はじめに
前回の復習
正規分布N(µ, σ2)、標準正規分布N(0, 1)。
多次元分布：複数の確率変数の確率。
今回学ぶこと
統計的推測の考え方。
標本平均の確率的性質⇒母数の推定。
テキスト該当箇所 ：付録B1∼B3章。鳥居（1994）、東大出版会（1991）も参照。
1 統計的推測とは？
1.1 母集団・母数と標本
母集団：分析者が興味のある 「全体」を、 と呼ぶ。
⊲ 例：日本の既婚女性「全体」。
⊲ 例：堺市内にある事業所 「全体」。
母数：母集団が持つ数量的な特徴を、 と呼ぶ。割合や平均・分散など。
⊲ 例：既婚女性に占める大卒の割合。
⊲ 例：堺市内にある事業所の、 従業員数の平均や分散。
⊲ 分析者の目的=母数の値を知る。
Remark：統計的推測の考え方 （図1）
⊲ 多くの場合、母集団全体を観測するのは不可能。∴母集団から （「一部」）を 抽出し、標本から母数を近似 ・推測。
⊲ 精度の高い標本の集め方 ・使い方をデザインするには ？⇒確率論の応用。
⊲ ＝確率論に基づき、 標本から未知の母数を推測する作業。
1
図1:統計的推測のイメージ
1.2 標本と統計量
サンプル数nの標本をX1, X2, . . . , Xnと表記。
⊲ 実際にどんな値が観測されるかは偶然。∴標本Xiは、ひとつひとつが 。
⊲ 「母集団からn個の標本を抽出」≈「サイコロをn回振って、出た目を記録」
統計量：標本を適当な定数にまとめたものを、 と呼ぶ。
⊲ 分析者は標本X1, X2, . . . , Xnを統計量に集約⇒統計的推測に利用。
⊲ 標本平均X =¯ 1nni=1Xiや標本分散s2X = n−11 ni=1(Xi− ¯X)2（講義ノート#01）は、統 計量。標本の最大・最小値なども統計量。これらを と 呼ぶ。
Remark：統計の偶然性
⊲ 標本X1, X2, . . . , Xnは、n個の確率変数⇒標本から作った統計量も、 確率変数。
∴統計量に基づく分析結果は、 常に偶然を伴う。
⊲ 「X¯ やs2Xは である」という認識が、データ分析で非常に重要。
2 標本平均の確率的性質
2.1 誤差モデルによる標本の定式化
母平均と母分散：母集団の典型的な値を 、その周りのバラつきを と 呼ぶ。
⊲ µ =母平均、σ2=母分散と表記。（注意：正規分布N(µ, σ2)でなくとも良い。）
⊲ µ、σ2は未知の母数⇒標本X1, X2, . . . , Xnから統計的推測。
標本は、母数のどんな情報を分析者に運んでくれるのか ？⇒標本のモデル化。
誤差モデル：標本X1, X2, . . . , Xnは、次式の過程に従って観測されると仮定。
Xi = µ + ui, i = 1, 2, . . . , n. (1) ただしuiは確率変数で、全てのiについて
E(ui) = 0, Var(ui) = σ2. (2)
これを と呼ぶ。
観測されるXi=典型的な値µ +確率的な誤差ui (4) で表現。誤差uiのバラつき具合いは、母分散σ2の大小で決まる。uiの意味するところは
1. 標本抽出の偶然性 ：母集団から誰が（どれが）抽出されるか分からない。 2. 行動の偶然性：分析対象である経済主体の意思決定 ・行動自体が偶然を伴う。 3. 純粋な観測誤差：観測上・記録上のエラー。（計測ミス、誤記入など。）
2.2 標本平均の期待値と分散
標本平均X¯ の確率的な性質（期待値や分散） は？⇒誤差モデル(1)式に基づき検証。
⊲ (1)式の表現より、標本平均X =¯
1 n
n i=1Xiは
X =¯ 1 n
n i=1
(µ + ui) = 1 n
n i=1
µ +1 n
n i=1
ui = 1
n· nµ + ¯u = . (5)
ただし ¯u = 1
n
n
i=1uiは誤差項の平均。 和記号の性質（講義ノート#01） に注意。
⊲ ∴標本平均と母平均の関係は
標本平均X =¯ 母平均µ +誤差の平均 ¯u. (6)
標本平均の期待値 ：標本平均の期待値は
E( ¯X) = µ. (7)
∴標本平均X¯ は確率的にバラつくが、 母平均µぐらいの値が比較的出やすい。
⊲ 証明：¯uの期待値は、和の期待値（講義ノート#03)に注意すると E(¯u) = E
⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎝ 1 n
n i=1
ui
⎞
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎠ = 1
nE(u1+ u2+ · · · + un) = 1
n(E(u1) + E(u2) + · · · + E(un))
= 1
n(0 + 0 + · · · + 0) = 0. (8) よって期待値の公式（講義ノート#02） より
E( ¯X) = E(µ + ¯u) = µ + E(¯u) = µ. (9)
独立性の仮定：簡単化のため、誤差項u1, u2, . . . , unは であると仮定。
⊲ 独立⇒ Cov(ui, uj) = 0（無相関、講義ノート#03）。 共分散の定義と(2)式より Cov(ui, uj) = E(ui− E(ui))(uj− E(uj))= E(ui− 0))(uj− 0)= E(uiuj) = 0. (10)
⊲ 標本が互いに独立になるような標本抽出を、 と呼ぶ。
⊲ 注意：標本が時間軸で並んでいる時系列データ（講義ノート#01）は、隣り合う時点 の標本uiとui−1が強い相関を持つため、 独立性の仮定は妥当でない。
標本平均の分散：誤差項が互いに独立ならば、 標本平均の分散は Var( ¯X) = 1
nσ
2. (11)
∴標本平均X¯ のバラつきは、母分散σ2に比例、サンプル数nに反比例。
⊲ 証明：E(¯u) = 0なので、¯uの分散は Var(¯u) = E(¯u2) = E 1
n2(u1+ u2+ · · · + un)2
= 1
n2E[(u1+ u2+ · · · + un)(u1+ u2+ · · · + un)]
= 1 n2E[u
2
1+ u22+ · · · + u2n
n 個の 2 乗項 u2i
+ u1u2+ u1u3+ · · · + un−1un
n(n − 1) 個の交差項 uiuj
]. (12)
ここで(3)式よりE(u2
i) = Var(ui) = σ 2
、また独立性の仮定よりE(uiuj) = Cov(ui, uj) =
0なので、
Var(¯u) = 1 n2
(σ2+ σ2+ · · · + σ2) + (0 + 0 + · · · + 0)= 1 n2 · nσ
2= 1 nσ
2. (13)
よって分散の公式（講義ノート#02） より
Var( ¯X) = Var(µ + ¯u) = Var(¯u) = 1 nσ
2. (14)
Remark：標本平均X¯の確率的性質をまとめると
, . (15)
分散の導出で、 誤差項の独立性（→無相関）の仮定を置いた点に注意。
1. 標本平均X¯ は、 を重心に分布。∴ ¯Xは、µに近い値が出やすい。 2. ¯Xのµ周りのブレは、 に反比例。∴nが多いほどX¯ の精度が上昇。
3 母数の推定
3.1 未知母数とその推定量
推定：適当な統計量で未知の母数（母平均µや母分散σ2など）の近似値を求める作業を、 母数の と呼ぶ。
⊲ 推定で用いられる統計量を特に、 と呼ぶ。
未知の母数を一般にθ（シータ）、その推定量を ˆθと表記。
⊲ 推定量 ˆθは標本Xi, X2, . . . , Xnから求める。（∴ ˆθは、確率変数）。
⊲ 標本をどう使うのが確率論的に望ましいか ？⇒採用基準：不偏性と有効性。
が成立するとき、ˆθをθの と呼ぶ。
⊲ 不偏性はなぜ望ましい ？⇒ ˆθの実現値として、θ（＝分析者が知りたいターゲット） が出る確率が高い。∴不偏性＝ 。
⊲ 例：(15)式より、X¯ はµの不偏推定量。
有効性：θに対し不偏性を持つ推定量が複数ある場合、そのうち最も分散が小さい不偏推
定量を と呼ぶ。
⊲ 有効性はなぜ望ましい？⇒ θを軸にした確率的なブレが、最も小さい=精度が高い。
∴有効性＝ 。
⊲ 注意：有効性は、複数ある不偏推定量を一つに絞り込むための採用基準。
⊲ 例：µの不偏推定量はX¯ 以外にも無数に存在するが、X¯ はµの有効推定量であるこ とが知られている。
Remark：標本平均X¯による母平均µの推定は、確率論上の合理性（不偏性・有効性）が
ある。
⊲ ¯Xの計算は、誰でもできる。統計学・計量経済学で問うべきことは、「なぜそこで標 本平均X¯ なのか？」⇒その基礎として確率論 （講義ノート#02、#03）が必須。
まとめと復習問題
今回のまとめ
統計的推測の考え方。
標本平均の確率的性質⇒母数の推定。不偏性・有効性。
復習問題
出席確認用紙に解答し （用紙裏面を用いても良い）、 退出時に提出せよ。
1. 未知の母数θ（例えば母分散）に対し二つの推定量の候補 ˆθ1、ˆθ2があり、それぞれの確率 分布が次の通りであるとする。
f (ˆθ1) =
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
0.5 for ˆθ1 = 0.5θ
0.5 for ˆθ1 = 1.5θ
, g(ˆθ2) =
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
0.4 for ˆθ2= 0.5θ
0.6 for ˆθ2= 1.5θ
(17)
（注意：ˆθ1とˆθ2の実現しうる値は0.5θ, 1.5θで共通だが、確率が異なる。） (a) ˆθ1とˆθ2、それぞれの期待値を求めよ。
(b) 不偏性の観点から、θの推定量としてどちらが望ましいか ？
