初等量子力学演習 期末試験 (Wednesday August 3, 2016) 1
• 解答用紙は縦長に用い，左上に綴るスペースを空け，答案は表だけに書く。
• 全ての用紙の上部に氏名・学籍番号を記入する。
• プランク定数hまたはℏ，光速cは断らずに用いてよい。
• 単に結果を書くだけでなく，結果までの論理が分かるように言葉も用いて説明する。
• ガウス積分
∫ ∞
−∞
e−αy2dy =√ π
α は証明せずにを用いてよい。
問題1. 次の問題を解け。 (30点)
1-1. ある粒子に作用するポテンシャルが増加したとき，その粒子の波数k は増えるか減るか? また波長λは伸びる か縮むか? 1次元の運動として，定性的に説明せよ。(変化量まで求める必要はない。)
1-2.ポテンシャルV(x)のもとを運動する質量mの粒子の状態関数をψ(x, t)とする。ψ(x, t)が満たすSchr¨odinger 方程式を書け。
1-3. φ(x, t), χ(x, t)を任意の関数とする。⟨φ, χ⟩を積分で表わせ。また，⟨φ, χ⟩と⟨χ, φ⟩の関係を書け。
問題2. 波動関数ψ(x) = N e−α2(x−b)2+ikx で表される粒子について調べる。 (30点)
2-1. 規格化条件よりN を決定し，規格化された波動関数を定めよ。(変数変換すると計算が簡単になる。) 2-2. 確率密度ρ(x)を求め図示せよ。
2-3. 粒子を観測したとき，x > bの範囲に見つかる確率はどれだけか? 2-4. 位置の期待値⟨x⟩を計算せよ。
2-5. 運動量の期待値⟨ˆp⟩を計算せよ。
問題3. x軸上を運動する質量mの粒子に (40点)
V(x) =
{0 (0 ≤ x ≤ L),
∞ (上の範囲外) のようなポテンシャルが作用している。以下，0 ≤ x ≤ Lの範囲で考える。
3-1. エネルギーE に対応する波動関数をu(x)とし，定常状態のSchr¨odinger方程式を書け。
3-2. 境界条件u(0) = u(L) = 0を採用し，系のエネルギー準位En および線形独立な規格化された波動関数を求め
よ。量子数nの値を明示すること。E >0としてよい。
3-3. 存在確率の流束j(x)を計算せよ。この結果から何が言えるか?
