“Stochastic Airy
Operator”
の定義と自己共役性
慶磨義塾大学医学部
南 就将Nariyuki Minami
School
of
Medicine,
Keio University
1
序
R$\mathbb{R}$血ez-Rider-Vir\’ag [RRV] は$\beta$-ensemble と呼ばれるサイズ$n$ の三重対角型ラ
ンダム行列の，上から $k$個までの固有値の組$\lambda_{1}\geq\cdots\geq$ 騙に対して $\{n^{1/6}(2\sqrt{n}-$
$\lambda_{j}^{(n)})\}_{j=1}^{k}$ の結合分布が$narrow\infty$ とするとき，次の “Schr\"odinger 作用素”(stochastic
Airy operator) の下から $k$個までの “固有値”の組に法則収束することを示した : $H=- \frac{d^{2}}{dt^{2}}+t+\frac{2}{\sqrt{\beta}}B_{\omega}’(t) , t\geq 0.$ ただし $H$ を $t=0$ における Dirichlet境界条件の下で考える．また $\{B_{\omega}(t)\}$ は標準 Brown運動，$B_{\omega(t)}’$ はその見本関数の形式的な微分である．[RRV] では $H$ をある関 数空間から Schwartz超関数の空間へのランダムな線形写像と定義しているが，実 は $H$ をHilbert 空間 $L^{2}(R_{+})$ 内の自己共役作用素として自然に実現することがで きる．すなわち次が成り立つ : 定理1 各々の$\omega$ に対して $H$ はHilbert空間 $L^{2}(R_{+})$ の閉対称作用素として実現 され，それは確率1で自己共役であり，離散スペクトルのみを持つ．
[RRV] では $H$ の固有値系列を “stochastic Airy spectrum” と呼んでいるが，上
記の定理によればそれはある自己共役作用素の離散スペクトルであるにすぎない．
定理1はより一般な次の定理に含まれる．
定理2 $p(t)$ は $R+=[0, \infty)$ 上の実数値連続関数で，ある $\alpha>0$ に対して
$\lim\inf_{tarrow\infty}p(t)/t^{\alpha}>0$ を満たすものとする．また $\{X_{\omega}\}$ はHurst parameter
$h\in(0,1)$ のfractional Brownian motion $([N])$ とする．このとき，任意の実数 $c$
に対して，原点 $t=0$ における Dirichlet 境界条件の下で， $H=- \frac{d^{2}}{dt^{2}}+p(t)+cX_{\omega}’(t)$ はHilbert 空間 $L^{2}(R_{+})$ の閉対称作用素として実現され，それは確率1で自己共 役であり，離散スペクトルのみを持つ． 詳しくは[M3] を見られたい． 数理解析研究所講究録 第 1903 巻 2014 年 128-131
128
2
作用素の定義
$Q(t)$, $0\leq t<\infty$, を $Q(O)=0$ なる実連続関数とする．
定義1. $([M1], [M2])u$ が関数空間$C(Q)$ に属するとは，$u$ が絶対連続であって，あ
る $\beta\in C$ とある $v\in L_{loc}^{1}(R_{+})$ に対して
$u’(t)= \beta+Q(t)u(t)-\int_{0}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\{Q(y)u’(y)+v(y)\}dy$
が成り立つことである．$u\in C(Q)$ に対して $H(Q)u=v$ と定義する．
さらに関数空間
$\mathcal{D}(Q)=\{u\in C(Q)\cap L^{2}(R_{+});Hu\in L^{2}(R_{+}), u(O)=0\},$
$\mathcal{D}^{S}(Q)=\{u\in \mathcal{D}(Q);\lim_{tarrow\infty}[u, v](t)=0, \forall v\in \mathcal{D}(Q)\}$
を定義する．ただし $[u, v](t)=u(t)v’(t)-u’(t)v(t)$ である．
$H_{0}(Q)=H|_{\mathcal{D}(Q)}, H_{0}^{S}(Q)=H|_{\mathcal{D}^{S}(Q)}$
とおくとStone[S] にならって$H_{0}(Q)^{*}=H_{0}^{S}(Q)$, $H_{0}^{S}(Q)^{*}=H_{0}(Q)$ を示すことがで
きる．特に $H_{0}^{S}(Q)$ は閉対称作用素である．$H_{0}^{S}(Q)$ において $Q(t)= \frac{1}{2}t^{2}+$$f_{fi}^{2}B_{\omega}(t)$,
あるいはより一般に $Q(t)=X_{\omega}(t)+ \int_{0}^{t}p(y)dy$ ととればstochastic Airy operator
は $L^{2}(R_{+})$ における閉対称作用素として実現される．これを $H_{0}^{S}(\omega)$ で表す．
3
自己共役性とスペクトルの離散性
定理2の設定の下で$H_{0}^{S}(\omega)$ の確率 1 での自己共役性を示すために，
$L$ $:=$ $\{f;f$is absolutely continuous
on
$R_{+},$ $f(O)=0,$$\int_{0}^{\infty}\{|f’(t)|^{2}+(1+p(t))|f(t)|^{2}\}dt<\infty\}$ を定義域とする 2 次形式 $\mathcal{E}_{\omega}(u, v) = \int_{0}^{\infty}\{u’(t)\overline{v’(t)}+(p(t)+ca_{\omega}’(t)u(t)v(t)\}dt$ $- \int_{0}^{\infty}c(X_{\omega}(t)-a_{\omega}(t))(u(t)\overline{v(t)})’dt$ を考える (cf [FM]) ただし $a_{\omega}(t)= \int_{t}^{t+1}X_{\omega}(s)ds$ とおいた． [N] の Theorem 4. 1を用いると，次の補題を容易に示すことができる :
129
補題 $\{X_{\omega}(t)\}$ がHurst parameter $h\in(O, 1)$ のfractional Brownian motion なら
ば，確率1で
$|X_{\omega}(t)-a_{\omega}(t)|=\mathcal{O}(\sqrt{\log(1+t)})$ , $|a_{\omega}’(t)|=\mathcal{O}(\sqrt{\log(1+t)})$ , $tarrow\infty$
が成り立つ．
また，次の命題の証明も難しくない．
命題．補題の主張を成り立たせる任意の $\omega$ に対して，$\mathcal{E}_{\omega}$ は $L$ で定義された下に
半有界な閉形式であり，かつ次の意味で完全連続である : $\mathcal{E}_{\omega}+\gamma_{\omega}$ が狭義に正と
なるように物を選ぶと，
$\sup_{n}\{\mathcal{E}_{\omega}(u_{n}, u_{n})+\gamma_{\omega}(u_{n}, u_{n})\}<\infty$
を満たす任意の列 $\{u_{n}\}\subset L^{*}$ は$L^{2}$-収束する部分列を含む．
したがって一般論 ([RS1] Theorem VIII.15, [RS2] Theorem XIII.64) により $L$
のある部分空間$D_{\omega}$ を定義域とする自己共役作用素んが存在して
$\mathcal{E}_{\omega}(u, v)=(u, A_{\omega}v) , u, v\in D_{\omega}$
を満たし，さらにんは下半有界で離散スペクトルのみを持つ．
この $A_{\omega}$ が\S 2で定義した $H_{0}^{S}(\omega)$ と一致することを示すためにまずん $\subset H_{0}(\omega)$
が成り立つことに注意する．これより $A_{\omega}$ の固有関数は $H_{0}(\omega)u=\lambda u$ の解であり，
特に $\lambda$ が$A_{\omega}$ の最低固有値であるとき，対応する固有関数は$(0, \infty)$ においてゼロ
点を持たないことが振動定理により示される．したがってHartman [H] の定理に
より $H_{0}(\omega)$ は $+\infty$ において極限点型となり，$H_{0}(\omega)$ は自己共役である．すなわち
$H_{0}(\omega)=H_{0}(\omega)^{*}=H_{0}^{S}(\omega)\subset A_{\omega}\subset H_{0}(\omega)$ が得られる．
4
今後の課題
[RRV] が示しているのは，$\beta$-ensemble として定義されるランダム行列を $H_{n}^{\beta}$ と
するとき，stochastic Airy operator $H$ が$n^{1/6}(2\sqrt{n}-H_{n}^{\beta})$ の“連続極限 ” になる ということであるが，stochastic Airy operator が通常の意味での自己共役作用素 として定義された以上は，この連続極限の問題にも，作用素の収束にともなうスペ クトル速度の収束という形での定式化が与えられるべきであろう． 小谷眞一氏は [K] において $Lu=- \frac{d(du/dx)-udQ}{dM}$ という形の一般化 Sturm-Liouville 作用素を考察している．ただし $M$ は直線上の Radon 測度，$Q(t)$ は有界変動関数である．$L$ の定義を，$Q(t)$ が必ずしも有界変動
130
でない場合にまで拡張し，$(M, Q)$ が連続的に変化するときに，対応するスペクト ル測度が収束する，という定理を示すことができれば有用と思われる．なぜなら
ば，三重対角行列はすなわち
2
階差分作用素であり，それは
$M$ として離散的な測 度を考えれば，上記の一般化 Sturm-Liouville 作用素の形に書かれるからである ([M4]) ところで，ランダム行列の中には三重対角型に変換できないものも当然ある．そ のような場合にも “連続極限 “を考えることができるであろうか？行列サイズ $n$ を大きくするにつれて “漸近的に “三重対角化されるようなランダム行列のクラ スが設定できれば，ランダム行列の固有値分布の普遍性の問題に新しいアプロー チができるかもしれないと考えている． References[FM] M. Fukushima, S. Nakao: On spectra of the Schr\"odinger operator with a white
Gaussian
noise potential. Z. Wahr.verw.
Geb., vol.37 (1977),267-274
[H] Ph. Hartman: Differential equations with non-oscillatory eigenfunctions. Duke Math. J., vol.15 (1948) 697-709
[K] S. Kotani: On asymptotic behavior of the spectra of a one-dimensional Hamiltonian with
a
certain random coefficient. Publ. RIMS, Kyoto Univ. vol.12(1976) 447-492
[M1] N. Minami: Schr\"odinger operatorwith potentialwhich is the derivative of
a temporally homogeneous L\’evy process. Probability Theory and Mathematical
Physics, Lect. Notes Math. 1299 (1988), 289-304
[M2] N. Minami: Random Schr\"odinger operator with a constant electric field. Ann. Inst. Henri Poincar\’e, vol.56 (1992) 307-344
[M3] N. Minami: Definition andself-adjointness ofthestochasticAiryoperator.
arXiv: 1401.0853
[M4] N. Minami: An extension of Kotani’s theorem to random generalized
Sturm-Liouville operators. Commun. Math. Phys. vol.103 (1986) 387-402
[N] I. Nourdin: Selected Aspects
of
Fractional Brownian Motion. Springer-Verlag Italia (2012)[RRV] J.A. Ram\’irez, B. Rider, B. Vir\’ag: Betaensembles, stochastic Airy spec-trum, and a diffusion. J. AMS vol. 24 (2011) 919-944
[RS1] M. Reed and B. Simon: Methods
of
Modern Mathematical Physics vol.$I$:Functional Analysis. Academic Press (1980)
[RS2] M. Reed and B. Simon:Methods
of
Modern Mathematical $Phy_{\mathcal{S}}ics$ vol.IV:Analysis
of
0perators. Academic Press (1978)[S] M.H. Stone: Linear transformations in Hilbert space,and their applications
to analysis, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. vol. XV (1932)
