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応用統計 第 ₁₁ 回

仮説検定 ₍₁₎

応用情報工学科

准教授 松野 裕

http://matsulab.org

2016 年 7 月 14 日

1 前回の演習について

解答は_moodleにあげてある。₍₁₎で、もし_95%の信頼区間を求めると、[0.54592, 0.73408]^{となり、信頼} 区間の幅は広くなり、昨年度の支持率より上がったとは言えなくなる。また₁₀₀₀人中、₆₄₀人支持すると答 えた場合、_90%の信頼区間は、[0.615, 0.665]となり、信頼区間の幅は狭くなり、標本数を増やすほど、より 正確な推定が行えることがわかる。

2 仮説検定

仮説検定 hypothesis testingの目的は、母集団について仮定された命題₍仮説₎を、標本に基いて検証

す る こ と で あ る 。コ イ ン を 振 る こ と を 考 え る 。我 々 は 通 常 、表 が 出 る 確 率 は_{p =}

1

2 で あ る と 考 え る（ 仮 説

hypothesis^{を立てる）。コインを}20^{回振ったところ、}14回表が出たとする。仮説が正しいとすると、２項

分布の計算から、表が₁₄回以上出る確率は_0.0577になり、めったに起こらない確率であることがわかる。こ のような仮説からのずれは有意 significantであるという。めったに起こらない（有意である）から、仮説は

棄却rejectされる、という。しかし有意であるかどうかは基準が必要である。確率_{α = 0.1}で有意とすると

0.0577^{は稀と判断されるが、}α = 0.01で有意とすると、この確率は「十分に起こりうる」ということだから、

X = 14は有意にずれているとは言えない。このような基準となる確率を、有意水準 significance levelと

いう。

2.1 帰無仮説と対立仮説

先ほどのコインでは、表が出る確率が

1

2^である(歪みのないコインである₎という仮説は、有意水準_{α = 0.1} だと棄却される。棄却されたことで判断が終わるという考え方もあるが、さらに積極的な判断をしたい場合 は、あらかじめもう一つの仮説_{p ̸=}

1

2 ^{あるいはp >} 1

2 を立てておき、もう一つの仮説が採択acceptされたと しよう。この時、元の仮説_{p =}

1

2^{を帰無仮説}null hypotheis、これと対立する仮説を対立仮説alternative

hypotheisという。帰無仮説とか、大げさだが「可能性が低い仮説」、で対立仮説が「本当に示したい仮説」、

ぐらいの意味である。この考え方は数学における背理法である。

1

帰無仮説と対立仮説は互いに反する関係にある。それぞれ_H0, H1、あるいは_H1, H2(H ^はHypothesis(^仮 説₎の意味₎などと表す。ただし_{p =}

1 2^{, p >}

1

2 ^以外にもp ≤ ¹2の可能性もあり、否定は完全なものではない。 H0, H1どちらかを採択する、_H0, H1のどちらかが正しい、の組み合わせが４通り考えられる（表₁）。表₁

表₁ 帰無仮説を棄却する、しないの決定に関しての４つの場合 H^0正しい H^0誤り(H^1正しい) H0を棄却しない（採択する） _{1 2}

H^{0を棄却する} 3 4

において、_1,4は正しく検定していることになる。_3,2はそれぞれ、以下のように呼ばれる。

• 3 : 帰無仮説が正しいのに、それを棄却する第一種の誤りerror of the first kind

• 2 : 帰無仮説が誤っているのに、それを採択する第二種の誤り error of the second kind

この四通りの分け方は、刑事訴訟で無罪を有罪とする誤り、逆に有罪を無罪にする誤りなど、判断の誤りに対 する一般的思考基準を与える。

仮説が棄却されなかったといって、積極的に支持されたわけではない。単に結果が帰無仮説と「矛盾はしな い」ことが言われただけである。仮説が採択されたからといって、仮説が真であることを積極的に「証明」し たわけではない。

2.2 棄却域と両側・片側検定

仮説検定の基本的な考え方を_t検定_t-testを例にあげて説明する。 正規母集団_{N (µ, σ}

2)^{から大きさ}n = 25^{の標本を抽出して、}X = 13.7^、s = 2.3^を得た。

これを元に

• ^{帰無仮説 H0: µ = 15}

• ^{対立仮説 H1}: µ ̸= 15

として、有意水準_{α = 0.05}で検定する。

ま ず 、_H0が 正 し い と す る 。つ ま り_{µ = 15}。検 定 に 用 い る 統 計 量₍検 定 統 計 量 test statistic)^{と し て 、} Student^のt^統計量:

t = ^{X − µ} s/^√n を用いる。値を代入すると、

t = ^{13.7 − 15}

2.3/^√25 ^{= −2.83}

自由度25 − 1 = 24^{、信頼係数95%のt分布の範囲はt0.05}(24) = 2.06(^両側確率)^だから、 P (−2.06 ≤ t ≤ 2.06) = 0.95

であり、これが有意水準_{α = 0.05}に相当する。_−2.83はこの範囲外であるから、帰無仮説_H0は棄却され、 H^{1が採択される。}

2

今、帰無仮説_H0はそのままとし、_H1^′ : µ < 15^{とすると、}X^がµ = 15より相当に小さくなった場合にだ け帰無仮説を棄却すれば良いから、

t = ^{X − 15} s/^√n

において、_tが十分負になったときにだけ、帰無仮説を棄却すれば良い。いま、_t0.10(24) = 1.71(^{両側で確率} 0.1^{なので、片側だと}0.05)^{であるから、}−2.83 < −1.71。よって、この場合も、有意水準_5%で帰無仮説を 棄却する。

帰無仮説が棄却すべき統計量の値の集合を棄却域 rejection regionといい、棄却しない領域を採択域と いう。採択域は、_{t = 0}の周辺₍₁₅に近い_Xに対応₎になるが、棄却域は対立仮説が_H1の様な両側対立仮説 two-sided alternative hypothesis^の時は、t^{の値が著しく}(これは有意水準で決める₎₀から左右にはず れた領域

|t| > t^α(n − 1)

となる。これを両側検定two-sided testという。確率_αを左右（著しく大きい所と小さい所）に按分して いる。_H1^′ のような片側対立仮説 one-sided alternative hypothesisに対しては、_X が十分小さい所に棄 却域が定められ、片側検定one-sided test

t < −t^2α(n − 1)

となる。また_{µ > c}の形の片側対立仮説もあるが、そのときは t > t^2α_{(n − 1)}

が棄却域となる。これは片側検定である。 両側か片側か

• 一般に、両側検定は母数_θの値がある目標値_θ0と等しいかどうか調べる場合に用いられる。例えば工 場で新しく機械を購入したとき、機械の機能が目標値を満たしているか計測する場合である。

• 片側検定は母数の大きさが理論的・経験的に予測される場合に使われる。例えば英語の特別授業があっ たとしよう。特別授業に効果があれば、試験の点数がよくなっているはずである。この場合、特別授業 の前後で、点数が異なるかどうかではなく、点数が向上したかどうかが知りたいことである。このよう な場合には対立仮説を不等号で与える片側検定を用いる。

3 正規母集団に対する仮説検定 : 母平均の差の検定

前回説明した区間推定に対応して、種々の仮説検定の手法がある。今回は例として、母平均の差の検定を説 明する。実用上も非常に重要である。例えば、新しい治療法の効果を調べる場合を考え、患者を二つのグルー プに分けて、一方のみに新しい治療法を行い、二つのグループで結果に差があるかどうかを検定する。これを ２標本検定 two-sample testという。

二つの正規母集団_{N (µ}1_{, σ} 2

1), N (µ², σ2²)^{それぞれから大きさ}m, n^の標本X¹, . . . , X^m, Y¹, . . . , Y^nを抽出 したとする。このとき、帰無仮説は

H0: µ1= µ2

であり、対立仮説は

3

• ^{両側ならばH1: µ1}̸= µ²

• ^{片側ならば、H1: µ1> µ2またはH1: µ1< µ2}

である。両側か片側かは、他の検定と同様その目的から決定される。 以下では、二つの分散が等しく、_σ

2

1= σ2²= σ²の時を考える。このとき、未知の_σ

2

の代わりに下記の合併 した分散 pooled variance^{で推定する。}

s²= ^{(m − 1)s}

2

1_{+ (n − 1)s} 2 2

m + n − 2

s²1, s²2は各々の標本の標本不偏分散である。このように標本分散を定義すると、

t = (X − Y ) − (µ¹− µ²⁾ s^√(_m¹ +¹_n)

は自由度_{m + n − 2}の_t分布t(m + n − 2)^{に従う。これはH0: µ1= µ2のもとでは} t = ^{(X− Y )}

s^√(_m¹ +¹_n)

となる。この統計量を用い、

• ^{両側検定ならば}|t| > t^α(m + n − 2)のとき帰無仮説を棄却し、それ以外は棄却しない、

• ^{片側検定ならば、t > t2α}(m + n − 2), t < t^2α(m + n − 2)のとき帰無仮説を棄却し、それ以外は棄却 しない。

例題 ₂₀匹のラットを₁₀匹ずつ₂群に分け、一方には普通の餌を与え、他方には血中の赤血球を減らす と考えられている薬を餌に混ぜて与えた。下記はその結果の、ラットの血液_1mm

3

中の赤血球数である。

• ^投薬群 7.97,7.66,7.59,8.44,8.05,8.08,8.35,7.77,7.98,8.15

• ^対照群 8.06,8.27,8.45,8.05, 8.51,8.14,8.09,8.15, 8.16,8.42

このとき、両者の平均は異なるといえるか、有意水準_5%で検定せよ。

m = n = 10, X = 8.004, Y = 8.230, X− Y = −0.226^{。また、s21}= 0.0761, s²2= 0.0294, s² = 0.0528, s = 0.230^。よって_{t = −2.200}^。t0.05(18) = 2.101, t0.1(18) = 1.734（本講義で使用している_t分布表の添字 は、両側確率である）から、_H0: µ1= µ2は、両側検定でも、左片側検定でも棄却され、薬効はあると認めら れる。

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