拡張ベイズ法による広域地下水モデルの逆解析: 非定常データに基づく場合

Title

拡張ベイズ法による広域地下水モデルの逆解析: 非定常デー

_{タに基づく場合( 本文(Fulltext) )}

Author(s)

本城, 勇介; 橘川, 正男; 小川, 正二

Citation

[土木学会論文集 = Proceedings of JSCE] vol.[561] p.[175]-

_[183]

Issue Date

1997-03-21

Rights

Japan Society of Civil Engineers (公益社団法人土木学会)

Version

出版社版 (publisher version) postprint

URL

http://hdl.handle.net/20.500.12099/24271

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十 木 学 会 論 文 集No. 561/III-38, 175-183, 1997. 3

拡 張 ベ イ ズ法 に よ る広 域 地 下 水 モ デ ル の

逆 解 析: 非 定 常 デ-夕 に基 づ く場 合

本 城 勇 介1・ 橘 川 正 男2・ 小 川 正 二3 1正会 員 Ph. D. 岐 阜大 学 助 教 授 工 学 部 土木 工 学 科(〒501-11岐 阜 市 柳 戸H) 2正会 員 工 修 中 部 電力 株 式 会 社 飯 田支 店土 木 建 築 課(〒395飯 田市 吾 妻 町100番 地) 3正会 員 工 博 長 岡工 業 高等 専 門 学 校 校 長(〒940長 岡 市 西片 貝 町888) 新潟 県 六 日町地 区の 非 定常 な観 測 デ ー タ に基 づ い た広 域 地 下水 の逆 解 析 問題 に, 赤 池 ベ イ ズ情 報 量 規 準 (ABIC)に よ る拡 張 ベ イ ズ法 と 呼 ばれ る逆解 析 手 法 を 適 用 した. 地 盤 工 学 の 分 野 の逆 解 析 を 行 う上 で 問 題 とな る共 線 性 は, 本研 究 にお い て も観 測 井 戸 が解 析 モ デル の 中央 部 に集 中 して い る ため, そ の発 生 が 予 想 され る. この 問 題 に対 処 す る ため 事 前情 報 を導 入 し, 観測 情 報 と事 前情 報 の適 切 な 重 み 付 け をABICに よ り解 決 し, も う一 つ の 問題 と な るモ デル 選 択 の 問 題 もABICに よ り解 決 した. 本 研 究 の 最 も大 き な成 果 は, 解 析 モ デル の 水 頭 変化 を計 算 し, そ の結 果 を 逆解 析 に用 い て いな い 実 際 の観 測 値 と比較 した こ とに よ り, ABICに よ り選 択 さ れ たモ デ ル の 予測 信 頼性 を確 認 した こ とで あ る.

Key Words: groundwater, inverse analysis, Akaike Bayesian information criterion, finite element method, extended Bayesian method

1. は じめ に 著 者 等 は, 広 域地 下 水 の解 析 モデ ル の逆解 析 に拡 張 ベ イズ法 を適 用 す る こ とを提 案 し, 研 究 を続 けて い る. 先 に本城, 福井 と小 川1)は, 定 常 デ ー タを用 いた解 析結 果 を発 表 した が, 本研 究 で は非 定常 デ ー タに基 づ いた場 合 につ いて検 討 を行 った. 先 の論文 で, 既 存 の研 究の レ ビュー, 逆 解析 の 問題 点, 拡 張 ベ イ ズ法 の特 徴等 につ いて は詳 しく述 べ たの で, こ こで は繰 り返 さない. 非 定常 デ ー タを用 い た今 回 の 解 析 で, 狙 い と してい るのは 次 の よ うな 点 で ある: 1) 逆 解析 の モ デル選 択 にお いて は, モデ ル のデ ー タへ の 当て は ま りの良 さと, パ ラメ ータ の推 定 信 頼性(こ れ は, 予測 の信 頼性 や安 定 性 に直結 す る)の 間 に存在 す る トレー ドオ フ関 係 を如 何 に調 整 し, 最適 モデ ル を選 ぶか が 最大 の 問題 点 の一つ で あ る. 非定 常 デ ー タを用 い る場 合, 観 測 期 間 の長 さ によ り(すな わ ち情 報量 の増 加 に よ り), 選 択 され るモ デル が異 な るこ と も十 分 に予 測 され る. この よ うな関 係 を, 拡 張 ベ イズ 法 で 採 用 して い る赤 池 の ベ イ ズ 情 報 量 基 準 (ABIC)が, どの よ うに反 映 され るか を調 べ るこ とは, 本 研 究 の一 つ の狙 い で あ る. 2) 逆解 析 によ り同定 され るモデルの最 終 的な 目的 は, 将 来 の地 下水 挙 動 を 出来 る 限 り正 確 に 予測 す る こ とで あ る. 逆 解析 に使用 した観 測 期 間以 上 の 長 い観 測 記 録 が あ る今 回 の解 析 の よ うな 場 合, これを 用 いて 実 際の 予測 が どの程 度正 確 に行 われ て い るか を評 価す る こ とが で き る. こ の よ うな評価 を 通 して, 選 択 され たモ デル が, 予測 を考 え た上 で最 良 の もので あ るか を, 客 観 的 に判 断で き る. 3) 2)と 同様 の方 法 に よ り, 逆 解析 に用 い た観測 期 間の 長 さが, 将来 の 予測 の 信頼 性 に与 え る影 響 につ い て評価 す る ことが で き る. 本 研究 で は, 以 上 の よ うな諸 点 を, 新 潟 県六 日町地 域 で得 ら れ た詳 細 な 地下 水 観 測 デ ー タ に基づ い て検 討 して い る. 最後 に, 逆 解析 を 実 デ ータ を用 い て実 施す る こと の重 要性 を 強調 して, この まえ が きを 閉 じた い. 地 盤 工 学 にお け る逆 解 析 の研 究 も, 講 座 が 「土 と基 礎 」 誌 上 に掲 載 され る2)など, 普 及 と実 用 化 の段 階 に入 って 来 た と言 え る. 基礎 理 論 を検 討す る段 階で の研 究 論 文 では, 逆解 析 で 利用 して い る力学 モ デル によ り観 測 デー タを 生成 し, これ を用 い て逆 解析 を行 い, その 適用 性 を検 討す る と言 う, 言 わ ば疑 似 観測 デ ー タ に基づ い た逆解 析 が 多 く見 られた(も ち ろん, 先 に述 べ た講座 で も, ま た他 の論 文 で も, 実 デ ー タを 解 析 した もの はあ るが, その 数 は現在 の と ころ限 ら れて い る). 基礎 理 論 を 開発 す るた め には や むを得 な い方法 で あ るが, 逆解 析 によ り地 盤工 学 的 に新 し い知 見 を見 い だそ うと した り, よ り正確 な 予測 を行

お うと逆解 析 を実施 す る場 合, 実 デ ー タを 用 いて検 討 す る ことが極 め て重 要 で あ る. そ の理 由 は, 後述 の本 研 究 にお ける逆 解 析 の定 式化 の と ころで も仮 定 して い る, 観 測値 とモデ ル計 算値 の残差 を平均 値0 の多変 量 正規 分布 に従 う と仮 定 す る こ とに, かな り の無 理が あ るか らで あ る. それ は, 観 測値 とモ デル 計算値 の 残差 は, 一般 に言 われ るよ うに計 測 誤差 に 起 因 してい るばか りで な く, 複雑 な現 象 を単純 化 し モデ ル と して扱 うと言 う, モデ ル化 誤差 を含 んで い るか らであ る. 計 測 誤差 につ き正規 分布 を仮定 す る ことは広 く認 め られ るが, モデ ル化 誤差 は不 偏(平 均 値0)で あ る とい う保証 も, 正規 分 布 に従 うと言 う保 証 もな い. む しろ, この誤差 の性 質 を研究 す る こと 自身 が モデ ルの 改 良や, 新 しい現 象 の発見 に繋 が るの であ る. その よ うな 目で この モデ ル化 誤差 を 考え るこ とが, 地 盤 工学 の発 展 を サ ポー トす る強 力 な道具 と しての 逆解 析 の発展 の ため にぜ ひ必要 で あ ると言 うの が, 著 者 等 の認 識 で あ る. 本 研究 が, 以上 の よ うな方 向性 を研 究 の 中に完 全 に取 り込 み き って い るわ けで はな い が, 実 デ ー タに 則 した 予測 の信 頼性 を考 え る と言 う意 味 で, そ の第 一歩 と して 出来 る限 りこの よ うな方 向 での努 力 を し たっ も りで あ る. 2. 問■ の定 式 化 地 下水 浸透 流 モデ ル の, 赤 池の 情報 量 統計 学 に基 づ いた拡 張 ベイ ズ法 に よ る定 式化 を, 以 下 に示す. 本 城 ら1)は, 同様の手法を定常データに基づいた場合 の定 式化 を用 い たが, 本 研 究 では 非定 常 な観 測情 報 を基 に透 水量 係数 を 推定 す るため, 定 式化 が 若干 異 な る. まず基 本 とな る, 物理 モデ ル, 観 測 モ デル, 事 前 情報 モ デル につ いて 述べ る. 次 に これ らを基 に, ベ イ ズ推定 法 を用 い た場合 に最小 化 す る 目的関 数 を導 く. そ して事 前情 報 と観 測 情報 の 相対 的 な重 み であ るd(式(6)を 参 照)お よび将 来 の予 測 に適 したモ デ ル を選択 す る指 標で あ るABICに つ い て説 明す る. (1)基 本 モ デ ル a)物 理 モ デ ル 地 下水 流 の物 理 モデ ル は本来 三 次元 的 な熱 伝導 形 の偏微 分方 程 式 に よ って 与 え られ るが, 本研 究 で は, 広域 地下 水 問題 を扱 う場 合 に広 く行 われ て い る ように, Dupuitの 仮 定 に従 って 地下 水 の鉛 直流 速 成 分 を無視 し, 二 次 元平 面 問題 と して 取 り扱 う-こ の 方程 式 を与 え られた初 期条 件 と境 界条 件 の も とで解 くため に, ここで は有 限要 素法 を 用 い る. 有 限要 素 法 によ り定 式化 され た二次 元 平 面浸透 流 問題 を, マ トリック スで表 す と, 次 式 の よ うにな る3).

Mh+K(B)h=

f

(1) こ こにMは 貯 留 行列, K(q)は 透 水 量係 数 ベ ク トル θ(M次 元)の 関 数で あ る透 水 量行 列 で あ る. M1は 未 知 の透 水 量係 数 の数 に一致 す るので, 分 割 ゾー ン数 で あ る. hは 節 点水 頭 ベ ク トルdh/dtは 節 点水 頭 ベ ク トル の時 間微 分 ベ ク トル, fは 流 量ベ ク トルで あ る. b)親 測 モ デ ル 各観 測 井戸 にお け る観 測 水 頭 は, 次 の よ うに与え られ る. hk=hk(e)+Ek (2) こ こにh*は 時 刻kの 観測 水 頭 ベ ク トル(N次 元)で あ り, 々κ(q)はこれ に対 応 す る透水 量 係 数ベ ク トル を θ と した ときの各 観測 点 に おけ る計算水 頭 値 ベ ク トル(N次 元)で あ る. Nは 観 測 点数 で あ る. εκは誤差 ベ ク トル で あ り, n次 元 の多 変量 正 規 分 布N(0, σ2Vh)に 従 う. こ こ に, qe2は 分 散 を 表す ス カ ラー値, Vhは, こ こで は 単位 行列 で あ る. c)事 前 情 報 モ デ ル 推 定 しよ うとす る透 水量 係 数 ベ ク トル θは, 次 式 で表 され るよ うな事 前 情報 を 持つ とす る. θ=θ*+δ (3) こ こに, θ串は透 水量 係 数ベ ク トルの 事前 平 均ベ ク トル, δは事 前平 均 の不 確実 性 を 表す 確 率変 数ベ ク トル で 多 変 量正 規 分布N(qσ _{δ2v0)に従 う. こ} こに, σδ2は事前 分散 Vθ は各 パ ラメ ータ の分 散 の相 対 的な大 き さを表 す行 列 で あ る. (2)パ ラメ-タ の ベ イ ズ推 定 θのベ イ ズ推 定 を行 うため に, この事 後分 布 を導 く. 式(2)に 基 づ く観 測水 頭hκの デ ータ分 布 は, 次 の多 変量 正規 分 布 とな る. た だ し, こ こで は観 測 デ ー タは ラ ンダ ム誤差 と考 え, した が って 時 間的 な相 関関 係 はな い と仮 定 して い る. Nx Nx 1

g(he,cs)=(2g)-

2 (o 2)-

2 V 2

(4)

exp(h(9) k - hk) Vh-1(h(e)

kh*k

こ こに, Nは 観測 点 数Kは 総 時 間ス テ ップ数 で あ る. 次 に, 式(3)で与 え られ る事前 分布 は, 次 式 の よ うな多変 量 正規 分布 とな る.

fIa*,Qa2)=(2,z)2652/-2IV9[2

(5)

exple)Ve1(e-e*

こ こにMfは 未知 パ ラ メー タ(透 水 量 係数)の 数 で あ る. ここで, 事 後 分布 と事前 分布 の相 対 的な 重 みを 表

す 適切 化パ ラメ ー タdを 定義 す る. このパ ラメー タ を導入 す る ことによ り事 前情 報 分布 と観 測 デー タ分 布 の相 対 的 な重 み付 け を調 整す る ことが, 拡 張ベ イ ズ法 の特 徴 であ る. このdを 適 切化 パ ラ メー タ と呼 ぶ(赤 池 は これ を超パ ラ メー タ と呼ん で い る). (6) この式 か らわか るよ うに, dが 小 さい ほ ど相対 的 に事前 分布 の分散 が 大 き くな り, した が って推 定 に お ける観 測 デー タへ の重 み が増 す こと にな る. したが って, 式(4), (5), (6)よ りθの事後 分布 はベイ ズの定理 を用 いる と事 後分 布 〃は次 の よ うに な る.

W(9h*,

d2,

cs) oc

g(h9,)f(e6/d2)

NK+M NK+M 1 1

(27c) 2 (d2)M(2) 2 IVhI

2lvel

2

-

flf(k

K -h*k

T

Vh

_{1_ k -h*k}

_+c

_e-9*

_T

_VB

₁

_8-e*

(8) θのベ イ ズ推定 量 は, 式(8)を 最 大 化す る ことに よ り得 られ るか ら, 最 大 化 に関 係 のな い定 数項 を 省 略す る と, 次 に示 す 関数Jを 最 小化 す るこ とにな る. finC (9)

1G{F(kh*JVlh

(-0I-hI+yB-BaB-B)

したが ってパ ラ メー タの ベ イ ズ推定 は, 式(9)を 最 小 にす る θの組 み合 わせ を求 め るこ とによ って行 われ る. (3)A31Cの 適 用 ABICの 統 計学 的 な背 景や 情 報論 的 な意 味, 式 の 展 開につ い ては赤池4),5), 本城6)を参照されたい. ABICは 次 式 によ り定義 され る.

ABIC=-2In1ghI8Qf9Q/d2)d8

₍₁₀₎

+2(num ber of hyperparam eter)

この場 合, 関数hが θに関 して 線形 で あれ ば第 一 項 の 積分 を解 析 的 に行 うこ とがで き, ABICを 簡 単 に計算 で きる. しか し, 本 研究 で 対象 と してい る地 下水 浸透 流 問題 で はhは, θに関 して非 線形 関数 で あ るた め, θを ベ イズ推 定 値 の 回 りでテ ー ラー 展 開 し, そ の二項 目ま で とる こ とで線 形化 した うえ で ABICを 求 め る ため の積 分 を行 う. その展 開 を行 っ た結 果, ABICは 次 式 によ り与 え られ る.

ABIC=NKIn{J(B)}-In(d2IVeI-1)-lnlVAI-+(Sk)T(yh)1Sk+d2V1

(11)

+2(number

of hyperparameter)

+ const.

上式 のABICに よ り, 最 適 モデ ル の選 択 と, デ-タ分布 と事前 分布 の相 対 的な 重 みを 表すdの 決 定 を行 う. 3. 広 域 地 下 水 モ デ ル の逸 水 量 係 数 分 布 の推 定 (1)六 日町 地 域 の 地 形 ・地 電 状 況 図-1に 示す 六 日町 盆地 は, 最小 幅約2km, 最大 幅 約5kmで, 南 南 西か ら北 北 東 に細 長 く延 び る. 盆地 の中央 部 には信 濃 川 の支 流 で ある魚 野川 が北 流す る. 盆 地 の東 端 と西 端 には, 魚 野 川 に沿 った氾 濫原 に左 右 両 岸か ら流入 す る小 河川 によ り形 成 された扇 状地 が並 ぶ. 右 岸 の河 川 は, いず れ も標 高2, 000m前 後 の急 峻 な越 後 山脈 に源 を発 し, 20km弱 を流 下 し魚 野 川 に合流 す る-各 扇 状 地 は, 広大 で 傾斜 が, 10%か ら25%と 比較 的緩 い. 左 岸 の各 河 川 は, い ずれ も標 高700m前 後 のな だ らか な魚沼 丘 陵東 面 を4kmほ ど流 下 す るのみ で, 魚 野川 に合 流 す る. そ のた め, 各扇 状 地 は右 岸 の もの に比 べ て小 規模 な が ら傾 斜 は約 50%と 急 峻 で あ り, 明瞭 な 扇状 地 地形 を 呈す る. こ れ らの扇 状地 はほ とん ど開析 され て い な い. また, 六 日町盆 地 の 西縁 部 は比 較 的直 線状 で あ る の に対 して, 東縁 部 は屈 曲が著 しい. これ は, 西縁 部 に新 発 田 一小 出構 造 線 の南 方延 長 に あた る断層 (六 日町盆地 北 西縁 構 造線)が 伏在 す るため で, 同 盆 地 は西縁 部 の沈 降 によ って形成 され た断層 角 盆地 で あ る. 帯 水層 は六 日町地 域 全体 に連続 して発 達 してお り, 地 下水 の 涯養 は極 め て潤 沢 で あ る. 六 日町 市街 地 の 付近 に軟弱 粘土 層 が堆 積 して い るため, 一 部 の 地 域 で被 圧帯 水 層 とな って い るが, 帯 水 層 は地 域全 体 で 連続 した一 層 か らな る モデ ル と して考 え この帯 水 層 の透水 係 数 は対 象地 区 内の約120本 の 井戸 に お け る揚 水試 験 結果 よ り調 べ られて い る. 透 水 係 数 は, 主 に 山地 沿 い の地 区 で小 さ く(10-5か ら 1r6m/s), 魚野 川沿 いの地 区で大 きい(10-3か ら 10-4/s). しか し例 外 的 に, 六 日町 市街 地 で は, 魚 野川 左岸 の 幅数10mか ら約100mの 地 区で10-6m/s程 度 と非常 に小 さい値 を 示す. この 地域 は軟 弱粘 土層 が堆 積 して い る地域 とほ ぽ一 致 して い る. こ こで本研 究 で用 いた デ ー, 夕 は, 新 潟 県衛 生 公害 研 究 所 が 中心 とな り, 昭和61年 か ら62年 に か けて調 査 した もの を用 いた7),8),9). (2)解 析 モデ ル と鰻 測 デ ー タ 8)解 析 モ デ ル 今 回 の逆 解析 に用 いた プ ロ グ ラムは, 本 城 ら1)で 紹介 され てい る プ ログ ラム で あ り, これ に揚水 量 を 逐次 更新 で きる よ う改 良 を加 え た もの で あ る. 解 析 対象 地 区 と境界 条 件 を図-1に 示 す. 解 析 対象 地 区 は当地 区 は, 南 北 に約8km, 東 西 に最大 幅 約5km, 最小 幅約2kmの 範 囲で あ り, ほ ぽ 中央 に六 日町 市街 地が 位 置す る. 解 析 に おい て は, 一 つ の要 素が 東 西 278m, 南 北232mの 長 方 形要 素 に な るよ うに離散 化 し た. この有 限要 素 法 メ ッシュ は, 507節 点, 441要 素

か ら形成 され て い 境 界条 件 と しては 東西 の 山地 部分 は地下 水 の流 動 が 非常 に小 さい こ とか ら, 東 西 の 山地 沿 い の端部 を不透 水 境界 と した. ま た, 扇 状地 が地 下 水 の酒養 源 にな って い る ことや, 解 析 地 区 の南端 の 魚野 川 お よび登 川付 近 の水 頭 が年 間 を通 じて ほぼ安定 してい る こ とか ら, 河川 の流 入 部分 や 扇状 地 の付 近 に水 頭 一定境 界 条件 を設 けた. 北 端 の付 近 は, 流 線 が ほぽ 東西 に走 って い るこ とが観 測 され て いる ことを考 慮 し, 図-1に 示 す よ うな条 件 を設 定 した. これ らの メ ッシ ュ分 割 お よび境 界条 件 は, 谷 中 ら9), 本城 ら1) が行 った解析 条件 と同一 に して い る. 図-2に パ ラメ ータ推 定の ため に設 定 した分 割数 の 異 な る4種 類 の ゾーニ ングを 示 した. ここで ゾ ーニ ングの種 類 は無 数 に考 え られ るが, 本 研 究 では本 城 ・福井 と小川1)が行ったゾーン分割を基礎として (詳 しい地質 情報 につ いて もこの文 献 を参 照 された い), 解 析 モ デル の 中央部 の ゾー ン分 割 に絞 り, 13 分 割か ら10分割 までの4種 類 の ゾー ニ ングを行 った. これ は後 述 す る よ うに, 観 測井 戸 の位 置 が解 析 モデ ル の 中央 部 に密 集 した 配置 を とって い るた め, 解 析 モ デルの南北 の両 端付 近 の ゾー ンの透水 量係 数 の摂 動 は式(3)の 目的関 数 の変 化 に敏 感 には反 映 され な い と考 えた か らで あ る. な お 図-2で ゾー ニ ング を変 化 させ た 中央部 の地 域 は網 掛 け して あ り, モデ ル名 は ゾ ー ン分 割数 と対 応 してい る. ここで透水 量 係数 の 事前 平 均値 は, 得 られ て い る 地質 ・地 形情 報 お よび揚 水 試験 に よる透水 係 数 の分 布, 本城 らの推 定値1)を基 に, 決 定 した. す な わ ち, 今 回の解 析 で は特 に六 日町付 近(図-2の モ デル11 で 言え ば, ゾー ン5, 6, 7, 8)に 井 戸が 集 中 して い る ため, 先 に本城 ら1)が行 った と同様 な定 常 デー タ に 基づ く予備解 析 を行 い, これ らの ゾー ンの事 前平 均 値 を(35, 000, 400, 5, 300, 10m2/day)か ら(50, 000, 480, 10, 000, 20m21day)へ 修正 した. 他 の ゾー ン の透 水 量係 数 の事前 平 均値 は本城 ら1)の結 論 と同 じ で あ る. なお本 解 析 で は, ここ に設定 した事 前平 均 値 は, 逆解 析 を実 施す る前 にお い て, 最 も確 度 の高 い もの で あ るとい う立 場 か ら, これ以 外 の事 前平 均 値 に よる解 析 は実施 して いな い. なお貯 留 係数 は全 域 で0. 0002で 一 定 と し, 各 ゾ ー ンの透水 量 係数 を推 定 す る. 貯留 係数 を 一定 と した の は, これ を変 化 させ る ほ ど多 くの情 報 が存 在 しな いか らで あ る. 揚水 量 の調査 は, 新 潟県 衛 生公 害研 究 所 に よ り有 限要素 法 メ ッシュの 要素 毎 に月 間揚 水 量が 調査 され てい る. しか し本 研 究 で は, 一 晩で20m以 上の 水頭 降下が 生 じるこ と も希 では な い地下 水 位 の著 しい変 動 を, 解 析 にお いて 再現 す るため に, 有 限 要素 メ ッ シュ上 の節 点 にお け る時間 毎 の揚水 デ ー タが必 要 で あ る. このた め本研 究 で は月 間揚 水 量 を時 間揚水 量 に換算 して用 い た. 以 下 に その換 算 方法 お よ び仮 定 を述べ る. 地下 水位 と降雪 量 は密 接 な関係 が あ り, 降雪 が あ 図 一1 解析対 象地 区と境界条件 不違水籠昇 水 一定籠鼻(単位: m) 図-2 モデル選 択のた めの代替 的なモデル (1) 層ワ 乃10 (2)昏 ヲ乃朋 (3) モ デ ル12 (4) モ デ ル1

る と地 下水 は敏 感 に反 応 し低 下す る. また多 量 の降 雪 が ある と地 下水 位 の低 下 も大 き くな る傾 向が あ る が, 水位 も速や か に回復 す る こと も当地 域 の大 き な 特 徴で あ る. 揚 水量 は人為 的な操 作 が大 き く関 わ っ てい るた め, 地 下水 位 や積 雪 量か ら定量 的 な関 係 を 導 くのは 困難 で あ る. そ こで本 研究 では, 地 下水 が 低 下 して い る時 間 に着 目 し, 揚水 量 のパ ター ンを「降 雪 時 の時 間揚水 量 」 と 「非 降雪 時 の時 間揚 水量 」 の 二 つ に分類 した. つ ま り地 下水 の低 下が 発生 す るの は, 消雪 用地 下水 の汲 み上 げ に よ る もの で あ り, こ れ は 「降雪 時 の時 間揚 水量 」 に該 当す る. また, 地 下 水位 が上 昇 してい る場 合, 消 雪用 地下 水 の汲 み上 げは行 ってい な いか ら, これ は 「非 降雪 時 の時 間揚 水 量」 に当 た る. この 二つ の 分類 は直感 的 な判 断 に も適応 してい る と考 え られ, そ の妥 当性 は 比較 的 高 い と思 われ る. ま た, 二 つ の揚 水量 の ケ ー スは次 式 で与 え た. 非 降 雪 時 の2時 間 毎 揚 水 量= 非降雪期月間揚水量 31x12 降雪時の2時間毎揚水量= (降雪期月間揚水量)-(非降雪期月間揚水量) Σ(地下水位低下時間) →〈非降雪時の2時間毎揚水量) こ こで2時 間毎揚 水 量 とな って い るのは, 全 観測 井戸 中で最 も細 か い観 測 力桁 われ てい る六 日町一 号 井 が2時 間毎 に水 頭観 測 を行 って い るので, この井 戸を もとに, 地下 水 の低 下 時 間 も2時 間を 基準 に算 出 した. したが って 揚水 量 も2時 間毎 の値 を計 算 し た. 実際 の計 算 時間 ス テ ップ は, 後 述 の ケー ス1で は有 限要 素法 で72ス テ ップ, 逆解 析 の計 算 は24ス テ ップで ある. 一 方, 揚 水量 は有 限要 素 メ ッシュの要 素 毎 に調 査 され てい るこ とか ら, これ を周 辺接 点 に 振 り分 け るこ とに よ り求 め た. 本研 究 で は, 以 上 の よ うに実 デ ー タに即 して 出来 る限 り客観 的 に各節 点 にお ける揚水 量 を算 出す るよ うに務め たが, 依 然 と して そ こに多 くの不 確実 性 が あ るの も事実 で あ る. b)親 測 デ ー タ 本 研究 で は逆 解析 に用 い る観測 デ ー タ と して昭 和 60年12月 上旬 の水 頭 観 測値 を用 いた. これ は 昭和60 年度 に初 め て多 量 の降 雪が あ った時期 で あ り, 消 雪 用地 下水 の汲 み上 げのた め地下 水 位が 激 しく変 動 し た期 間 であ る. また, 観測 井 戸 は, 新 潟 県土 木 部, 六 日町役 場, 新潟 県環 境保 健 部が 年 間を 通 じて 水位 を 観測 して い る井戸 が合 計24本 あ るが, 当時 は計 測機 器 が発 達 してい なか った こと もあ り, 観 測 記録 の欠 落 が多 い-この うち逆 解析 の デー タ と して使 用す るこ とが で き る観 測井 戸 は14本 で あ る. これ らの観 測井 戸 は解 析 地域 の 中央 部 に密集 した配 置 に な ってお り, 逆解 析 に適 した観 測点 の配 置 とは言 い難 く(図-3). 地 域 全体 に均 等 に配 置 され て い る ことが望 ま しい. 本 研 究の 一つ の 目的 は, 先 に も述べ た よ うにABIC が情 報量 に応 じたモデル 選択 を 的確 に行 うか否 かを 検 討す るこ とにあ る. このた め解 析 期 間を 図-4に 示 図-3観 測井戸 の配置 図 一4解 析 期 間 の ケ ー ス 図-5 観測井戸 の水頭変 化 (8) 「ケ ー ス1」 3号井 5号井 5身井 六 日町一号艸 9号井 6号井 10号井 19号井 12号井 13号井 15号井 (b) 「ケ-ス2」 3丹 鈴 5号 齢 6号 鈴 六 日町-号 弁 9号 齢 6号 齢 10号齢 11丹齢 19号 齢 12号鈴 13号 齢 14号 齢 15号鈴 16号 鈴 (c) 「ケ ー ス3」 3号井 5号井 6号井 六日町一嗣 陸 9号井 8号井 10号井 19号井 17号井 14号井 16号井

す よ うに三つ の ケ ース に分 け た. ここで解 析期 間が 6日 の ケー スを 「ケ ー ス1」 、3日 のケ ー スを 「ケ ー ス2」, 1. 5日 のケ ー スを 「ケ ー ス3」 と した. それ ぞれの ケ ース の観測 井 戸 にお け る水 頭変 化 を図-5 に示す. また各 観測 井 戸 では 一 日四 回, 6時 間毎 に 観測 が行 わ れ てい る. これ らの各 々の解 析 期 間 にお いて, 図-2で 設定 し た解析 モ デル の逆解 析 を行 い, 情 報 量 に応 じて変 化 す るモデ ル選択 の 妥 当性 を考 察す る. (3)逆 解 析 の結 果 と 考 察 表-1に 透 水 量係 数 の事 前平 均 値, 逆解 析 に よ り得 られ た透 水量 係数 の 推定 値, お よ び その標 準偏 差 を 示す. こ こにRSSは 残 差 二乗 和 で あ る. ABICと 適 切 化パ ラメー タdの 関 係 を示 す. 図-6で わか る とお り, 各 モ デル に おい てABICが 最小 値 を と って お り, 事 前情 報 と観 測 情報 の相 対 的 な 重み を決 定 して い る. また 各 ケー スの モ デル10 のABICとdの 曲線 が滑 らかで な いの は, このモ デ ルで は 自由度 が 制 限 され, パ ラ メー タの 推定 が不 安 定 にな った ため と思 わ れ る. これ は各 ケ ー スを通 じ て言 え るが, モ デル10は パ ラメ ータ推 定 が不 安 定 に な りやす い傾 向が あ る. またABICは 解析 期 間 の異 な る3ケ ー スで それぞれ 異 な るモデ ル を選択 した. ケー ス1で はモ デル12, ケ ー ス2で はモ デ ル11と, ケ ース3で は モデ ル10で, 解析 期 間が 短 くな り情 報 量 が小 さ くな るほ ど, 相 対 的 に簡 単 なモ デル が選 択 され た. これ らのケ ー スは 同 じ観 測 点で解 析 期 間 を変 化 させ た もの で あ り, 情 報 の量 は 各 々の ケ ース で著 し く異 な る. 情 報 量が 多 くな る こ とに よ り, よ り複 雑 な モデ ル が選 ばれ, そ れ に よ りよ り詳細 な 予測 が可 能 にな るべ きで ある と 言 う観 点 に立 っ と, ここで示 され た モデ ル選 択 は合 理 的 で あ ると考 え られ る. な お, ABICの 差 が小 さ けれ ば, それ だ けモ デル 間 の差 異 は小 さい こ とを意 味す るが, この差 の 定量 的 な意 味 につ い て論 じる こ とは難 しい. ケ ー ス1, ケ ー一ス2で はABICは 的確 な 挙動 を示 し 表-1 各 ケ ー ス の 透 水 量 係 数 の 推 定 値 (単位: m2/day) 図-6 AB1cとdの 関 係 (a) 「ケ ー ス1」 (b) 「ケ ー ス2」 (c) 「ケ ー ス3」

て お り, これ らのケ ー スにつ いて は, ABICが 行 っ た モデル 選択 は妥 当性 の 高 い結 果 で あ ると考 え られ る. しか しケ ー ス3に お いて は, ABICとdの 関係 が 不 連続 に変 化 す るモ デル(モ デ ル12: 図-6(c)参 照) が あ り, ま たケ ー ス3の モ デル10で は 推定 され たパ ラメ ー タ値 が, 他 の ケ ース と著 し く異 な って お り, これは情 報 量が かな り少 ないた め に解 析 全体 が不 安 定 にな って い る兆 候 で あ る と考 え られ, この ケ ー ス の結果 の 判 断 には注 意 を要 す る. また表-lを 見 る と, ケ ース1の 推 定 値 は事 前平 均 値 か らほ とん ど変 化 して いな いが, これ は6日 間の 解 析期 間を基 に3. (2)a)で 述 べ た よ うな 事前 平均 値 の調整 を 加 えた か らで あ る. ケー ス2は ケー ス1の 推 定 値 と比 較す る と, モデ ル13のZone3, 4, 12な どは観 測 井 戸が な く, また観 測 井戸 か ら離 れ て い るた め に パ ラメ ータ の推定 が 不安 定 な状 況 にな り, ケー ス1 の推定 値 とはか な りの差 が 生 じてい るが, 観 測点 が あ るゾ ー ンでの推 定 値 は ほぼ 同 じで あ る. これ は情 報 量 がケ ー ス1と 比較 して減 少 して い るため に, 観 測 点 のな いゾー ンで推 定値 に影響 が 出始 めて お り, 標 準偏 差 も全 体 的 に増加 して い る. ケ ー ス3に お いて モ デル11に 着 目す る と, 観測 点 か ら遠 くに位 置す るZone1, 3, 10(こ れ らの ゾー ンは 各 モ デル 共通)な どは標 準偏 差 が著 し く大 き くな っ てお り, 推 定値 の信 頼 性 が低 下 して い る. またZone7 な ど観 測 点 に近 い ゾー ンにお い て も, ケー ス1や ケ ー ス2と著 しく異 な る推 定 値 を算 出 して お り, 観 測 点付近 の ゾー ンにおい て も推 定 が困 難 にな って いる-した が って ケ ース3は 情 報量 が 少 な いた め に, 推 定 値 の信 頼 性が 低 下 して お り, 得 られ た推定 値 も含 め て解析 結 果 の判 断 には 注意 が必 要 で あ る. この よ うに解析 期 間 が短 くな る と, 推定 値 が事 前 平 均値 か ら大 き く変 化す る ゾー ンが見 られ る. これ は解 析 期 間が短 くな るこ とによ り得 られ る情 報量 が 減 少 し, パ ラメ ータ の推 定 に おい て は困難 な 状況 に な るか らで あ る と思 われ る. これ に対 して ケー ス1や ケ ー ス2に おけ るABICの 挙 動, また推 定 され たパ ラメ ー タ値 に は連続 性 が あ り, ケ ース3に 見 られ るよ うな 問題 は生 じて いな い と考 え られ る. (4)推 定 さ れ た モ デ ル の 予 測 信 頼 性 の検 討 こ こでは各 ケ ー スにお い て逆解 析 によ り推 定 され た透 水量 係 数お よ びモ デ ルを 用 いて, 逆 解析 に用 い た もの よ りかな り長 い期 間 につ いて, 順 解析 の 計算 値 と観測 され た水頭 と比較 し, ABICに よ り選択 さ れ たモ デル の予 測 の信 頼性 を 検討 す る. す なわ ち解 析期 間が 予 測精 度 に及 ぼす 影 響 を検 討す る. 順 解析 にお いて, 揚水 量(実 測値), 貯 留係 数 の 値, お よび境 界条 件 も逆 解 析 に お ける条 件 と同一 と し, 各 ゾー ンに おい て推 定 され た透 水 量係 数 は, 推 定値 の有 効 数字 二桁 と した ものを順 解析 に用 い 順 解析 の 期 間は12月9日 か ら12月31日 まで行 い, これ は 各ケ ー スの 逆解 析 の期 間を大 幅 に越 え て い るた め, 順解 析 の ほ とん どの 期 間が 予測 の領 域 で あ る. したが って モ デル 選択 にお け るABICの 有効 性 を, 実際 の地 盤 の観 測値 とモ デル によ る計算 値 を 比較 す るこ とに よ り, 将 来 の異 な る条 件下 にお いて 検討 で き る. 図-7に ケ ース1の 最適 モ デル で あ るモ デル12の 順解 析 を行 った結 果 を示 す. モ デル の 計算 値 と実 測 値 は水 頭 に数mの 差 が 見 られ るが, 水 頭変 化 の傾 向 は よ く再現 して い る と思 われ る. こ こで各 モ デル によ る予測 信 頼性 を評 価す るため 次式 に示す, Erssを 定 義す る. (12) ここに, hjは 観 測井 戸jの 時 刻jに お け る観 測 井 の観 測水 頭, バ は観測 井 戸jの 時刻jに お けるモ デ ル の計 算水 頭, Kは 観 測 ステ ップ数, nは 観 測井 戸 数 で あ る、 こ こでErssは 各観 測 井戸 の 標準 偏差 の平 均 に準 じる もの であ り, 次 元 は長 さ(m)で あ る. な おErsssは今 回の よ うに予 測 しよ う とす る部 分 の観 測値 が 与 え られ てい る場 合 は計 算 で き るが, 実際 の 将来 予 測 を行 お う とす る場 合 は計算 で きな い. 本 研 究 で はE, SSを用 い る ことに よ りABICの 挙 動 の適切 性 を評 価 しよ う と して い る. a)モ デ ル(ゾ-ニ ン グ)と 予 淵信 頼 性 の 検 討 ここでは ケー ス1か らケ ー ス3の各 ケ ー スにお いて モ デル10か らモ デル13ま で の順 解 析 を行 い, ABIC によ り最 適 と判 断 された モデル の予 測 の有効 性 を検 討 す る. 図7 計算値 と観測値の比較 (10号 井) (19号 井)

図 一8にゾー ン数 と最 小 のABICとE _あぶぶの 関係 を 示 す. ケ ー ス1, ケ ー ス2はABICとE の 傾 向 が よ く にぶぶ 似 て お り, ABICに よ り選 択 され たモ デル が, E を にぶぶ 小 さ く してお り, す なわ ちABICは 予 測 に適 したモ デ ルを選 択 して い る こ とが わ か る. 一方ケ ー ス3は, ABICとE あぼぶの関 係 に相 関が 見 ら れな い. 前 述 したよ うにケ ー ス3に お いて は情 報量 がか な り制 限 され て い るた め, ABICを 含 め解析 自 体 が不 安定 で, 表-1に 示 した よ うにモ デル に よ って パ ラメ ータ推 定値 が激 しく変 動 した. この こ とが ABICとErss の 関係 が連 動 してい な い理 由で あ る と 思 わ れ る. な おケ ー ス3の モ デ ル12に おい てErssは 2. 20と 全体 を 通 じて 最小 とな って お り, 一見, 予測 信頼 性が 高 いよ う に思 われ るが, これ は初 期水 頭 の 誤差 と幾つ かの井 戸 にお ける揚水 量 の不 適切 さによ るもので あ り, 本 質 的な 予測 信 頼性 を 表 して い る も ので は ない と判 断 した. 一 方, 情 報 量が 多 いケ ー ス1, ケ ース2に おい ては ABICに よ り選 択 され た モ デル の予 測信 頼 性 は確認 で きた と考 え られ る. 特 にケ ー ス1に お い てはABIC とErss の関 係 は酷似 して お り, 将来 の 予測 にお け る 最適 な モ デル を選 択す る指標 と してABICは 極 め て 有用 で あ る と言 え る. また ケー ス1か らケ ー ス3を 比 較す る と, 情報 量 が大 きい ほ どABICが 行 うモデ ル 選択 の信 頼 性 は高 くな る と言 って 間違 い な い. b)解 析 期 間 と予 測 信 頼 性 の 検 討 ここで はケ ー ス1か らケ ー ス3の そ れ ぞれ にお い てABICに よ り最適 と判 断 され たモ デ ルを 用 いて, 解析 期 間 の差 が予 測信 頼 性 に どの よ うな 影響 を与 え るかを 見 る. ま た本城 ら1)が定常データに基づいて 構築 した モデ ル の順解 析 も同様 にErssを 用 いて評 価 し, 定 常 デー タ と非定 常 デ ー タ によ り推 定 され たモ デ ルの 予測 信 頼性 につ いて も述 べ る. 表-2に 各 ケ ー スの 最適 モ デ ル にお け るErssを 示 す. 本研 究 で行 った ケー ス1か らケ ー ス3のErssの 差 は 少 な く, 今 回 の解 析 で は, この 指標 に よ っては, 解 析期 間 に よ る予測 精度 に及 ぼす 影響 につ い て確認 で きなか った. ま た非定 常 デ ー タのErssと 定 常 デ ータ の それ らでは, 非 定常 デ ー タのErs sの ほ うが明 らか に小 さい. これ は 当然 とは言 え, 定常 解析 に基づ い たパ ラメ ー タ推 定 よ り も本研 究 で行 った 非定 常 デ ー タにお け る推 定 の ほ うが, 降雪 期 の地 下水 変 動 にお け る予 測信 頼 性が 高 い こ とを示 して い る. 4. 結 論 本 研 究 で は, 六 日町地 域 の現 地調 査 結果 と実 際の 観 測値 を用 いて, ABICに 基 づ く拡 張 ベ イズ法 によ る逆解 析手 法 に よ り, 観 測期 間 の異 な るデ ータ を用 いて, 非定 常浸 透 流 問題 に お け る広 域 地下 水 モ デル の 透水 量係 数 を推 定 し, そ れ ぞれ の解 析期 間か ら予 測 に適 した最 適 モデ ル の選択 を行 った. また 推定 さ れ た解 析 モデ ル を用 い て, 将 来 の地 下水 変 動 の 予測 を 行 い, その解 析 結果 を 観測 井 戸 の実 測値 と比較 し た. そ こで得 られ た結 果 を要 約す る と, 以 下の よ うに な る. (1)実 際 の地 盤 を対 象 と した解 析 にお いて も, ABIC は幾 つか の解 析 モ デル の 中か ら, 情 報量 に応 じ た 的確 なモ デル 選択 を行 うこ とが で きる. た だ し情 報量 が 著 し く減少 した場 合, ABICの 挙動 を含 め た解 析 全体 が不 安 定 に な るこ とが あ るの 図-8 各 モ デ ル 最 小 のAB1cとDErssと ゾ ー ン数 の 関 係 (a) 「ケ ー ス1」 (b) 「ケ-ス2」 (c) 「ケ ー ス3」 表-2各 ケ ー ス の 最 適 モ デ ル に お け るE

で, いろ い ろな情 報 を加 味 した総合 的な 判断 を 行 う必 要 が あ る. (2)逆 解析 にお いてABICに よ り選 択 され た モデ ル は, 将 来 の地 下水 挙 動 の予 測 に適 した もので あ る こ とが, 逆解 析 に用 いた以 上 に長 い期 間の観 測 デ ー タにつ い て予 測 を行 い, モ デル の評 価 を 行 う ことに よ り確認 され た. また逆 解 析 にお い て情報 量 が多 い ケ ー スほ ど, ABICに よる判 断 は的確 にな る と思 われ る. (3)各 解析 期 間 にお け る最適 モデ ル に よ り, 将 来 の 条 件 にお け る予 測解 析 を行 った と ころ, 本 研 究 において は解析 期 間 によ る明確 な差 が得 られな か った. さ らに長 い解 析 期 間 を用 い た逆解 析 を 実施 し, 検 討 す る必 要 が あ る と思 われ る 一 方 定 常 デ ータ に基 づ く逆解 析 よ り も非定 常 デ ー タ に基 づ い た ものの 方 が, Erss は小 さ く, 降 雪 期 の地 下水 挙 動 の予 測信 頼 性 は高 い. 謝 辞: 解 析 に用 いた 貴 重な 資料 を 頂 き ま した, 新潟 県衛 生 公害 研究 所, 谷 中隆 明氏, 大 関 正春 氏, 新潟 県 環境 保健 部, 北嶋 永 一氏, (株)日 さ く, 水 谷 宣 明氏 に感謝 致 します. また本 研究 は文部 省 統計 数 理 研 究所 との共 同研 究(8-共 研A-49)の 成 果 の一 部 で あ り, ご指 導 頂い た柏 木宣 久 博士 に深謝 の 意 を表 し ます. 参 考 文 献 1) 本 城 勇 介, 福 井 宏 行, 小 川 正 二: 拡 張 ベ イ ズ 法 に よ る広 域 地 下 水 モ デ ル の 逆 解 析: 定 常 デ ー タ に 基 づ く場 合, 土 木 学 会 論 文 集, No. 34, pp. 93-102, 1996. 2) 佐 藤 忠 信 他: 講 座 「地 盤 工 学 に お け る逆 解 析 」, 土 と 基 礎, Vo1. 43, No. 4, 1995カ らVo1. 44, No. 6, 1996ま で.

3) 市 川 康 明: 地 盤 力 学 に お け る 有 限 要 素 法 入 門, pp. 132-134, 日科 技 連, 1990.

4) Akaike, H.: Likelihood and the Bayes procedure with discussion, J. M. Bernardo et. al. (ed.)Bayesian Statistics, Valencia University Press, pp. 143-166,

185-203, 1980. 5) 赤 池 弘 次: 「事 前 情 報 の 選 択 と そ の 応 用 」, 鈴 木 他 編 「ベ イ ズ 統 計 学 と そ の 応 用 」東 京 大 学 出 版 会, pp81-98, 1989. 6) 本 城 勇 介: 逆 解 析 に お け る 事 前 情 報 と モ デ ル の 選 択, 講 座 「地 盤 工 学 に お け る 逆 解 析 」, 土 と 基: 礎, Vo1. 43, N0. 7, PP. 63-68, No. 8, PP. 51-56, 1995. 7) 新 潟 県 衛 生 公 害 研 究 所: 南 魚 沼 地 域 地 盤 沈 下 機 構1解明 調 査 報 告 書, pp. 1∼95, 1988. 8) 谷 中 隆 明, 永 野 多 美 雄, 山 崎 興 樹, 水 谷 宣 明: 新 潟 県 六 日町 盆 地 の 地 下 水 流 動, 地 下 水 学 会 誌, Vo1. 31, No. 3, pp. 143∼153, 1989. 9) 谷 中 隆 明, 前 川 統 一 郎, 永 野 多 美 雄: 準 三 次 元 モ デ ル に よ る新 潟 県 六 日 町 の 地 盤 沈 下 予 測, 地 下 水 学 会 誌, Vo1. 31, No. 3, pp. 155∼163, 1989. (1996. 4. 10受 付)

INVERSE ANALYSIS OF A REGIONAL GROUNDWATER FLOW MODEL

BY EXTENDED BAYESIAN METHOD: IN CASE OF UNSTEADY FLOW DATA

Yusuke HONJO, Masao KITUKAWA and Shoji OGAWA

The extended Bayesian method based on ABIC, is applied to inverse analysis of a regional groundwater flow model using unsteady flow observation data of Muika-mati area in Nigata-ken, JAPAN. In this study, observation wells is concentrated to the central part of the regional groundwater model, and it is important to cope with this ill-posedness. Thus, the prior information whose relative weight to the observation data is appropriately adjusted for by ABIC is introduced. The most important outcome of this study is verification of the prediction capability of the selected model by actually calculating the observed head changes of the aquifer system by the alternative models. The results are compared to the actual values, and verified.