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(1)

力学演習

No.1 (April 14, 2010) 座標変換 1 問題1. 下の図で表される座標変換について,(x, y)座標系と(x′, y′)座標系との関係を求めよ。

x y x' y' a b x x' y y'

x

y

x'

y'

α

問題2. 右図の座標変換について以下の問いに答えよ。

2-1.x, y方向の単位ベクトルをそれぞれe

x′, ey′と書く。xy座標系から見

た場合,これらがex′ =

(

cosα sinα

)

,ey′ =

(

−sinα cosα

)

と表されることを示せ。

2-2.右図の座標変換が下の式で表されることを確かめよ:

x′=xcosα+ysinα, (1)

y′ =

−xsinα+ycosα.

2-3.(1)式を下式のような行列表示で表せ。

( x′ y′ ) = ( a b c d ) ( x y ) . (2)

またex′, ey′ の転置行列tex′, tey′ を使うと,(2)式の変換行列が

(te x′

te y′

)

のように表せることを確認せよ。

2-4.この座標変換の逆変換を求めよ。この結果とαの座標回転とが一致することを確かめよ。

問題3. x方向およびy方向の単位ベクトルをex,eyとする。ex,eyを用いると,xy平面上の任意のベクト

ルAはA=Axex+Ayeyと表すことができる。ここでAxをAのx成分,AyをAのy成分という。

一方,問題2.で用いたx′y′座標系において,AはA=Ax′ex′+Ay′ey′と表される。座標回転によってベ クトル自体は変化しないこと,つまり

Axex+Ayey =Ax′ex′+Ay′ey′ (3)

を利用して(Ax′, Ay′)と(Ax, Ay)の関係式を求めよ。また,得られた結果を問題2の結果と比較せよ。

✓ ✏

定義: 座標回転に対して座標と同じ様に変換する量をベクトルと呼ぶ。

✒ ✑ x y x' y' z' z

参考: 右図のような3次元の座標回転を考える。xyz座標系から見たx′, y′, z′ 方向の単位ベクトルを次式で表す:

ex′ =

  l1 m1 n1 

, ey′ =

  l2 m2 n2 

, ez′ =

  l3 m3 n3 

. (4)

この場合,3次元の座標変換は次式の通りである:

x′=l

1x+m1y+n1z, y′=l

2x+m2y+n2z, (5)

z′=l

3x+m3y+n3z.

✎ 2次元座標回転の合成によって任意の3次元座標変換が作られるので,ここでは詳しく述べない。

問題4. ある直線上にある任意の点Pを表す位置ベクトルをpとする。pの満たす方程式は以下の3つの考

(2)

2

1. 直線上のある点Aの位置ベクトルaに,直線と平行なベクトルdの定数倍を加える。

2. 原点から直線に降ろした垂線の足をH,Hの位置ベクトルをhとする。P とHを結ぶ線は,hと直

交する。

3. 直線の上の同一でない2つの点S, T の位置ベクトルをそれぞれs, tとする。P は線分STを適当に

内分または外分した点である。

下図を参考にして,それぞれの場合でpを表す式を作れ。

d

a

H

h

T

S

p

p

p

s

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