + n)x dx− Z 2π 0 sin (m− n)x dx ¾ = 1 2 " −cos (m + n)x m + n #2π 0 − " −cos (m− n)x m− n #2π 0 = 0 (m6= n) (1.7)0 Z 2π 0 cos mx sin nx dx = Z 2π 0 cos mx sin mx dx = 1 2 Z 2π 0 {sin (m + m)x − sin (m − m)x} dx = 1 2 Z 2π 0 sin 2mx dx = 1 2 · −cos 2mx 2m ¸2π 0 = 0 (m = n) (1.7)00 Z 2π 0 cos mx cos nx dx = 1 2 Z 2π 0 {cos (m + n)x + cos (m − n)x} dx = 1 2 ½Z 2π 0 cos (m + n)x dx + Z 2π 0 cos (m− n)x dx ¾ = 1 2 " sin (m + n)x m + n #2π 0 + " sin (m− n)x m− n #2π 0 = 0 (m6= n) (1.8)0 Z 2π 0 sin mx sin nx dx = 1 2 Z 2π 0 {cos (m − n)x − cos (m + n)x} dx = 1 2 ½Z 2π 0 cos (m− n)x dx − Z 2π 0 cos (m + n)x dx ¾ = 1 2 " sin (m− n)x m− n #2π 0 − " sin (m + n)x m + n #2π 0 = 0 (m6= n) (1.9)0
Z 2π 0 1·1 dx = [x]2π0 = 2π (1.10)0 Z 2π 0 cos mx cos mx dx = Z 2π 0 cos2mx dx = 1 2 Z 2π 0 (1 + cos 2mx) dx = 1 2 ½Z 2π 0 1 dx + Z 2π 0 cos 2mx dx ¾ = 1 2 ( [x]2π0 + · sin 2mx 2m ¸2π 0 ) = 1 2{2π + 0} = π (1.11)0 同様に Z 2π 0 sin mx sin mx dx = π (1.12)0
1.3
フーリエ級数
[フーリエ級数展開とは]
関数 f (x) を周期 2π の周期関数とする。関数 f (x) のフーリエ級数展開とは, 三角級数
f (x) ' a0
2 + a1cos x + b1sin x + a2cos 2x + b2sin 2x + a3cos 3x + b3sin 3x +· · · = a0 2 + ∞ X n=1 (ancos nx + bnsin nx) (1.13) によって, 関数 f (x) を表現することである。 さて, cos nx, sin nx(n = 1, 2,· · ·) の基本周期は2πn で, 共通に 2π を周期としてもつ。した がって, 右辺の三角級数が収束すれば, これは周期 2π の周期関数となる。 ( 一般の周期 (2L) をもつ周期関数→ 同様にフーリエ級数展開を定義できる。 非周期関数→ フーリエ級数展開の拡張としてフーリエ積分で定義できる。 f (x) = a0 2 + ∞ X n=1 (ancos nx + bnsin nx) 偶関数 偶関数| {z 奇関数} 直流成分 交流成分 ＜参考＞ベキ級数展開 (マクローリン級数展開) ex = 1 + x 1!+ x2 2! +· · · + xn n! +· · · sin x = x− x 3 3! + x5 5! − · · · + (−1) n x2n+1 (2n + 1)! +· · · cos x = 1− x 2 2! + x4 4! − · · · + (−1) n x2n (2n)! +· · · f (x) = f (0) + f 0(0) 1! x + f00(0) 2! x 2+ f000(0) 3! x 3+· · · = ∞ X n=1 f(n)(0) n! x n ( マクローリン級数→ 変数 x のベキ乗の和で展開し, 各係数は微分で求める。 フーリエ級数→ 変数 x の三角関数の和で展開し, 各係数は積分 (関数の内積) で求める。
[フーリエ係数の公式の導出] 周期 2π の関数 f (x) が, 次の三角級数によって表わせると仮定する。 f (x) = a0 2 + ∞ X n=1 (ancos nx + bnsin nx) (1.14) この anと bnをフーリエ係数と呼ぶ。 (1) anを求める。 式 (1.14) の両辺に cos mx(m = 1, 2,· · ·) をかけて, 0 から 2π まで積分すると Z 2π 0 f (x) cos mx dx = Z 2π 0 ( a0 2 + ∞ X n=1 (ancos nx + bnsin nx) ) cos mx dx (1.15) 項別に積分できるとすると 右辺 = a0 2 Z 2π 0 cos mx dx + ∞ X n=1 an Z 2π 0 cos nx cos mx dx + bn Z 2π 0 sin nx cos mx dx | {z } 0 = a0 2 ·sin mx m ¸2π 0 + ∞ X n=1 an× ( 0 n6=m のとき π n = mのとき ) = 0 + amπ = amπ (m = 1, 2,· · ·) (1.16) a0の場合は Z 2π 0 f (x) dx = Z 2π 0 ( a0 2 + ∞ X n=1 (ancos nx + bnsin nx) ) dx = a0 2 Z 2π 0 dx + ∞ X n=1 an Z 2π 0 cos nx dx | {z } 0 +bn Z 2π 0 sin nx dx | {z } 0 = a0 2 [x] 2π 0 + 0 = a0π (1.17) したがって, 式 (1.16) と式 (1.17) の結果をまとめると Z 2π 0 f (x) cos mx dx = amπ (m = 0, 1, 2,· · ·) (1.18) an= 1 π Z 2π 0 f (x) cos nx dx (n = 0, 1, 2,· · ·) (1.19) (2) bnを求める。 式 (1.14) の両辺に sin mx(m = 1, 2,· · ·) をかけて, 0 から 2π まで積分すると Z 2π 0 f (x) sin mx dx = Z 2π 0 ( a0 2 + ∞ X n=1 (ancos nx + bnsin nx) ) sin mx dx (1.20)
項別に積分できるとすると 右辺 = a0 2 Z 2π 0 sin mx dx + ∞ X n=1 an Z 2π 0 cos nx sin mx dx | {z } 0 +bn Z 2π 0 sin nx sin mx dx = a0 2 · −cos mx m ¸2π 0 + ∞ X n=1 bn× ( 0 n6=m のとき π n = mのとき ) = 0 + bmπ = bmπ (m = 1, 2,· · ·) (1.21) したがって Z 2π 0 f (x) sin mx dx = bmπ (m = 1, 2,· · ·) (1.22) bn= 1 π Z 2π 0 f (x) sin nx dx (n = 1, 2,· · ·) (1.23)
1.4
周期波形
(
周期
2π)
のフーリエ級数展開
[偶関数と奇関数] 偶関数: f (−x) = f(x) が成り立つ関数を偶関数という。したがって, y 軸に関して対称な グラフとなる。 -6 x |x| 0¡ ¡¡ ¡¡ ¡ @ @ @ @ @ @ -6 x cos x 0 f (−x) = | − x| = |x| = f(x) f (−x) = cos (−x) = cos x = f(x) 奇関数: f (−x) = −f(x) が成り立つ関数を奇関数という。したがって, 原点に関して対称 なグラフとなる。 -6 x x 0 ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ -6 x sin x 0 f (−x) = −x = −f(x) f (−x) = sin (−x) = − sin x = −f(x)[偶関数と奇関数に関する性質] (P1) 関数 f (x) を任意の関数とする。このとき f (x) = fe(x) + fo(x) と表わせる。ただし fe = f (x) + f (−x) 2 , fo = f (x)− f(−x) 2 とする。関数 fe(x)および関数 fo(x)をそれぞれ関数 f (x) の偶関数部分および奇関数 部分という。 (P2) 偶関数と偶関数の積, および奇関数と奇関数の積は偶関数となり, 偶関数と奇関数の 積は奇関数となる。 h(x) = fe(x)ge(x)は偶関数 : h(−x) = fe(−x)ge(−x) = fe(x)ge(x) = h(x) h(x) = fo(x)go(x)は偶関数 : h(−x) = fo(−x)go(−x) = {−fo(x)}{−go(x)} = fo(x)go(x) = h(x) h(x) = fe(x)go(x)は奇関数 : h(−x) = fe(−x)go(−x) = fe(x){−go(x)} = −fe(x)go(x) =−h(x) (P3) fe(x), fo(x)をそれぞれ偶関数, 奇関数とする。このとき Z π −πfe(x) dx = 2 Z π 0 fe(x) dx Z π −πfo(x) dx = 0
[フーリエ係数計算のコツ] (コツ 1) 偶関数 fe(x)のフーリエ係数は, 計算しなくても bn= 0である。 bn = 1 π Z π −π 奇関数 z }| { fe(x) | {z } 偶関数 sin nx | {z } 奇関数 dx = 0 an = 1 π Z π −π 偶関数 z }| { fe(x) | {z } 偶関数 cos nx | {z } 偶関数 dx = 2 π Z π 0 fe(x) cos nx dx (コツ 2) 奇関数 fo(x)のフーリエ係数は, 計算しなくても an= 0である。 an = 1 π Z π −π 奇関数 z }| { fo(x) | {z } 奇関数 cos nx | {z } 偶関数 dx = 0 bn = 1 π Z π −π 偶関数 z }| { fo(x) | {z } 奇関数 sin nx | {z } 奇関数 dx = 2 π Z π 0 fo(x) sin nx dx (コツ 3) 関数 f (x) の偶関数部分を fe(x), 奇関数部分を fo(x)とすれば, 関数 f (x) = fe(x) + fo(x)のフーリエ係数は an = 1 π Z π −πf (x) cos nx dx = 1 π Z π −π{fe(x) + fo(x)} cos nx dx = 1 π Z π −πfe(x) cos nx dx = 2 π Z π 0 fe(x) cos nx dx bn = 1 π Z π −πf (x) sin nx dx = 1 π Z π −π{fe(x) + fo(x)} sin nx dx = 1 π Z π −πfo(x) sin nx dx = 2 π Z π 0 fo(x) sin nx dx で計算できる。 (コツ 4) 関数 f (x) と g(x) のフーリエ係数をそれぞれ, an(f ), bn(f )と an(g), bn(g)とする。 このとき, c と d を定数とすると関数 cf (x) + dg(x) のフーリエ係数は, can(f ) + dan(g), cbn(f ) + dbn(g)となる。これをフーリエ係数の線形性という。
＜周期 2π の関数 f (x) のフーリエ級数展開の計算例 (テキスト P.16[例 2](1)) ＞ 周期 T = 2π の関数 f (x) = ( 1 (0≤ x < π) 0 (π≤ x < 2π) のフーリエ係数とフーリエ級数展開 (1) anを求める。 an = 1 π Z 2π 0 f (x) cos nx dx = 1 π ½Z π 0 f (x) cos nx dx + Z 2π π f (x) cos nx dx ¾ = 1 π ½Z π 0 1· cos nx dx + Z 2π π 0· cos nx dx ¾ = 1 π Z π 0 cos nx dx = 1 π · sin nx n ¸π 0 (n6=0 の場合) = 1 nπ(sin nπ− sin 0) = 0 n = 0の場合は a0 = 1 π Z 2π 0 f (x) dx = 1 π ½Z π 0 1 dx + Z 2π π 0 dx ¾ = 1 π Z π 0 dx = 1 π [x] π 0 = 1 π [π− 0] = 1 (2) bnを求める。 bn = 1 π Z 2π 0 f (x) sin nx dx = 1 π ½Z π 0 f (x) sin nx dx + Z 2π π f (x) sin nx dx ¾ = 1 π ½Z π 0 1· sin nx dx + Z 2π π 0· sin nx dx ¾ = 1 π Z π 0 sin nx dx = 1 π · −cos nx n ¸π 0 = − 1 nπ (cos nπ− cos 0) = − 1 nπ {(−1) n− 1} = ( 2 nπ (nが奇数) 0 (nが偶数) Ã b2n−1 = 2 (2n− 1)π ! f (x) = a0 2 + ∞ X n=1 (ancos nx + bnsin nx) = 1 2 + ∞ X n=1 ·1 π{1 − (−1) n} ¸sin nx n = 1 2 + 2 π µ sin x + 1 3sin 3x + 1 5sin 5x +· · · ¶ " = 1 2 + 2 π ∞ X n=1 1 2n− 1sin (2n− 1)x #
＜周期 2π の関数 f (x) のフーリエ級数展開の計算例 (テキスト P.18[例 2](2)) ＞ 周期 T = 2π の関数 f (x) =|x|(−π ≤ x < π) のフーリエ係数とフーリエ級数展開 f (x)は偶関数であるので, (コツ 1) より, bn = 0(n = 1, 2, 3,· · ·) となることがわかる。した がって, an(n = 0, 1, 2,· · ·) のみを計算すればよい。 an = 1 π Z π −πf (x) cos nx dx = 2 π Z π 0 f (x) cos nx dx = 2 π Z π 0 x cos nx dx = 2 π Z π 0 x µsin nx n ¶0 dx (n6=0 の場合) = 2 π (· xsin nx n ¸π 0 − 1 n Z π 0 sin nx dx ) = 2 nπ ·cos nx n ¸π 0 = 2 n2π{(−1) n− 1} = ( 0 (nが偶数) − 4 n2π (nが奇数) Ã a2n−1 =− 4 (2n− 1)2π ! n = 0の場合は a0 = 1 π Z π −πf (x) dx = 2 π Z π 0 x dx = 2 π " x2 2 #π 0 = 2 π Ã π2 2 − 0 ! = π f (x) = a0 2 + ∞ X n=1 (ancos nx + bnsin nx) = π 2 + ∞ X n=1 · 2 π {(−1) n− 1} ¸ cos nx n2 = π 2 − 4 π µ cos x + cos 3x 32 + cos 5x 52 +· · · ¶ " = π 2 − 4 π ∞ X n=1 cos (2n− 1)x (2n− 1)2 #
＜周期 2π の関数 f (x) のフーリエ級数展開の計算例 (テキスト P.18[例 2](3)) ＞ 周期 T = 2π の関数 f (x) = x(−π ≤ x < π) のフーリエ係数とフーリエ級数展開 f (x)は奇関数であるので, (コツ 2) より, an = 0(n = 0, 1, 2,· · ·) となることがわかる。した がって, bn(n = 1, 2, 3,· · ·) のみを計算すればよい。 bn = 1 π Z π −πf (x) sin nx dx = 2 π Z π 0 f (x) sin nx dx = 2 π Z π 0 x sin nx dx = 2 π Z π 0 x µ −cos nx n ¶0 dx = 2 π ½· x µ− cos nx n ¶¸π 0 + 1 n Z π 0 cos nx dx ¾ = 2 nπ ( −π(−1)n+ ·sin nx n ¸π 0 ) = 2 n(−1) n+1 = (2 n (nが奇数) −2 n (nが偶数) f (x) = a0 2 + ∞ X n=1 (ancos nx + bnsin nx) = ∞ X n=1 2(−1)n+1sin nx n = 2 µ sin x− sin 2x 2 + sin 3x 3 − · · · ¶
フーリエ級数のポイント
1
[フーリエ係数を求める 2 つの計算式とフーリエ係数計算上の注意点] f (x) = a0 2 + ∞ X n=1 (ancos nx + bnsin nx) an = 1 π Z 2π 0 f (x) cos nx dx (n = 0, 1,· · ·) bn = 1 π Z 2π 0 f (x) sin nx dx (n = 1, 2,· · ·) または an = 1 π Z π −πf (x) cos nx dx (n = 0, 1,· · ·) bn = 1 π Z π −πf (x) sin nx dx (n = 1, 2,· · ·) 周期関数 f (x) = x (0≤ x < 2π) のグラフを描くと次のようになる。 -6 −π 0 π 2π x π 2π f (x) したがって, 周期関数 f (x) = x (0≤ x < 2π) のフーリエ係数は ° bn= 1 π Z 2π 0 f (x) sin nx dx = 1 π Z 2π 0 x sin nx dx で計算する。これを × bn= 1 π Z π −πf (x) sin nx dx = 1 π Z π −πx sin nx dx として計算するのは間違いである。なぜなら, これは周期関数 f (x) = x (−π ≤ x < π) の フーリエ係数であり, f (x) = x (0 ≤ x < 2π) のフーリエ係数ではない。周期関数 f(x) = x (−π ≤ x < π) のグラフを次に示す。ただし, 関数値にしたがい積分区間を分割し bn = 1 π Z π −πf (x) sin nx dx = 1 π Z 0 −π(x + 2π) sin nx dx + 1 π Z π 0 x sin nx dxと計算するのは正しい。 -6 −2π −π 0 π x −π π f (x)1.5
フーリエ正弦展開とフーリエ余弦展開
[フーリエ余弦展開] f (x)を 0≤ x ≤ π 上で定義された関数とする。まず, 次式により −π ≤ x ≤ π 上の偶関 数へ拡張する。 fe(x) = ( f (−x) (−π ≤ x ≤ 0) のとき f (x) (0≤ x ≤ π) のとき (1.24) さらに, 得られた関数を−∞ ≤ x ≤ ∞ 上の周期 2π の周期関数へ周期的拡張を行う。 ˜ fe(x + 2nπ) = fe(x) ただし − π ≤ x < π, n = · · · , −1, 0, 1, · · · (1.25) f (x) = a0 2 + ∞ X n=1 ancos nx, an = 2 π Z π 0 f (x) cos nx dx (n = 0, 1, 2,· · ·) (1.26) [フーリエ正弦展開] f (x)を 0≤ x ≤ π 上で定義された関数とする。まず, 次式により −π ≤ x ≤ π 上の奇関 数へ拡張する。 fo(x) = ( −f(−x) (−π ≤ x ≤ 0) のとき f (x) (0≤ x ≤ π) のとき (1.27) さらに, 得られた関数を−∞ ≤ x ≤ ∞ 上の周期 2π の周期関数へ周期的拡張を行う。 ˜ fo(x + 2nπ) = fo(x) ただし − π ≤ x < π, n = · · · , −1, 0, 1, · · · (1.28) f (x) = ∞ X n=1 bnsin nx, bn= 2 π Z π 0 f (x) sin nx dx (n = 1, 2,· · ·) (1.29) 関数 f (x) が 0≤x < π(半区間) で定義 ? ? 偶関数 fe(x)として−π < x < π へ拡張 奇関数 fo(x)として−π < x < π へ拡張 ? ? −∞ < x < ∞ 上の周期関数 ˜fe(x)へ拡張 −∞ < x < ∞ 上の周期関数 ˜fo(x)へ拡張 ? ? フーリエ余弦展開 (コツ 1) フーリエ正弦展開 (コツ 2) ※不連続点が生じないように滑らかに拡張すると展開後の関数の性質 (収束速度など) が良 くなる。1.6
一般の周期関数
(
周期
2L)
に対するフーリエ級数
[任意の周期 (周期 2L) をもつ周期関数に対するフーリエ級数] h(t) = a0 2 + ∞ X n=1 (ancos nt + bnsin nt) t : 0∼2π (1.30) x = Lπtとおけば t 0∼ 2π x 0∼ 2L の関係が成り立つ。したがって, 周期 2π の変数 t から周期 2L の変数 x へスケール変換 (変 数置換) を行なうには, f (x) を周期 2L(L > 0) の関数とし, t = Lπxを上式に代入して f (x) = h(π Lx) = a0 2 + ∞ X n=1 (ancos nπ L x + bnsin nπ L x) x : 0∼2L (1.31) と求めることができる。フーリエ係数 anは dxdt = πL(dt = πLdx)より an = 1 π Z π −πh(t) cos nt dt = 1 π Z L −Lh( π Lx) cos nπ L x π Ldx = 1 L Z L −Lf (x) cos nπ L x dx (1.32) となる。同様に bnは bn = 1 L Z L −Lf (x) sin nπ L x dx (1.33) [任意の周期 (周期 2L) をもつ周期関数に対するフーリエ正弦展開とフーリエ余弦展開] f (x)を 0≤ x ≤ L 上で定義された関数とする。 フーリエ余弦展開 f (x) = a0 2 + ∞ X n=1 ancos nπ L x (bn = 0) (1.34) an = 2 L Z L 0 f (x) cosnπ L x dx (1.35) フーリエ正弦展開 f (x) = ∞ X n=1 bnsin nπ L x (an = 0) (1.36) bn = 2 L Z L 0 f (x) sinnπ L x dx (1.37)＜周期 2L の関数 f (x) のフーリエ級数展開の計算例＞ 周期 T = 2L の関数 f (x) = ( 1 (0≤ x < L) 0 (L≤ x < 2L) のフーリエ係数とフーリエ級数展開 (1) anを求める。 an = 1 L Z 2L 0 f (x) cosnπ L x dx = 1 L (Z L 0 f (x) cosnπ L x dx + Z 2L L f (x) cosnπ L x dx ) = 1 L (Z L 0 1· cosnπ L x dx + Z 2L L 0· cosnπ L x dx ) = 1 L Z L 0 cosnπ L x dx = 1 L · L nπ sin nπ L x ¸L 0 (n6=0 の場合) = 1 nπ (sin nπ− sin 0) = 0 n = 0の場合は a0 = 1 L Z 2L 0 f (x) dx = 1 L (Z L 0 1 dx + Z 2L L 0 dx ) = 1 L Z L 0 dx = 1 L[x] L 0 = 1 L[L− 0] = 1 (2) bnを求める。 bn = 1 L Z 2L 0 f (x) sinnπ L x dx = 1 L (Z L 0 f (x) sinnπ L x dx + Z 2L L f (x) sinnπ L x dx ) = 1 L (Z L 0 1· sinnπ L x dx + Z 2L L 0· sinnπ L x dx ) = 1 L Z L 0 sinnπ L x dx = 1 L · − L nπ cos nπ L x ¸L 0 = − 1 nπ (cos nπ− cos 0) = − 1 nπ {(−1) n− 1} = ( 2 nπ (nが奇数) 0 (nが偶数) f (x) = a0 2 + ∞ X n=1 (ancos nπ L x + bnsin nπ L x) = 1 2 + ∞ X n=1 · 1 nπ {1 − (−1) n} ¸ sinnπ L x = 1 2 + 2 π µ sinπ Lx + 1 3sin 3π L x + 1 5sin 5π Lx +· · · ¶ " = 1 2 + 2 π ∞ X n=1 1 2n− 1sin (2n− 1)π L x #
○ L = π(周期 2L = 2π) とおけば f (x) = 1 2 + 2 π µ sin x + 1 3sin 3x + 1 5sin 5x +· · · ¶ となり, 周期 2π の場合のテキスト P.17[例 2](1) の関数 f (x) の解と一致する。 ○ L = 1(周期 2L = 2) とおけば f (x) = 1 2+ 2 π µ sin πx +1 3sin 3πx + 1 5sin 5πx +· · · ¶ となり, 周期 T = 2 の関数 f (x) = ( 1 (0≤ x < 1) 0 (1≤ x < 2) のフーリエ級数展開が得られる。
フーリエ級数のポイント
2
[周期 2π の周期関数 f (x) のフーリエ級数展開とフーリエ係数] f (x) = a0 2 + ∞ X n=1 (ancos nx + bnsin nx) an= 1 π Z 2π 0 f (x) cos nx dx (n = 0, 1, 2,· · ·) bn= 1 π Z 2π 0 f (x) sin nx dx (n = 1, 2,· · ·) 区間−π ≤ x ≤ π で偶関数 f(x) のフーリエ余弦級数展開 f (x) = a0 2 + ∞ X n=1 ancos nx, an = 2 π Z π 0 f (x) cos nx dx (n = 0, 1, 2,· · ·) 区間−π ≤ x ≤ π で奇関数 f(x) のフーリエ正弦級数展開 f (x) = ∞ X n=1 bnsin nx, bn= 2 π Z π 0 f (x) sin nx dx (n = 1, 2,· · ·) [周期 2L の周期関数 f (x) のフーリエ級数展開とフーリエ係数] f (x) = a0 2 + ∞ X n=1 (ancos nπx L + bnsin nπx L ) an = 1 L Z L −Lf (x) cos nπx L dx (n = 0, 1, 2,· · ·) bn = 1 L Z L −Lf (x) sin nπx L dx (n = 1, 2,· · ·) 区間−L ≤ x ≤ L で偶関数 f(x) のフーリエ余弦級数展開 f (x) = a0 2 + ∞ X n=1 ancos nπx L , an = 2 L Z L 0 f (x) cosnπx L dx (n = 0, 1, 2,· · ·) 区間−L ≤ x ≤ L で奇関数 f(x) のフーリエ正弦級数展開 f (x) = ∞ X n=1 bnsin nπx L , bn= 2 L Z L 0 f (x) sinnπx L dx (n = 1, 2,· · ·) x←Lπx, π←L の置き換え ? L←π の置き換え 61.7
フーリエ級数の収束性に関する定理とその応用
[区分的に連続] 区間 a ≤ x ≤ b を a = x0 < x1 < x2 <· · · < xn = bなる有限個の点 x1, x2,· · · , xn−1で有 限個の小区間に分けたとき, 各区間内で連続で, かつ, 各区間の端点で右側からの極限値 lim e→0f (xi+ e) = f (xi+ 0) (e > 0, i = 0, 1, 2,· · · , n) と左側からの極限値 lim e→0f (xi− e) = f(xi− 0) (e > 0, i = 0, 1, 2,· · · , n) の両者が存在して有限の値をとるとき, f (x) は区間 a ≤ x ≤ b で区分的に連続であると いう。 このような不連続点を第 1 種の不連続点という。これに対して, 片側極限の一方が存在 しない場合を第 2 種の不連続点 (真性不連続点) という。 ※ 不連続点 xiでの関数の値は必ずしも与えられている必要はない。 [区分的に連続な関数の積分] 不連続点 xi, xi+1での関数の値が与えられていない場合の関数 f (x) の各区間における積 分は次式で計算できる。 lim e1,e2→0 Z xi+1−e2 xi+e1 f (x) dx = Z xi+1 xi fi∗(x) dx ここで, fi∗(x)は, 各区間の端点で不連続点をもつ f (x) を区間 [xi, xi+1]で連続となるように 修正した関数であり, 次のようになる。 fi∗(x) = f (xi+ 0) (x = xi)のとき f (x) (xi < x < xi+1)のとき f (xi+1− 0) (x = xi+1)のとき したがって, 区分的に連続な関数 f (x) の積分値は各区間における積分値の和として Z b a f (x) dx = Z x1 x0 f0∗(x) dx + Z x2 x1 f1∗(x) dx +· · · + Z xn xn−1 fn∗−1(x) dx で計算できる。 ※ 「連続関数」と同様に, 不連続点が有限個で, かつ右側極限値と左側極限値が有限の値 として存在する「区分的に連続な関数」も積分可能ということである。すなわち, 区分的 に連続な関数も有界関数でリーマン積分可能な関数となっている。[区分的に滑らか] f (x)とその一階の導関数 f0(x)がともに区間 a ≤ x ≤ b で区分的に連続な場合, f(x) を 区分的に滑らかな関数という。 [ディリクレ条件] f (x)が周期 2π の周期関数で区分的に滑らかなとき, f (x) は「ディリクレ条件を満たす」 という。 [フーリエ級数の収束性に関する定理] ディリクレ条件を満たす関数 f (x) のフーリエ級数展開は−π ≤ x ≤ π 上のすべての点で 収束し, 関数 f (x) の連続な点 x では f (x) に, 不連続な点 x では f (x + 0) + f (x− 0) 2 に収束する。
[フーリエ級数の近似多項式への応用 (π の近似計算式)] テキスト P.17[例 2](2) の結果より, 関数 f (x) =|x|(−π ≤ x < π) のフーリエ級数展開は f (x) = a0 2 + ∞ X n=1 (ancos nx + bnsin nx) = π 2 − ∞ X n=1 ·2 π{(−1) n− 1} ¸cos nx n2 = π 2 − 4 π µ cos x + cos 3x 32 + cos 5x 52 +· · · ¶ [ = π 2 − 4 π ∞ X n=1 cos (2n− 1)x (2n− 1)2 ] となる。したがって, 関数 f (x) は区間−π ≤ x < π においてすべての点で収束し, 等式 |x| = π 2 − 4 π µ cos x + cos 3x 32 + cos 5x 52 +· · · ¶ が成り立つ。ここで, x = 0 とおくと, 左辺は f (0) =|0| = 0, 右辺は, cos 0 = 1 を代入して, 0 = π 2 − 4 π µ 1 + 1 32 + 1 52 +· · · ¶ が得られる。右辺の第 2 項を左辺に移項し, 両辺をπ4 で割ると 1 + 1 32 + 1 52 +· · · + 1 (2n− 1)2 +· · · = π2 8 となり, π の計算に関連した近似多項式が導出できる。 ＜参考＞フーリエ級数展開により導出できる他の近似多項式についてはテキスト P.29 問題 1-6の 2 を参照
