最適制御理論による自動飛行制御装置のシンセシス

最適制御理 論によ る自動飛行制御装置の シンセ シス (中川憲治ほか)

最 適 制 御 理 論 に よ る 自 動 飛 行 制 御 装 置 の シ ン セ シ ス*

中

川

憲

治**・ 室

津

義

定**・ 金

定

史

憲***

Synthesis

of Automatic

Flight

Control

Systems

Using

Optimal

Control

Theory

Kenji NAKAGAWA, Yoshisada MUROTSU and Fuminori

KANESADA

Abstract

This paper proposes the method of synthesiz-ing linear flight control systems by applying optimnl control theory associated with quadratic performance index. For this problem, the method of utilizing the root-square-locus technique has been developed by RYNASKI and others. In the present method, instead, the synthesis is done by evaluating quantitatively the performance of the transient responses with the aid of digital and analog computers. The design procedure is illustrated on an attitude-control system for the conventional aircraft and an automatic stabilization equipment for the VTOL aircraft. A comparison is made of the results obtained by classical root-locus method, the root-square-locus method and the present method. Thus, it is shown that the present method yields an excellent control system design.

1. ま え が き 線形 定 係数 の 自動 制 御系 の最 適 構 成 に 関 す る古 典 理 論 と して 代 表 的 な もの に は,根 軌 跡 法,ボ ー ド線 図, ナ イキ ス ト線 図 等 が あ る.こ れ らは,い ず れ も,先 に 制 御 方 式 を 仮 定 して お いて,望 ま しい応 答 が得 られ る よ うに,試 行 錯 誤 的 に調 整 可 能 な ゲ イ ン定 数を 決 め る もの で あ る.し か し,(l)望 ま しい応 答 に対 す る判 定 基 準 が 明 確 に設 定 され て い な い の で,判 定 が あい ま い で あ る,(2)仮 定 した 方 式 が 最適 の構 成 で あ る とい う 保 証 が な い,(3)多 くの フ ィー ド ・バ ック 回路 を 持 つ 系 や 多変 数制 御系 につ いて は計 算 が 困難 で あ る,と い う欠 点 を持 って い る. 以上 の よ うな古 典 理 論 の 欠 点 を 補 うた め に発 展 した の が最 適 制 御 理 論 で あ って,制 御系 の動 作 性 能 を 定 量 的 に判 定 す る基 準 と して 評 価 関 数 を設 定 し,こ の 評 価 関 数 を最 大 ま た は最 小 にす る最適 制 御系 を 求 め る もの で あ る.こ の よ うな最 適 制 御 理論 を用 い る と,(1)評 価 の基 準 が 明 確 で あ る,(2)制 御方 式 お よ び そ のゲ イ ン定 教 の値 は 評 価 関数 か ら解 析 的 に誘 導 され る ので, 古 典理 論 の よ うに最 適 構 成 を試 行 錯 誤 的 に模 索 す る必 要 が な い,(3)多 変 数 制 御 系 に対 して も,同 一 の 手 法 を 適 用 して 系 統 的 に設 計 が 可能 で あ る,な ど の利 点 を 持 って い る.し か し,こ れ を実 際の 制 御系 の設 計 に 適 用 す るた め には な お多 くの 問題 が残 され て い る.主 要 な 問題 点 の1つ は,最 適 制 御理 論 で は最 初 に評 価 関 数 を 与 え る必 要 が あ るが,一 般 に設 計 要 求 を も りこん だ 適 切 な評 価 関 数 の選 択 が 困難 で あ る とい う点 に あ る. 実 際,従 来 の 最適 制 御 理 論 の応 用例 で は,評 価 関 数 を 天 下 り的 に与 え て い るが,飛 行 制 御 装 置 等 で は,明 確 な 評価 関数 を 与 え られ る場合 は ほ とん どな く,過 渡 応 答 に よ って 制 御 系 の良 否 が判 定 され る場 合 が多 い の で あ る.著 者 は前 論 文1)で,線 形 定 係 数系 に 対 して,評 価 関数 と して,状 態 変 数 と制 御変 数 に 関 す る2次 形 式 を 選 ん だ場 合 に つ いて,こ の 問題 の一 つ の解 決法 を 示 した.す なわ ち,評 価 関 数 に含 まれ る各変 数 に対 す る 重 み 係数 の値 と,結 果 と して得 られ る最適 系 の特 性 根 の 値 との 関係 を 求 め,飛 行 性 基準 を考 慮 して,重 み 係 数 の値 を決 定 した.評 価 関 数 と して2次 形 式 を選 ん だ 理 由 は,(1)制 御法 則 が 線形 とな る,(2)重 み係 数 の 数 値 を与 え る とゲ イ ン定 数 の値 がす べ て 決 ま る,(3) このゲ イ ン定 数 を求 め る計算 は リ ッカチ方 程 式 に 帰 着 し電子 計 算 機 で解 け る,な ど の利 点 が あ る た め で あ る. こ の論 文 で は,2次 形 式 の評 価 関 数 に基 づ い て 前 論 文 と異 な った手 法 で,さ らに具 体 的 な 線形 フ ィー ドバ ック制 御 系 の シ ンセ シス の方 法 を 提 案 す る.こ れ は, 評 価 関 数 の重 み係 数 の 値 を変 え る と種 々 の過 渡 応 答 特 性 を持 つ 最適 系 が 求 ま る こと に着 目 して,最 適 系 の 中 か らさ らに過 渡 応 答 の最 良 の系 を見 い だ そ うとす る も ので あ る.こ の方 法 の 特徴 は,(1)最 適 制 御 理 論 を シ ンセ シスの 数学 的手 段 と して用 い る,(2)古 典 的 根 軌 跡 法 や 著 者 の前 論 文 の 手 法 で は,特 性 根 の値 か ら過 渡 特 性 を判 定 す るの に対 し,計 算 機 を用 い て 過渡 特 性 を 数 値 的 に評 価 す る,(3)以 上 の計 算 はす べ て 電子 計 算 機 に よ って処 理 す る,こ とで あ る. * 昭 和42年4月5日 日本 航空 学 会 年 会 お よ び 昭和42 年11月16日 日本 航 空 学 会 飛 行機 シ ン ポ ジ ュー ム に て 講 演,昭 和43年6月11日 原 稿 受 理 ** 大 阪 府 立大 学 工 学 部 航 空 工 学 教 室 *** 大 阪 府 立 大学 工 学 部 数 理 工 学 教 室

16 航 空 宇 宙学 会 誌 第16巻 第179号 (1968年12月) 応 用 例 と して,普 通 の 航 空機 の 縦 の 姿 勢 制 御 装 置 と,垂 直 離 着 陸航 空機(VTOL機)の 横 の 自動 安 定 装 置 の シ ンセ シス の 問題 を 取 り扱 い,こ の手 法 を 説 明 す る. 2. 過 渡 特 性 の 数 値 評価 に よ る方 法 2.1 最 適制 御 理 論 によ る 定式 以 下 にお い て は, 線 形 定 係 数系 につ い て 最 適 制 御理 論 に よ って 得 られ た 結 果2)を 用 い る.要 約 す る と つ ぎ の よ うで あ る. 線 形 定 係数 系 の 運 動 方程 式 は,状 態 ベ ク トル を用 い て つ ぎの よ うに書 け る. x(τ)=Ax(τ)+Bu(τ)(2・1) こ こに,x:n×1状 態 ベ ク トル,u:m×1制 御 ベ ク トル,A:n×n係 数 マ ト リ ッ ク ス,B:n ×m係 数 マ トリ ックス, で あ る.2次 形 式 の評 価 関 数 は, (2・2) こ こ にQ:n×n対 称 な 非 負 重 み 係 数 マ ト リ ッ ク ス, R:m×m対 称 で 正 定 な 重 み 係 数 マ ト リ ッ ク ス, で あ る.(2・1)式 の 系 で,Iを 最 小 に す る制 御(最 適 制 御)u*は, u*=-R-1B'Kx(2・3) で 与 え ら れ る.こ こ にKはn×n対 称 マ ト リ ッ ク ス で あ っ て,つ ぎ のP(t)に 関 す る リ ッ カ チ 方 程 式 の 定 常 解 で あ る. -P=PA+A'P-PBR-1B'P+Q(2.4) す な わ ち, K=limP(t)(2.5) t→∞ したが って,系 の状 態 方 程式 と評 価 関 数 の 重 み係 数 マ トリ ック スQ,Rが 与 え られ る と,最 適 制 御u*(2・3) のゲ イ ン係数 は(2・4)式 を解 い て得 られ る. 2.2 シ ンセ シ スの 手順 以 上 述 べ た よ うに状 態 変 数 と制 御変 数 の重 み 係 数 マ トリ ックス の要 素 の値 が 与 え られ る と,最 適 制 御 法則u*の ゲ イ ン係 数が 決 ま り, この最 適 系 の 過 渡 応答 が求 あ られ る.し か し,重 み 係 数 の値 を変 更 す れ ば ゲ イ ン係 数 の値 が異 な り過 渡 応 答 もま た変 わ って くる.す なわ ち,重 み係 数 の それ ぞ れ の値 に対 して 最適 系が 得 られ るが,そ れ らの過 渡応 答 は異 な った もの で あ る.そ こで,種 々 の重 み 係 数 に対 す る最 適 系 の 中 か らさ らに過 渡応 答 が 最 も望 ま しい も の を採 用 す る.こ の と き アナ ログ計 算 機 に よ って過 渡 応 答 の 特 性 を数 値 的 に評 価 す る方 法 を と る.そ の順 序 は つ ぎ の よ うで あ る. (1) 状 態 変 数 の 中 か ら評 価 す べ き変 数 を 選 び,評 価 関数 を定 め る. (2) デ ィジ タル 計 算 機 また は アナ ロ グ計 算 機 に よ り,重 み係 数 を系 統 的 に 変 え て リ ッカ チ 方 程 式 を解 き,各 重 み 係 数 の 値 に対 して,ゲ イ ン定 数 の最 適 値 を 求 め る. (3) アナ ログ計 算機 に よ り,各 場 合 の過 渡 応 答 を 求 め て,設 計 の基 準 とな る量,た とえ ば,最 大 操 作 量 の 値 や,出 力 の偏 差 の2乗 積 分 値 等 の 数 値 を 計 算 し, 重 み 係 数 に対 して プ ロ ッ トす る. (4) 以 上 の数 値 か ら定 量 的 に判 定 して,適 当 な重 み係 数 の値 を 選 ぶ と,最 適 の ゲ イ ン定 数 が 決 定 され る. 3. 航 空 機 の姿 勢制 御装 置 の シ ン セ シ ス 航 空 機 に 自動 的 に一 定 の水 平 直 線 飛 行 を させ る縦 の 姿 勢 制 御 装 置 の シ ンセ シ スを 考 え る.数 値 例 と して, BLAKELOCKの 教 科 書3)に 述 べ て あ る4発 ジ ェ ッ ト輸 送 機 の 巡 航時 の姿 勢 制 御 装 置 を とる こと に す る.こ の 場 合 の短 周 期 近 似 の 運 動方 程 式 は つ ぎ の よ うにな る.

(3.1)

ここ に,α:迎 え 角偏 差,θ0:基 準 の 姿 勢 角,θ:姿 勢 角 偏 差,δe:昇 降舵 操 舵 角, で あ る.上 式 に,θ0=0お よ び機 体 の 空 力 特 性 値 を 代 入 す る と,

(3.2)

と な る.昇 降 舵 サ ー ボ は 近 似 的 に δe=-10δe-10δe(3 _.3) で 与 え ら れ る.こ こ に δeは サ ー ボ へ の 入 力 で あ っ て, 従 来 用 い ら れ て き た よ う な,姿 勢 角 と 姿 勢 角 速 度 を フ ィ ー ドバ ッ ク す る 方 式 で は, δe=-Kθ θ-Kθθ(3・4) と書 け る. 従 来 は,制 御 方 式 を こ の よ う に 仮 定 した 上 で 古 典 理 論 を 適 用 し,ゲ イ ン 定 数Kθ,Kθ の 最 適 値 を 求 め た. こ の 制 御 系 の ブ ロ ッ ク線 図 を 第1図 に 示 す. 以 下 で は,2で 述 べ た シ ン セ シ ス の 手 法 を 適 用 す る. (3・2)お よ び(3・3)式 に お い て 状 態 変 数 を,x1=θ, x2=θ,x3=α,x4=δe,制 御 変 数 を δeに と る と 状 態 方 程 式 は つ ぎ の よ う に な る.

第1図 従 来 の 姿 勢 制 御装 置(BLAKELOCK)

(3.5)

この 例 で は,姿 勢 角 の制 御 を考 え てい るの で,評 価 す べ き出 力 変 数 と して は,姿 勢 角 θだ けを 選 ぶ こ とに す る.こ の と き,評 価 関 数 は次 式 で表 わ され る. (3・6) 最 適 制 御法 則 は,従 来 用 い られ て きた(3・4)式 と異 な り, (3・7) で 与 え られ る.こ の 系 の 構 成 は 第2図 の よ う に な る. こ こ に,ゲ イ ン定 数K41,…,K44は,対 称 マ ト リ ッ ク スPに 関 す る つ ぎ の リ ッ カ チ 方 程 式 の 定 常 解,Kij =limPij(t)で 与 え ら れ る: t→ ∞ (3・8) デ ィ ジタ ル計 算 機 を 用 い て,t=0に お け る初 期 値 p11=-P44=0か ら 出発 して上 の連 立 方 程 式 を解 き, t→∞ に お け る定 常 解 を 求 め る.こ の さい,重 み係 数 γ11を系 統 的 に 変 化 させ て計 算 を 行 な い,各 場 合 に対 す る ゲ イ ン定 数K41,…,K44を 求 あ て お く.つ ぎ に こ 第2図 最適制御理論による姿勢制御装置 第3図 重み系数 と過渡応答特性 の関係 の よ うに して求 ま った ゲ イ ン定 数 の 値 に対 す る過 渡 応 答 を ア ナ ログ計 算機 に よ って求 め る.こ の さ い,こ れ ら の過 渡 応 答 を評 価す る特 性値 を計 算 す る.こ の例 で は, 評 価 関数 の値I,姿勢角偏 差 の2乗積 分 値 制 御信 号の2乗積分 値 お よび 操作量の最 大 値 を計 算 した.こ れ らの 数値 を重 み 係 数 γ11に 対 して プ ロ ッ トした も のが 第3図 で あ る.自 動 飛 行 制 御装 置 で は,通 常許 され る最 大操 作 量(オ ー ソ リテ ィ) が 決 め られ て い る.し たが って,こ の 場 合 は 評価 基 準 と して,と を と るの が 妥 当 で あ ろ う. この2つ の曲 線 か ら,操 作 量 の制 御 値 と過 渡 応答 と の 関 係 が 明瞭 とな り,操作 量 の 制 限値 が 与 え られ ると,そ の制 限 内で 最 良 の過 渡 応 答 特 性 を持 つ 系 が 得 られ る. 第3図 か ら,重 み 係 数 γ11を5以 上 に と って も,操 作 量 が増 すだ けで,θ の応 答 は ほ と ん ど改 善 され な い こ とが わ か る(第4図(a),(b)参 照).そ こで γ11の適 当 な 値 と して,q11=5に 選 ぶ ことに しよ う,こ の と き最 適 制 御 法 則 は,前 に行 な った ゲ イ ン定 数 の計 算 結果 か ら, (3・9) で 与 え られ る.

18 航 空 宇 宙学 会 誌 第16巻 第179号 (1968年12月) 第4図 姿勢制御系の過渡応答 4. 従 来 の 手法 と の比 較 前 節 に 述 べ た シ ンセ シス に よ る結 果 を,従 来用 い ら れ て きた 根軌 跡 法,お よび最 適 制 御 理 論 に 基 づ くが 重 み係 数 の 決定 に根 軌 跡 を 用 い て得 られ た 結 果 と比 較, 検 討 す る. 4.1 根軌 跡法 に よ る 結 果 との 比 較 先 に 述 べ た (3.4)式 で与 え られ るよ うな 従 来 の 形 式 の 制 御系 に対 し,BLAKELOCKは,古 典 的 な 根 軌 跡 法 を 用 いて ゲ イ ン定 数 の 値 を決 定 して い る3).彼 の 手 法 を 簡単 に説 明 しよ う.ゲ イ ン定 数 はKθ, Kθ の2個 あ るの で根 軌 跡 は複雑 に な る.そ こで まずKθ=0と お い て 第1図 の 内側 ル ー プ だ け を考 え る と根 軌 跡 は第5図(a)と な る. この 図 か ら合 理 的 にKθ の値 を決 め る こ とは で きな い が,Kθ の 値 を1.19と1.98の2種 類 と って み る.つ ぎにKθ を これ らの 値 に 固定 して 全 体 の系 の根 軌 跡 を 描 くと,Kθ の2つ の値 に対 して そ れ ぞ れ第5図(b), (c)の よ うに な る.こ こで 振 動 項 の み に 着 目 して そ の 減 衰比 が ζ=0.6と な るよ うにKθ を選 ぶ と,上 に示 したKθ の2つ の値 に対 して それ ぞ れKθ=1.41, 3.30 を 得 る.以 上 の 結果 に基 づ い て,適 当 な制 御 法 則 と し て,彼 はつ ぎの2通 りの もの を 与 え て い る.

(4.1)

こ こで,ζ=0.6に _{選 ん だ理 由 は 述べ て な い が,零} 点 を含 まな い2次 系 の振 動 的 な応 答 につ い て は,一 般 に ζ=0.4∼0.8が 適 当 と され て い る ので,こ れ を 拡 張 解 釈 して,同 様 な値 を 選 ん だ ので あ ろ う.ま た,は じめにKθ=0と おい た 理 由 や,つ ぎ にKθ の値 を2 種 類 と った理 由 につ い て は 根拠 が な い よ うで あ る. さて彼 の与 え た 制 御 法 則 が過 当で あ るか ど うか を検 討 す る た めに,制 御 法則(4・1)式 に対 す る過渡 応 答 を, _{第5図 従 来 の 制 御 系 の根 軌 跡(BLAKELOCK)}

最 適 制 御 理 論 に よ る 自動 飛 行 制 御 装 置 の シ ンセ シス (中 川憲 治 ほか) 著 者 の 得 た最 適 系(3・9)式 に対 す る過 渡 応 答 と比 較 し

よ う.ア ナ ログ 計算 機 で求 め元 これ らの 応 答 を そ れ ぞ れ,第4図(d),(e)お よ び(a)に 示 す.応 答(d),(e) は,従 来 の根 軌 跡 を用 い て,ζ=0.6と な る よ う に設 計 され た 制 御 系 の応 答 で あ る.し か し,予 想 した よ う な ζ=0.6に 対 す る応 答 と は か な り異 な って い る こ と が わ か る.こ の理 由 を調 べ る た め に,(d)のKθ=1.19, Kθ=1.41の 場 合 の ス テ ップ入 力 に 対 す る過 渡 応 答 を 計 算 す る と,第6図 に示 す よ うな4つ の モ ー ドの 重 ね 合 わ せ とな って い る こ とが わ か る.こ こで 支 配 的 な 項 は θ2であ って,予 想 した よ うな2次 の 振 動 モ ー ド θ4 で な い.こ の こ とは,振 動 モ ー ドだ け の根 軌 跡 に 注 目 して ζ=0.6と 定 め て も無 意 味で あ る こと を示 して い る. 一 般 に 根 軌 跡 に よ る設 計 法 は_{,過 渡応 答 を支 配 す る} 振 動 項 の ζや ωπに 着 目 して 所望 の 過渡 特 性 を 得 よ う とす る もの で あ るが,こ の 考 え は 妥 当 で な い場 合 が 多 い.と い うの は,応 答 が 多 くの モ ー ドの重 ね合 わ さ っ た もので あ る と き は,単 純 に1つ の 振動 モ ー ドの ζや ωπだ けで は,系 の 過 渡 特 性 を 判 定 で きな いか らで あ る.こ の よ うに,根 軌 跡 だ けに 頼 る手 法 は,(1)多 く の フ ィ ドバ ッ クを持 つ 系 や 多 変 数 制 御 系 で は根 軌 跡 が 非 常 に複 雑 に な る ばか りで な く,(2)根 軌 跡が 求 ま っ て も,そ れ か ら適 当 なゲ イ ン定 数 の 値 を 選 択 す るが 困 難 で あ る こと が わ か る. 4.2 重 み係 数 の決 定 に 根 軌 跡 を 利用 した 方 法 と比 較2で 提 案 した よ うな,過 渡 応 答 特 性 の 数値 評 価 に よ って 重 み 係 数 を 決 定 す る 方 法 の ほ か に,さ き に著 者1)お よ びRYNASKIら4),5)は,重 み 係 数 と最適 系 の特 性根 との よ うな 関 係 を求 め,望 ま し い 特 性 根 の 値 か ら,逆 に重 み 係数 を 決 め る こ とを 試 み た.重 み係 数 と 最 適 系 の特 性 根 と の 関係 はつ ぎの 特 性 方 程 式 で与 え ら れ る4). Δ(s)Δ(-S)=I+R-1B'(-Is-A)-1 第6図 従来の系の過渡応答の解析 ×Q(Is-A)-1B=0(4・2) さ き に 述 べ た(3.5)式 の 系 に 対 して,(3・6)式 の 評 価 関 数 を 選 ん だ 場 合 は, (4・3) と な る.こ の式 か ら,重 み 係 数 γ11をパ ラメー タに し て 根 軌 跡 を描 くと,虚 軸 に 関 して 対 称 で原 点 に 対 して 放 射 状 の,い わ ゆ るBUTTERWORTH型 とな る.こ の う ち右 半平 面 の軌 跡 は 随伴 系 の もの で あ るか ら これ を 省 略 して,左 半 平 面 だ け を描 くと第7図 と な る.第7 図 を 見 る と,振 動 根 は ζ=0.5に 漸 近 し て い て,γ11 の値 に よ って ζの値 は あ ま り変 わ らな い.し た が て,こ の 場 合 は ζを設 計 基 準 と して γ11を選 定 す る こと は で きな い,結 局 この手 法 も,根 軌 跡 を 用 いて 所 望 の過 渡 応 答 特 性 を得 よ う とす る もの で あ る か ら,本 質 的 に 古 典 的 根 軌跡 法 と同 じ欠 点 を持 って い る と いえ る.す な わ ち,著 者 の前 論文 の よ うに,仕 様 と して ζ と ωπの 最適 値 が与 え られて い る場合 は別 で あ るが,一 般 に や ωπだ けか ら過 渡 応 答 を 推定 す る こ とは 困難 で あ る この よ うな 手 法 は,最 適 制 御 理論 と い う有 力 な手法 を 用 い な が ら,重 要 な点 で あ い ま い な従 来 の判 定基 準 に 頼 って い るわ け で0古 典 理 論 へ の逆 行 で あ る とい うこ とが で き よ う. 4.3 最 適 制 御 系 の構 成 法 に 関 す る ノ ー ト ここで は,最 適 制 御 系 の制 御 法 則 の 構成 に つい て 付 け加 え て お こ う.最 適 制 御法 則 は,す べ て の状 態 変 数 の一 次 結 合 の形 で与 え られ る.し た が って,従 来 の よ うに制 御 第7図 重 み係 数 をパ ラ メー タに した最 適 系 の 根 軌 跡

20 _{航 空 宇 宙学 会誌 第16巻 第179号 (1968年12月)} 法 則 を与 えた 場 合 に 比 べ て一 般 に複 雑 に な る.し か し 実 際 に は,こ れ らす べ て の変 数 を 検 出す るセ ンサ が な か った り,系 を も っ と簡単 に した い こ とが 多 い.こ の 点 か ら,最 適 制 御 系 は現 実 的 で はな い とい う意見 もあ る.こ の 問題 を 解 決 す る方 法 と して は,つ ぎの2つ が 考 え られ る.す な わ ち, (1) 系 が 線 形 で あ ると き は,各 変 数 は伝 達 関数 で 関 係づ け られ て い る.し た が って,検 出 しに くい変 数 や検 出不 可 能 な 変 数 は,す で に検 出 され て い る変 数 か ら,伝 達 関数 を 挿入 す るこ と に よ って 知 る ことが で き る.す な わ ち,す べ て の変 数 を 検 出 す る必 要 はな い. (2) 最 適 系 の フ ィー ドバ ック量 の うち,ゲ イ ンが 小 さ く,応 答 に 影響 の少 な い もの が あ れ ば,こ れ を 省 略 して 制 御 系 を 簡単 化 す る こ と もで きる. 以 下 に お い て,同 じ計 算 例 に つ い て こ の よ うな 構 成 法 を考 え て み よ う.最 適 制 御 系 の ブ ロ ック線 図 第2図 よ りわか るよ うに,こ の 系 の 構 成 に は,迎 え 角 αを検 出 す る必 要 が あ る.し か し現 在 で は,精 度 の 良 い迎 え 角 セ ンサ を得 る こと はか な り困難 で あ る.そ こで,上 に述 べ た(1)の 方 法 を 考 え る.(2.5)式 を ラプ ラス変 換 して,δeを 消去 してα と θの 関係 を求 め ると,

(4.4)

と な る.す な わ ち,レ ー ト ・ジ ャイ ロで θを 検 出 す る と,α は(4・4)式 の伝 達 関 数 の 回路 を挿 入 す る こと に よ って 得 る ことが で き る.こ の よ うに すれ ば迎 え角 の セ ンサ を 使 わな くて 最適 制御 系 を 構 成 す る ことが で き る. つ ぎ に,(2)の 方 法 を考 え る.(3・9)式 な る最 適 制 御 法 則 の うち,α と δeの フ ィー ドバ ッ クを省 略 す る と, 制 御法 則 は, δe=-2.236θ-1.282θ(4・5) と な る.こ の とき の応 答 は,第4図(c)の よ うに な る. これ を 最 適 制 御系 の応 答 第4図(a)比 べ る と,θ の応 答 特 性 が 劣 って い るの で,こ の 簡単 化 は適 当 で あ る と はい え な い.し か し,根 軌跡 法 に よ って 得 られ た系 の 第4図(d),(e)に 比 べ る とす ぐれ て い る. な お,δeの フ ィー ドバ ック の 代 わ り に,サ ー ボの 時 定 数 を変 更 す る こ とに よ って,同 じ効 果 を得 る こ と が で き る. 5. VTOL機 の 自動 安 定 装 置 の シ ンセ シ ス V TOLの 横 運 動 に 対 す る 自動 安 定 装 置 の シ ンセ シ スを 考 え る.一 般 に,横 方 向 の 運 動 につ いて は,横 揺 れ運 動 の 制 御 と片 揺 れ 運 動 の制 御 が考 え られ る.こ の よ うな,2つ の入 力 を もつ 多変 数 制 御 系 を,古 典 的根 軌 跡 法 の よ うな 従 来 の 線形 制 御理 論 に よ って 扱 うと, 手 順 が 非 常 に 複 雑 に な り,シ ンセ シスが 困難 に な る. 2で 与 え た著 者 らの手 法 を適 用す る と,こ の よ うな制 御 系 に 対 して も,1入 力 の 場 合 と 同様 の 手 順 に よ っ て,系 統 的 な シ ンセ ン シスが 可 能 で あ る. 5.1 VTOL機 の 運 動 方 程 式 ホバ リ ングお よ び低 速 飛 行 中 のVTOL機 の横 の運 動 方 程 式 は,微 少 運 動 の 範 囲 で は,つ ぎ の よ うな 総 形 微 分 方 程 式 で 表 わ され る.

(5.1)

こ こ に,v:横 す べ り速 度,φ1横 揺 れ 角,ψ:偏 揺 れ 角,Ix=重 心 ま わ り の 機 体 の 横 揺 れ 慣 性 モ ー メ ン ト,Iz:重 心 ま わ りの 機 体 の 偏 揺 れ 慣 性 モ ー メ ン ト,m:機 体 の 質 量,LδR,Nδr:横 揺 れ お よ び 偏 揺 れ モ ー メ ン トに 対 す る 操 縦 感 度,Lv,Lp,Yv,Nv,Nr:空 力 微 係 数,g:重 力 加 速 度,δR:横 揺 れ 制 御 の 操 縦 桿 変 位, δY:偏 揺 れ 制 御 の ペ ダ ル 変 位,:時 間 に 関 す る 微 分 で あ る. 状 態 変 数 と して,xl=φ,x2=φ,x3=v,x4=ψ を と れ ば,(5・1)式 は つ ぎ の 状 態 方 程 式 で 書 き か え られ る.

(5.2)

こ こ に,a12l,a22=Lp/Ix,a23=Lv/Ix,a31=g, a34=Yv/m,a43=Nu/Iz,a44=Nr/Iz, b21=LδR/Ix,b42=Nay/Iz で あ る. 5.2 自 動 安 定 装 置 の シ ン セ シ ス 横 揺 れ お よ び 偏 揺 れ 制 御 の た め の 操 作 量 の オ ー ソ リテ ィ を 考 慮 し て, 出 力 の 偏 差 の2乗 積 分 値 を 最 小 に す る 制 御 法 則 を 得 る た め に,評 価 関 数 を つ ぎ の よ うに 選 ぶ. (5・3) この 評 価 関 数 の 中 に,方 位 保 持 の た め の ψを 含 めな か った め は,こ れ を加 え る とか え って運 航 上 不 都 合 を 生 じる と考 え られ るか らで あ る6). (5・2)式 で記 述 され る 制 御 系 に お い て,評 価 関 数 (5・3)式 を最 小 にす るよ うな最 適 制 御 法 則 は,次 式 で 与 え られ る.

最 適 制 御 理 論 に よ る 自動飛 行 制 御 装 置 の シ ン セ シ ス (中川 憲 治 ほ か) 第8図 VTOLの 横 の自動安定装置 (5・4) こ の 系 の ブ ロ ッ ク 線 図 は 第8図 と な る.こ _{こ で ,} K21∼K24,K41∼K44は,そ れ ぞ れ,つ ぎ の リ ッ カ チ 方 程 式 のP12∼P24,P14∼P44の 定 常 解 で 与 え ら れ る. (5・5) 評 価 関 数(5・3)式 の重 み 係 数 の 値 が与 え られ る と, 上 式 を解 い て,(5・4)式 の 最 過 制 御 法則 のゲ イ ン定 数 が求 ま る.重 み係 数 の値 は,2に 述 べ た手 順 に 従 って 決定 す る. 5.3 数 値 例 計 算 に使 用 す る機体 の要 目は つ ぎの と お り で あ る7). 機 体:Tilt Duct型Doak VZ-4, m=143.5kg・sec2/m,Ix=262kg・m・sec2 以 上 の数 値 を(5・2)式 に代 入 す る と,状 態 方 程 式 は つ ぎの よ うにな る. (5・6) この 制 御系 に対 して,最 適 制 御 法 則 を求 め る た め に 評 価 関 数 を式 で(5・3)与 え る.し か し,こ の論 文 の手 法 で は,重 み 係 数 をパ ラメー タ と考 えて い るの で,な るべ く簡 単 な 評価 関数 を 選 ん だ方 が計 算 量 が 少 な くて すむ.し た が って,(5・3)式 の うち,さ らに真 に 評価 すべ き状 態 変 数 のみ を 残 し,評 価 関 数 を 簡 単 に す る の が得 策 で あ る.こ の 例 で は,横 揺 れ お よ び 偏揺 れ 運 動 に対 す る過渡 応 答 を 評 価 す る に は φお よ び ψを選 ぶ の が適 当 で あ ろ うと考 え ら れ る.そ こ で,α2=α3=0 と お いて,つ ぎの よ うな 評 価 関数 を用 い る こ と に す る. (5・7) そ こで,重 み 係教 α1,α4,β の値 を 系 統 的 に 変 化 させ て,リ ッカ チ方 程 式(5.5)式 を解 けば,各 場 合 に つ いて ゲ イ ン定 数K21∼K24,K41∼K44が 求 め られ る. つ ぎに,こ の よ うに して求 ま ったゲ イ ン定 数 の 値 に 対 す る過渡 応 答 と,過 渡 応 答 を 評 価 す るた め の特 性 値 を アナ ログ計 算 機 によ って求 め る.VTOL機 の横 の 自動 安 定装 置 の設 計 で は,横 揺 れ 角 に撹 乱 を う け た と きの 過 渡応 答特性 と,横 風 の影 響 に よ って横 す べ り速 度 を 持 った とき の過 渡 応 答 特性 が 重要 な意 味 を持 つ の で8) これ らの過 渡 応 答 を求 め る.横 揺 れ運 動 の過 渡 特 性 を 判 定 す る雛 値 と して を 計 算 し,偏 揺 れ 運 動 の 過渡特性 を判 定 す る特性値 と して と を計 算 す る.こ の と き横 揺 れ運 動 と偏 揺 れ 運 動 の速 成 が 小 さい場合 に は,こ れ らの2つ の過 渡 応

22 航 空 宇宙 学会 誌 第16巻 第179号 (1968年12月) 答 特 性 を別 々に評 価 す る こ とが で きる.い ま(5・7)式 の 評 価 関 数 を書 き か え る とつぎ の よ うに な る. (5・8) 上式 第1項 は横 揺 れ角 制 御 のた めの 評 価 関 数,第2 項 は偏 揺 れ 角制 御 の た め の評価関 数 と な り,β は 両 者 の 関 の 連 成 に 関 係 す る重 み係 数 とみ な す こ とがで き る.し た が って,連 成 が 小 さい と きは,第1項 と第2 項 を分 離 して 考 え る こと が で き,β の 値 には 依 存 し な い.す な わ ち,系 の特 性 は,横 揺 れ 運 動 に対 して は α1,偏 揺 れ 運 動 に対 して は α4/βの 値 に よ っ て き ま る. 実 際,こ の 例 で横 揺 れ 角 に撹乱 を うけ た と き の過 渡 応 答 に対 す る特性 値 を ア ナ ロ グ計 算 機 で 求 め る と,偏 揺れ運動の特性を表 わすおよ び は き わ めて 小 さ く,偏 揺 れ運 動 に は ほ とん ど影響 しない こ とが わか った.し た が って,こ の と きは横 揺 れ 運 動 の 過 渡特性 のみ に注目 す る ことが で き る.そ こで, と の値 を 重 み 係 数 α1に対 して プ ロ ッ トす る と第9図 の よ う に な る.こ こで,先 に述 べ た よ うに,お よ び に 対 す る α4,β の 影 響 は小 さい の で,こ れ を無 視 して い る.つ ぎ に,横 す べ り速 度 を 持 った と毒 の過 渡 応 答 に対 す る特 性 値 を 求 め る.こ の と きは,横 揺 れ 運 動 に対 す る連 成 が 小 さい の で これ を 省 略 し,偏 揺 れ 運 動 の 過渡 特 性 の み に 注 目 す る.お よ び の値 を α4/βに対 して ブ ロ ッ トす る と,第10図 の よ う に な る.第9図 お よ び 第10図 か らそれ ぞ れ,重 み 係 数 α1と横 揺 れ 運 動 の 過 渡応答 特性,α4/β と偏揺 れ 運 動 の 過渡応 答 特 性 との 関 係 が 明 瞭 とな り,操 作 量 の オ ー ソ リテ ィを 考 慮 して望 ま しい 過度応 答 特 性 を もつ よ うに重 み 係 数 を 決 定 す る 第9表 重 み 係 数 と横揺 れ運動の 過 度応 答特性 (φ0=2.5deg) 第10図 重 み 係 数 と偏 揺 れ 運 動 の 過 渡 特性 (v0=5m/sec) こ とが で き る.こ こで β は,さ き に述 べ た よ う に, 横 揺 れ 角制御 と偏 揺 れ 角制御 との 問 の重 み係 数 とみ な す こ とができ るの で,こ の 例 の よ うに両 者 の連 成 が 小 さ い とき に は問 題 に な らな い.連 成 が 強 い と さは,β をパ ラメ ー タ と して 第9図 と同 様 の 図 を 描 け ば よい, 第9図 お よ び第10図 か ら重 み係 数 の 適 当な 値 と し て α,=1,α4/β=0.125(α4=0.5,β=4)と 選 ぶ と, 最 適 制 御 法 則 は, (5・9) と な る.こ こ に,各 変 数 の 単 位 は,φ 〔rad〕,φ,ψ 〔rad /sec),v〔m/sec〕,δR,δY〔m)で あ る.φ 〔deg),φ,ψ 〔deg/sec〕,v〔m/sec〕,δR,δY〔cm〕 に 単 位 を 変 換 す れ ば, (5・10) とな る. この と きの 過渡 応答 を 第11図,第12図 に 示 す.第 11図 は横 揺 れ 角φ に撹乱 を うけた と さ の 過 渡応 答 を 示 し,第12図 は 横 すべ り速度 を持 った と き の 過 渡応 答 を 示 す.両 図 に お いて,(a)は 自動 安 定 装 置 を 持 た な い元 のVTOL機 の応 答 を示 す,(b)は 今 求 め た最 適 制 御 系 の応 答 で あ る.(c)は 最 適 制 御 法 則 の うち, フ ィー ドバ ック ・ゲ イ ンの小 さ い項 を 省 略 して, (5・11) の形 に簡 単 化 した制 御法 則 を もつ 近 似最 適 系 の応 答 で あ る,(d)は偏 揺 れ制御 δYを省 略 した と きの応 答 で あ る.図 を み る と,こ の近 似 最 適 系 の 応 答(c)は 最 適 系

最 適制 御 理論 に よ る 自動 飛 行 制 御 装 置 の シ ンセ シス (中川 憲 治 ほか)

第11図 VTOLの 横 運 動 の 過 渡 応答(φ0=2.5deg) 第12図 VTOLの 横 運 動 の過 渡 応 答(v0 =5m/sec)

の応答(b)と ほ とん ど変 わ らず,こ の よ うな 簡 単 化 は 適 当で あ る こ とが わ か る.偏 揺 れ 制 御 δYを 行 な わ な い と き は,横 揺 れ 運 動 の 過渡 応 答 特 性 に は あま り影響 しない(第11図(d))が,横 風 を うけ た と き の 偏 揺 れ 角 の応 答 が 非 常 に 劣 る(第12図(d)).し たが って, この よ うな系 で は δYを 省 略 して1変 数 制 御系 と して 考 え る こと はで きな い. 6. 結 論 この論 文 で は,従 来 の根 軌 跡 に よ る手 法 や,根 軌 跡 を 利 用 した最 適 制 御 理 論 に よ る手 法 に代 わ る もの と し て,過 渡 特性 の 数値 評 価 に基 づ く最 適 制 御 理論 に よ る 線 形 フ ィー ドバ ック制 御系 の シ ンセ シ スの 方 法 を提 案 した.こ の手 法 の適 用 例 と して,普 通 の 航 空 機 の姿 勢 制 御 装 置 と,VTOL機 の 自動 安 定 装 置 シ ン セ シ スを 示 した.こ の 手 法 を 従 来 の もの と比 較 す る とつ ぎの よ うに な る. (1) 従 来 の根 軌 跡 法 で は,制 御 系 の構 成 を 仮 定 し て試 行 錯 誤 的 に最 適 構 成 を 模 索 した が,最 適 制 御 理 論 を用 い た手 法 で は,評 価 関 数 か ら解 析 的 に最 適 制 御 法 則 が 誘 導 され る. (2) 従来 の根 軌 跡 法 で は,多 重 ル ー プ を含 む1変 数 制 御 系 や 多 変 数制 御系 を シ ンセ シス す るさ い,多 数 個 の フ ィー ドバ ッ ク ・ゲ イ ン値 を 決 定 す る こと は非 常 に 困難 で あ る.こ れ に対 して,最 適 制 御 理 論 に よ る方 法 で は,こ れ らの 値 は 重 み 係数 の値 か ら一 度 に決 定 さ れ る.し たが って,多 重 ル ー プを 含 む1変 数 制 御 系 の シ ンセ シスが 容 易 に行 な え るば か りで な く,多 変 数 制 御 系 の 場合 も,同 一 の手 法 を適 用 して 系統 的 な シ スセ シ スが 可 能 で あ る. (3) 最 適 制 御 理 論 を 用 い て も,根 軌 跡 を併 用 す る 方 法 で は,重 み係 数 が2つ 以 上 あ る場 合 の シ ンセ シ ス が きわ め て 困難 とな る.過 渡 応 答 特 性 の 数値 評 価 に基 づ く方 法 で は,計 算 量 が 増 す だ けで あ って,本 質 的 な 困難 は生 じな い. (4) 従 来 の根 軌 跡 に よ る手 法や,根 軌 跡 を用 い た 最 適 制 御 理 論 に よ る手 法 で は,ζ や ωπで 過 渡応 答 を 正 確 に評 価 す る ことが で きな い ので 設 計 の 根 拠 が あ い ま い で あ る.こ れ に対 して,過 渡特 性 の数 値 評 価 に基 づ く方 法 で は,過 渡 応 答 を 定 量 的 に評 価 す る こ とが で き る.す なわ ち,制 御量 の大 き さと過 渡 特 性 の関 係 が 明 らか に な り,制 御 の オ ー ソ リテ ィが 与 え られ る と, その オ ー ソ リテ ィ内 で最 良 の過 渡 特 性 を持 つ 系 を 構 成 す る こ とが で き る.し たが って,機 械 的 な計 算 に よ る 系 統 的 な シ ンセ シ スが 可能 と な る. (5) 最適 系 で は,フ ィー ドバ ックす る変 数 の数 が 多 くて,系 の構 成 が 複 雑 に な るが,こ れ を 簡 単 化 す る 方 法 も考 え られ る.古 典 理 論 で は経 験 に 基 づ い て 簡 単 な系 を仮 定 して き たが,最 適 制 御理 論 で は,合 理 的 に 系 を簡 単 化 で きる. と こに提 案 した方 法 は,最 適 制 御 理論 を設 計 計 算 の 手 順 を与 え る数 学 的 手 段 と して 利 用 し,最 適 解 の計 算

24 航 空 宙 宇 学 会 誌 第16巻 第179号 (1968年12月) お よ び 過 渡 応 答 の 判 定 基 準 と な る 特 性 値 の 計 算 を す べ て 電 子 計 算 機 で 処 理 し よ う と す る も の で,一 種 のcom-puter-aided designで あ る と い う こ と が で き る,こ こ で は,デ ィ ジ タ ル 計 算 機 と ア ナ ロ グ 計 算 機 を 併 用 し た が,す べ て デ ィ ジ タ ル 計 算 機 の み に よ っ て 処 理 す る こ と も で き る.ま た,将 来 ハ イ ブ リ ッ ド計 算 機 が 普 及 す れ ば,こ の よ う な 手 法 は 一 層 有 力 な も の と な る で あ ろ う. 計 算 の 一 部 は 東 京 大 学 大 型 計 算 機 セ ン タ ー に 依 頼 し た.記 し て 謝 意 を 表 す る. 参 考 文 献 1) 中川,室 津,金 定:垂 直 離 着 陸航 空 機 の 最 適 姿 勢 制 御 に お け る評 価 関 数 の 重 み係 数 選 択 に関 す る一 考 察;制 御 工 学,Vo1.10 No.12,pp.518-525(1966).

2) R. E. KALMAN: Contributions to the Theory of

Optimal Control; Bol. Soc. Mat. Mex., Vol.5, pp. 102-119(1960).

3) J. H. BLAKELOCK: Automatic Control of Aircraft and Missiles (Book); John Wiley & Sons, Inc. (1965).

4) E. G. RYNASKI: Optimal Helicopter Station Keep-ing; IEEE Trans. on Automatic Control, Vol. AC-11, No. 3, pp. 346-355 July (1966).

5) J. S. TYLER & F. B. TUTEUR: The Use of a Quad-ratic Performance Index to Design Multivariable Control Systems; IEEE Trans., Vol. AC-9, No. 3, pp. 84-92 Jan. (1966).

6) 武 田,堀 川,小 川,森:航 技 研 フ ラ イ ン グ ・テ ス ト ・ ベ ッ ドの 姿 勢 制 御 方 式 の 検 討;航 技 研 報 告TR-120 (1966)

7) R. H. SMITH: VTOL Control Power Reqllirement Reappraised; J. Aircraft, Vo1.3. No.1, Jan. -Feb _{. (1966).} 8) 武 田,滝 沢:VSTOL機 の 飛 行 性 基 準;日 本 航 空 学 会 誌,Vo1.15,No.157,pp,58-64(1967) 表 紙写 真 説 明 京 都 大 学工 学 部航 空工 学 教 室 で は 昭和42年3月 末 超 空 気 力 学実 験 室 が 開 設 され,実 在 気 体 効 果 を 伴 う極 超 音 速 空 気力 学 の研 究 を 目的 と して極 超 音 速 ガ ン ・タ ンネ ル(大 型),ピ ス ト ン駆動 型 衝 撃 波 管 お よ び,プ ラズ マ ・ジ ェ ッ ト風 胴(航 空 学 会 誌 に既 に 報 告 ず み) の3つ の装 置 が 設 置 され た.詳 細 は本 会誌 に 掲載 され て い る ので 省 略 す るが,写 真 左 側 は銃 尾 部 よ り銃 身 部 を 経 て 測 定 室 の 方 を示 して い る ガ ン ・タ ンネル で あ り,こ れ に平 行 して右 側 に は銃 尾 部,低 圧 室,測 定 部 お よび ダ ンプ ・タ ン ク と連 結 した上 記 の衝 撃 波 管 で あ る.前 者 で は測 定 室 マ ッハ数10,12,14,16の 極超 音 速 流,後 者 で は衝 撃 マ ッハ 数26ま で の強 い 衝 撃 波 を 得 る こ とが で き る.こ の実 験 室 は宇 治 市 五 ケ庄 京 大 宇 治 構 内 にあ る.