宿題 1 解答の補足 ∗
January 2, 2017
問題 1
応用
A,B,Cの 3 人が旅行先を決めようとしています。ここで 3 人のグループの選好 ≻gを以下のように定めます。も しグループ 3 人のうち過半数が x, y の選択肢について x ≻iy (i = A, B, C)であれば x ≻g yと定義します。こ こで選択肢は 3 つしかなく、X = { 山、川、海 } であり、3 人の選好は以下のようになっているとします。 山 ≻A川、山 ≻A海、川 ≻A海、川 ≻B海、川 ≻B山、海 ≻B山、海 ≻C山、山 ≻C川、海 ≻C川
3.1.1
問: x ≻iy (i = A, B, C)は合理性を満たしますか。 証明
完備性
選択肢が 3 つなので、2 つずつ選んで選好が定義されているか確認する必要があります。どの i についても、山 と川、山と海、川と海の 3 つの選好は上記のように定められています。そのため完備性は満たされています。 もし仮に A さんの選好が山 ≻A川、山 ≻A海、の 2 つしかなければ、A さんの選好は完備性をみたしていない ことになります。
推移性
Aさんの場合: 山 ≻A川、川 ≻A海 という選好が成立しています。ここでこの 2 つの選好より、山 ≻A海と いう選好となっていれば推移性が成立しますが、これは上記の選好一覧より成立しています。(もし、山 ≻A海 という選好関係の代わりに、海 ≻A山という選好関係が上記の一覧に入っていた場合には、A さんの選好は推 移性を満たしません。)
Bさんの場合: 川 ≻B海、海 ≻B山という選好が成立しているので、川 ≻B山、という選好となっていれば推 移性が満たされます。これは上記の選好一覧より成立しています。
Cさんの場合: 海 ≻C山、山 ≻C川が成立しているので、海 ≻C川という選好関係が成立していなければ推移 性が満たされません。これは上記の選好一覧より成立しています。
以上より、 x ≻i y (i = A, B, C)について完備性と推移性が示されたので、合理性を満たしていることが わかりました。
∗担当 村上愛。HW1 に関する質問、訂正のご指摘は TA メールアドレスの komabamicro2016@gmail.com までお願いします。
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