解 答 例
（河合塾グループ 株式会社KEIアドバンスが作成しました）
◎前期試験Ａ方式・B方式（平成29年2月1日実施）
数 学
数学②＝工学部
（90分・100点）
[Ⅰ]
⑴
x
2+
2
y
2=
1
のとき，(
2)
21
2
1
x
y
=
−
x
，y
は実数であるから，1
1
≦
x
≦
−
ここで
6
13
3
2
2
3
2
3
2
2
3
3
2
2 22
+
−
−
=
+
+
−
=
+
y
x
x
x
x
であるから，
=
3
2
6
3
1
x
最大値：
，(
1
)
2
=
−
−
x
最小値：
…(ｱ)～(ｵ)⑵ 整理して
(
0
,
0
)
6
25
6
13
2
6
13
2
3
3
2
>
>
=
+
⋅
+
+
=
+
+
b
a
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
b
a
≧
Q
等号は
b
a
a
b
=
よりa
=
b
のとき成り立つ。したがって，最小値は
6
5
2
である。…(ｶ)～(ｸ)
⑶ 自然対数の底の性質から
1
1
1
lim
0 1 2 2=
=
+
∞→
n
e
n n
n
…(ｹ)
⑷
2
x
2+1
=
t
とおくと 2 21
2
x
+
=
t
よりdt
t
xdx
tdt
xdx
2
2
4
=
⇔
=
求める定積分を
I
とおくと∫
⋅
+
=
31
1
2
1
dt
t
t
I
∫
+
−
=
31
1
1
1
2
1
dt
t
(
)
[
]
3 11
log
2
1
+
−
=
t
t
(
2
log
2
)
2
1
−
=
2
log
1
−
=
…(ｺ)，(ｻ)[Ⅱ]
自然数
n
，p
>
−
1
を満たす実数p
に対して(
p
)
nnp
+
+
1
1
≧
･･････(*)とおく。
n
=
1
のとき，両辺は1
+
p
であるから成り立つ。そこで，(*)が
n
=
k
（k
は自然数）のときに成り立つと仮定すると(
1
+
p
)
k+1=
(
1
+
p
) (
k1
+
p
)
(
1
+
kp
)(
1
+
p
)
≧
(
1
)
21
+
k
+
p
+
kp
=
(
k
1
)
p
1
+
+
≧
となり，(*)は
n
=
k
+
1
のときも成り立つ。したがって，数学的帰納法により，(*)はすべての自然数
n
に対して成り立つ。等号は1
=
n
またはp
=
0
のとき成り立つ。
[Ⅲ]
⑴
f
( )
x
の導関数は( )
x
x
ax
b
(
x
ax
b
)
f
'
=
3
2+
6
+
3
=
3
2+
2
+
( )
x
f
がx
=
α
で極大値，x
=
β
で極小値をとるとき，α
，β
は方程式
f
'
( )
x
=
0
の解となるから，解と係数の関係よりa
2
−
=
+
β
α
，αβ
=
b
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
x
α
β
( )
'
( )
(
)
2
⑵
f
( )
x
を式変形すると( )
x
(
x
ax
b
)
(
x
a
)
(
a
b
)
x
ab
c
f
=
2+
2
+
+
−
2
2−
2
−
+
したがって，
( )
f
( )
(
a
b
)
(
)
(
ab
c
)
f
α
+
β
=
−
2
2−
2
α
+
β
+
2
−
+
(
a
b
)
(
ab
c
)
a
−
+
−
+
=
2
2
22
2
c
ab
a
6
2
4
3−
+
=
⑶
f
( )
x
の増減はx
α
β
( )
x
f
'
＋ 0 ― 0 ＋( )
x
f
極大 極小ここで
b
a
a
−
−
−
=
2α
，β
=
−
a
+
a
2−
b
であるから，
( )
( )
(
)
(
)
(
)
23 2 2
4
2
2
a
b
a
b
f
f
α
−
β
=
−
−
α
−
β
=
−
[Ⅳ]
⑴
AB
⊥
OL
であるから，AB
⋅
OL
=
0
より(
AL
AO
)
0
AB
AO
AB
AL
AB
⋅
−
=
⇔
⋅
=
⋅
AB
2
1
AL
=
，AB
=
8
であるから，2
8
2
1
AO
AB
⋅
=
⋅
∴
a
⋅
AO
=
32
OM
AC
⊥
，AC
=
10
であるから，50
AO
=
⋅
b
⑵
AO
=
x
a
+
y
b
とおくと，(
+
)
=
32
⋅
x
a
y
b
a
，b
⋅
(
x
a
+
y
b
)
=
50
より
32
2=
⋅
+
y
a
b
a
x
，50
2
=
+
⋅
b
y
b
a
x
8
=
a
，b
=
10
，a
⋅
b
=
40
であるから32
40
64
x
+
y
=
，40
x
+
100
y
=
50
⇔
8
x
+
5
y
=
4
，=
+
4
5
(
)
(
) ( )
20
=
+
⋅
−
=
400
5
10
4
x
+
y
=
したがって，
4
1
=
x
，5
2
=
y
⑶
N
は辺BC
の中点で(
a
b
)
a
b
b
a
10
1
4
1
2
1
5
2
4
1
AN
OA
ON
+
+
=
+
+
−
=
+
=
このとき
(
) ( )
−
⋅
+
=
−
⋅
+
=
⋅
2
23
5
220
1
2
5
20
1
BC
ON
a
b
b
a
b
a
b
a
(
200
120
320
)
0
20
1
=
−
+
=
であり，
ON
とBC
は垂直である。次に2 2
2 2
2
BC
=
b
−
a
=
a
−
a
⋅
b
+
b
84
100
40
2
64
−
⋅
+
=
=
+
⋅
+
=
2 2 22
4
20
25
20
1
ON
a
a
b
b
(
1600
800
400
)
7
400
1
=
+
+
=
よって
3
7
7
21
2
2
1
OBC
=
⋅
⋅
=
△
数学①＝経営情報学部
（90分・100点）
[Ⅰ]
⑴ 左辺を
P
とおくと2
5
3
5
2
2 2+
−
+
−
−
=
x
xy
y
x
y
P
(
1
)
(
3
2
)(
1
)
5
2
2−
−
−
−
+
=
x
y
x
y
y
(
2
+
+
1
)(
−
3
+
2
)
=
x
y
x
y
…(ｱ)～(ｴ)⑵ 左辺を
Q
とおくと(
)(
) (
)(
)
3
5
3
5
5
7
3
5
5
7
−
+
−
+
−
+
=
Q
(
)
2
15
35
2
−
=
−
=
5
7
3
…(ｵ)～(ｷ)⑶ 5つの数が順に大きくなる確率は
0
2
1
1
1
2
3
4
5
1
P
C
5 105
10
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
…(ｸ)～(ｻ)順に小さくなる確率も同じ値をとる。したがって，順に大きくなっ
たり小さくなったりしない確率は，余事象の確率で，
0
6
9
5
120
1
2
1
−
⋅
=
…(ｼ)～(ｿ)⑷ 2
x
y
=
，y
=
x
+
6
でy
を消去して(
2
)(
3
)
0
0
6
2
−
x
−
=
⇔
x
+
x
−
=
x
より
x
=
−
2
,
3
したがって，
P
，Q
の座標は(
2
,
4
)
P
−
，
Q
(
3
,
9
)
…(ﾀ)～(ﾄ)三角形
OPQ
の面積は5
1
3
4
9
2
2
1
OPQ
=
−
⋅
−
⋅
=
△
…(ﾅ)，(ﾆ)⑸
A
は鈍角で3
2
sin
A
=
のとき，3
5
3
2
1
cos
2
−
=
−
−
=
A
…(ﾇ)～(ﾉ)また，
(
)
5
5
2
5
2
cos
sin
tan
180
tan
°
−
=
−
=
−
=
=
A
A
A
A
…(ﾊ)～(ﾌ)[Ⅱ]
⑴ 三角形の面積を
S
，内接円の半径をr
とおくと(
a
b
c
)
r
ab
S
=
=
+
+
2
1
2
1
より
ab
=
r
(
a
+
b
+
c
)
･･････①また，直角三角形の性質より
(
a
r
) (
b
r
)
a
b
r
r
(
a
b
c
)
c
=
−
+
−
=
+
−
⇔
=
+
−
2
1
2
･･････②
①，②より
r
を消去すると(
a
b
c
)(
a
b
c
)
ab
=
+
−
+
+
2
1
整理して
(
)
2 2 2 2 22
ab
=
a
+
b
−
c
⇔
a
+
b
=
c
(
)
+
>
c
+
>
+
>
a
c
a
x
逆に 2 2 2
c
b
a
+
=
が成り立つとき，(
)
2 2 2 2 2 22
ab
b
a
b
c
a
b
a
+
=
+
+
>
+
=
よりa
+
b
>
c
c
が最長辺であることからb
+
c
>
a
，c
+
a
>
b
は明らかである。したがって，3辺の長さが
a
，b
，c
の三角形が存在する。次に，直角をはさむ辺の長さが
a
，b
である直角三角形の斜辺の長さをx
とおくと，定理Ⅰより
2 2 2
x
b
a
+
=
が成り立つから， 2 2 2
c
b
a
+
=
のとき，c
x
c
x
2=
2⇔
=
であり，⑵
C
から2
=
a
[Ⅲ]
⑴ 図のように，
A
→
の4通りある。その経路は
C
51
5
⋅
=
5
+
=
であり，3辺の長さ
AB
におろした垂線の足を2
BH
BC
=
=
(
AB
=
(
c
−
=
c
2−
=
c
2−
=
b
2+
=
図のように，4点
C
B
C→
→
，A
通りある。その経路は
C
C
1
C
1⋅
+
5 2⋅
45
4
10
1
+
⋅
+
1
20
40
+
+
+
a
，b
，c
におろした垂線の足を
2 2
CH
BH
+
)
2CH
AH
AB
−
+
)
2(
cos
A
b
+
−
A
bc
cos
2
+
−
A
bc
cos
2
+
−
bc
c
2−
2
co
+
C
，D
，E
，B
D
A
→
→
通りある。その経路はC
C
C
3+
5 4⋅
41
1
4
5
⋅
+
⋅
66
1
=
（通り）c
をもつ三角形は直角三角形である。におろした垂線の足を
H
とおくと，2
CH
(
)
2sin
A
b
A
b
2 2cos
+
(
A
b
2cos
2+
A
cos
，
F
をとると，B
，A
→
E
→
1
1
C
1+
⋅
（通り）
をもつ三角形は直角三角形である。
とおくと，
A
b
2 2sin
+
)
A
A
+
sin
2をとると，
B
に到達する経路はB
→
，A
→
をもつ三角形は直角三角形である。
A
に到達する経路は
B
F
→
→
⑵ ⑴より，求める確率は⑴より，求める確率は⑴より，求める確率は
C
B
D
P
E
Q
A
F
256
33
2
1
66
9
=
⑶ 図のように，2点
P
，Q
をとる。欠落部に入り込むのは→
→
P
A
右，A
→
Q
→
上となる場合で，求める確率は
16
5
2
4
6
2
1
2
1
C
2
1
2
1
C
54 1 4 4 2
4
=
+
=
⋅
+
⋅
数学①＝応用生物・生命健康科・現代教育学部
（90分・100点）
[Ⅰ]
⑴
x
,
y
について，1
,
5
2
,
4
−
=
=
−
=
+
y
x
y
xy
x
であるから，
(
x
y
)(
x
y
)
{
x
y
xy
}
xy
xy
y
x
5−
5=
+
−
(
+
)
2−
2
＝
−
4
⋅
2
5
(
16
+
2
)
5
4
4
1
−
=
…(ｱ)～(ｵ)⑵ 点(1, 4)が頂点であるから，放物線の方程式は
4
)
1
(
−
2+
=
a
x
y
（aは定数）とおくことができる.これが点(―2, ―5) を通るから，
1
4
9
5
=
+
⇔
=
−
−
a
a
したがって，
3
2
i.e.
4
)
1
(
−
2+
=
−
2+
+
−
=
x
y
x
x
y
…(ｶ)～(ｸ)=
=
θ
θ
θ
°
°
θ
°
θ
°
°
=
⇔
°
=
θ
θ
2
⑶
2
1
cos
sin
θ
θ
=
のとき，
sin
2
θ
=
2
sin
θ
cos
θ
=
1
0
°
≦
θ
≦
180
°
より0
°
≦
2
θ
≦
360
°
であるから，°
=
⇔
°
=
90
4
5
2
θ
θ
よって，
1
45
tan
tan
θ
=
°
=
…(ｹ)⑷ 条件より
°
=
∠
=
∠
=
∠
COD
CED
5
0
2
1
AOC
…(ｺ)，(ｻ)また，
°
=
°
−
°
=
∠
=
∠
(
180
50
)
6
5
2
1
BOC
2
1
BEC
…(ｼ)，(ｽ)⑸ 条件より，部活をしている女子の人数は
7
26
87
120
−
−
=
…(ｾ)部活をしていない男子の人数は
87
−
(
58
−
7
)
=
3
6
…(ｿ)，(ﾀ)[Ⅱ]
⑴ はじめの2回は2, 3, 4のいずれかを引き，3回目に1を引くから，
求める確率は
64
9
4
1
4
3
4
3
=
⋅
⋅
⑵ はじめの3回に1を引き，4回目に初めて2を引き出す確率は
256
19
4
4
6
9
4
1
4
1
4
2
4
2
4
1
4
3
4
1
4
2
4
1
4
3
4
3
4
1
4
=
+
+
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
はじめの3回に2を引き，4回目に初めて1を引き出す確率も同様
であり，これらは互いに排反で，求める確率は
128
19
256
19
256
19
=
+
⑶ ⑵の条件のもとで，1が2回以上となるのは，
1112, 11a2, 1a12, a112 (aは3または4)
となる場合で，その確率は
256
7
4
2
4
1
3
4
したがって，求める条件付きの確率は
38
7
128
19
256
7
=
[Ⅲ]
⑴ 条件より，Bを中心とする半径1の円周上にA, C, Dがあり，
°
=
∠
=
∠
ACE
ACD
90
したがって，三平方の定理より
2
1
)
3
(
CE
=
2−
2=
⑵ △ADEと直線BCでメネラウスの定理を用いて
1
3
EF
EF
2
3
1
1
.
.
1
FA
EF
CE
DC
BD
AB
=
+
⋅
⋅
=
⋅
⋅
i
e
であるから，
3
2
2
3
2
3
6
EF
)
3
EF
(
2
EF
3
=
+
−
=
+
=
よりそこで，△ABFと直線CEでメネラウスの定理を用いると
1
3
3
2
2
3
CF
1
1
2
.
.
1
EA
FE
CF
BC
DB
AD
=
+
⋅
⋅
=
⋅
⋅
i
e
であるから，
CF
=
2
(
6
+
2
)
=
2
6
+
4
∠
ECF
=
30
°
であるから，△ECF＝
3
2
2
1
)
4
6
2
(
2
2
1
英 語
工・経営情報・国際関係・人文・応用生物・生命健康科・現代教育学部
（60分・100点〈英語英米文化学科は150点〉）
〔１〕
1 エ 2 エ 3 イ 4 ア 5 エ 6 ウ 7 ア 8 イ 9 ウ 10 ウ〔２〕
11 エ 12 ア 13 ウ 14 ア 15 ア 16 ウ 17 イ 18 エ 19 ウ 20 イ〔３〕
21 ア 22 キ 23 オ 24 ウ 25 ク 26 エ 27 ア 28 カ 29 ウ 30 キ〔４〕
31 ウ 32 エ 33 ア 34 イ 35 ウ〔５〕
36 ア 37 エ 38 オ 39 ア 40 ウ理科（物理，化学，生物）
物理②＝工学部
（60分・100点）
Ⅰ
1 キ 2 オ 3 キ 4 イ 5 ア 6 カ 7 ア 8 ウ 9 エ 10 ウ 11 カ 12 カⅡ
13 イ 14 エ 15 ア 16 ウ 17 オ 18 カ 19 エ 20 エ 21 ク 22 ウⅢ
23 ウ 24 イ 25 ア 26 ア 27 エ28 ア 29 オ
物理①＝生命健康科・現代教育学部
（60分・100点）
Ⅰ
1 カ 2 オ 3 エ 4 ク 5 オ6 オ 7 オ 8 オ
化学②＝工学部
（60分・100点）
Ⅰ
1 エ 2 オ 3 ウ 4 ア 5 イ6 イ 7 イ 8 オ
Ⅱ
9 イ 10 ウ 11 オ 12 オ 13 エ 14 イ 15 オ 16 エⅢ
17 エ 18 カ 19 イ 20 エ 21 イ 22 イ 23 エⅣ
24 オ 25 イ 26 ク 27 イ 28 オ 29 ア 30 ア 31 ウ 32 イ化学①＝応用生物・生命健康科・現代教育学部
（60分・100点）
Ⅰ
1 エ 2 オ 3 ウ 4 ア 5 イ6 イ 7 イ 8 オ
Ⅱ
9 イ 10 ウ 11 オ 12 ア 13 エ 14 イ 15 オ 16 エⅢ
17 ア 18 ウ 19 イ 20 イ 21 オ 22 ウ 23 イ 24 ウ 25 エ 26 ウ 27 ウ 28 エ 29 イ生物①＝応用生物・生命健康科・現代教育学部
（60分・100点）
Ⅰ
1 エ 2 カ 3 キ 4 カ 5 キ6 ウ 7 キ
Ⅱ
8 ウ 9 ウ 10 ア 11 オ 12 イ 13 ア 14 イ 15 イⅢ
16 オ 17 ウ 18 ア 19 キ 20 イ 21 カ 22 キⅣ
23 ケ 24 エ 25 ア 26 ウ 27 イ 28 オ 29 ア国 語
経営情報・国際関係・人文・応用生物・生命健康科・現代教育学部
（60分・100点）
（一）
1 カ 2 オ 3 ア 4 カ 5 イ 6 エ 7 エ 8 エ 9 ウ 10 カ 11 イ 12 ウ 13 オ 14 エ 15 オ 16 ア 17 イ（二）
18 ア 19 カ 20 キ 21 キ 22 イ 23 オ 24 キ 25 エ 26 イ 27 オ 28 ウ 29 ウ 30 オ 31 イ 32 エ 33 ウ（三）
a 未聞 b 本邦 c 率いる d かねへん（かね） e 連体詞 f 12社会（世界史，日本史，地理，政治･経済）
世界史＝経営情報・国際関係・人文・現代教育学部
（60分・100点）
〔Ⅰ〕
1 イ 2 ウ 3 エ 4 イ 5 ア6 ウ 7 ア 8 ア 9 エ
〔Ⅱ〕
10 ア 11 ウ 12 イ 13 エ 14 エ 15 エ 16 イ 17 ア・エ〔Ⅲ〕
18 ア 19 イ 20 イ 21 エ 22 イ 23 ア 24 ウ 25 エ〔Ⅳ〕
26 エ 27 イ 28 ア 29 ア 30 エ 31 イ 32 ア 33 ア日本史＝経営情報・国際関係・人文・現代教育学部
（60分・100点）
〔Ⅰ〕
1 エ 2 ウ 3 ア 4 イ 5 イ6 エ 7 ウ 8 エ
〔Ⅱ〕
9 ア 10 ウ 11 ア 12 イ 13 ア 14 ウ 15 エ 16 イ〔Ⅲ〕
17 ア 18 ア 19 ウ 20 エ 21 ウ 22 イ 23 イ 24 ア〔Ⅳ〕
25 ウ 26 エ 27 イ 28 ア 29 ウ 30 ウ 31 エ 32 ウ地理＝経営情報・国際関係・人文・現代教育学部
（60分・100点）
〔Ⅰ〕
1 イ 2 エ 3 ウ 4 エ 5 イ6 エ 7 ウ 8 イ 9 エ 10 ウ 11 イ 12 エ 13 イ 14 ア 15 ウ
〔Ⅱ〕
16 エ 17 イ 18 ウ 19 ア 20 ア 21 ウ 22 ア 23 ウ 24 エ 25 イ〔Ⅲ〕
26 ア 27 エ 28 ウ 29 ア 30 ウ 31 ウ 32 ウ 33 イ 34 ウ 35 ウ〔Ⅳ〕
36 エ 37 エ 38 ア 39 ア 40 ア 41 イ 42 ウ 43 イ 44 ウ 45 ア政治・経済＝経営情報・国際関係・人文・現代教育学部
（60分・100点）
〔Ⅰ〕
1 ウ 2 ア 3 エ 4 ア 5 イ6 ウ 7 ア 8 エ 9 イ 10 ウ 11 ウ 12 イ 13 エ
