2016.6.30. 訂正：2016.7.7 出題：加藤賢悟 宿題 9
• 提出期限：7/7の講義終了時．
問題
1. X1, . . . , Xn∼ Ex(λ) i.i.d.として，
H0 : λ = 1 vs. H1 : λ ̸= 1
に対する水準αのUMPU検定を求めよ．
ヒント：必要なら，2λ∑ni=1Xi∼ χ2(2n)という事実を使え． 2. X1, . . . , Xn∼ N(µ, σ
2) i.i.d.とし (n ≥ 2)，µ∈ Rとσ2 >0は未知とする．このとき， H0: µ = µ0 vs. H1 : µ ̸= µ0
に対する尤度比検定がt検定と等価であることを示せ．ただし，t検定とは，
T =
√n
(X − µ0) S とおいたとき，
|T | > c ⇒ reject という形の検定である．
3. X1, . . . , Xn∼ P o(λ) i.i.d.とする (λ > 0)．
(a) λの最尤推定量bλを求め，√n(bλ− λ)の極限分布を導出せよ．
(b) 検定問題
H0 : λ = λ0 vs. H1 : λ ̸= λ0
を考える(λ0>0)．(a)の結果を使って，近似的にサイズαをもつ検定を構成せよ． 4. (Y1, Y2, Y3)′∼ Mn(n, p1, p2, p3)に対して，(Y1, Y2, Y3)′がハーディ・ワインベルグ平衡
モデルに従っているかどうか検定したいとする．すなわち， H0: (p1, p2, p3) = (θ
2,2θ(1 − θ), (1 − θ)2) ∃θ ∈ (0, 1) vs. H1: H0の否定 という検定問題を考える．この検定問題に対する尤度比検定を説明せよ．
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5. (Ω, F, P )を確率空間とする．Ω上のr.v.’s X, Y に対して，
α(X, Y ) = inf{ε ≥ 0 : P (|X − Y | > ε) ≤ ε} (*)
と定義する．
(a) (*)においてinf は達成されることを示せ．すなわち，α = α(X, Y )に対して，
P(|X − Y | > α) ≤ αを示せ．ヒント：|X − Y |のd.f.をFとおくと，α(X, Y ) = inf{ε ≥ 0 : 1 − F (ε) ≤ ε}である．あとはF の右連続性を使う．
(b) L0をΩ上のr.v.’sの全体とする．このとき，αは次の性質をみたすことを示せ：
(1) X, Y ∈ L0に対して，α(X, Y ) = 0 ⇔ P (X = Y ) = 1. (2) X, Y, Z ∈ L0に対 して，α(X, Z) ≤ α(X, Y ) + α(Y, Z).
コメント：αは明らかに非負性と対称性をみたすので，確率1で等しいr.v.’sを同 一視すれば，αはL0上の距離になる．この距離はKy Fan距離と呼ばれる． 6. (問題5の続き). r.v.’s X, Xn, n= 1, 2, . . . に対して，
Xn
→ X ⇔ α(XP n, X) → 0
を示せ．
コメント：よって，Xn
→ 0P なら，εn= α(Xn, X)とおくと，εn→ 0 & P (|Xn− X| > εn) ≤ εnとなる．
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