数学教育学会誌 2019/Vol.60/No.3･4
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＊＊＊＊ 概要：整数の足し算・引き算の学習内容の難易度は、学年とともに上がる。そのため、第１学年 次で学習した足し算・引き算に関する習熟状況が、第２学年次の足し算・引き算の学習に 影響することは十分に予想される。そこで、本研究では、第１学年次に形成された足し算・ 引き算に関する誤答を形成する手順が、第２学年次の足し算・引き算の学習に及ぼす影響 について明らかにすることにした。第２学年児童 35 名に対して、第１学年次における足し 算・引き算に関する習熟度を調べるための調査問題を用いた調査１と、通常の学習活動と して行われる計算力テストを用いた調査２を実施した。ロジスティック回帰分析を用いて 分析したところ、足し算では１つの問題が、引き算では４つの問題が説明変数として抽出 された。抽出された問題に対する解答結果をもとに誤答を生成する手順を推定し、調査２ の引き算に関する調査結果について検討したところ、第 1 学年次の学習では、「繰り下がり」 だけではなく、「被減数と減数を明確にする」ことや「十進位取り記数法を理解させる」こ とが重要であることが示唆されるなど、第 1 学年次の引き算の指導に有益な結果を得るこ とができた。 検索語：足し算、引き算、計算、誤ルール、算数教育Abstract : The difficulty of learning addition and subtraction of whole numbers increases with the grade. Therefore, the ability level of first graders to perform addition and subtrac-tion influences the learning of addisubtrac-tion and subtracsubtrac-tion in the second grade. We examine the relationship between the ability to add and subtract learned in the first grade and the ability to add and subtract learned in the second grade. Second (n=35) graders par-ticipated in investigation 1 and investigation 2. The results were analyzed using Logistic Regression Analysis. One problem in addition and four problems in subtraction were extracted as explanatory variables. The mal-rules were estimated from the answers of these problems. The analysis using mal-rules showed that in the first grade of learning, it is important not only to learn "regrouping," but also to clarify the concept of "minuend number and subtrahend number" and understand the "decimal system."
Keywords: addition and subtraction of whole numbers, mal-rule, arithmetic operation, arith-metic education １ １．． ははじじめめにに 基本的な四則計算に関する能力は、算数の様々 な学習の基礎となる重要な能力の一つである。そ のため、第１学年から第５学年にかけて、整数・ 小数・分数に関する四則計算を段階的に学習する。 特に、第 1 学年次で学習する足し算・引き算は第 ２学年の以降の四則計算に関する学習の基礎とな ＊ ＊ Masato KAWASAKI 帝京科学大学 ＊ ＊＊＊ Chiemi ARAKAWA 茨城県境町立森戸小学校 ることから、確実な理解と習熟が求められる。 児童の計算能力に関する研究として、誤答分析 や、それぞれの学年における計算能力について検 討した研究がある。誤答分析に関しては、庄司 （1987）によれば、Brown and VanLehn(1980)の引 き算の誤答を 97 種に分類した研究や,教育実践の なかから 20 種を抽出した堂本（1984）の研究があ る。 それぞれの学年における計算能力に関しては、 例えば、長谷川・堀田（2007）は、第１～４学年 を対象とした算数基礎テストで扱われた整数の 2017．」と「葛城元・黒田恭史，折り紙数学を 用いた解析幾何の教育実践－高校生を対象とし て－，日本・中国数学教育国際会議論文集， pp.77-80，2017．」の内容を大幅に加筆・修正 したものである。 引 引用用・・参参考考文文献献 Jo Nakashima，折り紙 「カヌー」 の折り方， YouTube 公式サイト，2016．https://www. youtube.com/watch?v=X8tp6fVEwF（2019 年9 月 26 日現在） 葛城元・黒田恭史，科学的思考方法の習得を目 指したオリガミクスによる数学教材の開発 －ダイヤカット缶を題材として－，数学教 育学会誌，57（3・4），pp.125-139，2016． 葛城元・黒田恭史・林慶治，数学教育における 知識創造を目指した数学的探究モデルの設 計と教育実践，知識共創，7，Ⅳ3.1-12，2017． http://www.jaist.ac.jp/fokcs/（2019 年 9 月 26 日現在） 葛城元・黒田恭史，小学校算数科の図形領域に おける折り紙の教育実践－伝承文化を取り 入れた連続折りの活動を通して－，京都教 育大学教育実践研究紀要，18，pp.53-62， 2018． 葛城元・深尾武史・黒田恭史，高校1 年生を対 象とした斜方投射の数学授業の実践，京都 教育大学教職キャリア高度化センター教育 実践研究紀要，1，pp.65-74，2019． 川崎豊彦，これだけ！ 船舶，秀和システム， 2014． 木田重雄，なっとくする流体力学，講談社，pp. 59-61，2003． 黒田恭史，中等教育におけるオリガミクスを活 用した平面幾何教育のあり方について，数 学教育学会誌，54（3・4），pp.135-144， 2013． 黒田恭史・岡本尚子，幾何教育における実践； 黒田恭史編著，数学教育実践入門，共立出 版，pp.87-138，2014． 國府寛司，数学と諸分野の協働の推進のために 数学・数理科学の教育について考えること， 数学教育学会秋季例会発表論文集，pp.142- 143，2015． 商船三井，暮らしと産業をささえるいろいろな 船，株式会社商船三井，pp.1-12，2014． 杉山文子・野島武敏，エデュテインメント性を 有する教育用数理折紙モデルの提案－アル キメデス螺旋状折線を用いた膜の巻き取り 収納モデル－，数学教育学会誌，50（1・2）， pp.15-25，2009． 杉山文子・野島武敏，正多角形要素からなる平 面充填型膜の螺旋状折線を用いた収納モデ ル－エデュテインメント性を有する教材の 開発－，数学教育学会誌，51（1・2），pp.25- 38，2011． 高見寿，教室でできる5 分間ぶつり実験，日本 評論社，pp.73-80，85-89，2009． 滝川洋二・山村紳一郎編著，ガリレオ工房の科 学あそび PART2，共同印刷，pp.68-69， 2001． 中野友裕，大学新入生のためのやさしい力学， 森北出版，pp.58-67，2012． 西川誠司，折り紙学 起源から現代アートまで， 今人舎，2017． 芳賀和夫，オリガミクスによる数学授業，明治 図書，1996． 萩原一郎・奈良知恵，おもしろサイエンス折り 紙の科学，日刊工業新聞社，2019． 町田彰一郎，現実をどのように教材化するか－ 壁紙模様幾何を素材にして－；横地清編著， 図形・幾何の体系化と実践，ぎょうせい， pp.195-224，1983． 松宮哲夫・柳本哲編著，総合学習の実践と展開， 明治図書，pp.16-19，1995． 三浦公亮・川崎敏和編著，折り紙数理の広がり， 森北出版，2018． 宮原里奈・愛木豊彦，浮力を題材とする「課題 学習」の提案と実践，岐阜数学教育研究， 8，pp.47-62，2009． 宮原里奈・愛木豊彦，浮力を題材とする「課題 学習」の提案と実践Ⅱ，岐阜数学教育研究， 9，pp.1-8，2010． 文部科学省，高等学校学習指導要領（平成30 年告示）解説 数学編 理数編，学校図書， 2019． 数学教育学会誌 2019/Vol.60/No.3･4 Note
第１学年次の加法・減法に関する誤ルールが
第２学年次の加法・減法の学習に及ぼす影響
河崎 雅人
＊荒川 智恵美
＊＊四則計算の結果から、誤答を生成する手順（以下、 誤ルール(Mal- rule）)について検討した。その結 果、第２学年では２位数の足し算に比べ、引き算 では正答率がやや低下していることを指摘した。 誤ルールについては、繰り下がりのない引き算で も繰り下がりに該当する処理をしてしまってい ることを指摘するとともに、位ごとに大きい数か ら小さい数を引いてしまっていることも指摘し た。 また、宇野・佐藤（2013）は、第 1 学年の実態 調査及び教員への質問紙調査を通して、繰り上が り・繰り下がりのある計算を中心とした第 1 学年 における計算学習の現状と課題について検討し た。その結果、10 のまとまりに目を付けることが できないこと、「さくらんぼ」を書きながらの処理 が難しいこと、数の概念がわからず具体物を用い なければ理解できないことを指摘した。 整数の足し算・引き算の学習では、学年が上が るにつれて、学ぶ内容の難易度が上がる。そのた め、第１学年次で学習した足し算・引き算に関す る習熟状況が、第２学年次の足し算・引き算の学 習に影響することは十分に予想される。しかし、 第２学年次で学習する足し算・引き算を正しく計 算できるために必要な、第１学年次における足し 算・引き算に関する計算能力については明らかに されていない。そこで、本研究では、第２学年次 の足し算・引き算に関する学習に必要な第１学年 次の足し算・引き算に関する計算能力について検 討するとともに、第１学年次に形成された足し 算・引き算に関する誤ルールが、第２学年次の足 し算・引き算の学習に及ぼす影響について明らか にすることにした。 ２ ２．． 方方法法 ２ ２．．１１ 調調査査参参加加者者 調査参加者は茨城県内公立小学校第２学年１ 組 17 名・２組 18 名の計 35 名である。事前に校 長及び教務主任、第２学年担当教員と面談し、本 調査の目的や方法等を説明した上で、調査の実施 許可を得た。 ２ ２．．２２ 調調査査校校ににおおけけるる指指導導 調査校は公立小学校であるため、検定教科書や 使用教科書の指導書などを用いて、通常行われて いるような指導を行っている。また、算数の授業 は、担任以外に 1 名の補助教員が加わり２名で担 当する。さらに、基本的な計算力の習熟を図るた めに、朝学習の時間を利用して、月１回の計算力 テストを実施している。 ２ ２．．３３ 調調査査手手続続きき 第１学年次の足し算・引き算の学習内容に関す る習熟状況を調べる調査１と第２学年次の足し 算・引き算の学習内容に関する習熟状況を調べる 調査２を実施した。調査１は、表１、２に示す調 査問題を用いて、「足し算」「引き算」の順に、朝 学習の時間に全員が解答し終わるまで時間を取 り、通常のテストと同様に行った。調査２は毎月 １回朝学習の時間に行われている計算力テスト を用いた。計算力テストの実施時間は朝学習の時 間（15 分間）である。調査１、２とも、それぞれ の学級担任が問題を配布し、実施した。 ２ ２．．４４ 調調査査問問題題 ａ ａ．．調調査査１１ 足し算・引き算に関する第１学年次の学習内容 について、児童の習熟状況を調べるために表１、 ２に示す調査問題を用いて、2017 年７月 12 日～ ７月 19 日にかけて実施した。足し算の問題は１ 位数＋１位数、２位数＋１位数、１位数＋２位数 とし、繰り上がりの有無、被加数や加数が５以下 か５より大きいかなどで分類し、作成した。引き 算の問題は１位数－１位数、２位数－１位数とし、 繰り下がりの有無、被減数や減数が５以下か５よ り大きいかなどで分類し、作成した。表１に調査 １（足し算）に関する各問題の被加数・加数の桁 数、繰り上がりの有無、答えの各位の数とともに、 正答者数、誤答者数、正答率を示した。同様に、 表２に調査１（引き算）に関する各問題の被加数・ 加数の桁数、繰り下がりの有無、答えの各位の数 とともに、正答者数、誤答者数、正答率を示した。
表１ 調査１調査問題（足し算）と結果 問題 正答 者数 誤答 者数 正答 率 被加数の桁数と値 大小 関係 加数の桁数と値 繰り上 がり 答えの各位の値 桁数 一の位の 値 桁数 一の位の値 十の位の値 一の位の値 ①1+2 35 0 1.00 1 1 ＜ 1 2 × 0 3 ②8+4 34 １ 0.97 1 8 ＞ 1 4 〇 1 2 ③15+5 34 １ 0.97 2 5 ＞ 2 5 〇 2 0 ④0+2 35 0 1.00 1 0 ＜ 1 2 × 0 2 ⑤5+6 35 0 1.00 1 5 ＜ 1 6 〇 1 1 ⑥2+7 34 １ 0.97 1 2 ＜ 1 7 × 0 9 ⑦13+4 33 2 0.94 2 3 ＞ 1 4 × 1 7 ⑧9+11 34 １ 0.97 1 9 ＜ 2 1 〇 2 0 ⑨10+7 35 0 1.00 2 0 ＞ 1 7 × 1 7 ⑩2+9 33 2 0.94 1 2 ＜ 1 9 〇 1 1 ⑪4+16 32 3 0.91 1 4 ＜ 2 6 〇 2 0 ⑫6+2 35 0 1.00 1 6 ＞ 1 2 × 0 8 ⑬4+10 35 0 1.00 1 4 ＜ 2 0 × 1 4 ⑭5+12 34 １ 0.97 1 5 ＜ 2 2 × 1 7 ⑮20+70 33 2 0.94 2 0 ＜ 2 0 × 9 0 ⑯4+6 34 １ 0.97 1 4 ＜ 1 6 〇 1 0 注：＞は被加数＞加数であることを、＜は被加数＜加数であることを、○は繰り上がりがあることを、×は繰り上がり がないことを示している。 表２ 調査１調査問題（引き算）と結果 問題 正答 者数 誤答 者数 正答 率 被減数の桁数と値 減数の桁数と値 繰り下 がり 答えの各位の数 桁数 一の位の値 桁数 一の位の値 十の位の値 一の位の 値 ①4-2 34 １ 0.97 1 4 1 2 × 0 2 ②8-5 34 １ 0.97 1 8 1 5 × 0 3 ③3-0 33 2 0.94 1 3 1 0 × 0 3 ④10-3 35 0 1.00 2 0 1 3 〇 0 7 ⑤17-7 34 １ 0.97 2 7 1 7 × 1 0 ⑥15-2 34 １ 0.97 2 5 1 2 × 1 3 ⑦13-9 31 4 0.88 2 3 1 9 〇 0 4 ⑧12-5 32 3 0.91 2 2 1 5 〇 0 7 ⑨60-10 32 3 0.91 2 0 2 0 × 5 0 ⑩87-5 27 8 0.77 2 7 1 5 × 8 2 注：＞は被減数＞減数であることを、＜は被減数＜減数であることを、○は繰り下がりがあることを、×は繰り下がり がないことを示している。 四則計算の結果から、誤答を生成する手順（以下、 誤ルール(Mal- rule）)について検討した。その結 果、第２学年では２位数の足し算に比べ、引き算 では正答率がやや低下していることを指摘した。 誤ルールについては、繰り下がりのない引き算で も繰り下がりに該当する処理をしてしまってい ることを指摘するとともに、位ごとに大きい数か ら小さい数を引いてしまっていることも指摘し た。 また、宇野・佐藤（2013）は、第 1 学年の実態 調査及び教員への質問紙調査を通して、繰り上が り・繰り下がりのある計算を中心とした第 1 学年 における計算学習の現状と課題について検討し た。その結果、10 のまとまりに目を付けることが できないこと、「さくらんぼ」を書きながらの処理 が難しいこと、数の概念がわからず具体物を用い なければ理解できないことを指摘した。 整数の足し算・引き算の学習では、学年が上が るにつれて、学ぶ内容の難易度が上がる。そのた め、第１学年次で学習した足し算・引き算に関す る習熟状況が、第２学年次の足し算・引き算の学 習に影響することは十分に予想される。しかし、 第２学年次で学習する足し算・引き算を正しく計 算できるために必要な、第１学年次における足し 算・引き算に関する計算能力については明らかに されていない。そこで、本研究では、第２学年次 の足し算・引き算に関する学習に必要な第１学年 次の足し算・引き算に関する計算能力について検 討するとともに、第１学年次に形成された足し 算・引き算に関する誤ルールが、第２学年次の足 し算・引き算の学習に及ぼす影響について明らか にすることにした。 ２ ２．． 方方法法 ２ ２．．１１ 調調査査参参加加者者 調査参加者は茨城県内公立小学校第２学年１ 組 17 名・２組 18 名の計 35 名である。事前に校 長及び教務主任、第２学年担当教員と面談し、本 調査の目的や方法等を説明した上で、調査の実施 許可を得た。 ２ ２．．２２ 調調査査校校ににおおけけるる指指導導 調査校は公立小学校であるため、検定教科書や 使用教科書の指導書などを用いて、通常行われて いるような指導を行っている。また、算数の授業 は、担任以外に 1 名の補助教員が加わり２名で担 当する。さらに、基本的な計算力の習熟を図るた めに、朝学習の時間を利用して、月１回の計算力 テストを実施している。 ２ ２．．３３ 調調査査手手続続きき 第１学年次の足し算・引き算の学習内容に関す る習熟状況を調べる調査１と第２学年次の足し 算・引き算の学習内容に関する習熟状況を調べる 調査２を実施した。調査１は、表１、２に示す調 査問題を用いて、「足し算」「引き算」の順に、朝 学習の時間に全員が解答し終わるまで時間を取 り、通常のテストと同様に行った。調査２は毎月 １回朝学習の時間に行われている計算力テスト を用いた。計算力テストの実施時間は朝学習の時 間（15 分間）である。調査１、２とも、それぞれ の学級担任が問題を配布し、実施した。 ２ ２．．４４ 調調査査問問題題 ａ ａ．．調調査査１１ 足し算・引き算に関する第１学年次の学習内容 について、児童の習熟状況を調べるために表１、 ２に示す調査問題を用いて、2017 年７月 12 日～ ７月 19 日にかけて実施した。足し算の問題は１ 位数＋１位数、２位数＋１位数、１位数＋２位数 とし、繰り上がりの有無、被加数や加数が５以下 か５より大きいかなどで分類し、作成した。引き 算の問題は１位数－１位数、２位数－１位数とし、 繰り下がりの有無、被減数や減数が５以下か５よ り大きいかなどで分類し、作成した。表１に調査 １（足し算）に関する各問題の被加数・加数の桁 数、繰り上がりの有無、答えの各位の数とともに、 正答者数、誤答者数、正答率を示した。同様に、 表２に調査１（引き算）に関する各問題の被加数・ 加数の桁数、繰り下がりの有無、答えの各位の数 とともに、正答者数、誤答者数、正答率を示した。
ｂ ｂ．．調調査査２２ 通常の学習活動として行われている計算力テ ストを用いた調査とした。なお、計算力テスト には文章題や乗法の問題も含まれるが、本研究 では、2017 年９月 29 日、10 月 27 日、11 月 24 日に実施した計算力テストのうち、計算問題の みを分析対象とした。これらの計算問題のうち、 表３に足し算に関する各問題、被加数・加数の 桁数、繰り上がりの有無、答えの各位の数とと もに、正答者数、誤答者数、正答率を示した。同 様に、表４に引き算に関する各問題や結果等を 示した。 ３ ３．．分分析析結結果果 第２学年次における足し算・引き算を正しく 計算することができるために必要な第１学年次 の足し算・引き算に関する計算能力を明らかに するために、ロジスティック回帰分析 1)を行っ た。ロジスティック回帰分析は質的変数（二値 データ）を目的変数とするときに用いられる回 帰分析で、２群の判別問題や発生確率の予測問 題に適用される（内田（2014））。 表３ 調査２調査問題（足し算）と結果 調査 月 問題 正答 者数 誤答 者数 正答率 桁数 繰り上がり 答えの各位の数 被加数 加数 一の位から 十の位から 百の位 十の位 一の位 ９ 月 ①65+84 35 0 1.00 2 2 × 〇 1 4 9 ②48+61 33 2 0.94 2 2 × 〇 1 0 9 ③14+90 33 2 0.94 2 2 × 〇 1 0 4 ④39+85 32 3 0.91 2 2 〇 〇 1 2 4 ⑤48+72 34 １ 0.97 2 2 〇 〇 1 2 0 ⑥16+86 33 2 0.94 2 2 〇 〇 1 0 2 ⑦35+65 34 １ 0.97 2 2 〇 〇 1 0 0 ⑧94+9 33 2 0.94 2 1 〇 〇 1 0 3 ⑨21+87 34 １ 0.97 2 2 × 〇 1 0 8 ⑩36+74 35 0 1.00 2 2 〇 〇 1 1 0 ⑪9+96 33 2 0.94 1 2 〇 〇 1 0 5 ⑫3+99 33 2 0.94 1 2 〇 〇 1 0 2 ⑬42+58 35 0 1.00 2 2 〇 〇 1 0 0 ⑭68+35 35 0 1.00 2 2 〇 〇 1 0 3 ⑮97+6 33 2 0.94 2 1 〇 〇 1 0 3 10 月 ⑯837+8 34 １ 0.97 3 1 〇 × 8 4 5 ⑰335+26 33 2 0.94 3 2 〇 × 3 6 1 ⑱508+64 34 １ 0.97 3 2 〇 × 5 7 2 ⑲49+125 34 １ 0.97 2 3 〇 × 1 7 4 ⑳5+378 34 １ 0.97 1 3 〇 × 3 8 3 11 月 ⑤28+846 34 １ 0.97 2 3 〇 × 8 7 4 ⑥215+73 33 2 0.94 3 2 × × 2 8 8 ⑦95+67 30 6 0.85 2 2 〇 〇 1 6 2 注：○は繰り上がりがあることを、×は繰り上がりがないことを示している。
本研究では、株式会社社会情報サービスのエク セル統計 2012 を用いて、第１学年次に学習した 足し算・引き算の習熟状況を調査する調査１の解 答結果（正解、不正解）を説明変数とし、第２学 年の計算力テストの結果（正解、不正解）を目的 変数として分析した。説明変数の選択は、全員正 答している問題や線形結合している問題は除き、 p＝0.2 を基準として増減法によって行った。なお、 調査１（足し算）で、誤答者が同じ調査対象者で ある問題（⑥⑧⑯、②⑭、⑦⑩）はそれぞれ一つ として取り扱った。また、目的変数からは、誤答 者が１名以下の問題（正答率が 0.97 以上）は除か れた。その結果、足し算 11 問、引き算 17 問が分 析対象となった。表５に、モデルの尤度比が５％ の有意水準で有意であった問題について、正誤を 予測する回帰式に含まれる調査１の問題とそれ によって正誤が判別される計算力テストの問題、 及び、Ｒ2値、モデルの尤度比、偏回帰係数、オッ ズ比、オッズ比の 95%信頼区間、判別的中率を示 した。９月②③④⑥⑧は反復推定において Fisher 情報行列の逆行列が存在しなかったため分析が 中断された。表５に示されるように、足し算では 「4+16」が「95+67」の説明変数として抽出された。 また、引き算では、「13-9」「12-5」「60-10」 「87-5」が説明変数として抽出された。 表４ 調査２調査問題（引き算）と結果 調査 月 問題 正答 者数 誤答 者数 正答 率 被減数 の桁数 減数の 桁数 繰り下がり 答えの各位の数 十の位から 百の位から 百の位 十の位 一の位 10 月 ①117-54 34 １ 0.97 3 2 × 〇 0 6 3 ②127-30 29 6 0.83 3 2 × 〇 0 9 7 ③107-56 31 4 0.89 3 2 × 〇 0 5 1 ④142-63 28 7 0.80 3 2 〇 〇 0 7 9 ⑤183-95 29 6 0.83 3 2 〇 〇 0 8 8 ⑥150-71 27 8 0.77 3 2 〇 〇 0 7 9 ⑦102-24 27 8 0.77 3 2 〇 〇 0 7 8 ⑧103-5 33 2 0.94 3 2 ◎ 〇 0 9 5 ⑨100-51 29 6 0.83 3 2 ◎ 〇 0 4 9 ⑩100-2 29 6 0.83 3 2 ◎ 〇 0 9 8 ⑪357-42 33 2 0.94 3 2 × × 3 1 5 ⑫254-18 29 6 0.83 3 2 〇 × 2 3 6 ⑬430-4 27 8 0.77 3 1 〇 × 4 2 6 ⑭951-47 28 7 0.80 3 2 〇 × 9 0 4 ⑮105-42 26 9 0.74 3 2 × 〇 0 6 3 11 月 ①143-62 34 １ 0.97 3 2 × 〇 0 8 1 ②128-49 31 4 0.89 3 2 〇 〇 0 7 9 ③102-14 26 9 0.74 3 2 ◎ 〇 0 8 8 ④616-9 26 9 0.74 3 1 〇 〇 5 0 7 注：○は繰り上がりがあることを、×は繰り上がりがないことを、◎は一の位の計算をするときに、百の位から繰り下 がり、さらに、十の位から繰り下がることを示している。 ｂ ｂ．．調調査査２２ 通常の学習活動として行われている計算力テ ストを用いた調査とした。なお、計算力テスト には文章題や乗法の問題も含まれるが、本研究 では、2017 年９月 29 日、10 月 27 日、11 月 24 日に実施した計算力テストのうち、計算問題の みを分析対象とした。これらの計算問題のうち、 表３に足し算に関する各問題、被加数・加数の 桁数、繰り上がりの有無、答えの各位の数とと もに、正答者数、誤答者数、正答率を示した。同 様に、表４に引き算に関する各問題や結果等を 示した。 ３ ３．．分分析析結結果果 第２学年次における足し算・引き算を正しく 計算することができるために必要な第１学年次 の足し算・引き算に関する計算能力を明らかに するために、ロジスティック回帰分析1)を行っ た。ロジスティック回帰分析は質的変数（二値 データ）を目的変数とするときに用いられる回 帰分析で、２群の判別問題や発生確率の予測問 題に適用される（内田（2014））。 表３ 調査２調査問題（足し算）と結果 調査 月 問題 正答 者数 誤答 者数 正答率 桁数 繰り上がり 答えの各位の数 被加数 加数 一の位から 十の位から 百の位 十の位 一の位 ９ 月 ①65+84 35 0 1.00 2 2 × 〇 1 4 9 ②48+61 33 2 0.94 2 2 × 〇 1 0 9 ③14+90 33 2 0.94 2 2 × 〇 1 0 4 ④39+85 32 3 0.91 2 2 〇 〇 1 2 4 ⑤48+72 34 １ 0.97 2 2 〇 〇 1 2 0 ⑥16+86 33 2 0.94 2 2 〇 〇 1 0 2 ⑦35+65 34 １ 0.97 2 2 〇 〇 1 0 0 ⑧94+9 33 2 0.94 2 1 〇 〇 1 0 3 ⑨21+87 34 １ 0.97 2 2 × 〇 1 0 8 ⑩36+74 35 0 1.00 2 2 〇 〇 1 1 0 ⑪9+96 33 2 0.94 1 2 〇 〇 1 0 5 ⑫3+99 33 2 0.94 1 2 〇 〇 1 0 2 ⑬42+58 35 0 1.00 2 2 〇 〇 1 0 0 ⑭68+35 35 0 1.00 2 2 〇 〇 1 0 3 ⑮97+6 33 2 0.94 2 1 〇 〇 1 0 3 10 月 ⑯837+8 34 １ 0.97 3 1 〇 × 8 4 5 ⑰335+26 33 2 0.94 3 2 〇 × 3 6 1 ⑱508+64 34 １ 0.97 3 2 〇 × 5 7 2 ⑲49+125 34 １ 0.97 2 3 〇 × 1 7 4 ⑳5+378 34 １ 0.97 1 3 〇 × 3 8 3 11 月 ⑤28+846 34 １ 0.97 2 3 〇 × 8 7 4 ⑥215+73 33 2 0.94 3 2 × × 2 8 8 ⑦95+67 30 6 0.85 2 2 〇 〇 1 6 2 注：○は繰り上がりがあることを、×は繰り上がりがないことを示している。
表５ 分析結果 目的変数 （調査２） 回帰式に含 まれる変数 R 2 モデルの 尤度比 偏回帰係 数 オッズ比 オッズ比 95%信頼区間 判別的中 率（％） 下限値 上限値 11 月⑦95+67 ⑪ 4+16 0.173 4.977* 2.962 * 19.333 1.327 281.597 88.57 定数項 -0.693 0.500 0.0453 5.514 10 月②127-30 ⑨ 60-10 0.129 4.138* 2.639 * 14.000 1.020 192.130 85.71 定数項 -0.693 0.500 0.045 5.514 10 月④142-63 ⑩ 87-5 0.440 15.396** 3.289* 26.811 2.215 324.584 85.71 ⑦ 13-9 3.374* 29.188 1.214 701.801 定数項 -3.416＋ 0.033 0.001 1.018 10 月⑤183-95 ⑩ 87-5 0.210 6.721** 2.526 * 12.500 1.694 92.251 82.86 定数項 0.000 1.000 0.250 3.988 10 月⑥150-71 ⑩ 87-5 0.498 18.743** 3.936** 51.211 3.8856 675.132 88.57 ⑦ 13-9 3.287* 26.772 1.015 706.134 定数項 -4.007＊ 0.018 0.005 0.669 10 月⑦102-24 ⑩ 87-5 0.218 8.206** 2.590 ** 13.333 2.059 86.336 82.89 定数項 -0.511 0.600 1.434 2.511 10 月⑨100-51 ⑩ 87-5 0.403 12.931** 3.769 ** 43.333 3.712 505.806 88.57 定数項 -0.511 0.600 1.434 2.511 10 月⑩100-2 ⑦ 13-9 0.406 13.003** 3.505* 33.285 1.543 717.845 88.57 ⑩ 87-5 2.679* 14.564 1.189 178.436 定数項 -2.900＋ 0.056 0.002 1.489 10 月⑫254-18 ⑩ 87-5 0.403 12.931** 3.769 ** 43.333 3.712 505.806 88.57 定数項 -0.511 0.600 1.434 2.511 10 月⑬430-4 ⑩ 87-5 0.328 12.324** 2.582* 13.217 1.663 105.069 82.86 ⑦ 13-9 2.734＋ 15.394 0.922 257.034 定数項 -2.900＋ 0.060 0.003 1.270 10 月⑭951-47 ⑩ 87-5 0.440 15.396** 3.289** 26.811 2.215 324.585 85.71 ⑦ 13-9 3.374* 29.188 1.214 701.801 定数項 -3.416＋ 0.033 0.001 1.018 10 月⑮105-42 ⑩ 87-5 0.252 10.067** 2.157* 8.644 1.276 58.541 80.00 ⑦ 13-9 2.367＋ 10.666 0.740 153.640 定数項 -2.471＋ 0.085 0.005 1.498 11 月②128-49 ⑧ 12-5 0.245 6.095** 3.401 * 30.000 1.833 490.786 91.43 定数項 -6.931 0.500 0.045 5.514 11 月③102-14 ⑩ 87-5 0.386 15.402** 3.224** 25.116 2.856 220.860 85.71 ⑦ 13-9 2.614 13.656 0.738 252.780 定数項 -3.358* 0.035 0.001 0.892 ＋p<.1、＊p<.05. ＊＊p<.01
４ ４．．誤誤っったた計計算算ルルーールルととそそのの適適用用 ４ ４．．１１ 誤誤ルルーールルのの推推定定 説明変数として抽出された問題の誤答から、誤 ルールを推定する。なお、足し算については計算 力テストの誤答が少ないことにより検討が困難 なため、本稿では引き算を対象に検討することに した。表６に説明変数として抽出された問題とそ の誤答を示す。これらの誤答から、以下の６つの 誤ルール（以下、MR）を推定した。 ①MR1：繰り下がりのあるなしにかかわらず、必ず 繰り下げる。繰り下げられた位の数を１減じるか、 ０とする。 説明変数⑦、⑧、⑨、⑩の誤答１、説明変数⑩ の誤答４から推定した。例えば、説明変数⑨の誤 答１では、減数の一の位の０を被減数の一の位か ら引く。このとき、被減数の十の位の６から１減 じ５とし、さらに５から減数の十の位の１を引い て４とする。その結果、60－10 の答えとして、40 を得る。また、説明変数⑩の誤答４では、繰り下 げの必要がないにも関わらず、十の位を繰り下げ ０とし、87－5＝2 と計算している。 ②MR2：繰り下げがあっても、繰り下げられた位の 数を１減じることをしない。 説明変数⑦、⑧、⑨、⑩の誤答２から推定した。 例えば、説明変数⑨の誤答２では、被減数の十の 位から繰り下げ、減数の十の位の数である１を引 き９とする。被減数の十の位は繰り下げがあって も、１減じることをしない。その結果、60-10 の 答えとして 69 を得る。 ③MR3：10 から、減数の任意の位の数を引き、そ の結果を、被減数の同じ位の数から引くか、逆に、 結果から被減数の同じ位の数を引く。 説明変数⑦の誤答３、説明変数⑧の誤答１から 推定した。例えば、説明変数⑦の誤答３では、3 か ら 9 を減じることはできないので、10‐9 を計算 し 1 を得る。この結果を、被減数の一の位の３か 表６ 説明変数と誤答例 説明変数 誤答１ 誤答２ 誤答３ 誤答４ 誤答５ ⑦13-9 6 14 2 ⑧12-5 3 13 ⑨60-10 40 69 ⑩87-5 72 83 10 2 37 表７ 誤ルールと目的変数 説明変数 誤ルール 目的変数 ⑦13-9 MR1、2、3、 6 10 月④ 142-63 10 月⑥ 150-71 10 月⑩ 100-2 10 月⑬ 430-4 10 月⑭ 951-47 10 月⑮ 105-42 11 月③ 102-14 ⑧12-5 MR1、2、3、 6 11 月② 128-49 ⑨60-10 MR1、2、5 10 月② 127-30 ⑩87-5 MR1、2、4、 5 10 月④ 142-63 10 月⑤ 183-95 10 月⑥ 150-71 10 月⑦ 102-24 10 月⑨ 100-51 10 月⑩ 100-2 10 月⑫ 254-18 10 月⑬ 430-4 10 月⑭ 951-47 10 月⑮ 105-42 11 月③ 102-14 ら引き、3-1 より、13-9 の答えとして２を得る。 説明変数⑧の誤答１では、10-5 の結果である５か ら被減数の一の位の２を引き、12-5 の結果として ３を得る。なお、説明変数⑧の誤答１については、 被減数と減数の同じ位の数を比較し、後述の誤ル ール（MR6）を適用し、大きい方から小さい方を引 き、さらに、MR1 を適用している可能性もある。 ④MR4：被減数と減数の同じ位で引き算をし、その 結果を被減数の次の位の数に加える。 説明変数⑩の誤答３から推定した。説明変数⑩ の誤答３では、7-5 を計算し、その結果の２を被 減数の十の位の８に加え、8+2 より、87-5 の答え として 10 を得る。 ⑤MR5：位を無視して、計算する。 説明変数⑨の誤答２、説明変数⑩の誤答５から 推定した。説明変数⑨の誤答２では、被減数の十 の位から繰り下げをし、10 から減数の十の位の１ を引き、10-1 より、９を得る。さらに、MR1 を適 用し、被減数の十の位を１減じることをせずに６ より、減数の０を引き、6-0＝0、その結果、60－ -10 の答えとして 69 を得る。 ⑥MR6：被減数、減数に関係なく、位ごとに大きい 数から小さい数を引く。 表５ 分析結果 目的変数 （調査２） 回帰式に含 まれる変数 R 2 モデルの 尤度比 偏回帰係 数 オッズ比 オッズ比 95%信頼区間 判別的中 率（％） 下限値 上限値 11 月⑦95+67 ⑪ 4+16 0.173 4.977* 2.962 * 19.333 1.327 281.597 88.57 定数項 -0.693 0.500 0.0453 5.514 10 月②127-30 ⑨ 60-10 0.129 4.138* 2.639 * 14.000 1.020 192.130 85.71 定数項 -0.693 0.500 0.045 5.514 10 月④142-63 ⑩ 87-5 0.440 15.396** 3.289* 26.811 2.215 324.584 85.71 ⑦ 13-9 3.374* 29.188 1.214 701.801 定数項 -3.416＋ 0.033 0.001 1.018 10 月⑤183-95 ⑩ 87-5 0.210 6.721** 2.526 * 12.500 1.694 92.251 82.86 定数項 0.000 1.000 0.250 3.988 10 月⑥150-71 ⑩ 87-5 0.498 18.743** 3.936** 51.211 3.8856 675.132 88.57 ⑦ 13-9 3.287* 26.772 1.015 706.134 定数項 -4.007＊ 0.018 0.005 0.669 10 月⑦102-24 ⑩ 87-5 0.218 8.206** 2.590 ** 13.333 2.059 86.336 82.89 定数項 -0.511 0.600 1.434 2.511 10 月⑨100-51 ⑩ 87-5 0.403 12.931** 3.769 ** 43.333 3.712 505.806 88.57 定数項 -0.511 0.600 1.434 2.511 10 月⑩100-2 ⑦ 13-9 0.406 13.003** 3.505* 33.285 1.543 717.845 88.57 ⑩ 87-5 2.679* 14.564 1.189 178.436 定数項 -2.900＋ 0.056 0.002 1.489 10 月⑫254-18 ⑩ 87-5 0.403 12.931** 3.769 ** 43.333 3.712 505.806 88.57 定数項 -0.511 0.600 1.434 2.511 10 月⑬430-4 ⑩ 87-5 0.328 12.324** 2.582* 13.217 1.663 105.069 82.86 ⑦ 13-9 2.734＋ 15.394 0.922 257.034 定数項 -2.900＋ 0.060 0.003 1.270 10 月⑭951-47 ⑩ 87-5 0.440 15.396** 3.289** 26.811 2.215 324.585 85.71 ⑦ 13-9 3.374* 29.188 1.214 701.801 定数項 -3.416＋ 0.033 0.001 1.018 10 月⑮105-42 ⑩ 87-5 0.252 10.067** 2.157* 8.644 1.276 58.541 80.00 ⑦ 13-9 2.367＋ 10.666 0.740 153.640 定数項 -2.471＋ 0.085 0.005 1.498 11 月②128-49 ⑧ 12-5 0.245 6.095** 3.401 * 30.000 1.833 490.786 91.43 定数項 -6.931 0.500 0.045 5.514 11 月③102-14 ⑩ 87-5 0.386 15.402** 3.224** 25.116 2.856 220.860 85.71 ⑦ 13-9 2.614 13.656 0.738 252.780 定数項 -3.358* 0.035 0.001 0.892 ＋p<.1、＊p<.05. ＊＊p<.01
説明変数⑦の誤答１、説明変数⑧の誤答１、２ から推定した。例えば、説明変数⑦の誤答１では、 減数の９から被減数３を引き６とし、さらに MR1 を適用し、13-9 の答えとして６を得る。この誤ル ールは、「多位数の引き算にみられる典型的な誤 ルールの一つ」であるとして長谷川・堀田（2007） においても指摘されている。 表７にに、、説明変数として抽出された問題の誤答 から推定した誤ルールと目的変数をまとめて示 す。 ４ ４．．２２ 誤誤ルルーールルのの適適用用 調査１（ひき算）で２問以上間違え、調査２（ひ き算）の正答率が 50％以下の児童２名を対象に、 どのように誤ルールを用いて計算しているかに ついて検討する。 ａ ａ．．児児童童ＡＡ 児童Ａの調査１及び計算力テストの答案（誤答 のみ）を表８に示す。なお、括弧内は推定した誤 ルールである。計算力テスト 10 月④⑥⑨⑩、11 月 ②では一の位に MR6 を適用し、十の位については 正しく計算している。計算力テスト 10 月⑫⑭⑮、 11 月③では、百の位に MR2 を適用し、百の位の数 を必ず１減じ、さらに、10 月⑫では、百の位に MR1 を適用している。10 月⑬では、十の位に MR3 を適 用し、10-3＝７とし、百の位に MR1 を適用したう えで 1-0=1 としている。 ｂ ｂ．．児児童童ＢＢ 児童Ｂの調査１及び計算力テストの答案（誤答 のみ）を表９に示す。なお、括弧内は推定した誤 ルールである。計算力テスト 10 月④⑤⑥⑦⑧⑨ ⑫⑬⑭、11 月③④では MR2 を適用している。例え ば、10 月⑤では、一の位は 13-5=8 と正しく計算 しているが、十の位を１減じることはせず、18-9=9 と計算し、加えて、10 月⑫⑭では、百の位に は MR2 を適用し繰り下げた結果、百の位を０とし ている。さらに、11 月②③④では、一の位を 0 に する新しい誤ルールを用いている。 ５ ５．．考考察察 第１学年次の学習内容を問題とする調査１の 解答結果を説明変数とし、第２学年次の学習内容 を問題とする調査２の解答結果を目的変数とす るロジスティック回帰分析を行ったところ、足し 表８ 児童Ａの誤答と誤ルール 調査１ ⑦13-9=2(MR3) ⑧12-5=3(MR6) ⑨60-10=40(MR2) ⑩87-5=72(MR2) 調 査 ２ 10 月 誤 答 案 誤 ル ー ル ④3-2=1(MR6)、13-6=7 ⑥1-0=2(MR6)、14-7=7 ⑦12-4=8、2-0=2(MR6) ⑨1-0=1(MR6)、9-4=5 ⑩2-0=2(MR6)、9-0=9 ⑫14-8=6、5-1=4（MR2）、百の位（MR1） ⑬10-4=6、10-3=7（MR3）、百の位（MR1） ⑭11-7=4、5-1=4（MR2） ⑮5-2=3、9-4=5（MR2） 11 月 誤 答 案 誤 ル ー ル ②18-9=9、4-1=3（MR6） ③12-4=8、10-1=9（MR2) 算では、第 1 学年次の学習範囲である「4+16」が 回帰式に含まれる変数となった。この結果から、 第 1 学年次の足し算の学習では、「繰り上がり」だ けではなく、答えの一の位が「０」となる１位数 ＋２位数のような計算に習熟させることが重要 であることが示唆された。引き算に関しては、表 ５に示されるように、誤答者数が２名以上いた 17 問中 13 問で、第 1 学年次の学習範囲である「60-10」「13-9」「12-5」「87-5」が回帰式に含まれる変 数となった。これらの問題の誤答をもとに６つの 誤ルールを推定した。 推定した誤ルールは、「繰り下がり」の不理解に 起因する MR1、MR2、「減加法」と「減々法」の混乱 に起因する MR3、MR4、「十進位取り記数法」に起 因する MR5、「引き算の意味の不理解」に起因する MR6 である。 MR6 については引き算とはどういう計算か、何
表９ 児童Ｂの誤答と誤ルール 調査１ ⑨60-10=69(MR2、5) ⑩87-5=2(MR1) 調 査 ２ 10 月 誤 答 案 誤 ル ー ル ②10-7=3(MR3)、12-3=9 ④14-8=6（MR2．一の位については不明） ⑤13-5=8、18-9=9（MR2） ⑥10-1=9、15-7=8（MR2） ⑦12-4=8、10-2=8（MR2） ⑧13-5=8、10-0=10（MR2） ⑨10-1=9、10-5=5（MR2） ⑩10-2=8、10-0=10（MR2） ⑫14-8=6、5-1-=4（MR1、2） ⑬10-4=6、3-0=4、4-0=4（MR2） ⑭11-7=4、5-4=1（MR1、2） ⑮10-4=6（MR1） 11 月 誤 答 案 誤 ル ー ル ①3-2=1、10-6=4（MR3） ②11-4=7（8-9=0 は不明） ③10-1=9（MR2. 2-4=0 は不明） ④10-1=9（MR2. 6-9=0 は不明） から何を引くかという「被減数と減数の違い」を 明確に指導することによって、正すことができる であろう。 MR1～5 は相互に関連した内容であり、引き算の 指導について再考する必要性を示唆している。本 研究の調査対象者が使用した算数科の教科書（藤 井他（2015a、2015b））の１年次の足し算・引き算 に関する指導順序は、以下のとおりである。 ・繰り上がりや繰り下がりのない１位数同士の 足し算・引き算 ・20 までの数 ・繰り上がりのある 1 位数同士の足し算 ・繰り下がりのある２位数（十の位の数は１） －１位数 ・20 より大きい２位数の表現 ・１位数同士の繰り上がりのない２位数＋１位 数 ・１位数同士の繰り下がりのない２位数－１位 数 このように、整数の足し算・引き算の学習は１ 年次から段階的に学習が行われる。 繰り下がりについての学習では、第１学年次で 「20 未満の２位数―１位数」を学習し、さらに、 第２学年次で、「繰り上りや繰り下がりのある２ 位数と１位数の引き算」について学習後、多位数 の引き算を学習する。 学習指導要領解説（文部科学省（2009、2018）） では、第１学年次の「繰り下がりのある２位数（十 の位の数は１）－１位数」の主な計算方法として、 被減数の分解の仕方によって「減加法」と「減々 法」という２つの方法が例示されている。例えば 12−７の場合、減加法は、12 を 10 と２に分け、２ から７は引けないので、10 から７を引き、その答 えに、残り２を加える方法で、(10-7)+2 という式 で表現できる。減々法は、減数を被減数の一の位 である２と残りの５に分け、２から２を引き、さ らに、10 から５を引くという方法で、(12-2)-5 と いう式で表現できる。多くの場合、まず減加法を 学習し、引き続き、減々法を学習する。 両者とも、２位数を 10 と１位数に分けるとい う方法である。このような学習の結果、２年次の 「繰り下がりのある２位数（十の位の数は２以上） －１位数」の計算においても、10 と１位数に分け ようとし、十の位の数の取り扱いが曖昧になり、 MR1、2 のような「繰り下がりの不理解」を生じる 可能性がある。また、平成 27 年度版新編新しい算 数１年年間指導計画細案（東京書籍（2015））では、 減加法の指導に５時間、引き続いて減々法の指導 に２時間を配当することが例示されている。この 結果、２つの方法を同時期に短時間で学習するこ とになり、MR3、MR4 のような減加法と減々法の混 乱を引き起こす可能性がある。 また、整数に関する十進位取り記数法について は、平成 20 年、29 年告示の学習指導要領（文部 科学省（2008、2017））では第２学年で「数のまと まりに着目し、十進位取り記数法により数を表す」 と示されている。なお、第１学年次の学習では「数 説明変数⑦の誤答１、説明変数⑧の誤答１、２ から推定した。例えば、説明変数⑦の誤答１では、 減数の９から被減数３を引き６とし、さらに MR1 を適用し、13-9 の答えとして６を得る。この誤ル ールは、「多位数の引き算にみられる典型的な誤 ルールの一つ」であるとして長谷川・堀田（2007） においても指摘されている。 表７にに、、説明変数として抽出された問題の誤答 から推定した誤ルールと目的変数をまとめて示 す。 ４ ４．．２２ 誤誤ルルーールルのの適適用用 調査１（ひき算）で２問以上間違え、調査２（ひ き算）の正答率が 50％以下の児童２名を対象に、 どのように誤ルールを用いて計算しているかに ついて検討する。 ａ ａ．．児児童童ＡＡ 児童Ａの調査１及び計算力テストの答案（誤答 のみ）を表８に示す。なお、括弧内は推定した誤 ルールである。計算力テスト 10 月④⑥⑨⑩、11 月 ②では一の位に MR6 を適用し、十の位については 正しく計算している。計算力テスト 10 月⑫⑭⑮、 11 月③では、百の位に MR2 を適用し、百の位の数 を必ず１減じ、さらに、10 月⑫では、百の位に MR1 を適用している。10 月⑬では、十の位に MR3 を適 用し、10-3＝７とし、百の位に MR1 を適用したう えで 1-0=1 としている。 ｂ ｂ．．児児童童ＢＢ 児童Ｂの調査１及び計算力テストの答案（誤答 のみ）を表９に示す。なお、括弧内は推定した誤 ルールである。計算力テスト 10 月④⑤⑥⑦⑧⑨ ⑫⑬⑭、11 月③④では MR2 を適用している。例え ば、10 月⑤では、一の位は 13-5=8 と正しく計算 しているが、十の位を１減じることはせず、18-9=9 と計算し、加えて、10 月⑫⑭では、百の位に は MR2 を適用し繰り下げた結果、百の位を０とし ている。さらに、11 月②③④では、一の位を 0 に する新しい誤ルールを用いている。 ５ ５．．考考察察 第１学年次の学習内容を問題とする調査１の 解答結果を説明変数とし、第２学年次の学習内容 を問題とする調査２の解答結果を目的変数とす るロジスティック回帰分析を行ったところ、足し 表８ 児童Ａの誤答と誤ルール 調査１ ⑦13-9=2(MR3) ⑧12-5=3(MR6) ⑨60-10=40(MR2) ⑩87-5=72(MR2) 調 査 ２ 10 月 誤 答 案 誤 ル ー ル ④3-2=1(MR6)、13-6=7 ⑥1-0=2(MR6)、14-7=7 ⑦12-4=8、2-0=2(MR6) ⑨1-0=1(MR6)、9-4=5 ⑩2-0=2(MR6)、9-0=9 ⑫14-8=6、5-1=4（MR2）、百の位（MR1） ⑬10-4=6、10-3=7（MR3）、百の位（MR1） ⑭11-7=4、5-1=4（MR2） ⑮5-2=3、9-4=5（MR2） 11 月 誤 答 案 誤 ル ー ル ②18-9=9、4-1=3（MR6） ③12-4=8、10-1=9（MR2) 算では、第 1 学年次の学習範囲である「4+16」が 回帰式に含まれる変数となった。この結果から、 第 1 学年次の足し算の学習では、「繰り上がり」だ けではなく、答えの一の位が「０」となる１位数 ＋２位数のような計算に習熟させることが重要 であることが示唆された。引き算に関しては、表 ５に示されるように、誤答者数が２名以上いた 17 問中 13 問で、第 1 学年次の学習範囲である「60-10」「13-9」「12-5」「87-5」が回帰式に含まれる変 数となった。これらの問題の誤答をもとに６つの 誤ルールを推定した。 推定した誤ルールは、「繰り下がり」の不理解に 起因する MR1、MR2、「減加法」と「減々法」の混乱 に起因する MR3、MR4、「十進位取り記数法」に起 因する MR5、「引き算の意味の不理解」に起因する MR6 である。 MR6 については引き算とはどういう計算か、何
のまとまりに着目する」と示されてはいるが、十 進位取り記数法については言及されていない。 しかし、モンテッソーリ教育では、幼児期にお ける４位数までの数の表現についての教具が用 意されていることから、第１学年次においても、 十進位取り記数法に基づく４位数までの数の表 現に関する指導も可能である。さらに、第１学年 次で十進位取り記数法に基づく４位数までの表 現について学習することによって、第１学年次の 足し算・引き算の学習においても４位数までを統 一した方法で指導することが可能となる。 算数の学習については、子どもの発達段階や学 習内容の難易などを考慮すべきではあるが、推定 した誤ルールからは、数の表現について、20 以下 と 20 より大きな数に分けて学習することや、繰 り下がりを伴う引き算を「20 未満の２位数―１位 数」と、「20 以上の２位数―１位数」に分けて学 習すること、減加法と減々法を同時期に学習する ことについては、検討する必要があることが示唆 された。 ６ ６．．ままととめめ 第１学年次の足し算・引き算に関する習熟状況 が、第２学年の学習に及ぼす影響について明らか にするために、第２学年児童 35 名に対して、２つ の調査を実施した。二項ロジスティック回帰分析 を用いて分析したところ、足し算では１つの問題 が、引き算では４つの問題が説明変数として抽出 された。抽出された問題に対する解答結果をもと に誤答を生成する６つの手順を推定し、調査２の 引き算に関する調査結果について検討したとこ ろ、1 年次のひき算の学習では、「繰り下がり」だ けではなく、「被減数と減数を明確にする」ことや 「十進位取り記数法を理解させる」ことが重要で あることが示唆されるなど、第１学年次の引き算 の指導に有益な結果を得ることができた。 注 注 (1) ロジスティック回帰分析は、
p
個の共変量が、(
x
x
p)
x
=
1,
・・・
,
と与えられたときの、ある事象の 発現確率( )
x に対して、ロジット変換を施した対数 オッズ( )
( )
x x − 1 log と共変量との関係が次の式で表さ れる回帰モデルである。( )
( )
x x pxp x = + + + − 0 1 1 ・・・・ 1 log ここに、1,・・・・,pはp 個の共変量の事象発 現への関連を表す係数であり、（偏）回帰係数と呼ば れる。 は定数項である（朝倉・濱崎（2016））． 0 引 引用用文文献献 [1]朝倉こう子，濱﨑俊光, 「医学データの統計解 析の基本 回帰解析：ロジスティック回帰解析を 中心として」, 『Drug Delivery System』, 31(1), pp.72-81, 2016 年．[2]堂本信悟, 「知的情報処理機能を持つ教師支援 システムの開発に関する研究」,兵庫教育大学学 校教育学研究科昭和 58 年度修士論文,1984 年． [3]Brown,J.S. and VanLehn,K.,”D Repair The-ory: A Generative Theory of Bugs in Proce-dural Skills”, Cognitive Science, 4, pp. 379-426,1980． [4]藤井斉亮他 41 名，『新編 あたらしい新しい算 数１年上』，東京書籍，東京，2015 年 a． [5]藤井斉亮他 41 名，『新編 あたらしい新しい算 数１年下』，東京書籍，東京，2015 年 b． [6]長谷川順一，堀田亜矢子,「小学校算数における 四則計算に関する誤ルールの適用事例の検討」, 『香川大学教育実践総合研究』, Vol.14, pp.51-60, 2007 年． [7]文部科学省，『小学校学習指導要領解説算数 編』，東洋館出版社，2008 年． [8]文部科学省，『小学校学習指導要領解説算数 編』，日本文教出版，2017 年． [9] 庄司和彦，「第２章引き算の誤答分析」，田村 三郎・永岡慶三編，『コンピュータを利用する小・ 中・高校の算数・数学 』，三晃書房，1987 年． [10]東京書籍，『平成 27 年度版新編新しい算数１ 年年間指導計画細案』, 2015 年． https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/ten_down-load/dlf76/emcz2561.pdf（最終参照日：2019 年８月 20 日） [11]内田 治,「ロジスティック回帰分析におけ る
モデルの適合度指標に関する考察と提案」, 『東 京情報大学研究論集』, Vol8(1), pp.9-14, 2004 年． [12]宇野友美，佐藤愼二,「小学１年生における 計算学習の現状と課題―１年生の算数指導に関 わった経験のある教員への質問紙調査と１年生 への調査を通して―」, 『植草学園短期大学研 究紀要』, Vol.14, pp.69-77, 2013 年． のまとまりに着目する」と示されてはいるが、十 進位取り記数法については言及されていない。 しかし、モンテッソーリ教育では、幼児期にお ける４位数までの数の表現についての教具が用 意されていることから、第１学年次においても、 十進位取り記数法に基づく４位数までの数の表 現に関する指導も可能である。さらに、第１学年 次で十進位取り記数法に基づく４位数までの表 現について学習することによって、第１学年次の 足し算・引き算の学習においても４位数までを統 一した方法で指導することが可能となる。 算数の学習については、子どもの発達段階や学 習内容の難易などを考慮すべきではあるが、推定 した誤ルールからは、数の表現について、20 以下 と 20 より大きな数に分けて学習することや、繰 り下がりを伴う引き算を「20 未満の２位数―１位 数」と、「20 以上の２位数―１位数」に分けて学 習すること、減加法と減々法を同時期に学習する ことについては、検討する必要があることが示唆 された。 ６ ６．．ままととめめ 第１学年次の足し算・引き算に関する習熟状況 が、第２学年の学習に及ぼす影響について明らか にするために、第２学年児童 35 名に対して、２つ の調査を実施した。二項ロジスティック回帰分析 を用いて分析したところ、足し算では１つの問題 が、引き算では４つの問題が説明変数として抽出 された。抽出された問題に対する解答結果をもと に誤答を生成する６つの手順を推定し、調査２の 引き算に関する調査結果について検討したとこ ろ、1 年次のひき算の学習では、「繰り下がり」だ けではなく、「被減数と減数を明確にする」ことや 「十進位取り記数法を理解させる」ことが重要で あることが示唆されるなど、第１学年次の引き算 の指導に有益な結果を得ることができた。 注 注 (1) ロジスティック回帰分析は、
p
個の共変量が、(
x
x
p)
x
=
1,
・・・
,
と与えられたときの、ある事象の 発現確率( )
x に対して、ロジット変換を施した対数 オッズ( )
( )
x x − 1 log と共変量との関係が次の式で表さ れる回帰モデルである。( )
( )
x x pxp x = + + + − 0 1 1 ・・・・ 1 log ここに、1,・・・・,pはp 個の共変量の事象発 現への関連を表す係数であり、（偏）回帰係数と呼ば れる。 は定数項である（朝倉・濱崎（2016））． 0 引 引用用文文献献 [1]朝倉こう子，濱﨑俊光, 「医学データの統計解 析の基本 回帰解析：ロジスティック回帰解析を 中心として」, 『Drug Delivery System』, 31(1), pp.72-81, 2016 年．[2]堂本信悟, 「知的情報処理機能を持つ教師支援 システムの開発に関する研究」,兵庫教育大学学 校教育学研究科昭和 58 年度修士論文,1984 年． [3]Brown,J.S. and VanLehn,K.,”D Repair The-ory: A Generative Theory of Bugs in Proce-dural Skills”, Cognitive Science, 4, pp. 379-426,1980． [4]藤井斉亮他 41 名，『新編 あたらしい新しい算 数１年上』，東京書籍，東京，2015 年 a． [5]藤井斉亮他 41 名，『新編 あたらしい新しい算 数１年下』，東京書籍，東京，2015 年 b． [6]長谷川順一，堀田亜矢子,「小学校算数における 四則計算に関する誤ルールの適用事例の検討」, 『香川大学教育実践総合研究』, Vol.14, pp.51-60, 2007 年． [7]文部科学省，『小学校学習指導要領解説算数 編』，東洋館出版社，2008 年． [8]文部科学省，『小学校学習指導要領解説算数 編』，日本文教出版，2017 年． [9] 庄司和彦，「第２章引き算の誤答分析」，田村 三郎・永岡慶三編，『コンピュータを利用する小・ 中・高校の算数・数学 』，三晃書房，1987 年． [10]東京書籍，『平成 27 年度版新編新しい算数１ 年年間指導計画細案』, 2015 年． https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/ten_down-load/dlf76/emcz2561.pdf（最終参照日：2019 年８月 20 日） [11]内田 治,「ロジスティック回帰分析におけ る
