参考書
• Ｅ. クライツィグ著、北原和夫訳：技術者のための高 等数学３『常微分方程式』(培風舘) • Ｅ. クライツィグ著、阿部寛治訳：技術者のための高 等数学５『フーリエ解析と偏微分方程式』(培風舘) • http://ayapin.film.s.dendai.ac.jp/~matuda /TeX/lecture.html： 全講義テキスト (PDF・PS)目 次
1 1 階常微分方程式 2 1.1 直接積分形 . . . . 2 1.2 変数分離形 . . . . 3 1.3 同次形 . . . . 9 1.4 線形微分方程式 . . . . 11 1.5 曲線族，直交曲線 . . . . 13 2 高階常微分方程式 15 2.1 Laplace 変換. . . . 15 2.1.1 有用性：代数方程式への置換え . . 15 2.1.2 基本的な初等関数の変換公式の導出 15 2.2 Laplace 変換公式 . . . . 16 2.2.1 公式 (22) の具体例 . . . . 16 2.2.2 ガンマ関数 . . . . 17 2.3 その他の基本的な性質 . . . . 17 2.3.1 線形性 . . . . 17 2.3.2 微分と積分の変換公式 . . . . 18 2.3.3 s 軸上の移動 . . . . 18 2.3.4 t 軸上の移動 . . . . 18 2.4 周期関数への応用 . . . . 19 3 フーリエ解析 24 3.1 周期関数，三角級数 . . . . 24 3.2 フーリエ級数，オイラーの公式 . . . . 25 3.3 フーリエの定理 . . . . 26 3.4 単一正弦波に対する定常解 . . . . 27 3.5 一般の周期関数に対する定常解 . . . . 28 3.6 フーリエ変換 . . . . 31 3.6.1 フーリエ積分表示. . . . 31 3.6.2 フーリエ積分定理. . . . 31 3.6.3 複素形式のフーリエ積分 . . . . 32常微分方程式
独立変数 x とその関数 y(x) および y の導関数 y0, y00, · · · , y(n) を含む方程式 F (x, y, y0, y00, · · · , y(n)) = 0 (1) を常微分方程式と呼び，n を階数 といいます．ある関数 y(x) が微分方程式 (1) を満たすとき，これを解といいま す．n 階の常微分方程式の解には，最大 n 個の任意定数が 含まれますが，これら全ての任意定数を含む解を一般解， 任意定数に特定の値を与えて得られる解を特解，一般解で 表せない解を特異解と呼びます． 常微分方程式の解を，既知関数とそれらの積分で求める 方法を求積法あるいは初等解法といいます．この方法で解 が求められるのはごくに限られた特殊な形式のものです が，物理学では非常に実用的なものも含まれます． 学習の進め方 さて以降は，常微分方程式の解法を主とし て次に示すような４段階にわけて説明していきます。 • 物理現象を数理的にモデル化して常微分方程式の形に 整理する． • その一般解を求める．数学的な手法や知識はここに現 れます． • 初期条件や境界条件から問題に適した特殊解を決定す る．物理学では一般解も大事ですが，条件を満たす特 殊解が要求される場合も多いです． • 検算および物理的な解釈を行う．とても重要な事柄 です． 単に与えられた微分方程式を解く数学上のテクニックを身 につけるのではなく，何よりも物理現象を数理的に整理し ていくという姿勢と方法を習得して欲しいと願っています。1
1
階常微分方程式
1.1
直接積分形
¶ ³ 微分方程式 dy dx = f (x) (2) の一般解は，言うまでもなく両辺を x に関して積分 して，f (x) の不定積分 y = Z f (x)dx + C (3) の形で与えられます．ここに C は積分定数と呼ばれ る任意定数です．式 (2) は dy = f (x)dx (4) の辺々をそれぞれ積分したと考えることもできます． 実際，ある物理量 x, y の微小変化，すなわち dy と dx の間の関係をこのように書き下すことは非常に頻 繁に行われます． µ ´ ¤ £ ¡ ¢ 例題 1 質点の一次元運動 x(t) を考えましょう．その速 度が v0e−kt (k > 0) で与えられ，初め原点にいたとする とき，x(t) を求めなさい． [解] モデル化 速度は v = dx dt ですから， dx dt = v0e −kt が求める微分方程式． 一般解 これを積分して，一般解 x(t) = −v0e −kt k + C を得ます． 特殊解 初期条件 x(0) = −v0 k + C = 0 より C が求まり， x(t) = v0 k(1 − e −kt) 検算・物理的解釈 解を微分して検算してみましょう． dx dt = d dt n v0 k(1 − e −kt)o= −k · −v0 ke −kt= v 0e−kt 指数関数を含む場合には，その漸近的な性質 x(±∞) ≡ lim t→±∞x(t) を調べることが重要です．この場合には −k < 0 なので 0 から定数 v0 k に漸近します． ¤ £ ¡ ¢ 例題 2 (自由落下) 地表近くでは，質点は一定重力加速 度 g で落下します．まず，初速度を 0 として落下速度 v(t) を求め，さらに落下距離 y(t) を求めなさい． [解] まさに教科書的な問題で高校で既に学習した事柄で す．しかし，単に代数解を思い起こすだけでは発展があり ません．微分方程式という目で見直しましょう． モデル化 加速度は速度の時間微分ですから求める微分 方程式は dv dt = g です．さらに速度は変位 (落下距離) の時間微分ですから dy dt = v(t) が落下距離に関する微分方程式となります． 一般解 まず v(t) に関する微分方程式を直接積分して一 般解 v(t) = gt + C を得ます．この結果を y(t) の微分方程式の右辺に代入し て眺めると，やはり簡単に積分可能で y(t) = 1 2gt 2+ Ct + C0 という一般解が得られます． 特殊解 初速度 v(0) = 0 より C = 0，また落下距離の定 義から自然な初期条件 y(0) = 0 が与えられ C0 = 0 を得 ます．よって y(t) = 1 2gt 2 がこの場合の解となります． 検算・物理的解釈 簡単に検算できます．この解は，単純な 形なので暗記している人も多いでしょう．ガリレイはこの 代数関係を導き出すのに随分と実験を繰り返したようでし たから，ガリレイの頃の力学のレベルに達していると言っ ていいかもしれません．しかし，それではその後ニュート ン等によって完成された古典力学を理解したとは言えませ ん．大学生となった皆さんが覚えるべき事柄はこの代数関 係自身ではなく，この代数関係の導出過程なのです． ¤ £ ¡ ¢ 例題 3 （円の面積） 円の半径を r から r + dr に変化さ せたときの面積の変化を考えて，円の面積 S と半径に関 する微分方程式を導き，S(r) を求めなさい．ただし，円 周の長さが 2πr で表されることは既知とします． [解] モデル化 円環の面積は (幅)×(円周) と近似できます． これが円の面積 S の微小変化量に等しいので dS = 2πrdr． 一般解 辺々を積分して S(r) = Z dS = Z 2πrdr = πr2+ C 特殊解 S(0) = 0 より明らかに C = 0 ですから，S = πr2 検算・物理的解釈 今まで常識だった事柄も，新しい視点 で捉え直すことができます．問題 1 （球の体積） 球の半径を r から r + dr に変化 させたときの体積変化を考えて，球の体積 V と半径に関 する微分方程式を導き，V (r) を求めなさい．ただし，球 の表面積が 4πr2 であることは既知とします． 問題 2 （ばねのエネルギー） ばねの先端の変位 x はバ ネが自然長となっている位置を原点に測ります．いま変位 を x から x + dx に変化させたときに要する仕事がバネに 蓄積されたエネルギー U となると考えて，U (x) を求めな さい． 問題 3 （棒の端のまわりの慣性モーメント） 線密度 λ の棒の長さが x から x + dx に変化したときの，反対側の 端のまわりの慣性モーメントの変化を考えて，長さ l，質 量 m の一様な細い棒の端のまわりのモーメントを求めな さい． 問題 4 （円盤の慣性モーメント） 面密度 σ の円盤の半 径が r から r + dr に変化したときの慣性モーメントの変 化を考えて，半径 a，質量 M の一様な円盤の中心軸まわ りのモーメントが I = 1 2M a 2 となることを示しなさい．
1.2
変数分離形
¶ ³ 多くの 1 階微分方程式は，代数的な操作によって次の 形に変形させることができます． dy dx = f (x) g(y) (5) このように x だけの関数 f (x) と y だけの関数 g(y) に分けられたことを指して，変数分離形と呼びます． さらに g(y)dy ＝ f(x)dx (6) と書き直せば，左辺は y のみ，右辺は x のみの式と なりこの命名がはっきりします．一般解は，両辺を直 接積分して (もし積分が存在すれば) Z g(y)dy = Z f (x)dx + C (7) と表されます． この形に帰着できる例が沢山あります．運良く公式に ある不定積分になっていれば，関数の形が具体的求ま りますから，大変見通しが良いといえます．以下は， その運の良い例です． µ ´ ¤ £ ¡ ¢ 例題 4 (半減期) 放射性元素が崩壊する速さはその瞬間 に存在する物質の量に比例します．また量の半分が崩壊す る時間は半減期と呼ばれます．半減期 T の放射性元素の 初期の存在量を N0として，任意の時間の存在量を求めな さい． [解] モデル化 存在量を N(t) とおくと，その崩壊による 消滅の速さは −dN dt ですから，微分方程式は −dN dt = kN と表されます． 一般解 変数分離して 1 NdN = −kdt と書き表し，両辺を積分すれば，一般解 log N = −kt + C ⇔ N = C0exp[−kt] を得ます． 特殊解 初期条件 N (0) = N0より C0= N0，また，半減 期の定義より 1 2N0= N0exp[−kT ] ですから，k = log 2 T ． よって N (t) = N0exp · −log 2 T t ¸ . 検算・物理的解釈 検算は簡単です．解が指数関数で表され る典型的な問題です．時間変化率が定数であるとみなして， このように量が指数的に減少・増加していく物理現象は数 多くみられます．その場合に半減期のような時定数 (現象 に応じて緩和時間，減衰率，立上り時間などと呼ばれる) が現象を特徴付ける訳です． 問題 5 (Lambert の光吸収の法則) 非常に薄い層を通 過する際の光の吸収は，層の厚さと光の強度に比例すると いう．この法則を微分方程式で表現し，任意の位置 x にお ける光の強度 I(x) を求めなさい． ¤ £ ¡ ¢ 例題 5 (雨粒の落下速度) 静かな大気中を落下する雨粒 (質量 m ) には重力と空気の抵抗が働きます．抵抗が速度 v に比例するという Stokes の法則を考慮して，雨粒の落 下速度を時間の関数として求めなさい． [解] モデル化 Newton の運動方程式 m ˙v = f に素直に 代入して mdv dt = mg − kv を得ます．もちろん k を比例定数としてます． 一般解 変数を左右に分離すれば dv mg k − v = k mdt と整理でき，辺々積分して − log³ mg k − v ´ = k mt + C ⇔ v = C0exp µ −k mt ¶ +mg k特殊解 自然な初期条件 v(0) = 0，すなわち雨粒は静止 状態から落下したという条件を考慮すれば， v(t) =mg k ½ 1 − exp µ −k mt ¶¾ が求める解です． 検算・物理的解釈 十分時間が経ったとき速度は無限大と はならずに，有限値 v∞ = mg k に漸近します．また，こ の抵抗は空気の粘性によるもので，粘性係数を η，雨粒 の半径を a とすると係数は k = 6πηa で与えられます． 水の密度を ρ とすれば m = 4πρa3/3 より，最終速度は v∞= mg/k = 2ρga2/9η ∝ a2 と表され，小さい粒はゆっ くり落下するということになります．霧を思い浮かべると， 十分に納得できる結論です． 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 2 4 6 8 10 1-exp(-0.5*x) 1/e 問題 6 (落下：最終速度) 速度 v に比例した抵抗が働く 落下運動において，初速度 v0 が与えられた場合の v(t) を 求めなさい．最終速度 v∞と初速度の関係はどうなるか解 析しなさい． 問題 7 (落下：v に比例した抵抗力) 速度 v に比例した抵 抗が働く場合の質点の落下距離 y(t) を求めてみなさい． 問題 8 (落下：v2 に比例した抵抗力) 速度の自乗 v2 に 比例した抵抗力が作用する場合に，落下速度 v(t) および 最終落下速度 v∞を求めなさい．重力加速度は g です． さ らに，速度 v およびその自乗 v2，両方ともに抵抗力が働 く場合について解析してみなさい． 問題 9 (Newton の冷却の法則) 実験的な例証から『物 体の温度 T の変化率は周囲の温度との差に比例する』と いう法則が得られている．熱い金属球を温度が一定に保た れている水に入れて冷却するとき，金属球の温度 T (t) を 求めなさい．一定水温を Twとして，金属の初期温度を T0 としなさい． ¤ £ ¡ ¢ 例題 6 (落下：万有引力) 地表近くでは物体に働く力は 一定とみなせますが，遠く離れると万有引力の法則より距 離の自乗に反比例します．地表からロケットを打ち上げる ような場合には，当然このような力を考える必要がありま す．初速 v0 で鉛直上方に打ち上げられたロケットの速度 v(t) を求めなさい． [解] モデル化 万有引力定数を G， 地球の質量を M と すると，Newton の運動方程式は dv dt = − M G r2 = − gR2 r2 µ 地表において g = M G R2 であるから ¶ となる．ここで ¨ ¥ dv dt = dr dt dv dr = v dv dr § ¦ と変数変換をすれば，次の微分方程式を得ます． vdv dr = − gR2 r2 一般解 変数分離して辺々積分すれば v2 2 = gR2 r + C 特殊解 初期条件 r = R で v = v0 より v2 2 = gR2 r − gR2 R + v2 0 2 ⇔ v = ± s 2gR2 µ 1 r − 1 R ¶ + v2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 1 10 100 1000 図 1 上昇距離 r と速度 v の関係 検算・物理的解釈 r が大きくなるにつれ v は小さくな り r = R µ 1 − v 2 0 2k ¶−1 で 0 となり，落下を始めます．し
かしそれは右辺が正の場合，すなわち p2gR > v0の条件 下での話です．v0> p 2gR では，常に v > 0 となり，ロ ケットは地球に戻ってきません．この速度は地球重力圏か らの脱出速度と呼ばれます． v が求まったので r(t) を求めましょう．ちょっとテク ニックが必要です．変数変換 r = u−1 = ρR を施すと du u2√u − u0 = − p 2gR2dt u0= 1 R µ 1 − v02 2gR ¶ = ξ0 R という変数分離形の微分方程式を得ます．やや繁雑な計算 を経て以下の結果となります． ( i ) ξ0 > 0 ⇔ v0 < p 2gR：脱出速度未満では，頂点 (v = 0 のときの時間を T∗ とおく) までは p 2gRξ0t = −R · ρ r 1 ρξ0 − 1 + 1 ξ0tan −1 r 1 ρξ0− 1 − µr 1 ξ0 − 1 + 1 ξ0tan −1 r 1 ξ0 − 1 ¶ ¸ = F (ρ) 頂点を過ぎると p 2gRξ0t = p 2gRξ0T∗− F (ρ) ( ii ) ξ0= 0：脱出速度では， p 2gR2t = 2 3R 3 2 µ ρ32− 1 ¶ 1e+02 1e+03 1e+04 1e+05 1e+06 1e+07 1e+08
1e+00 1e+01 1e+02 1e+03 1e+04
t [sec] r/R = 0.9999 =0.99 =0.9 =0.8 =0.7 cX3/2 図 2 上昇距離 r と時間 t の関係 問題10 (落下：万有引力) 地表から鉛直上方に脱出速度 p 2gR より大きい初速度 v0で質点を打ち上げた．地球の 中心からの距離 r(t) を求めなさい． ¤ £ ¡ ¢ 例題 7 (紐の運動) 滑らかな細い釘に長さ 2l，線密度 λ の細い紐が掛けられています．左右の長さが l のときは平 衡ですが，先端を x0ずらして静かに離すと滑べり始めま す．任意の時刻の紐の先端の位置 x(t) を求めなさい．重 力加速度は g としなさい． x x l v [解] 成長する雨粒やロケットに類して，質量が変化する 問題です．形から考えれば x(t) の 2 階常微分方程式なの ですが，落下運動と同じ様に，速度 v(x) の 1 階微分方程 式へと階数を下げることができます．さらに関数 v(x) 自 体を x(t) の 1 階常微分方程式と見直して解きます． モデル化 紐全体が同じ大きさの加速を受けます．作用す る力は，左右の紐への重力です．紐の抗力は，運動に対し て垂直なので加速度を与えません．従って運動方程式は 2λ ldv dt = λ(l + x)g − λ(l − x)g = 2λgx dv dt = v dv dx と変換して，まず v(x) の微分方程式は vdv dx = g l x. これは簡単な変数分離の形ですから，v, x 毎にまとめて積 分すると v2= g l x 2+ C 初期条件 t = 0 で x = x0, v = 0 より C を求めて dx dt = v = r g l (x2− x20) (∗) が求める微分方程式． 一般解 変数分離形なので，辺々積分を実行して一般解は s l g log µ x + q x2− x2 0 ¶ = t + C0 特殊解 初期条件 x(0) = 0 より C0 を求めて s l g log à x +px2− x2 0 x0 ! = t
変形して x に付いて解いて x = x0e √g lt+ e− √g lt 2 = x0cosh r g l t 検算・物理的解釈 双曲線 (hyperbolic) 関数に関する公式 ¨ ¥ cosh2t = sinh2t + 1 d dtcosh t = sinh t, d dtsinh t = cosh t § ¦ より r g l = ω とおいて dx dt = x0ω sinh ωt 一方 v = ω q (x2− x2 0) = ω q (x2 0cosh2ωt − x20) = x0ω p cosh2ωt − 1 = x0ω sinh ωt ですから，x(t) は確かに式 (∗) を満たします．また，同様 にして vdv dx = dv dt = ω 2x 0cosh ωt = g l x も確認できます． 問題11 紐の運動において，紐には内力として張力 T が 働いている．T を求めなさい． [略解] 紐のどちらか側に注目して運動方程式を立てます． 初期状態に依らず x のみの関数となります． T (x) = λ µ x2 l − l ¶ g 問題12 線密度 λ，長さ l の鎖が，滑らで水平な机の端 から鉛直に滑べり落ちた．初めに x0だけ垂れていたとし て，鎖の鉛直に滑べり落ちている部分の長さ x(t) を求め なさい．また，張力 T (x) を求めなさい． [略解] 微分方程式は例題と同じになりますから x(t) は同 じになります．しかし，張力 T (x) は違います． T (x) = λ ³ 1 − x l ´ xg 問題13 半径 r の滑らかな釘に掛けられた紐の運動を解 析しなさい． ¤ £ ¡ ¢ 例題 8 (化学反応：質量作用の法則) 不可逆な化学反応 A + B → C における生成分子 C の分子数 x の時間変化 を考えましょう．初期状態では，A，B の分子数はそれぞ れ a，b であり，C の分子数は 0 であったとします． [解] モデル化 C 分子の生成率は A 分子，B 分子の分子 数に比例すると考えられますから，その比例定数を k と おけば，反応を支配する微分方程式は dx dt = k(a − x)(b − x) となります． 一般解 変数分離して kdt = dx (a − x)(b − x) = µ 1 a − x− 1 b − x ¶ dx b − a 辺々積分すれば kt + C = 1 a − blog µ a − x b − x ¶ ⇔ a − x b − x = C 0e2µt µ µ = a − b 2 k ¶ 特殊解 初期条件 x(0) = 0 より C0= a/b．x について解 いて x = ab eµt− e−µt aeµt− be−µt. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 100 200 300 400 500 図 3 C 分子の生成量の時間変化． a = 1.0, b = 0.9 検算・物理的解釈 やや検算は繁雑ですが各自確認してく ださい．いま，仮に a > b とすれば µ > 0 ですから，十 分時間が経った後には x∞= b, ˙x = 0．すなわち，初期時 に数の少ない方の分子が枯渇して，反応が停止します．も ちろん，多い方の分子は未反応分が残ります．実は a = b の場合は関数形が変わってしまいますので，念のため確か めてください． 問題14 (可逆反応) 2A *) X なる可逆反応により，分子 A から分子 X が生成する． 任意の時刻での X の分子数
x(t) を求めなさい．ただし，初め A の分子数は 2a，X の 分子数は x(0) = 0 であったとする．また，2A → X およ びその逆反応の 2A ← X の反応定数をそれぞれ k1, k2と おきなさい． ¤ £ ¡ ¢ 例題 9 (ロジスティック方程式) 生物集団の個体数 x を 時刻 t に関するの連続量とみなし，その時間変化が個体数 x に比例するだけではなく，個体数と飽和値との差 s−kx（ k：定数）にも比例すると考えて，微分方程式を解きなさい。 [解] モデル化 題意から，次の微分方程式を得ます． dx dt = (s − kx)x 一般解 変数分離して dt = dx (s − kx)x = µ 1 x+ k s − kx ¶ dx s 辺々積分して t + C = 1 s © log x − log(s − kx)ª= 1 s log x s − kx ⇔ C0est= x s − kx ⇔ x = sest C0+ kest 特殊解 初期条件は 0 < x(0) = s C0+ k < s k を満たすは ず．その外に自然な条件はないでしょう．
0
0.5
1
-6
-4
-2
0
2
4
6
/1.5
C= e
-2C= e
-1C= e
1C= e
2C=1
図 4 生物集団の個体数の変化． k = 1, s = 1 検算・物理的解釈 ２種類の個体 A，B があって A が B を捕食する場合（連立となる）への応用などが思い浮かぶ でしょう。以外に難しく解析的な解が得られないので，数 値解析に頼ることになります。 ¤ £ ¡ ¢ 例題10 (貯水槽からの水の流出) 断面積 S 一定の貯水 槽の底に面積 a の孔があり，孔から水が流れ出ています． 底から水面までの距離 y(t) を求めなさい．ただし，初期 状態を y(0) = H とします． [解] モデル化 単位時間に孔から流出する水量は (流束 の断面積) × (流速) です．流束の断面積は孔を通過する瞬 間には孔の面積に等しいと考えていいでしょうから，dt の 間には dV = avdt の水が流出します．ところで，流速 v は Torricelliの法則より v =p2gy ですから，結局 dt 間 の流出量は dV = ap2gy dt と表せます．一方，貯水槽の水の減少量 dV0 は (断面積 ) × (高さ変化) ですから dV0 = −Sdy と表されます．と ころで水は途中で消えたりしませんから dV = dV0が成立 して ap2gydt = −Sdy が求める微分方程式です． 一般解 変数分離して各々積分すると −S a r 2 g √ y = t + C 特殊解 初期条件 y(0) = H より積分定数 C を求めて S a r 2 g √ y =S a s 2H g − t ⇒ y(t) = ga 2 2S2 Ã S a s 2H g − t !2 検算・物理的解釈 t の二次関数，すなわち放物線を思い 浮かべると，状況が掴みにくいですが t の範囲を考えて図 を書けば納得できるでしょう．指数的ではありませんが単 調減少となっています．0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
0.5
1
1.5
2
(1-t)
2 図 5 底孔からの水の流出による貯水槽水面の高さ変化問題15 図のように半径 R の半円球の貯水槽の底に面積 a の孔があり，水が流出している．任意の時刻の水深 y(t) を求めなさい． ただし，初期には貯水槽は水で満たされ ていたとする． R y(t) 問題16 貯水槽の底から水が流出する問題を考える．貯 水槽の形状は鉛直軸のまわりの回転体であり，位置 y にお ける半径を r(y) とする．水深の変化の割合が一定である とき (つまり y(t) が t の一次関数)，r(y) を求めなさい． 問題17 半径 R の円筒形の貯水槽に幅 w の亀裂が円筒 の軸方向に生じており水が流出している．初めの水深を H とおいて，水深の時間変化 h(t) はどのように表されるか． 重力加速度を g としなさい． [略解] h(t) = τ 2 (t + τ )2H µ τ = 3πR 2 w√2gH ¶ となり，h = 0 となるには無限大の時間が必要となってし まう． ¤ £ ¡ ¢ 例題11 (気体の電離によるイオンの生成) 気体が電離し て，遊離した電子と正イオンが同じ数 n 個だけ生成され るとき， 電子とイオンが再結合して中性原子になる割合 は αn2 と考えることができる．ここに α は再結合定数と 呼ばれる．初め電離していない気体中において，ある時間 内では一定の割合 I でイオンが生成されたとすると，正味 のイオン数の変化率は dn dt = I − αn 2 で与えられる．任意の時刻におけるイオン数 n(t) を求め なさい． [解] モデル化 モデルは与えられています． 一般解 変数分離して k2= I/α とおくと， αdt = dn k2− n2 = 1 2k µ 1 k + n + 1 k − n ¶ となります．積分を実行して logk + n k − n = 2kαt + C ⇔ k + n k − n = C 0e2kαt が求める一般解です． 特殊解 初期条件 n(0) = 0 より C0= 1．よって k + n k − n = e 2kαt ⇔ n = k(e 2kαt− 1) e2kαt+ 1 = r I αtanh( √ Iαt) 検算・物理的解釈 双曲線関数は実数に対しては周期関数 ではありません．正接 tanh(x) は全領域で単調増加な関 数で tanh(±∞) = ±1 x y y = 1 y = -1 y=tanh(x) 図 6 双曲正接 tanh(x) 曲線 問題18 （蒸発） ナフタリン球は蒸発によって小さくなっ ていくが，その速さはそのときの表面積に比例するという． 球の半径の経時変化 r(t) を求めなさい．また，3ヵ月の間 に半径が 1cm から 0.5cm になったとするとき，球が事実 上なくなってしまうまでに，あとどれくらい時間がかかる か見積りなさい． 問題19 （Stephan-Boltzmann の法則） 高温物体が熱 を失う割合は，その温度 T と周囲の温度 Te との 4 乗差 に比例する．すなわち，Boltzmann 定数を k として M cdT dt = −kS(T 4− T4 e) と表される．ここに，物体の質量を M ，比熱を c，表面積 を S とおいている．周囲の温度が一定値である場合に，任 意時刻 t と物体の温度 T (t) の関係を導きなさい．高温物 体の内部の温度分布は一様であると考えなさい． [略解] T (t) を陽に表すことはできないが，図に Teに漸近 する様子を示す． 問題20 （理想気体に関する Boyle–Mariotte の法則） 低圧かつ温度一定の気体について，体積 V (p) の変化率は −V /p に比例するという実験結果が報告された．この結果 を微分方程式で定式化して解きなさい．
0.2Te 0.4Te 0.6Te 0.8Te Te 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 問題21 （導体中の電荷の消滅速度） 一様な導体中に電 荷があると，それはただちに表面に散逸してしまい，内部 にとどまることができない．オームの法則 ~i = σ ~E，電荷 保存の法則 ∇ ·~i + ∂ρ/∂t = 0，ガウスの法則 ∇ · ~E = ρ/ε0 に基づいて電荷の時間変化に関する微分方程式をたて，散 逸の時定数を求めなさい．また，金属（ σ ∼ 107Ω−1m−1 ）ではこの時定数がどの程度の値となるか計算しなさい．
積分公式
次の不定積分は頻繁に使います．基本公式ですから，導 き方も併せてしっかりと覚えましょう． ¶ ³ (i) Z dx x + a= log |x + a| (ii) Z dx x2+ a2 = 1 a arctan x a (a 6= 0) (iii) Z dx x2− a2 = 1 2alog ¯ ¯ ¯ ¯x − ax + a ¯ ¯ ¯ ¯ (a 6= 0) (iv) Z dx √ a2− x2 = arcsin x a = − arccos x a (a > 0) (v) Z dx √ x2+ a= log ¯ ¯ ¯x +px2+ a ¯ ¯ ¯ (vi) Z dx ax2+ bx + c = 1 √ b2− 4aclog ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2ax + b −√b2− 4ac 2ax + b +√b2− 4ac ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (b2−4ac > 0) 2 √ 4ac − b2arctan 2ax + b √ 4ac − b2 (b2−4ac < 0) −2 2ax + b (b 2−4ac = 0) µ ´1.3
同次形
¶ ³ 右辺が変数の比だけの関数 dy dx = f ³ y x ´ (8) である微分方程式を同次形と呼びます．この場合には u = y x とおけば x, u の変数分離形になって，一般 解は log x = Z du f (u) − u+ C (9) と書けます．積分後 u = y x を代入して y と x の関 係式に戻します． µ ´ ¤ £ ¡ ¢ 例題12 (川を渡る船) 船が川岸の一点 P から l 離れた真 正面の対岸の一点 O に進むとき，船の進路を求めなさい． ただし，川は一定速度 vRで流れ，船の推進速度は vB で 船は常に O 点に向かっているものとします． [解] モデル化 点 O を原点にして OP の向きに x 軸， 川の流れの向きに y 軸をとります．船の進路上の任意の 一点 P(x, y) における速度ベクトルは，船の推進速度と川 の流れのベクトル和となります．OP が x 軸となす角度を θ とおくと，船の速度成分は dx dt = −vBcos θ, dy dt = vR− vBsin θ よって dy dx = vBsin θ − vR vBcos θ r =px2+ y2, x = r cos θ, y = r sin θ を代入して dy dx = y − βpx2+ y2 x µ β = vR vB ¶ が求める微分方程式． 一般解 同次形なので y = ux とおくと u + xdu dx = u − β p 1 + u2 と変形され， log x = − Z du β√1 + u2 = − 1 βlog ³ u +p1 + u2´+ C 特殊解 初期条件 x = l で y = 0 すなわち u = 0 より C = log l を代入して −β log x l = log ³ u +p1 + u2 ´ ⇔ ³ x l ´−β = u +p1 + u2 ⇔ ½³x l ´−β − u ¾2 = 1 + u2 ⇔ u = 1 2 ½³x l ´−β −³ x l ´β¾ したがってy = l 2 ½³x l ´1−β − ³ x l ´1+β¾ 0 0.5 1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 図 7 川を渡る船の進路 検算・物理的解釈 vB > vR ならば β < 1 ですから，目 標点 O に到達します．vR= vB の場合には放物線を描き， O より川下 2 l の位置に到達します．しかし，vB < vRの 場合には 1 − β > 0 で 1 x1−β の項がありますから，x → 0 で y → ∞，すなわち対岸に漸近しますが到達できません． 【別解】 極座標系で考えると， 法線方向： dr dt = −vB+ vRsin θ 接線方向： rdθ dt = vrcos θ となり， dr rdθ = dr dt rdθ dt に代入して，r(θ) に対する変数分離形の微分方程式 dr r = − µ vB vRcos θ− tan θ ¶ を得ます．辺々を積分して， log r = −vB vRlog tan µ θ 2+ π 4 ¶
− log cos θ + log c
θ = 0 で r = l より，c = l を代入して，極座標系の曲線 の方程式 l r = tan µ θ 2 + π 4 ¶1 β cos θ が求まりました．これを，デカルト座標系に変換します． x = r cos θ より µ l x ¶β = tan µ θ 2+ π 4 ¶ =1 + tan θ 2 1 − tanθ 2 µ l x ¶−β = 1 − tan θ 2 1 + tanθ 2 であることに注意すれば， tan θ = 1 2 (µ l x ¶−β − µ l x ¶β) これを y = x tan θ に代入すれば答が得られます． 問題22 川を渡る船の問題において， t と x の関係を求 めなさい．それを利用して，一定速度 vR で動く飛行機を 標的にする推進速度 vB のミサイルの軌道を求めなさい． 初期には，飛行機はミサイルの発射台から距離 l 離れた位 置を，発射台と飛行機を結ぶ直線に対し垂直に動いていた としなさい． 0 0.5 1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 β=0.8 β=0.1 β=0.5 図 8 追跡線
[略解] t と x の関係は t = l 2vB ½ − 1 1 − β ³ x l ´1−β + 2 1 − β2 − 1 1 + β ³ x l ´1+β¾ である（図参照）．また，追いつく位置 y0∗は y∗ 0 = β 1 − β2l 問題23 (放物面鏡) 点光源から放出された光がある形状 の鏡で反射され，平行光線となる．鏡の形状 y(x) を求め なさい． 問題24 (追跡線) 長さ L の正方形の各頂点に４隻のミサ イル巡洋艦が静止しており，ある瞬間に各艦が一斉にミサ イルを発射した．各ミサイルは常に右隣のミサイルに向 かって進み，水平に同じ速さで飛行するものとして，それ ぞれの軌跡を求めなさい． 問題25 次の１階常微分方程式を解きなさい． ( i ) y0 = −2xy ( ii ) 16yy0+ 9x = 0 (iii) y0 = 1 + y2 (iv) y0 = (1 + x)(1 + y2) ( v ) x + yy0= λy (vi) xy0= x + y (vii) xy0= (y − x)3+ y (viii) y0 = y + x y − x
1.4
線形微分方程式
¶ ³ x の関数 p(x), q(x) を係数とする 1 階微分方程式 L[ y ] ≡ dy dx + p(x)y = q(x) (10) を線形微分方程式といいます．まず斉次方程式と呼ば れる q(x) ≡ 0 の解を求めましょう．これは変数分離 形ですから，すぐに y0= ce− R p(x)dx = cw(x) という解が求められます．続いて，積分定数 c を x の関数とみなして u(x) とおき，式 (10) に代入整理す ると，u の微分方程式 du dxw(x) = q(x) ⇔ du dx = q(x) w(x) が得られます．辺々積分を実行して u = Z q(x) w(x)dx + c 0 この方法は Lagrangeの定数変化法と呼ばれ，高階 の場合に重要な手法になります．結局，q(x) ≡ 0 で はない非斉次方程式の一般解は y = e− R p(x)dx ½Z q(x) e R p(x)dx dx + C ¾ (11) と表されます．(斉次の一般解)+(非斉次の特殊解) と いう解の構成になっています． µ ´ ¤ £ ¡ ¢ 例題13 (元素崩壊列) 元素崩壊 A−→ BλA λB −→ C を考え ます．元素 A, B, C の初期量を NA, 0, 0 として，元素 B の量の時間変化 nB(t) を求めなさい． [解] モデル化 B の変化は， A から時定数 λ−1A で崩壊 して増える分と C へ時定数 λ−1B で崩壊して減る分の差と なります．すなわち dnB dt = λAnA(t) − λBnB(t) ⇔ dnB dt + λBnB(t) = λAnA(t) という線形微分方程式で表されます．nA(t) は時定数 λ−1A の崩壊で，初期値 nA(0) = NA ですから nA dt = −λanA を解いて nA(t) = NAe −λAt 一般解 公式を使うと e± R p(x)dx = e± R λBdt= e±λBt であるからnB(t) = e−λBt ½Z λANAe−λAteλBtdt + C ¾ = e−λBt ½ λANA λB− λAe (λB−λA)t+ C ¾ 特殊解 初期条件 nB(0) = 0 より C を求めて nB(t) = e−λBt λANA λB− λA n e(λB−λA)t− 1 o = λANA λB− λA © e−λAt− e−λBtª 検算・物理的解釈 検算してください．斉次解 ∝ e−λBt が残っていることが確認できます． 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0 2 4 6 8 10 λ = 0.99 λ = 0.1 λ = 0.2 λ = 0.5 λ = 1 図 9 元素崩壊列：A → B → C における中間物質 B の 総量変化 問題26 (落下運動) 一様重力 g，速度 v に比例する抵抗 を受ける落下運動を線形微分方程式の公式を使って解いて みなさい．この場合，斉次形に対応する運動はどんな運動 でしょうか． ¤ £ ¡ ¢ 例題14 (LR 直列回路) 抵抗 R とインダクタンス L と起 電力 E(t) を直列に接続した回路の電流 I(t) を，E(t) = E0 (一定) と E(t) = E0sin ωt (周期的) の場合について，そ れぞれ求めなさい． [解] モデル化 キルヒホッフの法則より，線形微分方程式 LdI dt + RI = E(t) ⇔ dI dt + R LI = 1 LE(t) を得ます． 一般解 したがって E(t) に依らず，一般解は I(t) = e−t τ ½Z E(t) L e t τ dt + C ¾ , µ τ = L R ¶ 具体的な E(t) に対しては ( i ) E(t) = E0 の場合 I(t) = e−t τ ½ E0 Lτe t τ + C ¾ = Ce−t τ +E0 R ( ii ) E(t) = E0sin ωt の場合 I(t) = e−t τ ½ E0 L Z eτt sin ωt dt + C ¾ = Ce−t τ + E0 L¡1 τ2 + ω2 ¢ µ 1 τsin ωt − ω cos ωt ¶ 特殊解 自然な初期条件はなんでしょうか？ 仮に I(0) = 0 を選ぶと ( i ) E(t) = E0の場合 I(t) =E0 R ³ 1 − e−t τ ´ ( ii ) E(t) = E0sin ωt の場合 I(t) = E0 L¡1 τ2 + ω2 ¢ ½ ωe−τt + µ 1 τsin ωt − ω cos ωt ¶¾ と特殊解は求められます．
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
図 10 LR 直列回路に交流電源を接続した場合の解： L = 1 H, R = 100 Ω, ω = 1000 Hz, E0= 50 V 検算・物理的解釈 指数関数部分は時間とともに消えて しまい，残りの部分がいわゆる定常状態を表します．定常 状態に推移するまでは過渡状態と呼ばれ，一般に回路理論 では定常回路理論の後に学習します．実際の回路動作では 定常状態を測定する方が易しく，過渡状態を観測するのは 難しいからでしょう．すなわち初期値は実際上あまり意味 がなく，むしろ十分時間が経過した時の解が必要となるの です． ところで，回路で過渡特性を測定するためには，時間の 原点および初期状態を決定しなければなりません．実際 の回路ではスイッチがその役割を占めます．微分方程式で はこのスイッチに対応する関数をどう定義すべきでしょうか？実は，連続で微分可能という，いままで扱ってきた性 質のおとなしい関数では表現できません．定義自身は簡単 で，時刻 0 でスイッチが ON になればいいのですから，階 段関数 ¨ ¥ Θ(t) = ( 0 (t < 0) 1 (t > 0) § ¦ で表現すればいいのです．ところが不連続関数ですから， 普通の意味の微分が定義できません．したがって，微分方 程式での扱いに何か工夫が必要となります．このような関 数を超関数と呼びます．Dirac のデルタ関数 ¨ ¥ 1. δ(x) = 0 (x 6= 0), Z ∞ −∞ δ(x) dx = 1 2. Z ∞ −∞ δ(x − a)f (x) dx = f (a) § ¦ も非常に重要な超関数です．これらの関数の導入でシステ ムの過渡応答の見通しがよくなりました．Laplace 変換で 詳しく学習しましょう． 問題27 (CR 直列回路) 抵抗 R とコンデンサー C と起電 力 E(t) を直列に接続した回路の電流 I(t) を，E(t) = E0 (一定) と E(t) = E0sin ωt (周期的) の場合について，そ れぞれ求めなさい． 問題28 (CR 直列回路：コンデンサーの放電) 抵抗 R と コンデンサー C とを直列に接続した回路の電流 I(t) を求 めなさい．ただし，初期にはコンデンサーに電荷 Q0 が蓄 積されていたとします． また，この放電過程を通じて R で発生するジュール熱を求めて，コンデンサーの失った静 電エネルギーと比較しなさい． 問題29 (ベルヌイ形) 次のような形の１階常微分方程式 を Bernoulli 形と呼びます． dy dx+ p(x)y = q(x)y n この方程式は，変数変換 v = y1−nにより， dv dx− (n − 1)p(x)v = −(n − 1)q(x) となり v(x) の１階線形常微分方程式に帰着されることを 示しなさい．
1.5
曲線族，直交曲線
任意の実数値 c に対して方程式 F (x, y, c) = 0 (12) が xy 平面上で曲線を表し，c の値に応じて無限に多くの 曲線が得られる場合，これらの曲線全体を１助変数の曲線 族と呼び，c を曲線族の助変数（パラメータ，parameter） といいます． 例えば，方程式 F (x, y, z) = x2+y2−c2= 0 (∗) は，原点を中心として半径 c の同心円の族を表します． １階微分方程式の一般解は１つの助変数 c を含む曲線 族を表します．逆に言えば１助変数の曲線族の多くは１階 微分方程式により表されるのです． 例えば，上記の同心円の曲線族を微分して，c を消去す れば y0= −x y が，曲線族 (∗) を表す微分方程式です． １つの曲線族が与えられていて，その各曲線族と直角に 交わる曲線族が存在するとき，２つの曲線族は直交すると いいます。また，１つの曲線族の曲線は他方の曲線族の直 交曲線であるといいます。例えば，静電気学における等電 位線と電気力線，熱伝導における等温泉と熱流線，など物 理学では直交曲線が随所に顔を出します． ¶ ³ 曲線族 F (x, y, c) = 0 が与えられ，それが微分方程式 y0 = f (x, y) (13) で表されるとき，この曲線族と直交する曲線の微分方 程式は y0= − 1 f (x, y) (14) であり，直交曲線はこの方程式を解いて求められます． µ ´ ¤ £ ¡ ¢ 例題15 xy 平面上で考える．真空中，原点に置かれた点 電荷 q による電場の等電位曲線を求め，直交曲線である 電気力線を求めなさい． [解] モデル化 点電荷によるポテンシャルは V (r) = q 4πε0r であるから，xy 平面では等電位線は c = q 4πε0 p x2+ y2 と表される．微分して c を消去すると 0 = − q 4πε0(x2+ y2) 3 2 (x + yy0) ⇒ y0= −x y = f (x, y)が等電位線の微分方程式（同心円の族）です．よって，直 交曲線の微分方程式は y0= − 1 f (x, y) = y x 一般解 変数分離形として解くと y = cx を得ます．これは原点を通る直線群です． 検算・物理的解釈 図に描いて幾何学的に直交性を確かめ ましょう（図11参照）．この場合は頭の中で想像しても， 明らかです．つまり円の中心を通る直線は円と直交するか らです． 図 11 点電荷による等電位線と電気力線の直交性 問題30 (直線電荷による電場) 一様線密度 λ の直線電荷 による電場の等電位曲線（直線電荷に垂直な面内）を求め， さらに直交曲線である電気力線を求めなさい． 問題31 (異符号平行直線電荷による電場) 大きさが同 じで符号が反対の２つの直線電荷 +λ, − λ がそれぞれ P(1, 0), Q(−1, 0) を垂直に貫いているとき，等電位曲線は (x + c)2+ y2= c2− 1 であることを示し，これに対して電気力線（直交曲線）を 求めなさい． 図 12 異符号平行直線電荷による電場 問題32 (同符号平行直線電荷による電場) 大きさも符号も 等しい２つの直線電荷（λ ）がそれぞれ P(1, 0), Q(−1, 0) を垂直に貫いているとき，等電位曲線を表す多項式は， {y2+ (x2+ 1)}2− 4x2= c であることを示し，等電位曲線を描きなさい．これに対し て微分方程式を解いて，電気力線の方程式を求めるのは非 常に困難なので，等電位曲線図を元にして，電気力線を推 測で描いてみなさい． 図 13 同符号平行直線電荷による等電位曲線：電気力線 の作図方法
2
高階常微分方程式
２階常微分方程式は，物理学では最も重要なものです が，一般に求積法で解析解を求めることは困難です．そこ で研究が進んだ結果，級数解法が成果をあげました．また コンピュータの性能が急速に向上している現在では数値解 法も十分頼りになる方法です．いずれにしても公式があっ て直にという訳には行きません．一方，定数係数の常微分 方程式は一般解法が存在し，演算子法では代数方程式に置 き換えて解を求めることが可能です．普通の教科書とは順 序が逆ですが，まず演算子法の典型である Laplace変換 を紹介します．電気・機械振動を表す２階常微分方程式な ど多くの場合，この方法で十分です．最後に，Laplace 変 換では扱えないものを紹介します．級数解法により得られ る ルジャンドル，ベッセル，エルミート関数 などが登場 します．2.1
Laplace 変換
定数係数の線形常微分方程式 y(n)+ a1y(n−1)+ · · · + an−1y(1)+ any = f (x) (15) は組織的に解く方法がいろいろ考えられています．その代 表が Laplace 変換であり，工学上の多くの線形常微分方程 式の解析解を得ることが可能となります． 2.1.1 有用性：代数方程式への置換え ® © 任意の有限区間で積分可能な関数 f (x) および s に対 して定義された無限積分 F (s) = Z ∞ 0 e−stf (t) dt (16) を f (t) の Laplace変換 といって L [ y ] で表します． ª この変換により y0 は Z ∞ 0 e−sty0dt = h e−sty i∞ 0 +s Z ∞ 0 e−sty dt (17) となりますが，右辺の第 1 項において lim t→∞e −sty(t) = 0 (s > 0) (18) が成立するような性質の関数 y(t) に対しては (17) は Z ∞ 0 e−sty0dt = −y(0) + s Z ∞ 0 e−sty dt (19) となり，これを記号で表せば L [ y0] = sL [ y ] − y(0) (20) と表されます．y00 に対しても y(t) の性質によっては L [ y00] = sL [ y0] − y0(0) = s2L [ y ] − sy(0) − y0(0) が成立します．以下同様にして L [ y(i)] = siL [ y ] − i X j=1 si−jy(j−1)(0) (21) が成立する場合には，(15) の両辺に Laplace 変換を作用 させて L " n X i=0 aiy(n−i) # = L [ f ] (21) より左辺は Ã n X i=0 aisi ! L [ y ] − n X i=0 ai i X j=1 si−jy(j−1)(0) ように展開されますから，形式的に L [ y ] = L [ f ] + n X i=0 ai i X j=1 si−jy(j−1)(0) n X i=0 aisi (22) と s の代数方程式の解として求められます．この右辺を見 て旨く元の関数形が想像できれば (逆ラプラス変換)，それ は y = L−1[ L [ y ] ] となります． 2.1.2 基本的な初等関数の変換公式の導出 いくつかの変換公式を導きましょう． ¤ £ ¡ ¢ 例題16 f (t) = 1 のラプラス変換を求めなさい． [解] 定義より L [ 1 ] = Z ∞ 0 e−stdt = −1 s h e−st i∞ 0 = 1 s ¤ £ ¡ ¢ 例題17 f (t) = eat のラプラス変換を求めなさい． [解] 定義より L [ eat] = Z ∞ 0 e−steatdt = − 1 s − a h e−(s−a)ti∞ 0 = 1 s − a2.2
Laplace 変換公式
前節では s に関する代数方程式の解から，元の微分方程 式の解 y を得る方法の概要が理解できたと思います．そ こで，いろいろな関数のラプラス変換表を示して，多様な 代数方程式に備えておくことにしましょう． 表 1 Laplace 変換公式 (I) f (t) F (s) 1 1 1 s (<s > 0) 2 tn (n : 正整数) n! sn+1 (<s > 0) 3 tx(x > −1) Γ (x + 1) sx+1 (<x > 0) 4 eat 1 s − a (<s > <a) 5 cos ωt s s2+ ω2 (<s > 0) 6 sin ωt ω s2+ ω2 (<s > 0) 7 cosh ωt s s2− ω2 (<s > <ω) 8 sinh ωt ω s2− ω2 (<s > <ω) 9 tneat n! (s − a)n+1 (<s > <a) 10 eatcos ωt s − a (s − a)2+ ω2 (<s > <a) 11 eatsin ωt ω (s − a)2+ ω2 (<s > <a) 12 t cos ωt s 2− ω2 (s2+ ω2)2 (<ω 6= 0) 13 t sin ωt 2ωs (s2+ ω2)2 (<ω 6= 0) ¤ £ ¡ ¢ 例題18 公式 4 が純虚数 a = iω に対しても成り立つと 考えて，L [ cos ωt ] 及び L [ cos ωt ] を求めなさい． [解] 公式 4 に純虚数 a = iω を代入して L [ eiωt] = 1 s − iω = s + iω s2+ ω2 = s s2+ ω2 + i ω s2+ ω2 を得ます．一方 Laplace変換の線形性 よりL [ eiωt] = L [ cos ωt + i sin ωt ] = L [ cos ωt ] + iL [ sin ωt ] ２つの式の実数部と虚数部が等しいことより，公式 5,6 が 示されました． 問題33 z = a + iω に対して，L [ ezt] = 1 s − z が成立 するとして，公式 10，11 を導きなさい． 問題34 L [ cosh ωt ] 及び L [ sinh ωt ] を求めなさい．す なわち，公式 7，8 を証明しなさい． 2.2.1 公式 (22) の具体例 前節では内容がはっきりしなかった公式 (22) の具体的 な例を解いてみましょう． ¤ £ ¡ ¢ 例題19 y0 = −ky を解きなさい． [解] ラプラス変換して sL [ y ] − y(0) + kL [ y ] = 0 ⇔ L [ y ] = y(0) s + k ラプラス変換表より 1 s + k の元の関数は e −kt であるから y = L−1 · 1 s + k ¸ y(0) = y(0)e−kt 問題35 y0= −ky + b を解きなさい． 問題36 y0+ ky = e−ωt を解きなさい． ¤ £ ¡ ¢ 例題20 y00+ ω2y = 0 を解きなさい． [解] ラプラス変換して s2L [ y ] − sy(0) − y0(0) + ω2L [ y ] = 0 これを整理して L [ y ] =sy(0) + y 0(0) s2+ ω2 を得る．ラプラス変換表より ω s2+ ω2 の元の関数は sin ωt， s s2+ ω2 の元の関数は cos ωt であるから
y(t) = y(0) cos ωt +y0(0) ω sin ωt
問題37 y00− ω2y = 0 を解きなさい．
¤ £ ¡ ¢ 例題21 （斉次定数係数 2 階線形微分方程式の一般解） 機械・電気振動系の微分方程式は次の形に整理されます． y00+ P y0+ Qy = f (t) (P ，Q は実数) (23) f (t) は外力あるいは電源です．外力がない場合，すなわち f (t) ≡ 0 の場合，自由減衰振動となり，系の固有振動が現 れます．すなわち，(23) の斉次式の一般解を Laplace 変換 により求めてみましょう． [解] Laplace 変換後，整理して L [ y ] = sy(0) + P y(0) + y 0(0) s2+ sP + Q (24) 分母 g(s) = s2+ sP + Q により場合分けする必要があり ます． ( i ) g(s) = 0 が 0 以外の 2 つの根をもつ場合 g(s) = (s − β1)(s − β2) と表わされ L [ y ] = sy(0) + P y(0) + y 0(0) g(s) = A1 s − β1 + A2 s − β2 A1= β1y(0) + P y(0) + y 0(0) β1− β2 A2= β2y(0) + P y(0) + y 0(0) β2− β1 逆変換より，一般解 y(t) = A1eβ1t+ A2eβ2t β が実数ならば単なる指数関数ですが，共役複素数な らば実数を変数とする三角関数（振動項）と指数関数 （減衰項）の積に書き換えられます． P = 0, Q 6= 0 の場合も含まれます． ( ii ) g(s) = s2+ P s，すなわち Q = 0 の場合には，g(s) = s(s + P ) ですから L [ y ] = sy(0) + P y(0) + y 0(0) g(s) = B1 s + P + B2 s B1= −y 0(0) P B2= y(0) + y0(0) P 逆変換より，一般解 y(t) = −y 0(0) P e −P t+ y(0) +y0(0) P この場合には，P が実数なので指数関数です． 2.2.2 ガンマ関数 公式 3 に現れた，Γ (p) は次のガンマ積分で定義された 関数です． Γ (p) = Z ∞ 0 up−1e−uu (p > 0) 例えば，Γ (1) = Z ∞ 0 e−udu = 1 です．また， Γ (p + 1) = Z ∞ 0 upe−udu = h −upe−ui∞ 0 + p Z ∞ 0 up−1e−udu = pΓ (p) であり，p が自然数なら（n とおいて） Γ (n + 1) = nΓ (n) = n(n − 1)Γ (n − 1) = · · · = n(n − 1) · · · 1 · Γ (1) = n! ガンマ関数を用いて，f (t) = tx のラプラス変換は L [ tx] = Z ∞ 0 e−sttxdt st = u とおいて変数変換すれば = Z ∞ 0 ux sxe −u1 sdu = 1 sx+1 Z ∞ 0 uxe−udu =Γ (x + 1) sx+1 と表されます．
2.3
その他の基本的な性質
基本的な変換表の公式からラプラス変換の性質を利用し て多くの変換公式が導き出されます．ここでは，微分積分 以外の作用を考えてみましょう． 2.3.1 線形性 暗黙の内に使っていたのですが，ここでラプラス変換は 線形演算であることを示しましょう．すなわち，f1(t) と f2(t) のラプラス変換が存在すると，任意の定数 α, β に対 して L [ αf1(t) + βf2(t) ] = αL [ f1(t) ] + βL [ f2(t) ] (25) が成立し，演算 L [ ] は線形です． [解] 定義により L [ αf1(t) + βf2(t) ]= Z ∞ 0 e−st©αf1(t) + βf2(t) ª dt = α Z ∞ 0 e−stf 1(t) dt + β Z ∞ 0 e−stf 2(t) dt = αL [ f1(t) ] + βL [ f2(t) ] となります．すなわち，積分（という演算）の線形性に帰 着されています． 2.3.2 微分と積分の変換公式 節の最初に述べた通り，関数 f (t) の微分のラプラス変 換は，おおよそ元の変換 F (s) = L [ f ] に s を掛けたもの となっています．それでは，逆に積分は s で割ったものな ると予想されます． ¤ £ ¡ ¢ 例題22 f (t) の積分のラプラス変換が L h Z t 0 f (τ ) dτ i = 1 sL [ f (t) ] で与えられることを示しなさい． [解] 厳密に示すには，まず f(t) の積分 g(t) = Z t 0 f (τ ) dτ のラプラス変換が存在することを示す必要がありますが， ここでは存在するものとしましょう．すると，微分の公式 から L [ f (t) ] = L [ g0(t) ] = sL [ g(t) ] − g(0) となります．明らかに g(0) µ = Z 0 0 ... ¶ = 0 ですから L [ f ] = sL [ g ] が成立します．すなわち，題意が示されま した． 2.3.3 s 軸上の移動 f (t) の変換が F (s) であるとき，eatf (t) の変換は， L [ eatf (t) ] = Z ∞ 0 e−steatf (t) dt = Z ∞ 0 e−(s−a)tf (t) dt = F (s − a) より， F (s − a) となります．そして，s を s − a で置き 換えることは，s 軸に沿って関数 F (s) を a 平行移動する ことに相当するので，移動定理と呼ばれます．すなわち， ® © s 軸上における像関数 F (s) の移動定理 L [ eatf (t) ] = F (s − a) (26) ª が成立します． 問題39 公式 9，10，11 を s 軸上の移動定理を用いて示 しなさい． 2.3.4 t 軸上の移動 f(t) f(t-a) f(t-a) Θ(t-a) Θ(t-a) a a a 図 14 t 軸上の移動の概念 s 軸上の移動定理では，像関数 F (s) における s → s − a の置換えが，原関数 f (t) に eatを掛けることに対応してい ました．では，原関数 f (t) における t → t − a の置換えは， 像関数 F (s) に eas を掛けることに対応するでしょうか？ 大まかには正しいのです．しかし，少し工夫が必要です． 原関数を t − a に置き換える際，図のように，0 < t ≤ a の区間で f (t) ≡ 0 とします（これ例外に自然な与え方は ないでしょう）。このような定義を含ませるために，階段 関数 Θa(t) が必要になります． Θa(t) = Θ(t − a) = ( 0 (t < a) 1 (t > a) この超関数を使って f (t) の移動を定義し，次の定理を得 ます． ® © t 軸上における原関数 f(t) の移動定理 L [ Θ(t − a)f (t − a) ] = e−asF (s) (27) ª ¤ £ ¡ ¢ 例題23 t 軸上の移動定理を証明しなさい． [解] 定義より L [ Θ(t − a)f (t − a) ] = Z ∞ 0 e−stΘ(t − a)f (t − a) dt = Z ∞ a e−s(t−a)−saf (t − a)dt τ = t − a とおいて = e−sa Z ∞ 0 e−sτf (τ ) dτ = e−saF (s) ¤ £ ¡ ¢ 例題24 Θa(t) のラプラス変換を求めなさい． [解] f(t) = 1 のラプラス変換は 1 s であるから，t 軸上の 移動定理より
L [ Θa(t) ] = L [ Θa(t)1 ] = e−saL [ 1 ] = e−sa
¤ £ ¡ ¢ 例題25 階段関数に対する RL 回路の応答 RL 直列回路 に対して時刻 t = a から一定電圧 E0 が印加されたとき， 電流 I(t) を求めなさい． [解] モデル化 外部電圧を E(t) = Θa(t)E0 と表して， 求める微分方程式は LdI dt + RI = Θa(t)E0⇔ dI dt + R LI = Θa(t) E0 L 特殊解 ラプラス変換法により解を求めます．微分方程式 をラプラス変換すると sL [ I ] − I(0) +R LL [ I ] = E0 L e−as s I(0) = 0 であることに注意して整理すると L [ I ] =E0 L e−as (s + 1 τ)s µ τ = L R ¶ = E0e −as L ½ 1 s − 1 s + 1 τ ¾ L R = E0 R ½ e−as s − e−as s + 1 τ ¾ 1 s の逆変換は 1， 1 s +τ1 の逆変換は e −t τ ですから，t 軸 上の移動定理より I(t) =E0 R n 1 − e−(t−a)τ oΘa(t) 検算・物理的解釈 この解はもちろん I(t) =E0 R n 1 − e−t τ o を t 軸上で a 移動させたものとなっています． 問題40 RL 直列回路に図のような矩形波が印加された 場合の電流 I(t) を求めなさい．矩形波が印加される以前 の電流は 0 です． ¤ £ ¡ ¢ 例題26 減衰振動系が y” + 4y0+ 3y = g(t), y(0) = 0, y0(0) = 0 で与えられている場合，単一矩形波の外力 g(t) = Θ0(t) − Θ1(t) に対する系の応答を求めなさい． [解] 特殊解 ラプラス変換を行い Y = L [ y ] と記すことにす ると s2Y + 4sY + 3Y = 1 s(1 − e −s) を得ます．これを Y について解いて Y = (1 − e−s) 1 s(s + 1)(s + 3) = (1 − e −s)F (s) とおいて，部分分数に展開すると F (s) = ½ 1/3 s − 1/2 s + 1+ 1/6 s + 3 ¾ となります．この逆変換は f (t) = L−1[ F (s) ] = 1 3 − 1 2e −t+1 6e −3t となります．t 軸上の移動定理より L−1[ e−sF (s) ] = f (t − 1)Θ1(t) となりますから，解は y(t) = L−1[ Y ] = f (t) − f (t − 1)Θ 1(t) = 1 3 − 1 2e −t+ 1 6e −3t (0 ≤ t < 1) 1 2(e − 1)e −t− 1 6(e 3− 1)e−3t (1 < t) 検算・物理的解釈 結果を図 15に示します． 0 0.1 0.2 0 1 2 3 図 15 減衰振動系の矩形波に対する応答
2.4
周期関数への応用
t > 0 で定義された周期 p の周期関数 f (t + p) = f (t) （すべての t について）に対して，長さ p の区間に f (t) を分割して 0 から ∞ ま での積分を次のように級数で表します． L [ f ] = Z ∞ 0 e−stf (t) dt = Z p 0 e−stf dt + Z 2p p e−stf dt + Z 3p 2p e−stf dt + · · · 第 2 の積分では t = τ + p， 第 3 の積分では t = τ + 2p， · · ·，第 n の積分では t = τ + (n − 1)p と変数変換すると， 各積分の積分区間は 0 から p までとなります．また，周 期関数の性質 f (τ + p) = f (τ ), f (τ + 2p) = f (τ ), · · · より L [ f ] = Z p 0 e−stf (τ ) dτ + Z p 0 e−stf (τ ) dτ + Z p 0 e−stf (τ ) dτ + · · · = (1 + e−sp+ e−2sp+ · · ·) Z p 0 e−stf (τ ) dτ と整理されます．括弧の中は無限等比級数で，その和は 1 1 − e−ps ですから，次の定理が成立します． ® © f (t) が区分的に連続で，周期 p をもつとき，そのラプ ラス変換は L [ f ] = 1 1 − e−ps Z p 0 e−stf (t) dt (28) ª ¤ £ ¡ ¢ 例題27 図のような周期的矩形波のラプラス変換を求め なさい．
k
-k
a
2a
3a
t
f(t)
図 16 周期的矩形波 [解] 周期 p = 2a であり，公式 (28) より L [ f ] = 1 1 − e−2as Z 2a 0 e−stf (t) dt = 1 1 − e−2as ½Z a 0 ke−stdt + Z 2a a (−k)e−stdt ¾ = 1 1 − e−2as ½ k s(1 − e −as) +k s(e −2as− e−as) ¾ = k s (1 − e−as)2 (1 − e−as)(1 + e−as) = k s µ 1 − e−as 1 + e−as ¶ = k stanh as 2 問題41 以下の図に示されるの周期関数のラプラス変換 を求めなさい． ( i ) 周期的三角波 k 2a 4a t f(t) 0 k as2tanh as 2 ( ii ) sin ωt の半波整流 k t f(t) 0 π/ω 2π/ω 3π/ω 4π/ω kω (s2+ ω2)(1 − e−sπ/ω) (iii) sin ωt の全波整流 k t f(t) 0 π/ω 2π/ω 3π/ω 4π/ω kω(1 + e−sπω) (s2+ ω2)(1 − e−sπ/ω) ¤ £ ¡ ¢ 例題28 図のような周期的矩形波の電源電圧を RL 回路 に印加したときの定常電流を求めなさい．V
t
v(t)
0
-V
v(t)
L
R
[解] モデル化 微分方程式 v(t) = Ri(t) + Ldi dt のラプラス変換 V (s) = RI(s) + L{sI(s) − i(0)} より
I(s) = i(0) s + τ−1 + V (s) (s + τ−1)L, τ = L R 特殊解 I(s) の第 1 項の逆変換は it(t) = i(0)e− t τ と簡単 に求まります，この項は t → ∞ で 0 となる過渡的な部分 です．定常状態を表す部分を含む第 2 項を求めましょう． V (s) = V0 s µ 1 − e−T s 1 + e−T s ¶ ですから， V (s) (s + τ−1)L
