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千歳科学技術大学 理工学部
一般学力入試 Ⅰ期 問題
数 学
（注意）
１．受験番号と氏名を解答用紙の所定の欄に記入する。
２．「数学Ⅰ・Ⅱ・Ａ・Ｂ」と「数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・Ａ・Ｂ」のどちらかを選択する。
３．解答は必ず解答用紙の所定の欄に記入する。
４．解答用紙の余白には，何も書いてはいけない。
５．問題冊子の余白は，下書き用に使用してよい。
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１．
以下の問いに答えなさい。解答欄には答えのみ書きなさい。（１） 2 abc＋ab2＋ac2−a2b−b2c−a2c−bc2 を因数分解しなさい。
（２）方程式 _ 5 x_＝ 2 x2− 3 の解を求めなさい。
（３） 1 つのさいころを続けて 3 回投げるとき，出る目の数を順にa，b，cとする。a＋b＋c が偶 数になる確率を求めなさい。
（４） 100 人の学生に，スキーをしたことがあるかスケートをしたことがあるかを尋ねたところ，ス キーをしたことがある学生は 40 人，スケートをしたことがある学生は 55 人だった。スキーとス ケートのどちらもしたことがない学生は，何人以上何人以下と推定されるか答えなさい。
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２．
n≧ 2 であるすべての整数n について，次の不等式①が成り立つことを，数学的帰納法を用い て証明しなさい。証明は，解答欄内の記述に続けて書きなさい。#
k=1
n 1
k2 ＜ 2 −
1
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３．
次の①，②，③の連立不等式で表される領域をRとする。y≧−2 x＋ 12 …… ① y≦ 23 x＋ 43 …… ② y≦−12 x2＋ 5 x− 9
2 …… ③
以下の問いに答えなさい。
（１）領域Rをxy平面に図示しなさい。
（２）点 (x, y) が領域Rを動くとき，y−x の最大値および最小値を求めなさい。解答欄には途中の 過程も書きなさい。
（３）y＝−2 x＋ 12 と y＝−12 x2＋ 5 x− 9
2 で囲まれる領域の面積を求めなさい。解答欄には答
えのみ書きなさい。
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４．
m，nを整数とするとき，以下の問いに答えなさい。（１）m が奇数のとき，m2− 1 は 8 の倍数になることを示しなさい。
（２）m2を 3 で割ると，余りは 0 または 1 になることを示しなさい。
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１．
以下の問いに答えなさい。解答欄には答えのみ書きなさい。（１） 2 abc＋ab2＋ac2−a2b−b2c−a2c−bc2 を因数分解しなさい。
（２）xを実数として，方程式 _ 7 x_＝ 6 x2− 5 の解を求めなさい。
（３） 1 つのさいころを続けて 3 回投げるとき，出る目の数を順にa，b，cとする。a＋b＋c が偶 数になる確率を求めなさい。
（４） 100 人の学生に，スキーをしたことがあるかスケートをしたことがあるかを尋ねたところ，ス キーをしたことがある学生は 40 人，スケートをしたことがある学生は 55 人だった。スキーとス ケートのどちらもしたことがない学生は，何人以上何人以下と推定されるか答えなさい。
（５）r
h→0
log(1+h)
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２．
n≧ 2 であるすべての整数n について，次の不等式①が成り立つことを，数学的帰納法を用い て証明しなさい。証明は，解答欄内の記述に続けて書きなさい。#
k=1
n 1
k2 ＜ 2 −
1
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３．
次の①，②，③の連立不等式で表される領域をRとする。y≧−2 x＋ 12 …… ① y≦ 23 x＋ 43 …… ② y≦−12 x2＋ 5 x− 9
2 …… ③
以下の問いに答えなさい。
（１）領域Rをxy平面に図示しなさい。
（２）点 (x, y) が領域Rを動くとき，y−x の最大値および最小値を求めなさい。解答欄には途中の 過程も書きなさい。
（３）y＝−2 x＋ 12 と y＝−12 x2＋ 5 x− 9
2 で囲まれる領域の面積を求めなさい。解答欄には答
えのみ書きなさい。
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４．
複素数について以下の問いに答えなさい。（１）複素数z が極形式で z＝r (cos è ＋i sin è) と表されるとき，1
z を極形式で表しなさい。ただ
し，rと è は実数で，r＞ 0 とする。解答欄には答えのみ書きなさい。
（２）複素数平面上で，3 点 O(0)，A(−2 ＋ 2i3i)，B について，OA ＝ OB かつ∠AOB ＝ ð4 のとき， 点 B に対応する複素数を求めなさい。解答欄には途中の過程も書きなさい。
（３）z＝ 1 ＋i3i とする。zn（nは正の整数）に対応する複素数平面上の点を A
nとするとき，4 点
