ON A SASAKIAN MANIFOLD ADMITTING SPECIAL
C−KILLING VECTORS WHOSE COVARIANT
DERIVATIVES ARE C−CONFORMAL
KILLING TENSORS BYCHENG・HsrEN CHEN
Dedicated to Prof． Dr． Tyuzi Adati oll the occasion of his siXtieth birthday Introduction． In a Riemannian manifold， S． Tachibana［1］introduced the conception of conformal Klling tensor and proved： THEOREM A・In・a・Riemannian仇nifold of constant curvatuアθ， t九e・covariant de励ative 7bV。1）of any Kill迦ve￠‡0ア”， is a conformα1 Killing tensor． The converse case is proved by the present author［6］as： THEOREM B． 1π αRie？nα？zniαn ？nαnifol（》 0∫ 〔海？πθ％sionん乞gher‡九απ2， iずthθ Lie algebra O∫all Killing vectors乞8 transitive and the CO砂α酩川derivαtive 7・V・of any Killing vector V・ ts a conformal Killing tensor， then the manifold is O∫ con品tant C％7°2）at％rθ． The purpose of this paper is to study analogous facts in a Sasakian mani． fold． After preliminaries in§1， in§2 we shall de丘ne the O．conformal Kil血ng tensorωμD and血1vestigate the relations between wμ釦and the specia1 0−Killing vectorξ釦（［3］）． Then the corresponding facts of Theorems A and B are obta血ed． The author is very grateful to Prof． T． Adati for his advices and sug・ gestionS． 1．Preliminarie8． An n dimensional Riemannian manifold Mn is called a Sasakian manifold if it admits a unit Killing vector且eldηa satisfying （1・1） ク2Vpηv＝ημ9a沙一η診9ap， （ηレ＝9ρ、ηε） where ga声is the metric tensor andクa is an operator of covariant derivation with respect to the Riemannian conmection． It is we11㎞own that Mn is orientable and n is odd． We put gaμ＝V2ημ， gλμ＝g2，gεμ． Then there exists 1）The letter n always denotes an odd natural number；the Latin indicesα， b， c，… run over 1．2，… ，n−1；the Greek indices 2，μ， v，… run over 1，2， ’”sn． ［7］C．H． CHEN some well known identities as follows： Sasakian holomorr）hic 8ectional curvature or a locally O・Fubiniαn mani∫old（［2］）， if its Riema皿ian CUrVatUre tenSOr iS giVen by RaFvsニ（為十1）（9kgrw−9a，9Pt）十iハ（9a．ψん一ψbgPぽ一2φa声9”虜） 一為（92‘ημηv十9μPη2η江一σ次・η声η‘−9ρsηaηP）， where為is a oonsta皿t． EVidently， the loca皿yσ・Fub血Uan manifold is an C・Einstein maifold with its Ricci tensor given by RF釦＝｛（k十1）（n−1）十2牝｝9p夕一k（n十1）ηρη・ Avector fieldξa is ca皿ed a specialσ一冗illing vector（［3］）， if it satisfies （1．8） η8ξ‘＝ξ’＝CO〕tstant
and
（1．9） 7λξρ十7Sa＝2ξt（9）s2ηP十9‘声ξλ）． It is known that the following identities hold good for e2： （1．2） （1．3） （1．4） （1．5） （1．6） （1．7）A
（1．10） （1．11） （1．12） 7a9）P”＝η戸σλレー n・9np， 」叱2，“ア＝η29F”一ηPga・，、 7tg．▲＝一（n−1）ηλ， Ra8η．＝（π一1）ηa， Rμ￠λ8＝−R2、9〆’ Rp“9。2＝R・zgF’， R、。∼P．・＝R↓。∼ρ∼＋獅ぷ。P−P・・9，rρ泌〃＋￠ノσ・・， R2μ，τ乎）8τ：＝2Rat9ノ十2（π一2）g2p， 7．ξ・＝0， η・7．ξ，十P2tξ．＝0， 727Pξ．＝−R．aPt．ξ・一η2（∼o．t7，ξ．一￠♂’ッξ．） 一ηρ（￠・・7aξ．−92°7・ξ8）一η・（9β・v2ξ．十ePa‘7s．） 十2ξ‘（g829p。十g‘pgap）十2ξ’g2pη。十2（ξ，η2η，一ξ2η，η．一ξ“η2η1）． Making use of（1．12）and（1．9）， we get （1．13） 7a7S，十クρク」ξシニー（Reap．十R8ρ加）ξ8十4ξ・（epε2Pμ，十P．Pga．） 十4ξ・72ηp十4ξ’η・9ap−8ξ’η2η，η． −2（9i°ηP十9ptη2）ク8ξ，−2（9a‘η，十￠・8ηR）ク誇8 −2（9ptη。十P・．ηF）クaξ．． 2．C．conformal Killing tensors． In a Sasakian ma］由fold 1炉， we shall call atensor wp． of degree 2 aσ・conformalπ辺飢g tensor並there existS vector 丘elds pP and qP such that （2．1） 7aWFP十ク声ωz．ニ2p．G2戸一p2Gρ，−PFGa．十3（qa9−．十qFgke） −2（9aeη，十P鋪ηλ）ω・．一（9a‘？・十9㌧8ηユ）WF・一（φ♂η．十9ノηA）Wz，， where −一 （2．2） psη．＝O and α吻．＝O and we put色μ＝σ2μ一η2ηP． We call p・andσ・the associated vectors ofωμalld if bothρ・andσ・vanishON A SASAKIAN MANIFOLD ADMITTING SPECIAL C−KILLING VECTORS 9
identically then wμ、 is called a C−Ki−lli’ng tensoT，2） First We shall seek for an example of such a tensor in a certain Sasakian manifold． THEOREM 1．」rnαlocαIZy O−Fubiniαn mαnifold， the covαTiant deTivαtive o∫ αny 8pθc乞αl C・Killing幻θctor i8αC−con∫ormαl Killi↓9 tθn80r． Proof． If we put （2．3） 7μξり＝wμり in（2．1）， thell by virtue of（1．13）we get （2．4） 』2p”G2p−PaGμレーpμGav十3（αλ乎）μ，十αμ乎）2v） ＝一（Rs2Ptり十R、μav）ξε十4ξ6（90ea9）μP十9），μPap） 十ξ．ηarp”十4ξノη“σλμ一8ξ’ηλημη．一（9）a・η〃十￠）り8ηR）7μξ，一（Pμtη，十9．εrpμ）17aξt． Contracting（2．4）with．η2 and making use of（1．3）and（2．2）， we get （3．5） g）レε7μξ。＝ξ沙ημ十ξ，9p，−2ξ’ημηp． Substituting（2．5）into（2．4）， we get （2．6） 2PpG2μ一Pa（｝”・v−pμGλり十3（429pv十qμ乎）2り） ニー（Rs2PP十RεμλP）ξ・十4ξε（goε2Ppv十乎㌔μ92，） 十（2ξ夕ηλημ一ξ2ημη〃一ξμηλη”）十ξ’（2rPPgAμ一rp29pv一ηP92，）． In a locallyσFubinian manifold，（2．6）becomes （2．7） 2PpG2μ一PnGμp−pμG［λp十3（q2乎）μレ十qμg2．） ニー（k→−1）（2ξレσλμ一ξ2gμ”一ξμσえ釦）十（3瓦一ト4）ξ‘（∼∂sA9μタ十g）εpg）2〃） →一（瓦十1）（2ξ，ηAημ一ξλημη，一ξμη2rp．）十（1C十1）ξノ（2rPvgAμ一ηλgμり一Mga，）． Hence as we take in（2．1）that 7μξ．＝ωμ、， α，＝一（比十1）（ξ．一ξノη夕）and 3（1，ニ（3JC十4）ξ8ψ、， it becomes 72Vpξp十7μ7Aξv＝一（海十1）｛2（ξレーξノηレ）GAp−（ξμ一ξ，ημ）σλ，一（ξ，一ξ’ηa）（吉ρ｝ 十（3瓦十4）ξe（9Ea9）μ．十乎），pgOAレ）−2（g）λ8ημ十9pεrp2）7．ξり 一（9ASo7沙十乎㌧8η2）7μξ。一（乎）”εη．十9）夕εハ？μ）17k，， which shows 7μξ、 is a C−collformal Killing tellsor． ． Q．E．D・ Next， we shall prove the converse case． THEOREM 2． ∫？z．a Sαsαkiαn？ηαni∫ol（l Mn（n＞3）， if the 8θt o∫ αll 8Pθciαl c−−K．illing vectOTS constitutesαtrαnsitive Lieαlgebrααnd if the covαriant derivαtive oずαny speciαZ O・．Killing vectOT i8α0−conformαI Killing tensor then Mn i8αIOCαllyσ←1戸％b仇乞αn？nαni∫OT〔1． Proof． Interchanging口1dices血（2．6）asス→μ→レ→λ， we get 2）We use the』conception of§4in［4］；If the Sasakian’manifold has a regular structure， under the丘bration of Boothby−Wang，17Rwpt。 is a lift of the covariant derivative of an F・conformal Killing tensor（［5］，［6］）of the Kahlerian mani− fold as the base manifold，C．H． CHEN （2．8） 2P・G，、−P，αλ一P、σμ＋3（αμψ．2＋α．咋） ：＝一（Rεμレ2十Revp2）ξ‘十4ξε（∼Osμ9v2十9t．9）FA） ’ 十（2ξaημη沙一ξ戸ηレηλ一ξ夕ηPη2）十ξノ（2ηA9μレーημ9レn一η．9P2）． Forming（2．6）一（2．8）， we result in （2．9） PレGaP−P2G［μ→一（la∼Orv一σ，∼ρμヌー2qμ￠）”a −一硫＋：（9、agP”．一ψ、．ψμ一29、μ9）糾e…η。一』＋ξ’（・v・・。一…。）・ Contrac’ting（2．9）with glμ， we get ． （2．10） （n−2）pッ→−3qεg。．＝−R、．ξz−3ξ，十（n十2）ξ’η．． On the bther hand， transvecting（2．9）with g2u， we get （2．11） 3p，g）Re十3nqa＝−3R、：9Atξe十（π十6）￠，aξ8．． Now， carrying out（2．10）×n十（2．11）×go．a， we obta血 1 R，9ξe＿ 2 ξ，十ξ’η，，provided n≠3．
