E in TDExam2016 ans 最近の更新履歴 物理学ノート E in TDExam2016 ans

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全文

(1)

熱力学演習

(Wednesday August 3, 2016)

期末試験 解答例

&

解説

1

問題

1.

次の文章の空欄に入る言葉を答えよ。また

4.

は左辺を含めた数式を書け。

(30

)

1. Helmholtz

の自由エネルギー

F

[

T

;

X

]

は,

a.

等温

環境において,

b.

最大 仕事を用いて定義される。

2.

エネルギー

U

(

T

;

X

)

は,c.

断熱 環境において,

d.

断熱 仕事を用いて定義される。

3.

エントロピー

S

(

T

;

X

)

は,任意の断熱操作によっ

て,e.

減少 しない。

4.

任意の等温操作

(

T

;

X

1

)

i

(

T

;

X

2

)

における最大

吸熱量

Q

max

(

T

;

X

1

X

2

)

は,

F

[

T

;

X

]

U

(

T

;

X

)

を用いて

Q

max

(

T

;

X

1

X

2

)

(1)

=

F

[

T

;

X

1

]

F

[

T

;

X

2

]

+

U

(

T

;

X

2

)

U

(

T

;

X

1

)

と書ける。上の式が

f.

の答え。

問題

2.

任意の温度における任意の等温準静サイクルに

おいて,このサイクルが外界に行う仕事を

W

cyc

とする。

W

cyc

=

0

であることを

Kelvin

の原理から導け。

(20

)

まず

Kelvin

の原理から

W

cyc

0

が言える。この等温

準静サイクルを逆行させた等温サイクルを考える。準

静操作を逆行させたとき,系が外界に行う仕事は,大き

さはそのままで符号が反転するので,逆行サイクルが外

界に行う仕事は

W

cyc

となる。この逆行サイクルも等

温サイクルなので

Kelvin

の原理から

W

cyc

0

,すな

わち

W

cyc

0

でなくてはならない。従って

W

cyc

=

0

(2)

が成り立つ。

問題

3.

示量変数が

X

0

,熱容量が一定値

C

0

の理想化し

た固体と,N

モルの理想気体のエントロピーは

S

(

T

;

X

0

)

=

S

0

+

C

0

log

T,

(3)

S

(

T

;

V,

N

)

=

cN R

+

N R

log

(

(

T

T

)

c

V

v

N

)

(4)

で あ る 。こ の 複 合 系 の エ ン ト ロ ピ ー

S

(

T

;

X

0

,

V,

N

)

を 求 め よ 。そ の 結 果 か ら ,操 作

(

T

;

X

0

,

V,

N

)

(

T

1

;

X

0

,

V

1

,

N

)

が断熱操作および断熱準静操作として

可能になる条件を具体的に書け。また,固体の示量変数

X

0

を固定したまま,断熱的に温度を下げられることを

説明せよ。

(30

)

エントロピーの相加性より

S

(

T

;

X

0

,

V,

N

)

=

S

0

+

C

0

log

T

+

cN R

+

N R

log

(

(

T

T

)

c

V

v

N

)

(5)

ここで

T

依存性をまとめるため

c

:

=

C

0

N R

を導入して

整理すれば

S

(

T

;

X

0

,

V,

N

)

=

S

0

+

cN R

+

N R

log

(

T

c′

(

T

T

)

c

V

v

N

)

(6)

=

S

0

+

N R

log

T

c+c′

V

N

(7)

となる。N

は固定するので,S

(

T

;

X

0

,

V,

N

)

の示量性を

明示するのに必要なもの以外はまとめた。

任意の断熱操作によってエントロピーは減少しない

ので,断熱操作

(

T

;

X

0

,

V,

N

)

a

(

T

1

;

X

0

,

V

1

,

N

)

が可能で

あるためには

S

(

T

;

X

0

,

V,

N

)

S

(

T

1

;

X

0

,

V

1

,

N

)

.

(8)

T,

V

を使って書けば

T

c+c′

V

T

c+c′

1

V

1

.

(9)

断熱準静操作

(

T

;

X

0

,

V,

N

)

aq

(

T

1

;

X

0

,

V

1

,

N

)

が可能で

あるための条件は,(8)

(9)

で等号の時である。した

がって

T

c+c′

V

=

Const.

(10)

は,この系の断熱曲線になる。

(9)

を満たせば断熱操作が可能なので,仮に

T

>

T

1

あっても

V

1

(

T

T

1

)

c+c′

V

(11)

を満たすように理想気体の体積を膨張させれば,理想個

体の

X

0

を固定したまま系全体の温度を下げることがで

きる。

問 題

4.

理 想 気 体 の

Helmholtz

の 自 由 エ ネ ル ギ ー

F

[

T

;

V,

N

]

F

[

T

;

V,

N

]

=

N RT

log

(

(

T

T

)

c

V

v

N

)

+

Nu

(12)

で あ る 。こ れ か ら 圧 力

P

(

T

;

V,

N

)

と エ ネ ル ギ ー

U

(

T

;

V,

N

)

を計算せよ。この結果から、

U

(

T

;

V,

N

)

完全な熱力学関数でないことを説明せよ。

(30

)

P

(

T

;

V,

N

)

F

[

T

;

V,

N

]

の関係より

P

(

T

;

V,

N

)

=

F

[

T

;

V,

N

]

∂V

=

N RT

V

.

(13)

(2)

熱力学演習

(Wednesday August 3, 2016)

期末試験 解答例

&

解説

2

S

(

T

;

V,

N

)

F

[

T

;

V,

N

]

の関係より

S

(

T

;

V,

N

)

=

F

[

T

;

V,

N

]

∂T

=

cN R

+

N R

log

(

(

T

T

)

c

V

v

N

)

.

(14)

U

(

T

;

V,

N

)

F

[

T

;

V,

N

]

の関係式に

(12)

(14)

とを代

入して

U

(

T

;

V,

N

)

=

F

[

T

;

V,

N

]

+

T S

(

T

;

V,

N

)

=

cN RT

+

Nu

(15)

となる。

U

(

T

;

V,

N

)

V

に依存しないため,体積変化による

圧力

P

(

T

;

V,

N

)

の変化,すなわち状態方程式の情報を

含んでいない。状態方程式のセットになってはじめて

U

(

T

;

V,

N

)

系の熱力学的性質を完全に指定できる。つ

まり

U

(

T

;

V,

N

)

だけでは,系の熱力学的全情報を保有

していない。その意味で

U

(

T

;

V,

N

)

は完全な熱力学関

数ではない。

【補足】

F

[

T

;

V,

N

]

からは

(13)

(14)

の通りに状態

方程式とエントロピーを導出できる上に

µ

(

T

;

V,

N

)

=

∂F

[

T

;

V,

N

]

N

(16)

によって,化学ポテンシャルも導出できる。つまり

F

[

T

;

V,

N

]

は系の熱力学的全情報を有する完全な熱力学

関数である。

同じエネルギーであっても,

F

[

T

;

V,

N

]

Legendre

変換して得られる

U

[

S,

V,

N

]

は,系の熱力学的全の

情報を有する完全な熱力学関数である。

U

(

T

;

V,

N

)

U

[

S,

V,

N

]

とでは,独立変数が違う。関数は,従属変数

の値(ここでは

U

の値)だけでなく,独立変数から従属

変数への対応関係全体で意味を成す。ここでの例で言

うと,

U

(

T

;

V,

N

)

(

T

;

V,

N

)

−→

U

(17)

の対応関係を表し,

U

[

S,

V,

N

]

[

S,

V,

N

]

−→

U

(18)

の対応関係を表す。関数

(17)

と関数

(18)

では異なる関

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参照

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