滋 賀 大 学 教 育 学 部 紀 要 自然 科 学 No.50, PP.25-54,2000
25
不 定 値 計 量 の 幾 何 学
佐野 圭太*・大久保克 己
Indefinite
Metric
Geometry
Keita SANO and Katsumi OKUBO
Abstract. Pythagoras'theorem, cosine theorem and sine theorem are well known, and are taught in the high school. In this paper , we consider the vector space and define the inner product. The length and the angle with complex value are defined by virtue of the hyperbolic sine and the hyperbolic cosine. Then we get the formu-las similar to cosine theorem and sine theorem。
1.は じ め に う ジ OPとOQの 間 の 角 は ψ 一 θ で あ る こ と が わ か る 。 こ の と き、 線
分OP、 OQと 弧 角
とで 囲 ま れ た部 分 の面 積 は 去(ψ 一 θ)と な る。
こ の よ う な こ と は 高 等 学 校 に お い て 学 習 す る 。 そ こ でR2上 の 二 つ の ベ ク トル 諺=(x,, yDと δ=(x2, y2)'の 『内 積 』 を (1.2) [諺,∂]==κ1κ2一 ニソIy2ユ ー ク リ ッ ド平 面R2を 考 え 、 単 位 円x2+y2=1上 に 二 点P=(Cos e,sin O)とQ=(Cos(p,sin(p)
ラ づ
(0<θ<ψ
〈2π)を と る。 そ してOPとOQの
内 積 を計 算 す る と、
fig1.1円 の とき
づ ジ
(1.1) (OP,OQ)=cos O cos(p+sin O sin(p=cos(ψ 一 θ)と な り 、
Q
O P と 定 義 し て 上 と 同 様 の こ と を 考 え て み た 。 こ の と き ベ ク トル 諺=(κby1)の 長 さ ♂(の は 次 の よ う に 定 義 す る 。(但 し、i=V⊂ 了)(注:こ の 長 さ は 三 角 不 等 式 を 満 た さ な い)…一
…一{票;二2
.諦
㌦
、.。
畑
*京 都市 立伏見工業高等学校
26
佐野 圭太 ・大久保克己
今 、 曲 線 κ2-y2=1(劣>0)上 に 二 点P=(cosh B,sinh O)とQ=(cosh 9,sinhψ)(θ 〈 ψ)を と り ま す 。 上 に 定 義 し た 『内 積 』 を 計 算 す る と、
り づ
(1.4) [OPとOQ]=cosh O cosh(p-sinh O sinh(p =cosh (ψ 一 θ) ラ う
とな り、OPとOQの
間 の 角 は ψ 一 θで あ る こ とが わ か る。 さ らに線 分OP,OQと
曲 線PQで
囲 ま れ
た 部 分 の面 積 は、
fig1
.2
(紛 恥
・
一 ・' 号 帥 ・+静 一
・
一一・か 峠
・… ま醐 ・
一一確
嘩
キ1・1・
を曲
一神
・・
一一券(ψ 一θ)
と な る。 面 積 に 一`が っ くが 、 四 点O(0,0),A(1,0), B(1,1);C(0,1)か ら な る 単 位 正 方 形OABCの 面 積 が 冠 な の で 不 自 然 で な い の で あ る。 こ れ ら の こ と か ら 、 角 が ψ 一 θ と な る の も わ か る 。'次 章 以 降 で こ の 角 を一さ ら に 拡 張 し て い こ う と思 う 。 2、 二 次 元 平 面 二 次 元 平 面R2に 改 め て 『内 積 』 と 長 さ を 定 義 す る 。Defh浦on2.1.、(内 積).二 つ の ベ ク トル 涜=(κ1,y1)と ∂=(劣2y2)の 『内 積 』 を 下 の よ う に 定 義 す る 。 (2.1) [諺,∂]=κ1κ2一:yly2
ま た 、[葛 切=0の と き 、 産と 茜は 『直 角 』 と い う こ と に す る 。
恥oposidon2.1. 『内 積 』[U Vu,]は次 の 座 標 変 換 に 関 して 不 変 な 量 で あ る 。(θ は 実 数 〉
(22)
{;:〕
〔:oshB sinhB(x
inhO coshB)ly)
Remark2.1..ま う の ベ ク ト ル 涜=(κ 、,ッ、)≠(0,0)と ∂=(x2,y2)≠(0,0)と が 「直 角 』 の と き 、 諺 と βと は ん=ッ ・(κと 一 ッ)に 関 し て 対 称 な 直 線 上 に あ る 。 Proof. x,x,一:yly2=0の と き 、 も し ッ1=0な ら ば 劣1≠0よ りx2=0と な り 上 を 満 た し て い る 。 他 方 ッ1≠0な らば・・ ≠0で あ り(炉0な
ら矛 盾)・ 豊 略
が 成 り立 つ・
Theorem2.1.内 積 の 定 義 よ り二 つ の ベ ク トル 諺と δに 対 し て 次 の 式 が 成 り立 つ 。 (2.3) [諺一 ∂,諺一 ∂]=[諺,戎]+[∂,∂]一2[諺,量 ラ] 特 に 諺と∂が 『直 角 』 の と き は 次 の 式 が 成 り 立 つ 。 (2.4) [虜一 ∂,諺一 ∂]=[蕊,産]十[乏3,δ] ・・finiti・鵬(長 さ)・ ベ ク トル 彦一(・1…)の 長 さ 軟 の よ う に 臓 す る・(但 し・ へ 戸1)騨
・
一{額.。
≒Yl2>o、_
Q P不 定 値 計 量 の 幾 何 学 角 度 を 定 義 す る 前 に κッ平 面 を ♂1:κ=yLl,:x=一yの 二 直 線 で も つ fig2.1 て 、A,B,C,Dの 四 つ の 領 域 に 分 け て お く。 A:1κ1>1)21,κ>O B:1κ1<lyl,:y>O C:㍑1>.Lyl,κ 〈O D:1κ1<b'1,:y<0 そ して θが 実 数 の と き 、 次 の 式 が 成 り立 つ こ と も 確 か め て お く。 θθ一 θ一θ θθ十e一θ sinh O=
cosh
O=2
sinh i O=ε, sin O cosh i O=cos O(2 .6)
…h(θ
・チ の 一 ・…he
…h(・+穿
の 一 ε・inhO
sinh(θ 十71 L)=一sinh O cosh(θ 十7C Z)=一cosh O
次 に
、[塑
あ値 について調 べ る。
d(諺)4(δ)
恥 ㎜a2.1.二 つ の べ ク ト屈=(x1,ッ1)と ∂=(x2,Ys)が 同 じ領JA A ,B,0,Dに あ る と き [蘭] 一 . >1 d(戎)d(u)『 pro(ゾ.諺,∂ ∈ 4(ま た はC)の と き、[戎,司>0,♂(の ♂(∂)>0で あ る。 こ の と き 、 (2・7) (XIX2一),ly2)2一(κ 釜一)塚)(x2一)塚) =(コ じly2-x2こ ソ且)2 ⊇≧ 0 と な る の で 成 り立 つ 。 他 方 、 虜,旋B(ま た はD)の と き は 、[諺,δ]〈0、 ♂(の ♂(∂)<0で あ り、 (2。7)も 成 り立 つ の で 証 明 さ れ る 。(等 号 は 産と ∂の 傾 き が 等 し い と き成 立) 玩 ㎜a2.2二 つ の べ ク ト堀=(x,,ッ 、)と∂=(κ 、,y、)が 隣 り合 う領 域1こ あ る と き は [諺,δ]
♂ ㈲
♂ ㈲
は純麟
となる・
pro(ゾ.[砿 司 が 実 数 で 、 d(めd(δ)が 純 虚 数 な の で 明 らか 。恥 ㎜a2.3二 つ の べ ク ト屈=(劣1,y1)と δ=(x2,y2)が 原 点 に 訊 、て 対 称 な 領 域 に あ る と き は
[諺,∂] 「τ . <一1 d(u)d(の 一 → A A =一 ツ κ= B C A D 27
口
口
procゾ.μ6.4,β60の と き[諺,司<0で4(のd⑦)>0、 ま た 旋.8,旋1)の と き は[諺,司>0で ♂(の 4(の く0で あ る 。 そ し て(2.7)が 成 り立 つ の で 証 明 さ れ る 。(等 号 は 諺と ∂の 傾 き が 等 しい と き 成 立) □ Definidon2.3(角).二 つ の ベ ク トル 戎と βの 間 の 角eを 次 の よ う に 定 義 す る。(♂(の ♂(∂)≠0) (2.8) ・,。,hO。.[産 ・禦ゴ(u)d(の
この と き の ◎ は θを実 数 と して ・
A1)諺 と8が 同 じ領 域 に あ れ ば ◎ は実 数
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佐野 圭太 ・大久保克己
A2)彦 と∂隣 り合 う領 域 に あれ ばe=θ+舞
A3)彦 とδが 原 点 につ い て 対 称 な領 域 に あ れ ば ◎=θ+短
CoroUary2.1 二 つ の ベ ク ト ル 蕊と ∂が 『直 角 』 の と き ◎=舞 。 fig2。2 Q Φ θ 距 ㎜rL2.2上 に 定 義 し た 角 に は 加 法 性 が 成 り 立 つ 。 づ pro(ゾ. OPと(1,0)の 間 の 角 をeと す る と ハ め レ ハ ロ ラ づOP=(4 (OP) cosh ∈),(ノ (OP) sinh 8)
つ
と か け 、OQも 角0を 使 っ て
ハ づ レ ハ け づ
OQ=(4 (OQ) cosh (∋,(∫ (OQ) sinh e)
づ ロ と 表 せ る 。(fig22)こ の と きOPとOQの 間 の 角 Ψ は 、 づ レ ロ ゼ レ [OP,OQ〕(2 .9)coshT= リ ハ ラ 4(OP)d(OQ) =coshOcosh -sinh◎sinhΦ=cosh(o一(D) と な り 加 法 性 が わ か る 。 □ P R 0 fig2.3 1 S 0 P Theorem2.2三 角 形 の 内 角 の 和 は π εで あ る 。 ラ バ ラ バ ラ
pro(ゾ.△OPQ(♂(OP)≠0,4(OQ)≠0,4(PQ)≠0)に
対 してOR//PQと
な る よ う にORを
引 く
と(fig2.3)、 ∠OQP=QOR。
ゆえ に三 角 形 の 内 角 の 和 は71
Lに な る。(注:角
をCos
Oで 考 え る.と和 は
π と な る)
□
Theorem2.3(余 弦 定 理)。 二 つ の ベ ク トル 詑,∂に 対 して 次 の 式 が 成 り 立 つ 。 (2.10) ゴ2(u-v)=♂2(の+♂2(δ)一2♂(の,♂(δ),c・sh◎
づレ ン ロ うレ
Theorem2.4.二 つ の ベ ク トルoraOPとOQの 間 の 角 を θ と し、[OP,PQ]=0と す る と き 、 次 の 式 が 成
ラ バ シ バ ラ ハ
り立 つ 。(4(OP)≠0, d(OQ)≠0,4(PQ)≠0)
ハ ハ づ レ
(2.11) d (OP) =(♂ (OQ) cosh 8
ハ レ ラ レ
…12…
函 ・一{禦
蹴
、o,0
,蹴'1ま
たはD)
ラ へ ヴ
pro(ゾ 次 の 二 式 よ り(2.11)とd2(PQ)=一42(OQ), sinh 2θ が 導 け る 。
ラ バ ピ レ ラ ラ づ ♂2(PQ)一 ♂2(OP)+♂2(OQ)一24(OP)ゴ(OQ)c・sh O あ ラ シ の ♂2(OQ)一a2(PQ)+d2(OP) さ ら に 、fig2.4か らfig2.7よ り 式(2.12)が 導 け る。
fig 2.4 fig 2.5 fig 2.6 fig 2,7
レ あ う ラ う ハ
ゴ(PQ)が 虚数 4(PQ)が
虚数 d(PQ)が
実 数 d(PQ)が
実数
に ヨレ あ ラ バ づ ハ う4(pR)=
d(PQ)篇
4(PQ)=
4(PQ)=・
の ジ ロ らヒ う ハ う一 ㎡(OQ) sinh◎ 一id (OQ) sinh 8 id (OQ) sinh◎ 一id (OQ) inhO
' ' ,ρ P ' P ' P /
7
'
、 P 、 、 、 、 、 、 、 、 '' ' ' '不 定 値 計 量 の 幾 何 学
29 肋 ㎜a2.4.△OPQの 面 積 は 一`×(正 の 実 数)と い う 値 を 取 る 。 Proof.0(0,0),P(κbO),Q(箱,)'1)(x,>0, y 1>0)か ら な る △OPQの 面 積 は・
・13・ ズ
ー馳
一一撃
fig2.8 .. .・・=1毛:'ri:1∈'i= Q(xly亀) o P(OX 1,)とな り、 一 般 の△OPQの
面 積 は この三 角形 の 和 と差 で求 ま る。 ロ
ハ ラ (注:0(0,0),P(1,0),Q(1,1)の と き 、4(OQ)=0だ が 面 積 は0で は な い)Lεmma2.5. OPと δ苺 が 『直 角 』 の と き △OPQの 面 積 は 麦(f(面)♂(δ 苺)に な る 。
pro()f. P(x,,ッ1)が 領 域Aに 、 Q(x2,y2)が 領 域Bに あ る と し て も一 般 性 を 失 わ な い(コ じ軸 、 ッ軸 に つ い て 対 称 に 変 換 す れ ば よ い)。 面 積Sは 、 ・・。14・ ・一(y,一f一一i・)1・1…)一i"Y'+ix<<2 2 'g2.9
=_`一
2 と 計 算 で き る 。 こ れ を 変 形 す る と、 4S2= (κ盆一ツD(x2一:ソ 茎) 一(XIx2一:ソ1y1)2 こ こで κ1κ2一卸y2=0を 使 う と 証 明 で き る。 口 こ の こ と か ら、 三 角 形 の 面 積 が 次 の よ う に 定 義 で き る 。 Q(x2y2) P(XI,y 0 ラ づ レDefinition2.4(面 積).ベ ク トルOPとOQの 間 の 角 が0の と き、 △OPQの 面 積 を 次 の よ う に 定 義 す る 。
ハ ロ ハ ラ ハ (ゴ(OP)≠0, d(OQ)≠0, d(PQ)≠0)
㈲倭綴 灘 急難 サ
綱
ラ ウ ハ う Theorem2.5(正 弦 定 理).△PQR(d(PQ)≠0,ゴ(QR)≠0, d(RP)≠0)に お い て 次 の 式 が 成 り 立 つ 。(但 し、 ∠P+∠Q+∠R=酒 、Sは △PQRの 面 積) (2。16) sinh P-sinh Q-sinh R- 2お め レ ハ ウ シ バ う ハ ジ ハ ラ4(QR)
4(PR)
4(PQ)
4(PQ)6(/一I T))4(RP)
証 明 △PQRを
四 つ の 場 合 に場 合 わ け して考 え る。(θ,ψ,ψ
を正 の実 数 とす る)
al.三
辺 と も長 さが 実 数 の と き
a2,二
辺 の 長 さが 実 数 で、 一 辺 が純 虚 数 の と き
a3.一
辺 の 長 さが 実 数 で、 二 辺 が 純 虚 数 の と き
a4.三
辺 と も長 さ が純 虚 数 の と き
fig2.10
alの と き 、 ∠P=θ,∠Q=g,∠R=一 ψ+π εと 仮 定 す る 。 こ の と き 、 あ ラ バ づ レ (2.17) 2S 一 一 id (PQ) 4 (PR) sinh O あ ラ バ の =一id(PQ)4(QR)sink(p づ レ コ ヴ .=一id(PR)4(QR)sinh(一 ψ 十 π の ハ ぬ ハ づ レ が 成 り 立 ち 、 各 辺 を ゴ(PQ)d(QR)4(m)で 割 る と 式(2.16) が 得 ら れ る 。 P θ ψ 一 ψ+π ε R Q30
佐野 圭太 ・大久保克 己
ラ ハ ウ a2の と き 、 ゴ(PQ),4(餌)が 実 数 と す る。 そ して 、 ∠P=B, ・Q=sv+号 ・(2.18)
が 成 り'立ち 、 各 辺 を ♂(PQ)4(QR)4(朋)で 割 る と式(2.16) が 得 られ る 。 レ a3の と き 、 d(QR) .だけ が 実 数 と す る 。 ∠P=一 θ,∠Q=一 ψ+・穿,蹄
ψ・塾
す …
の とき・
ハ ラ へ ラ (2.19) 28=ご(1(PQ)ゴ(PR)(一sinh(一 θ)) .一一id(函)♂(誠)・i・h(一
・・号)
一一・
♂(奮)♂(誠)・
・nh(ψ・穿)
ラ ラ つ が 成 り 立 ち 、 各 辺 を ♂(PQ)♂(QR)4(盟)で 割 る と 式(2.16) が 得 ら れ る。 a4の と き 、 ∠P=一 θ,∠Qニ ψ+7CZ,∠R=一 ψ と す る 。 こ の と き 、 ゆ ハ ラ (2.20) 2S = ∫(∫(PQ) d (PR)(一sinh (一 θ)) ハ ヨレ レ = id (PQ) 4 (QR) (一sinh (ψ 十 π の) ラ ハ う = `(∫ (PR) d (QE)(一sinh (一 ψ)) ぬ づ ゆ ウ うが 成 り立 ち、 各 辺 をゴ(PQ)4(QR)4〈
盟)で
割 る と式(2.16)
が 得 られ る。
・
□
・R一 一 ψ ・ 号 と す る・ ・ の と き・ ハ う ハ う 2S =一 id (PQ) d (PR) sinh O .一 一 疎
画)♂(誠)・i・h(・+号)
一 一 ・
掘)ゴ(誠)…h(一
ψ ・号)
一→ ^ 一→ ^ → P θ穿
一 ψ+百 ε ψ 十 π` Q fig2.11 一 ψ+百R P fig2.12 fig2.13 一 θ P Q だ ψ+z' Rψ+タ
ψ R 一 ラ う つ Theorem2.6,三 点L,M,Nが 一 直 線 上 に な く、d(Em)♂(Mlのd(LN)≠0の と き 、 中 心(P,4)が と れ てL,M,Nを 通 る双 曲 線 (2.21) (κ.一p)L(y-q)2二R2が 存 在 す る。(Rを 双 曲 線 の 半 径 と い う こ と に す る)こ の と き △LMNの 面 積 をSと お く と 、 ラ づ レ づ ♂2(LM)♂2(MN)♂2(LN)(2 .22) 41ぞ、2一一 4S2 が 成 り立 つ 。. Proof.三 点 を0(0,0),P(κ1,ッ1),Q(x2,y2)と して も一 般 性 は 失 わ れ な い 。 こ の 三 点 を 式(2.21) に 代 入 す る と 連 立 方 程 式 が 得 ら れ 、p, q, Rが 求 ま る。 κ12 12一 蛎!+2vl(2 .23)(2.24)
(2.25)
P= 2(x ,y1-x2ツ1) 一 κ1κ2- 2x2一 κ1κ1十 2x19 R2一 2(x,ッ 、一 劣・ッ1) (婿 一D(κ 塁一 塁)((κ 、一 コ`、)2一(一 ・)2) 一4(x,ニ ソ2-x2:ソ1)2△OPQの
面S Sは 定 義 よ り
ハ うの ハ ラ (2.26) 4S2=・ 一42(OP)d:2(OQ)sinh2◎ ラ づ = 一(∫2(OP) (f 2(OQ)(cosh' 8-1) ラ づ レ う ラ不 定 値 計 量 の 幾 何 学
31 =一(κ1κ ・一yly・)2+(コ σ卜yi)(x2-y=) =一(x,y、 一x、Yi)2 と な り 、(2.22)が 示 せ る 。 R2の 符 号 は 次 の よ う に な る 。 alの と き 、R2〈O a2の と き、.R2>O a3の と き 、 、R2<O a4の と き、 R2>0・ こ れ を 使 う と(2.16)は 次 の よ う に な る 。□
ハ づ み う ハ づ 皿1eorem2.7(正 弦 定 理)△PQR(d(PQ)≠0,4(OD)≠0,4(RP)≠0)に お い て 次 の 式 が 成 り 立 つ 。(但 し、 ∠P+∠Q+∠R=π1、Rは 双 曲 線 の 半 径)sinh2P sinh'Q sinhlR -1 (2・27)♂ 傾)一 ♂ 碗
)一 ♂面)一 、。 ・
3.三 次 元 空 間
三 次 元 空 間R3に 『内 積 』 と 『外 積 』 と 長 さ を 定 義 す る 。
Defh1量don3.1(内 積)。 二 つ の ベ ク ト ル 産=(κbyb2L)と δ=(κ2,y2,22)の 『内 積 』 を 下 の よ う に 定 義 す る 。 (3.1)・ [彦,δ]=κ1κ 、+ツly、 一2、2、
ま た 、[砿 ∂]=0の と き 、 彦 と ∂ はr直 角 』 と い う こ と に す る 。
Proposition3.1.
(3.2)
『内 積 』[拡 δ]は 次 の 座 標 変 換 に 関 し て 不 変 な 量 で あ る 。(θ は 実 数) π' Cos B-sin O O, ,x
ニソ'= sin O cos O O ツ ' 0 0 1 2
(3.3)
κ M / 2一
︹
cosh O O O 1・ sinh O O sinh O O cosh O :y (3。4) κ ン Z 1 0 0層cosh O O sinh O O sinh O cosh O ツ 2 Lemma3.L 内 積 の 定 義 よ り二 つ の ベ ク トル 戎と 若に た い して 次 の 式 が 成 り 立 つ 。 (3.5) [浸一 着,読一 δ] =[諺,諺]十[δ,∂]一2[戎,β] 特 に 諺 と が が 『直 角 』 の と き は 次 の 式 が 成 り立 つ 。 (3.6) [戎一 か,諺一 δ]=[浸,蕊]十 〔δ,∂] Definition3.2(外 積).二 つ の ベ ク ト ル 諺=(x,,ッ ェ,21)と δ=(κ2,ッ2,22)の 『外 積 」 を 下 の よ う に 定 義 す る 。32
佐野 圭太 ・大久保 克己
Proposition32.二 つ の ベ ク ト ル 蕊,δ の 『外 積 』 諺*∂ は 諺 に も δ に も 『直 角 』 で あ る 。 Definidon3.3(長 さ)ベ ク トル 産二(x,,y,,z,)の 長 さ を 次 の よ う に 定 義 す る 。 (但 し 」=〉/=11)・
・
・
・…1驚
甑 莞
吻::=::∵
恥mma3.2,諺=(x,,yb2Dと δ=(x2,y2,22)に た い し て 次 の 式 が 成 り 立 つ 。 (3.9) (∫2(8*∂)=[蕊, δ]2一(∫2(読) (f2(δ) Proof.(∫2(の=x;+:yl-21,(∫2(∂)=κ1十y2-z2で あ る か ら 、 ♂2(諺*∂)=(y、2、 一21y、)2+(2、 κ、一 κ12、)2一(κ 、y、一y1κ 、)2 =)21(一x2十21)十z;(ツ1一 κ1)十 貿(z2-y2)一2ッ1ッ22122-221z2κ1κ2十2κ1κ2ッ1y2
-yl(Y2_d-2(δ))+21(z2+42(の)+κ1(蝿 一42(∂)) 一2:y1ツ22122-22122κ1κ 』『薇1κ2yLツ2
=[一1-1u,u]2一 ♂2(戎)♂2(∂) [コ
Len㎜a3.342(の ニ ー1, d-2(彦)=一1で2L22≧ ∼1の と き 、[U Vu,]<一1と な る 。 pro〔 ゾ, (κ 、κ、+yly、)2一(ZIZ、 一1)2 =(κ1+yl)(x2+Y22)一(κ1ッ 、一x、y1)2一(ど 、9、一1)2 =(2i-1)(21-1)一(κ1ッ ・一x・y、)2一(212・ 一1)2 =一(zr2、)2一(κ 、y、一 κ、ッ1)2<0 と な り 、2LZ2:≧1の 仮 定 よ り 一(Zl22-1)<κ1κ2+yly、<2エ2一1。 ゆ え に[諺,δ]=κ1x2 +yIッ2-2122<一1が 成 り 立 つ 。(iff左=泓 の と き 等 号 成 立) 玩 ㎜a3.442㈲=一1, d2(8)=一1でg122<一1の と き 、[諺,∂]》1と な る 。 pro(ゾ. (κ 、劣、+ッ1ッ 、)2一(β12、+1)2
=(κ1+1YZ)(κ 茎+Y22)一(κ 、y、一 κ、y1)2一(2、Z、+1)2 =(2i-1)(z2-1)一(κ1ッ 、一 κ、y1)2一(2、2、+1)2 =一(zi-z・)2一(κ1y・ 一x・y、)2<0 と な り 、2122<一1の 仮 定 よ り21諄2+1<κ1κ2+ッ1ッ2<一(2122+1)。 ゆ え に[産,司=ユ=1κ ゴ1っ ノ、こノ, 一Z、22》1が 成 り 立 つ 。(iff u==一 ∂ の と き 等 号 成 立)
□
角 度 を 定 義 す る 前 に 三 次 元 空 間R'を 、 円 錐x2+プ ー22=0で 、 A,B,Cの 三 つ の 領 域 に 分 け て お く。A:x2一 ←二y2-22<0, 2>0 . fig3.1 B:x2十y2-z2<0, 2<O
C:x2十y2-z2>〇
二 つ の ベ ク トル 蕊 と β の 位 置 関 係 は 次 の 六 つ の 場 合 が 考 え ら れ る 。
B1)諺 ∈A,∂ ξAま た は 諺∈B, BO 6 B2)諺`A,∂`B
A
C
B＼ ＼
不 定 値 計 量 の 幾 何 学 33 B3)諺 ∈C,δ ∈A(B) B4) 諺6 C,∂ ∈C,♂2(諺*∂)〈O B5)u6C,δ ξC,(f2(諺*∂)>0で[広 δ]>O B6)u6C,vEC,(∫2￠*δ)>0で[戎,δ]<O Defi面on3.4(角).琵 と ∂ の 間 の 角0を 次 の よ う に 定 義 す る 。(♂(の ♂(∂)≠0) .10) cosh 19= ㈱](3
6(廿)dCU)
こ の と きの ◎ の値 は ばB1か
らB6の
場 合 に よ って 次 の よ う に な る。(θ
は実 数)
B1)・
と き…m
・よ ・
、,謬
、,、・1と な ・
・ 一 ・ ・
実 数 ・.
・・…
き…mm…
よ ・
、,認,,≦
一1と な ・ ・で 、 θ 一 ・+・ ・.
・・)・ と き ・・ ♂(・).鵡
・ 純 蝋
・ ・て β 一 ・撃
・…
と き・ 場 合 分 け ・仕 方 ・ ・ 一1≦
、 、1多謬,,、 ≦1と
な ・
・・.
・…
と き・ 場 合 分 け 嚇
・ ・
、,1多 書,,,・1と
な ・
・.
・…
と き・ 場 合 分 け・ 仕 方 ・ ・
、 、1多謬,。
≦ 一1と な ・ ・ 一 ・+・ ・.
Theorem3.1(余 弦 定 理).二 つ の ベ ク トル 蕊,δ に 対 し て 次 の 式 が 成 り立 つ 。 (3.11) ♂2(諺一 ∂)ニ ♂1(の+♂2(δ)一2♂(産)♂(δ)c・sh 8 う う Remark3.1.二 つ の ベ ク ト ルOPとOQで 張 ら れ る 平 面 π は、 z軸 を 中 心 に 回 転 す る こ と に よ っ て 、 下 の い ず れ か の 平 面 と 一 致 す る 。(θ は 実 数) π1: 一sinh(vx十coshcoz=0 712: coshcox-sinhω2=0 713: κ十 β=0 (注:平 面 π の ユ ー ク リ ッ ド的 な 法 線 ベ ク トル と 、z軸 の 作 る 角 が0か ら 吾 の と き π 監、 葺か ら π の と き π,,ち'よ う ど 晋の と き713。 言 い か え る と 、 平 面 π が 円 錐x2+yz-z2=0に 、 原 点 だ け で 交 わ る と π 、、 二 本 の 直 線 で 交 わ る と π2,母 線 で 接 す る と π3)fig3.2 π1 fig3.3 π2 fig3.4 π 。
聖旨。・ ヤ
艦
艇
、 卜 ・ 軌 " 認 ・ 銘 銘 器 ・ ・ 鞠 器 軸 ℃ 竃 噸 一 ● " ■ 9 9 ■ 、 、、㌔ ＼ 、、 ＼ 、 、 、 、 、 、、 、、 ＼ ＼、 、 ＼ ＼ 、 、、 、 、 、、 、、 ＼、 、、 、、 へ ρ.9一 ・・よこ毒 、 ＼ ・・ .こ転34
佐野 圭太 ・大久保克 己
平 面 πL(fig 3.2)に は 、 苔=(0,1,0)と ア=(coshes,0,sinh co)が と れ 、 (3.12) (∫2(芒) = (∫2(ア)=1, [壱,ア]=0 壱*ア ニ(sinhω,0,coshω),♂2@*ア)=一1(<0) と な る 。 π 、 上 の 任 意 の ベ ク ト ル 産 は 実 数a,bを 適 当 に 取 れ ば 産=罐+げ と 表 せ る 。 さ ら に 、 π 且 上 の 二 つ の ベ ク ト ル 諺=磁+げ と ∂=c壱+か に 対 し て は 、 (3.13) [拡 δ]=わdcosh2ω 十 ㏄ 一6d sinh2ω=αc十bd (3.14) dl 2(蕊) = a2十 わ2 が 成 り 立 っ て い る 。 平 面7z(fig 3.3)に は 、 苔=(0,1,0)とg=(sinhW,0,coshco)が と れ 、 ハ ハ (3.15) aP(苔) =1, d2(g)=一1, [壱,g]=0 ハ レ 老*g=(cosh co,0,sinh W), dl 2@*g)=1(>0) と な る 。72上 の 任 意 の ベ ク トル 菱 は 実 数a,bを 適 当 に 取 れ ば 彦=α 蒼+わ8と 表 せ る 。 さ ら に 、 二 つ の ベ ク ト ル 諺=罐+bgと5=c苔+dgに た い し て は 、
(3.16) [蕊,司=わ(メsinh 2ω 十ac一 ろ4cosh2ω=ac-bd ♂ ㈲=α2一 わ2 が 成 り 立 っ て い る 。, 平 面 π,(fig 3.4)に は 、 壱=(0,1,0)と 渥=(一1,0,1)が と れ 、 (3,18) d2(壱) =1, ♂2(充)=0, [珍,7歪]=0 苔*g =(1,0,一1 ), (メ2(Z}*8) =0 と な る 。 π3上 の 任 意 の ベ ク トル 彦 は 実 数 αゆ 牽 適 当 に 取 れ ば 戎=罐+疏 と 表 せ る 。 さ ら に 、 二 つ の ベ ク トルu= +観 と ∂=(直+読 に た い して は 、 (3.19) [諺,渉] = ac dz(涜) =a2 が 成 り立 っ て い る 。 そ こ で 、 π1の よ う な 平 面 を 「ユ ー ク リ ッ ド的 平 面 』、 π2の よ う な 平 面 を 「双 曲 的 平 面 』、 π3の よ う な 平 面 を 「退 化 し た 平 面 』 と 呼 ぶ こ と に し ま す 。 恥 ㎜a3.5. 『退 化 し た 平 面 』 内 で 長 さ が0で な い 二 つ の ベ ク ト ル が つ く る 角 は 、0ま た は π ε に な る。 pro(功(3.18)の 芒,五 を 使 う と匝=磁+読,δ 惹=罐+読 と表 せ る。 こ の と き の 角0は ac cosh e= =±1
a2 c2
の 計 算 か ら0ま
た は れ
に な る。
L,血 ㎜3.6.「 立_ク ・リ ッ ド的 平 面 』 上 の 二 つ の ベ ク トルOPと δ苺 が 「直 角 』・の と き 、 そ の 間 の 角 は ユ ー ク リ.ッ ド空 間 の 意 味 で 直 角 に な っ て い る 。' ハ シ ラ バ ラ ウProof.(3。12)を 満 た す 蒼,アを 使 う と 、 OP=♂(OP)cosφ 苔+4(OP)sin Oア、 OQ=4(0ρ)ρosψ 苔
ハ づ
+4(OQ)sinψ アと 書 け る 。
ラ リ レ つ づ
[OP,0ζ?];(∫(OP)♂(OQ) (cos O cos O+sin O sin O)=COs (φ 一 ψ) =0
と な る の で ・.0・一 ψ=±.晋 ・ ・ 』1'冥 ・`
Lem㎜3.7.『
双 曲 的 平 面 」1・
上 の二 つ の ベ ク トル δ:β ζ.δ蒼 が 『直 角 』 の と き、 この 平 面 と 円 錐
κ2+プ ー22二 〇 の交 線 に関 して、OPと
δ苺 は対 称 な倖 置 に あ る。
不 定 値 計 量 の 幾 何 学
35 δ苺]一 ・一Yly・ 一 ・ な ・ ば}砦 と な り・ 壱・碁 に … 対 称 と な ・・(・ ・一 ・ ・ と き ・≠0よ
りy2=0,x2≠0と
な り成 り立 って い る) □
Coro皿ary3.1.二 つ の ベ ク トル 諺 と ∂ が 『直 角 』 の と きe=歪 ら こ の こ と は 角 の 定 義 よ り 『ユ ー ク リ ッ ド的 平 面 』 で も 、『双 曲 的 平 面 』 で も成 り 立 つ 。 し か し、 『退 化 し た 平 面 』 内 に は 『直 角 』 は な い 。 Remark3.2.(3.10)で 定 義 し た 角 に は 加 法 性 が 成 り立 つ 。 ラ ラ pro(ゾ. OPとOQが 『ユ ー ク リ ッ ド的 平 面 』 π1上 に あ る と き 、 平 面 をz軸 を 中 心 に 向 転 し て ∫む3.2 つの 位 置 に も っ て い け る 。 ㎝ と 差=(0,1,0)の 間 の 角 をeと す る と(fig 3 .5)、 sinh O=sinhi O =isin Oな の で
、
ハ ニゥ う ラ
OP=(∫(OP)coshe苔 一 ご(∫(OP) sinh Oア
う
と か け 、OQも 角 Φ=`φ を 使 っ て 、
ラ ハ ラ ハ づ
OQ=d(OQ) coshΦ 蒼一`4(OQ) sinhΦ ア
ラ と 表 せ る。 OPとOQの 間 の 角 Ψ は 、 ラ ラ [OP,OQ] cosh T= =coshθcoshΦ 一sinh◎sinhΦ=cosh(e一 Φ) ラ
4(OP)4(OP)
と な り加 法 性 が 成 立 す る。
ロ う り OPとOQが 『双 曲 的 平 面 』7C p上 に あ る と き 、 こ の と き も平 面 をz軸 を 中 心 に 回 転 し て ∫む3.3の よ うレ づ う に で き る 。OPと 苔=(0,1,0)の 間 の 角 を ◎一、OQと 壱=(0,1,0)の 間 の 角 を Φ と す る と (ノ{93.5)、 うレ ハ うり ハ うOPニd(OP)cosh e苔 十d(OP)sinh eg
シ バ ウ
ゆ
OQ=(! (OQ) cosh Φ 苔十(オ (0(≡∼) sinh (Dg
づ と 表 せ 、OPとOQの 間 の 角 Ψ は 、 ゆ う [OP,OQ] cosh T=
= cosh ◎ cosh Φ 一sinh ◎ sinh Φ=cosh (θ 一 Φ)
ハ うレ ハ ラ
4(OP)4(OP)
よ り加 法 性 が 成 立 す る。
『
退 化 した平 面 』 上 で成 り立 つ の は 自明 。
□
Theorem3.2.三 角 形 の 内 角 の 和 は π`と な る 。 ハ づ ハ レ ハ づpro(ゾ.△OPQ(ゴ(OP)≠0,d(PQ)≠0,ゴ(OQ)≠0)に 対 してOR/,/PQと な る よ う にOR を 引 く と 、 ∠OQP=∠QOR(fig 3.6)。 ゆ え に 三 角 形 の 内 角 の 和 は π`で あ る 。(注:角 をCOs eで 考 え る と和 は π 。 こ の 定 理 は 『ユ ー ク リ ッ ド的 平 面 』 で も 『双 曲 的 平 面 』 で も成 り立 つ)口 fig3.5 fig3.6 Q 2(ぎ) Φ θ P R 0 ぎ S ﹁0 P
36
佐野 圭太 ・大久保克己
ラ ラ シ ロ
Theorem3.3.二 つ の ベ ク トルOPとOQの 間 の 角 を θ と し 、[OP,PQ]=0と し た と き 、 次 の 式 が
ハ レ ハ づ レ ハ ロ ラ 成 り立 つ 。(d(OP)≠0,4(OQ>≠0,4(PQ)≠0) ラ の う (3.20) 4(OP)=d(OQ)cosh O ハ ラ バ ラ (3.21a) d(PQ)=id(OQ)sinh◎ (B1)の と き) ハ ラ の ラ (3.21b) 4(PQ)=一i d(OQ)sinhθ (B3), B4), B5)の と き) Proof.次 の 二 式 よ り(3.20)と(∫2(函)=一 ♂2(δ 百)幽sinh 2θ が 導 け る 。 ハ ロ ミレ ハ リ ハ ウ ハ う
(3.22) (オ2(PQ)ニ ゴ2(OP) 十d!2(OQ)一2 d!(OP)4(OQ)cosh 8 (3.33) ♂・(δ苺)一 ♂・(殉)+♂ ・(び) の レ ハ ラ B1)の と き 、(∫(OQ)が 一 ε×(正 の 実 数)、 sinh⑱ は 正 の 実 数 、4(PQ)は 正 の 実 数 。 よ っ て 、 (3.21a)が 成 り立 つ 。 B2)の と き、 ∠Pが 『直 角 』 の 『直 角 三 角 形 』 は で き な い 。 へ ラ バ づ
B3)の と きsinh Oは 以(正 の 実 数)、4(OQ)が 正 の 実 数 の と き はd(PQ)は 一 飯 正 の 実 数 、
ハ う 他 方4(OQ)が 一`×(正 の 実 数))の と き はd(PQ)は 正 の 実 数 。 よ っ て(3.21b)が 成 り立 つ 。 ハ づ ハ づ B4)の と き 、 d(OQ)が 正 の 実 数 、 sinh◎ は`×(正 の 実 数)、4(PQ)は 正 の 実 数 。 よ っ て(3.21b) が 成 り立 つ 。 う づ
B5)の と き 、4(OQ)が 正 の 実 数 、 sinh eも 正 の 実 数 、4(PQ)は 一f×(正 の 実 数)。 よ っ て (3.21b)が 成 り 立 つ 。
B6)の と き 、 ∠Pが 『直 角 』 の 『直 角 三 角 形 』 は で き な い 。 □
Proposi伽n3.3.△OPQの 面 積 は 、 OPQが 「ユ ー ク リ ッ ド的 平 面 』 上 に あ れ ば 正 の 実 数 、 OPQが 『双 曲 的 平 面 』 上 に あ れ ば 一 以(正 の 実 数)、OPQが 『退 化 し た 的 平 面 』 上 に あ れ ば0と い う 値 を 取 る 。
Proof. 「ユ ー ク リ ッ ド的 平 面 』 上 に あ るo(0,0,0), P(o,κ 乳,o), Q(yi cosh O,κ1,ッ1 sinhθ)
づ
(x,>0,yL>0)か ら な る △OPQの 面 積 を 求 め る と(OQ=κ 、苔+ッ[壱)、
(324)ズ
攣
一
撃
と 実 数 に な る 。 一 般 の △OPQの 面 積 は こ れ の 和 と 差 で 求 ま る 。
『双 曲 的 平 面 』 上 に あ るo(o,0,0),P(o,x,,o), Q(一 ッ1 sinhθ,x,,yl coshθ)(x,>o,ッ1>o,
ラ
か ら な る△OPQの 面 積 を 求 あ る と(OQ=κ 諺+y18)、
(3.25)ズ
攣
…
撃
_、
と な る 。 一 般 の △OPQの 面 積 は こ れ の 和 と 差 で 求 ま る。 『退 化 した 平 面 』 上 に あ る0(0,0,0),P(0,x,,0), Q(一ybκbyD(コ5♪0, yl>0)か ら な る △OPQの 面 積 を 求 あ る と ヒδ苺=銑 彦+y、 勘 、 ハ の(3.26)ズ
蝉
一・
□
とな る。
ハ ウ (注:0(0,0,0),P(0,1,0), Q(1,1,1)の と き は4(OQ)=0と な っ て い る が 、 面 積 は0と な ら な い)Proposi伽n34.二 つ の ベ ク トルOPと δ苺 が 『直 角 』 の と き △OPQの 面 積 は み ♂(OP)ど(δ 苺) に な る 。
proof. O,P,Qが 『ユ ー ク リ ッ ド 的 平 面 』 に あ る と き(3.12)で 使 っ た 苔 を κ'軸 、 ア をy'軸 と 考 え て 、0(0,0),P(κ'b:y'、), Q(x 2,y'2)と お く 。(κ'2〈0<κ'i,ヅ1>0, y'2>0)面 積Sは 、
不 定 値 計 量 の 幾 何 学
37ひ リ
リ り
=:u1ツ2一 κ2ツ 正
と 計 算 で き る 。 二 乗 し て 変 形 す る と 、
4S2= (ユノ翌十:y'董)(;ガ 茎十y'韮) 一(:ガi:ガ2十)〆1y'2)2 と な り 、(内 積=)劣'1劣'2+:y'L:y'2篇0を 使 う と 証 明 で き る 。 O,P,Qが 『双 曲 的 平 面 』 に あ る と き(3.15)で 使 っ た壱 をx'軸 、 づ gを ヅ 軸 と 考 え て 、0(0,0),P(￡'by'D, Q(κ'2,ヅ2)と お き ま す 。 (0<x,<x'1,y'1>0, y'2>0)面 積S.は 、 28=一`(y㍉+ヅ ・)(κ'・一 κ'・)一ix'・ ヅ ・一(一 漉'1ヅ1) =一`(x'1y'7一;ピ2:y'1) と 計 算 で き ま す 。 二 乗 し て 変 形 す る と 、 4S':= 一(ユノ董一y'董)(κ'茎 一1ゾ 茎)一(κ',x,一:y㌔ ツ'2)2 と な り 、(内 積=)コ じ'rl X z-y'Ly'2=0を 使 う と 証 明 で き る 。 fig3.7 Q(xlyの π`
)
/
yyZ
﹄
こ の こ と とTheorem3.3か ら、 三 角 形 の 面 積 が 次 の よ う に 定 義 で き る。□
ロ ヨレ ジDefini伽n3.5(面 積).二 つ の ベ ク トルOPとOQの 間 の 角 が θ の と き 、 △OPQの 面 積 が 次 の よ
に う ハ ハ う に 定 義 で き る。(d(OP)≠0,4(QP)≠0,4(OQ)≠0)
・
・28・
冑
瑠
麟i曽
識1認
認
。とき)
ラ ラ Theorem3.4.二 つ の ベ ク トルOPとOQに よ っ て 作 ら れ る 平 行 四 辺 形 の 面 積 を28と す る と、 う ラ (3.29) (∫2(OP*0(9) =一4S' 、proof.(3,9)と(3.28)を 使 う と 、 へ う レ う ラ み つ ラ う42(OP*OQ)=[OP,OQ]2一(∫2(OP)♂2(OQ)=(『2(OP)(∫2(OQ)(cosh'
一1)=一4S2と
な り
導 け る。 口
ハ ハ う つ皿1eorem3.5(正 弦 定 理),△PQR(d(OP)≠0, d(PQ)≠0 ,♂(OQ)≠0)に お い て 次 の 式 が 成 り立 つ 。(但 し、 ∠P+∠Q+∠R=ni、 Sは △PQRの 面 積)
(3.30) sinh P-sinh Q-sinh R 2iS
へ ジ ハ づ レ ハ ラ ハ う の ハ づ
d(QR)
4(PR)
4(PQ)
4(P(?)d(nn)d(RP)
proof.△PQRを
六 つ の場 合 に場 合 わ け して 考 え る。(θ,ψ,ψ を正 の 実 数 とす る)
91.三
辺 と も長 さが 実 数 で、 △PQRが
『琴 曲 的 平 面 』 に あ る
β2.二 辺 の 長 さが 実 数 で 、 一 辺 が純 虚 数 。 △PQRは
『
双 曲 的平 面』 に あ る
β3.一 辺 の 長 さが 実 数 で 、 二 辺 が純 虚 数 。△PQRは
『
双 曲 的平 面』 に あ る
β4.三 辺 と も長 さが 純 虚 数 、 △PQRは
「双 曲 的 平 面 』 に あ る
s5.三 辺 と も 長 さ が 実 数 、 △PQRが 『ユ ー ク リ ッ ド的 平 面 』 に あ る β6.△PQRが 「退 化 し た 平 面 』 に あ る β1.の と き 、 ∠P=0,∠Q=ψ,乙R=一 ψ+π`と す る。 こ の と き 、 へ う ハ づ (3.31) 2S ニ=「 .ε(∫ (PQ) 4 (PR) sinh O ハ ラ ほ う =一 昭(PQ)4(QR)sinh cp ハ ギ レ の レ =一 id (。詔) 4 ( RQ ) sinh (一 ψ 十7r i) ハ ラ あ つ づ が 成 り 立 ち 、 各 辺 を ゴ(PQ)4(QR)♂(PR)で 割 る と(3 .30)が 得 ら れ る 。 P θ fig3.8 ψ 一 ψ+π ε R Ω38
佐野 圭太 ・大久保克己
ハ ロ ラ ハ ラ a2.の と き 、 ゴ(PQ),ゴ(飢)が 実 数 と仮 定 す る。 そ して 、 ∠P=・,・Q一+71Z2
,・ 聖
ゴ
穿
巫
定 す …
の と き・
(3.32) 2S = 一 i d (PQ) d (PR) sinh O一 面(函)♂(誠)…h(・+穿)
P・
一 一 ε・
ゴ(函)ゴ(誠)・i・h(一
ψ・号)
ラ バ ラ バ コ レ が 成 り立 ち 、'各 辺 をd(PQ)d(QR)4(囲)で 割 る と(3。30) が 得 ら れ る 。磐¥¥
M
蛛
B
ｿ Aご=一e,∠Q
黶
EE
ﾟ
ハ ラ バ ラ (3.33)2S= i(1(PQ)ゴ(PR) (一sinh(一 θ )) .一 一`♂(函)♂(誠)・i・h(一
・+号)
一 一 ・♂(匝)♂(誠)…h(ψ
・穿)
・
ハ づ レ り ウ が 成 り立 ち 、 各 辺 をd(PQ)d(QR)d(朋)で 割 る と(3.30)` が 得 ら れ る 。 a4.の と き 、 ∠P=一e,∠Q=ψ+π`,∠R=一 ψ と 仮 定 す る 。 こ の と き、 ハ ラ バ う (3・34)2S=id(聖) ,《(聾)(「 ・i・h(一 θ)) ψ+3 =id(PQ)「4(QR)(一sinh(ψ 十7C Z)) ハ レ づ= id (PR) 4 (/一IT3) (一 sinh (一 ψ))
ハ ウ ハ シ が 成 り 立 ち 、 各 辺 をd(PQ)ゴ(QR)d(朋)で 割 る と(3.30) が 得 ら れ る 。 s5.の と き 、 ∠P=θf,∠Q=ψ ε,∠R=ψ ε と 仮 定 す る。 こ の と き 、 ラ バ づ (3.35) 2S =一 ε(∫ (PQ) 4 (PR) sinh (θ の ハ ラ ハ ラ 一i(メ (」PQ) 4 (QR) sinh (ψ の
一 一冠(齋)♂(画
、inh(ψ ご)
^ 一一一〉 ^ → ^ → fig3.9 Q だ 一 ψ+百R 軍ig3.10 一 θ fig3。11 一 θ P が 成 り立 ち 、 各 辺 を4(PQ)d(QR)4(PR)で 割 る と(3.30)が 得 ら れ る。' β6.の と き、、S=0で 、 P,Q,Rの 角 は0ま た は π`な の で 、(3.30)が 成 り 立 つ 。 ・+晋 ε R ψ+互 ε ψ R 一 4.四 次 元 空 間(1) 四 次 元 空 間.R4に 『内 積 』 と長 さ を 定 義 し ま す 。 Defh茄on4.1(内 積).二?の ベ ク トル 戎=(劣byb2b`:)と δ=(劣2,ッ2,22,t2)'の'『 内 積 』 を 下 の よ う に 定 義 す る。 (4.1) [彦,量ラ]=XIX2十y1ツ2十Z-22-tits ま た 、[紘 β]=0の と き 、 諺 と 渉 は 『直 角 』 と い う こ と に す る 。 Proposition4.1..『内 積 』[諺,∂]は 次 の 座 標 変 換Aに 関 し て 不 変 な:量で あ る 。(θ は 実 数) コ(4.2)
不 定 値 計 量 の 幾 何 学
39ノ4=
cosO-sinO
O O
cosO O-sinO
cosO
O O
O 10010 sinO
O c
O
O
O 100:inO
OO Oso
OO 1・/
0 0 0
]
Cos B -SinO O sin O cos O O O O 1
「:霊:;OsinhO
100010.00
coshO O':000shB
OO linhO
O・:畿:Hi
l
0 0 cosh O sinh O
,細
1enna4・1・ 内 積 の 定 義 よ り 二 つ の ベ ク トル 諺と δ に た い し て 次 の 式 が 成 り立 つ 。 (4.3) [諺一 芝3,蕊一 δ]= [産,左]→一[∂,δ]一2[諺,渉] 特 に 髭 と δ が 『直 角 』 の と き は 次 の 式 が 成 り立 つ 。 (4.4) [戎一 δ,諺一 ∂]=[蕊,諺 コ十[δ,∂]Defhli"on4・ 『(長 さ)ベ ク.1ル 戎=(x,・y1・2・ ・の の 長 さ を 次 の よ う に 定 義 す る 。(但 し ・`=V/=i)
・
燗 ・
一{驚 ご 篭
_の::::::::二:』
グ・
Definihon4.3.二 つ の ベ ク ト ル'彦=(劣1 ,ッ1,21,t,)と δニ(x2,y2,22海)に 対 し て 、7▼2と い う 量 を 定 義 す る 。(7'2が 平 行 四 辺 形 の 面 積 の 二 乗 た な る こ と はPrQρ08読oπ4.2で 示 さ れ る) (4。6)T2==♂2(戎)(∫2(の 一[戎,戎]2 =(x;+ツ 翌+2卜`1)(甥+y2+z2一`雪)一(κ1κ 、+ッ1ッ 、+21Z、 一tit、)2 =(κ1ッ ・一 κ・y、)2+(ッ12、 一y、21)2+(κ12、 一 κ、の2 一(κ1孟 ・一x・ の2」(y1む ・一 ッ、の2一(21診 、一2、 の2 恥oposi伽n4.2(長 さ).四 次 元 空 間 の 基 本 直 交 ベ ク ト ル を 壱1,書2,芒3,壱、と し 、 ♂2(苔1) ヒ=(∫2(苔2) =(∫2(壱3)=一(∫2(蒼4)=1 , [苔`,苔」]=0 (ε,ノ=1,2,3,4 ご≠ ノ) が 成 り立 っ て い る と す る 。 こ の と き 彦=島 ゑ+y1窃+Z1窃+め1苔 、 と δ=κ2苔 、+ッ必 、+22ム 千`1ゑ の 作 る2一 ベ ク トル 戎 く β の 大 き さ を 調 べ る と、 [3,箆] [広司 =♂2(のd1(0)一[刺 ・=T・(4.7) 1蕊 〈 ∂12= [δ,蕊] [∂,∂] と な りT'に な っ て い る 。 ' 次 に 四 次 元 空 間 ∫∼4を、 円 錐 κ2+プ+2一 が=0で 、A,B,Cの 三 つ の 領 域 に 分 け て お く。 A: x'十y'十z'一t2<0, 孟>0' B:xZ+y2+22一 ご2〈0, KO C:xZ+プ+22%2>〇 二 つ の ベ ク トル 諺 と5の 位 置 関 係 は 次 の 六 つ の 場 合 が 考 え ら れ る。 C1)諺 ∈.A,β ∈.Aま た はuEB,uEBC2)諺 ∈!1,∼)6」B C3)戎 ∈C, veA(B)
C4) 翫∈C,uEC,721≧ 0,
C5) u6 (ろ 渉∈ (' TZ,, <0, [芭,δ] >0, , C6)諺`C,渉 ∈ α72<0,[戎,β]<0,
40
佐野 圭太 ・大久保克 己
恥 ㎜4.2.二 り の ベ ク ト 屍 一(x,,y乳,z,,t,),∂ 一(エ2,y2,z2,`2)が ♂2(蕊)<0,」2(U)<0で tit且:≧0の と き(01)、 72く0と な る 。
Proof.
と な る 。 (4.8) ゆ え に 肱 ∂]=κ1エ 、+第y2+z且 ￠2一 ε且ε2≦d(u)d⑦)<0が 成 り 立 ち 、 T'<0。(1∬ μ と 渉 が 式x;+y2+z;=♂2(の+比 とx2+諺+21=(∫2(の+toよ り 、 (κ1エ 、+y、y、+ZIZ・)2一(tit・+d(の4⑦))2ニ(♂2(諺)十t;2)((∫2(δ)十t;) 一(劣ly2一 κ2y1)2 一(y122-1ソ22且)2 一(㍑ 、一 κ、z,)2一 ⑫ 、+4(芭)d(∂))2 =(`1♂(∂)一 ε、 ♂(の)2一(κ 、y、一 翼、Yl)2一(ylza-y、Z、)2一(κ ・9・一x・2・)2 ≦:O Iεd》1♂(の1,It21>1♂(の1,`ユ ε2》0の 仮 定 よ り ハ ハ ー(tit、+♂(の ♂(∂))《 κ1κ 、+ッ1y、+212、 く ε1ε・+d(の4(δ) A A →
平行 の とき等 号成立)
□
1￡mma4.3.二 つ の ベ ク ト ル 戎=(x,,ッ1,24且)U=(κ2,y2,22,`2)が(∫2(の く0, d z(δ)<0で ε1ε2〈 ・0.の と き(C2)、7'2〈0と な る 。 pro(ゾ.式 鰐+置+zl=♂2(の+此 と κ1+Y22+2舞=♂2(∂)+躍 よ り 、 (κ1κ 、+yly、+212・)2一(tit・ 一d(蕊)4(δ))2=(♂2(諺)+亡D(♂2(δ)+`茎)一(κ 、y、一 κ、y1)2一(y・Z・ 一y・Z1)2
ロ あ 一(κ 、22一 κ22、)2一(め 、`2-4(の4(∂))2 =(ε 、 ♂(∂)+孟 、 ♂(彦))2一(κ1ッ 、一 κ、y、)L(y、2・ 一y・2・)2一(κ ・9・一 κ・2・)2 ≦:0 と な る 。}`■:≧Id(の[,け 、1:≧1(∫(δ)1,ε1`2〈0の 仮 定 よ り (4.9) 孟、t2一 ♂(蕊) ♂(δ)) 〈 κ1κ2十y1二y2十2122≦;一(彦 、亡2-4 (髭) 4 (δ))
ゆ え に[蕊,司=κ 、κ、+y且 ッ、+212、%1ε2:≧ 一 ♂(の ど(∂)>oが 成 り立 ち 、7T2〈o。(iff uと δ が 平 行 の と き 等 号 成 立) 工emma4.4.二 つ の ベ ク ト ル 箆,∂ がC3)の と き 、:τ▼2<O Proof..d:2(諺)42(δ)<0と[諺,5]2⊇ ≧0か ら 、7▼2<0 Definidon4.4 (角).二 つ の ベ ク トル 彦 と ∂ の 間 の 角 θ を 次 の よ う に 定 義 す る 。(4(の4⇔ ≠0) [蕊,∂](4.10) cosh 8 = ^ ^ 4(の4(∂) こ の と き のeの 値 はC1'か らC6の 場 合 に よ っ て 次 の よ う に な る 。(θ は 実 数)
cl)・
と き…mm・
… よ ・r、 募 謬 。 、 ・1と
な ・か ・・o=・
・
実 数 ・
・
・…
と き…mm・
・ 、 、
鍔
、
。 ・ 一1と な ・ か ・・
・ …
C3)の と き は 、(f(の ♂(δ)が 純 虚 数 と な る の で 、 ◎=θ+髪 ら.[廻
C4)の と き は 一1〈く1が 成 り立 ち 、 θ 。 θら
d(u) ct(u).[塑
C5)の と き は 、》1と
な り、 。=e。
d(戎)4(∂)不 定 値 計 量 の 幾 何 学
41 [涜,δ]C6)のと き は 、 ≦:一1と な り、o=e+π ε。 d(の4(∂) 艶oorem4.1(余 弦 定 理).二 つ の ベ ク トル 諺,∂ に 対 し て 次 の 式 が 成 り立 つ 。 (4.11) (∫2(彦一 δ) = (∫2(諺) 十 (∫2(δ)一2(∫(戎) ♂(δ) cosh O lemma4.5.二 つ の ベ ク トル 蕊,.∂(♂(の ≠0,(f(δ ≠6)に 対 して (4.12) ∂'= [左,δ] 産 一42(諺) δ と 置 く とd2(∂')=7η(∫2(の,[￣ ￣)u,u]=0。 pro(ゾ.眩 δ']=0は 自 明 。 前 半 部 は 下 の 式 よ り わ か る 。 (413) ♂2(δ')ニ[刺2♂2(読)一2[芭,∂]・ ♂'(諺)+♂4(の ♂2(δ) =42(の(42(のd2(δ)一[諺;δ]2) =7▼242(8) Re㎜k4.1.'一 次 独 立 な 二 つ の ベ ク トル 琵 と ∂ で 張 られ る 平 面 を 考 え る。 そ して 、 (4.14) δ'=[諺,δ] 戎一(∫2(産) δ(4・15)
諺'一V伍1諺
と お く 。 C1),(碧),α}), C5), C6)の と き は 、 ア 〈0な の で (4,16) [彦',∂']=0, (f2(産 つ=一7▼2 d「2(諺) う う と な る。 ゆ え に,こ の 平 面 上 の 任 意 の 二 つ の ベ ク トルOP=auu'+δ δ'とOQ=ciu'+(あ'(α ,わ,c,4は 実 数) に つ い て 次 が 成 り 立 つ 。 う ラ あ の り (4.17) [α),OQ]ニ ー7'2(αc-bd) o!2(諺),42(OP)=一72(as-b2) (f2(彦). こ の よ う な 平 面 を 『双 曲 的 平 面 』 と い う こ と に す る 。((∫2(OP)が 正 に も 負 に も な る) C4)で7▼2>0の と き は 、 (4.18) [蕊',∂']=0, (∫2(諺')=コr2 ζ1L2(虜) ラ うレと な る。 ゆ え に,こ の 平 面 上 の 任 意 の 二 つ の ベ ク トルOP=α ず+bra'とOQ=cu'+4δ'(α ,う,o,4は 実 数)に つ い て 次 が 成 り 立 つ 。
ラ ラ ハ ハ づ
(4.19) [OP,OQ]= 7▼2(ac十 う4) oi 2(8), CG Y(OP)= T2(a2十b2) (L P(諺), こ の よ う な 平 面 を 『ユ ー ク リ ッ ド的 平 面 』 と い う こ と に す る。((∫2(OP)が 常 に 正) σ4)で 特 にT'=Oの と き は 、(f2ω')=0で あ る 。 ゆ え に 、 こ の 平 面 上 の 任 意 の 二 つ の ベ ク トルOP づ =磁+bu'とOQ=謡+わ び(α,6,c,4は 実 数)に つ い て 次 が 成 り 立 つ 。 う ギ レ づ
(4.20) [OP,OQ]= ααf 2(諺),♂2(OP)=: a 2(∫2(彦). こ の よ う な 平 面 を 『退 化 した 平 面 』 と い う こ と に す る。
Lemma4.6. 『退 化 し た 平 面 』 上 で の 角 は 、0ま た は 酒 に な る。
う ケ
づ pro(ゾ.平 面 上 の 二 つ の ベ ク ト ルOP, OQは(4.14)の ∂'を 使 う と 実 数a, b,c,dを 使 っ て 、'OP,'
づ =au+b"u' , OQ=cu+(オ δ'と 表 せ る 。 こ の と き の 角0は ㏄ cosh O=一 =±1
>7>7
の計算から0ま たは πεになる。
'口
Corollary4.1.二 つ の ベ ク トル 誘 ζ δ が 『直 角 』 の と き0=舞 と な っ て い る 。(こ の 角 はCOsで 考 え る と 穿で あ る)こ の こ と は 角 の 定 義 よ り 『ユ ー ク リ ッ ド的 平 面 』 で も 『双 曲 的 平 面 』 で も成 り立 つ 。しか し、 『
退 化 した 平 面 』 内 に は 『直 角』 はな い。
42
佐野 圭太 ・大久保克己
Remark4.2.(4。10)で 定 義 し た 角 に は 加 法 性 が 成 り立 つ 。 pro(ゾ.三 次 元 の と き と 同 様 に し て 示 せ る 。□
Theorem42.三 角 形 の 内 角 の 和 は π`と な る 。 pro(ゾ.三 次 元 の と き と 同 様 に し て 示 摩 る 。□
ラ ラ う ラTheorem4.3.二 つ の ベ ク トルOPとOQの 間 の 角 を ◎ と し、[OP,PQ]=0と し た と き、 次 の 式 が
ハ レ ハ ラ うレ
成 り 立 つ 。(d(OP)≠0, d(OQ)≠0, d(PQ)≠0)
ラ バ ラ
(4.21) 4 (OP)=d (OQ) cosh e
ヨ ハ づ レ
(4.22a) ゴ(PQ)=ε(1(OQ)sinh O(01)の と き 》
うり ラ
(4.22b) 4(PQ)一
一i
d(OQ)sinh
8(C3),C4),C5)の
と き)
pro(ゾ.三 次 元 の と き と同 様 に して示 せ る。
□
Proposition4.3.△OPQの 面 積 は 、 OPQが 『ユ ー ク リ ッ ド的 平 面 』 上 に あ れ6t正 の 実 数 、 OPQ b& 『双 曲 的 平 面 』 上 に あ れ ば 一 以(正 の 実 数)、OPQが 『退 化 し た 的 平 面 』 上 に あ れ ば0に な る。 pro(ゾ.三 次 元 の と き と同 様 に して 示 せ る 。
恥m皿a4.7.二 つ の ベ ク トル び と ∼菊 が 『直 角 』 の と き △OPQの 面 積 は 麦(f(OP)♂(面)
に な る 。
pro(ゾ。三 次元 の と き と同 様 に して 示 せ る。
□
この こ とか ら、 三 角 形 の面 積 が 次 の よ うに定 義 で き る。
ラ ラ
Defhli伽n4.5(面 積).二 つ の ベ ク トルOPとOQの 間 の 角 がeの と き 、 △OPQの 面 積 が 次 の よ
ハ ラ バ う に 定 義 で き る 。(d(OP)≠0, d(PQ)≠0,4(QO)≠0)
(423){
.膿
濡:inh
Oinh
6:器
翻
。とき)
ラ ラ Coronary4.2.、 二 つ の ベ ク トルOPとOQに よ っ て 作 ら れ る 平 行 四 辺 形 の 面 積 をSと す る と、 S2=72 pro(ゾ, S・一 一 ゴ・(翻)♂ ・(⑩,i・h'B=d・(翻)♂2(⑩(1一 …h・e)' ハ う ハ の ラ =CZ 2(OP)d2(OQ)一[OP,OQ]2=72□
ハ ロ う ハ ゆ づ瓢eorem4.4(正 弦 定 理).△PQR(♂(OP)≠0, d(PQ)≠0, d(QO)≠0)に お い て 次 の 式 が 成 り 立 つ 』(但 し、 ∠P+∠Q+∠R=厄 、8は △PQRの 面 積)
(4.24) sinh P _sinh Q _ sinh R _ 2ごS '
あ う コ ハ づ レ ハ うレ ハ つ の ラ 4(QR) 4(PR) d(PQ) d(PQ)d(QR)d(RP) pro(ゾ.△PQRを 三 つ の 場 合 に 場 合 わ け して 考 え る 。 71.△.PQRは 『ユ ー ク リ ッ ド的 平 面 』 に あ る 72.△.PQRは 『双 曲 的 平 面 』 に あ る 73.△PQRは 『退 化 し た 平 面 』 に あ る そ れ ぞ れ の 場 合 は 三 次 元 の と き と 同 様 に し て 示 せ る 。
不 定 値 計 量 の 幾 何 学
435.四 次 元 空 間(2)
四次 元 空 間R"に
先 程 の と は違 った 「内 積』 と長 さを 定 義 しま す。.
Definidon5.1(内 積).二 つ の ベ ク ト ル 蕊=(κ1,y1,s1,`L)と ∂=(x2 ,y2,s2,亡2)の 『内 積 』 を 下 の よ う に 定
義 す る 。 『 (5.1) [諺,∂]=二 形1κ2十 ツ1ニソ2-SIS2 -tlt2 ま た 、[拡 ∂]=0の と き 、 蕊 と β は 『直 角 』 と い う こ と に す る 。 Propositions.1.
(5.2)
『内 積 』[彦,∂]は 次 の 座 標 変 換 に 関 して 不 変 な 量:で あ る。(θ は 実 数) , 「 κ κ り :y :y ガ =、4 2 ガ ε cosO-sinOO OA=sin8 cos8000010 0001
1:0shB O OO 10001inhO
O O:患:
,一
,一
cosh O O sinh O O
Hi
O 1 0 0 sinh O O cosh O O O O O 1
〔i:000shO OO linhO
O:01inhB
OO
OoshO O
O cosh O sinh O O O O 1 0 0 Cos O O sin O O sinh O cosh O 0 0 0 0 1 0 0 -sin O Cos 8
1
1
Le㎜1a5.1.内 積 の 定 義 よ り二 つ の ベ ク トル 諺と ∂ に た い し て 次 の 式 が 成 り 立 つ 。 (5.3) [三!一渉,三三一Zヲ]=[諺,諺]十[ε㌧β]一2[諺,渉] 特 に 諺 と 苔 が 『直 角 』 の と き は 次 の 式 が 成 り立 つ 。 (5.4) [遊一 渉,戎一 芝3]=[蕊,諺]十[δ,芝3] Definitions.2(長 さ).ベ ク ト ル 戎=(x,,ッbS且,t,)の 長 さ を 次 の よ う に 定 義 す る 。(但 し 、`=V⊂ 了)={無
難;撫 二墓ガー
∴
.∼
1)efini伽n5.3.二 つ の ベ ク トル 諺=(x,>y1 ,81,t,)と ∂=(x2,Y2,S2,t2)に た い し て712と い う 量 を 定 義 す る 。(72が 平 行 四 辺 形 の 面 積 の 二 乗 に な る こ と はPrqρos読oη5.2で 示 さ れ る) ハ あ (5.6) ク,2=d「2(諺) 012(δ)一[諺,δ ユ2 =(x;+yl-sl-m(x2+y2-sl-t;)一(κ1κ 、+y,y,一SIS、 一 ε、ε、)2 =(劣 、y,一 κ、y、)2+(Sits-S、t,)2一(κ 、S、一x、8,)2 一(κ1ε ・一x・ の2一(ッ1Srッ ・S,)2一(ッ1`、 一 ッ 、の2
44
佐野 圭太 ・大久保克己
恥oposi伽n5.2.四 次 元 空 間 の 基 本 直 交 ベ ク ト ル を θマ,6,6, ye,と し 、
♂2( ee,)=(∫2( ee,)=一 ♂2(ee,)=一 ♂2(e.)=1 ,[♂,♂}]=0 (ε,ノ=1,2,3,4 i≠ ノ)
寮 成 り 立 っ て い る と す る 。 こ の と き 諺=κ 、♂+ッ 、e2+S、e,+tie;と δ=勉 θマ+ yy a e s+ 7S s ea+ご2θ 才 の
作 る2一 ベ ク トル 漉 く δ の 大 き さ を 調 べ る と 、 [彦,諺] [諺,∂](5.7) =(∫2(読){f2⑦)一[産 ,∂]2=7▽2 1芭〈 引2= [β ,諺] [δ,∂] と な り72に な っ て い る 。 次 に 四 次 元 空 間R'を 、 円 錐x2+:y2-s2一 〆=0で も っ て 、 A,Bの 二 つ の 領 域 に 分 け ま す 。 ん κ2十ツ2-s2一 〆>0, B:x'+y2-s2一 ε2<0 こ の と き 、 二 つ の ベ ク ト ル 諺 と ♂ の 位 置 関 係 は 次 の 五 つ の 場 合 が 考 え られ ま す 。 D1)諺 ∈A,∂ ∈A,72<O D2)諺 ∈A,∂6A,72⊇ ≧O D3)'諺 とB,δ ξB,72<O D4)諺`B,u"EB,72;≧O D5)諺6 A,旋B レmma5.2.二 つ の べ9ク ト ル 戎,δ に 対 し て (5.8) び'= [彦,∂] 左一d:2(諺) ∂ と 置 く とdP(∂')=72(f2(の,[菰 ∂']=0. pro(ゾ 。[諺,δ']=0は 自 明 。 前 半 部 は 下 の 式 よ り わ か る 。 (5.9) ζf2(∂')=[諺,∂]2 (∫2(諺)一2 [諺,∂]2(∫2(産)十(∫4(諺) (∫2(∂) =♂2(の((♂2(の ♂2(∂)一[諺,∂]2) =7・ ♂2(諺)
口
恥 ㎜a5.3.二 つ の ベ ク トル 諺,δ がD2)の と き、 任 意 の 実 蜘,gに 対 し てp産+g∂ ∈Aと な る。 pro(ゾ.旋A,旋Aな の で 次 の 式 が 成 り 立 つ 。(5.10)
♂2(ρ諺+φ)一AZ♂2(の+勿9[産,司+92♂2(∂)一 ・♂(の+9鶉
:≧0
等 号 は7・ 一。 でP一 [u,%)の と き 成 立 。42(の
2
+・・
鰯;i
欄2
玩 ㎜a5.4.二 つ の べ ク.トル 諺,∂ がD4)の と き 、 任 意 の 実 数P,4に 対 し て 滅+gδ ∈Bと な る。 Proof,♂(の,(f(δ)の ど ち ら も が 純 虚 数 だ か ら、 次 が 成 り 立 つ 。 (5.11) (∫2(p彦十gδ)=AZ C[2(諺)一卜象)(1 [蕊,∂]→_(∼2 6『2(∂)一 ・…+q野
島2+・ ・Cl2(u)d2(v)一[刺2
〈0 等 号 は72=0で ρ=一g眩 ∂]/42(の の と き 成 立 。□
□
Lemma5.3の
よ う な平 面(常
にAに
含 ま れ る)を
『ユ ー ク リ ッ ド的 平 面 』、
Lemma5.4の
よ う な平 面
不 定 値 計 量 の 幾 何 学
45■emma5.5.二 つ の ベ ク トル vu, uが 異 な る 領 域 に あ る と き(D5) 、 pa+gδ は 実 数P,4の 値 に よ っ て 、 五 の 領 域 に もBの 領 域 に も な る 。 pro(ゾ.実 数P.9の い ず れ か が0の と き を 考 え れ ば 自 明 □ Lemma 5,5の よ う な 平 面(Aの 領 域 に もBの 領 域 に も な る)を 『双 曲 的 平 面 』 と 呼 ぶ こ と に す る。 Lemma5.6.二 つ の ベ ク トルu, vvがD1)ま た はD3)め と き、 彦 と δ は 『双 曲 的 平 面 』 を 張 る。 Proof. D1の と き は 、(5.8)の δ'が42(∂')〈0と な り 『双 曲 的 平 面 』 だ と判 る。 五8の と き は 、(5.8) の ∂'が42(∂')>0と な っ て 『双 曲 的 平 面 』 に な る 。 口 Definition5.4(角).二 つ の ベ ク トル 諺 と δ の 間 の 角 ◎ を 次 の よ う に 定 義 す る。(♂(の ♂(の ≠0) (5.12) [諺,δ] cosh O= 4(産)4(δ) こ の と き のeの 値 はD1か らD5の 場 合 に よ っ て 次 の よ う に な る 。(θ は 実 数)
