平成
18
年度 宮崎大学２次試験前期日程
(
数学問題
)
工・医・農
(
生物環境科学・獣医・地域農業システム
)
・教育文化
(
中
学
[
理系
]
・生活環境・初等教育・中学
[
文系
]
・障害児教育
)
学部
平成
18
年
2
月
25
日
• 工学部は， 1 ∼ 5 数 II・III・A・B (120 分) • 医学部は， 1 , 2 , 3 , 5 , 6 数 II・III・A・B (120 分) • 農 (生物環境科学・獣医) 学部は， 1 , 2 , 3 , 7 , 8 数 II・III・A・B (120 分) • 教育文化 (中学 [理系]) 学部は， 1 , 2 , 3 , 5 , 7 数 II・III・A・B (120 分) • 教育文化 (初等教育コース，中学 [文系]，障害児コース) 学部・農 (地域農業シ ステム) 学部は， 7 , 8 , 9 数 II・A・B (90 分) • 教育文化 (生活環境) 学部は， 5 , 7 , 9 数学 II・B (90 分)1
座標平面上の 2 点 A(4, −1)，B¡6, −12¢を通る直線 l について，次の各問に答 えよ． (1) 点 P(3, −2) を通り，直線 l に点 A で接する円 C の方程式を求めよ． (2) (1) で求めた円 C の l 以外の接線で，直線 l に平行なものを求めよ．2
次の各問に答えよ． (1) −π 4 < θ < π 4，sin θ + cos θ = 1 2とする．このとき，sin θ − cos θ の値を求 めよ． (2) 次の計算は誤りである． 1° から 6° の等号の中で誤っているものをすべて あげ，誤りと判断した理由を述べよ． 8 = √64 = √26 = p(−2)6 = p((−2)3)2 = (−2)3 = −8 1 ° °2 °3 °4 °5 °6 (3) p = 2 148+ 1 17 は整数である．p は何けたの整数か答えよ．ただし， 0.301 < log102 < 0.302 である．3
n を自然数として，曲線 y = e−x上の点 P n(n, e−n) における接線と x 軸との交 点の x 座標を anとする．また，x 軸上に点 Qn(n, 0) と点 Rn(an, 0) をとる．こ のとき，次の各問に答えよ． (1) anを n を用いて表せ． (2) 4PnQnRnの面積を n を用いて表せ． (3) 曲線 y = e−x，直線 x = 1，x = anおよび x 軸で囲まれる部分から， 4P1Q1R1，4P2Q2R2，· · · ，4PnQnRnを取り除いた部分の面積を Snと する．このとき，極限値 lim n→∞Snを求めよ．4
曲線 y = tan x ³ 0 5 x 5 π 4 ´ ，直線 x = π 4，および x 軸で囲まれる部分を S と する．このとき，次の各問に答えよ． (1) S の面積を求めよ． (2) 関数 f (x) = tan x − x を微分せよ． (3) S を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ．5
四面体 OABC において，OA = OB = OC = 2，AB = BC = CA = 1 とする． また，辺 OB 上に点 P を AP⊥OB となるようにとる．さらに，−→OA，−→OB，−→OC をそれぞれ ~a，~b，~c とおく．このとき，次の各問に答えよ．(1) ベクトル−→OP を~b を用いて表せ．
(2) 4APC の面積を求めよ．
(3) 平面 OAC 上に点 Q を直線 PQ が平面 OAC に垂直となるようにとる．こ
のとき，ベクトル−→OQ を~a，~c を用いて表せ．ただし，平面 OAC は 3 点 O， A，C を通る平面である．
6
次の各問に答えよ．ただし，log x は x の自然対数を表す． (1) 0 < x < π 2 のとき，次の不等式を証明せよ． log(cos x) + x 2 2 < 0 (2) 次の不等式を証明せよ． −π 3 log 2 + π3 81 < Z π 3 0 log(cos x) dx < − π3 1627
座標平面において，曲線 C : y = x2上の点 P(2, 4) における接線を l とし，l と 直線 y = −1 との交点を Q とする．また点 Q を通り，曲線 C と接する直線の うち，l と異なるものを m とする．このとき，次の各問に答えよ． (1) 直線 l の方程式を求めよ． (2) 直線 m の方程式を求めよ． (3) 曲線 l，m および曲線 C で囲まれる部分の面積 S を求めよ．8
数列 {an} の初項から第 n 項までの和を Snとするとき，関係式 Sn = 2an+ n が 成り立っている．このとき，次の各問に答えよ． (1) n = 2 のとき，anを an−1を用いて表せ． (2) n = 1 のとき，bn = an+1− anとおく．bnを n を用いて表せ． (3) anを n を用いて表せ．9
座標平面上に，原点 O を中心とし，4 点 A(1, 0)，B(0, 1)，C(−1, 0)，D(0, −1) を通る円がある．点 P を弧 AB 上にとり，∠POA = 2θ (0◦ 5 θ 5 45◦) とする． このとき，次の各問に答えよ． (1) PC の長さを θ を用いて表せ． (2) PA + PC − PD のとりうる値の範囲を求めよ．正解
1
(1) C の中心を Q(a, b) とすると，AQ2 = PQ2 であるから (a − 4)2+ (b + 1)2 = (a − 3)2+ (b + 2)2 整理すると a + b = 2 · · · 1° 2 点 A(4, −1)，B µ 6, −1 2 ¶ を通る直線 l の傾きは −1 2 + 1 6 − 4 = 1 4 l に垂直な直線 AQ の傾きは −4 であるから b + 1 a − 4 = −4 ゆえに 4a + b = 15 · · · 2° 1 °， 2° を解いて a = 13 3 ，b = − 7 3 このとき AQ2 = µ 13 3 − 4 ¶2 + µ −7 3 + 1 ¶2 = 17 9 よって，求める円の方程式は µ x − 13 3 ¶2 + µ y + 7 3 ¶2 = 17 9 (2) 求める接線と C の接点を R(x1, y1) とすると，線分 AR の中点が Q である から 4 + x1 2 = 13 3 , −1 + y1 2 = − 7 3 すなわち x1 = 14 3 , y1 = − 11 3 これを解いて x1 = 14 3 ，y1 = − 11 3 求める接線は，点 µ 14 3 , − 11 3 ¶ を通り，傾き1 4の直線であるから y + 11 3 = 1 4 µ x − 14 3 ¶ よって 3x − 12y − 58 = 02
(1) −π 4 < θ < π 4 より sin θ − cos θ = √ 2 sin³θ −π 4 ´ < 0 · · · 1°(sin θ + cos θ)2+ (sin θ − cos θ)2 = 2 であるから，これに sin θ + cos θ = 1 2 を代入すると 1 4 + (sin θ − cos θ) 2 = 2 ゆえに (sin θ − cos θ)2 = 7 4 1 ° より sin θ − cos θ = − √ 7 2 (2) °5 a が実数であるとき，一般に√a2 = | a | である．ここでは a = (−2)3であ るから，|(−2)3| = 8 となる． (3) a = 16 とおくと p = 2 148+ 1 17 = (24)37+ 1 16 + 1 = a37+ 1 a + 1 = 36 X k=0 (−1)ka36−k このとき p = a36− (a35− a34) − (a33− a32) − · · · − (a − 1) p = a36− a35+ (a34− a33) + (a32− a31) + · · · + (a2− a) + 1 ゆえに (a − 1)a35< p < a36 すなわち 10·2140< 15·2140 < p < 2144 したがって，10·2140 < p < 2144の各辺の常用対数をとることにより
1 + 140 log102 < log10p < 144 log102
43.140 = 1 + 140 × 0.301 < log10p < 144 × 0.302 = 43.488
したがって 43 < log10p < 44 ゆえに 1043 < p < 1044 よって，p は 44 桁の整数である．
解説 1 a3+ b3 = (a + b)(a2− ab + b2)，a5+ b5 = (a + b)(a4− a3b + a2b2− ab3+ b4) 一般に a2n+1+ b2n+1 = (a + b) 2n X k=0 (−1)ka2n−kbk 解説 2 24 ≡ −1 (mod 17) より (24)37 ≡ (−1)37 (mod 17) よって 2148+ 1 ≡ 0 (mod 17)
3
(1) y = e−xより y0 = −e−x 曲線 y = e−xの Pn(n, e−n) における接線は y − e−n= −e−n(x − n) ゆえに y = −e−n(x − n − 1) この直線と x 軸の交点の x 座標 anは an = n + 1 O y x n Pn e−n Qn an Rn 1 (2) (1) の結果から QnRn= an− n = 1，PnQn= e−n よって 4PnQnRn = 1 2QnRn·PnQn = 1 2·1·e −n = 1 2e `n (3) (2) の結果から Sn = Z n+1 1 e−xdx − n X k=1 1 2e −k = · −e−x ¸n+1 1 −1 2e −1× 1 − e−n 1 − e−1 = −e−n−1+1 e − 1 − e−n 2(e − 1) よって lim n→∞Sn= 1 e − 1 2(e − 1) = e − 2 2e(e − 1)4
(1) S = Z π 4 0 tan x = · − log cos x ¸π 4 0 = − log√1 2 = 1 2 log 2 (2) f0(x) = (tan x − x)0 = 1 cos2x − 1 = tan 2x (3) (2) の結果から V = π Z π 4 0 tan2x dx = · tan x − x ¸π 4 0 = π µ 1 − π 4 ¶5
(1) θ = ∠AOB とおくと cos θ = OA 2+ OB2− AB2 2·OA·OB = 2 2 + 22− 12 2·2·2 = 7 8 ゆえに OP = OA cos θ = 2 × 7 8 = 7 4 −→ OP と同じ向きの単位ベクトルは ~b 2 よって −→OP = OP·~b 2 = 7 4· ~b 2 = 7 8~b O C A B P 1 1 1 2 2 θ O A B 2 P 1 (2) (1) の結果から AP = OA sin θ = 2√1 − cos2θ = 2 s 1 − µ 7 8 ¶2 = √ 15 4 √ 15 4 C A P M 4ABP ≡ 4CBP であるから CP = AP = √ 15 4 CA の中点を M とすると PM = v u u t Ã√ 15 4 !2 − µ 1 2 ¶2 = √ 11 4 よって 4APC = 1 2CA·PM = 1 2·1· √ 11 4 = √ 11 8(3) |~a| = |~b| = |~c| = 2，∠AOB = ∠BOC = ∠COA = θ であるから
~a·~b = ~b·~c = ~c·~a = 2·2 cos θ = 2·2·7
8 = 7 2 Q は線分 OM 上にあるから，−−→OM と同じ向きの単位ベクトルを~e とすると ~e = ~c + ~a |~c + ~a| = ~c + ~a q |~c|2+ 2~c·~a + |~a|2 = √ ~c + ~a 4 + 7 + 4 = ~c + ~a √ 15 よって −→OQ = (−→OP·~e)~e = 1 15 ½ 7 8~b·(~c + ~a) ¾ (~c + ~a) = 7 120(~b·~c + ~a·~b)(~c + ~a) = 7 120 µ 7 2 + 7 2 ¶ (~c + ~a) = 49 120(~c + ~a)
6
(1) 0 < x < π 2 のとき，tan 2x > 0 であるから Z x 0 tan2t dt > 0 ゆえに tan x − x > 0 · · · 1° 1 ° より Z x 0 (tan t − t) dx > 0 ゆえに − log(cos x) −1 2x 2 > 0 したがって log(cos x) + 1 2x 2 < 0 (2) (1) の結果から，log(cos x) < −1 2x 2 であるから Z π 3 0 log(cos x) dx < Z π 3 0 µ −1 2x 2 ¶ dx = · −1 6x 3 ¸π 3 0 = −π 3 162 また Z π 3 0 log(cos x) dx = · x log(cos x) ¸π 3 0 − Z π 3 0 x{log(cos x)}0dx = −π 3log 2 + Z π 3 0 x tan x dx 1 ° より，0 < x < π 2 のとき，tan x > x であるから Z π 3 0 x tan x dx > Z π 3 0 x2dx = · 1 3x 3 ¸π 3 0 = π3 81 上の諸式から −π 3 log 2 + π3 81 < Z π 3 0 log(cos x) dx < − π 3 1627
(1) y = x2を微分すると y0 = 2x C の点 P(2, 4) における接線の傾きは 4 であるから，l の方程式は y − 4 = 4(x − 2) すなわち y = 4x − 4 (2) l と直線 y = −1 の交点 Q は µ 3 4, −1 ¶ R の座標を (a, a2) とすると (a 6= 2)，傾きは 2a となるから，その方程式は y − a2 = 2a(x − a) すなわち y = 2ax − a2 · · · 1° これが点 Q を通るから −1 = 2a·3 4− a 2 ゆえに 2a2− 3a − 2 = 0 O y x 2 4 P R Q(3 4, −1) l m C したがって (a − 2)(2a + 1) = 0 a 6= 2 に注意して a = −1 2 これを 1° に代入すると y = −x − 1 4 (3) 求める面積 S は，上の図の斜線部分であるから S = Z 3 4 −12 ½ x2− µ −x − 1 4 ¶¾ dx + Z 2 3 4 {x2− (4x − 4)} dx = Z 3 4 −1 2 µ x +1 2 ¶2 dx + Z 2 3 4 (x − 2)2dx = · 1 3 µ x +1 2 ¶3 ¸3 4 −1 2 + · 1 3(x − 2) 3 ¸2 3 4 = 125 96 解説 一般に，放物線 C と 2 接線 l，m について，次が成り立つ (九大 2009 年一 般前期文系数学 4 の補足1を参照．)． 1. 放物線 C 上の 2 点 P，R におけるそれぞれの接線 l，m の交点 Q の x 座標は，2 点 P，R の中点の x 座標である． 2. C と直線 PR で囲まれた部分の面積を S0とすると，C と 2 接線 l，m で囲まれた部分の面積 S は (S0は，x2の係数および接点の x 座標から) S = 1 2S0, S0 = 1 6 ½ 2 − µ −1 2 ¶¾3 = 125 48 1http://kumamoto.s12.xrea.com/nyusi/Qdai bun 2009.pdf8
(1) n = 2 のとき Sn= 2an+ n Sn−1 = 2an−1+ n − 1 上の 2 式の辺々を引くと Sn− Sn−1= 2an− 2an−1+ 1 Sn− Sn−1 = an であるから an = 2an− 2an−1+ 1 よって an = 2an`1− 1 (2) (1) の結果から，n = 1 のとき an+2= 2an+1− 1 an+1= 2an− 1 上の 2 式の辺々を引くと an+2− an+1 = 2(an+1− an) すなわち bn+1 = 2bn ここで，S1 = 2a1 + 1, S1 = a1, a2 = 2a1− 1 であるから a1 = −1, a2 = −3 {bn} は，初項が b1 = a2− a1 = −2，公比が 2 の等比数列であるから bn = −2·2n−1= −2n (3) (1)，(2) の結果から an+1= 2an− 1, bn= an+1− an 上の 2 式から an+1を消去すると an = bn+ 1 よって an = −2n + 19
(1) ∠POA = 2θ より，∠PCA = θ，∠APC = 90◦ であるから PC = CA cos θ = 2 cos θ (2) (1) と同様に PA = CA sin θ = 2 sin θ ∠POB = 90◦− 2θ であるから ∠PDB = 1 2∠POB = 45 ◦− θ ∠DPB = 90◦ であるから PD = DB cos (45◦− θ) = 2 cos (45◦ − θ) O y x 2θ θ A B C D 1 P 1 45◦−θ したがってPA + PC = 2 sin θ + 2 cos θ = 2√2 cos (45◦− θ) ,
PA + PC − PD = 2√2 cos (45◦− θ) − 2 cos (45◦− θ) = 2(√2 − 1) cos (45◦− θ) 0◦ 5 θ 5 45◦であるから √1 2 5 cos (45 ◦ − θ) 5 1 よって 2 −√2 5 PA + PC − PD 5 2(√2 − 1)
