THE MINIMAL NORMAL EXTENSIONS OF SOME TOEPLITZ OPERATORS WITH OPERATOR-VALUED ANALYTIC SYMBOLS

SUT Journal of Mathema七ics （Formerly TRU Mathematics） Vblume 28， Number 2（1992），129−144 ・ ∴．

THE．MINIMAL NqRMAL ExTEN、sIgNs gF sOME

TOEPLITZ OPERATORS WITH． OPERATOR−VALUED、

ANALYTIC SYMBOLS

ISAo SAITO

（Received October 9，1992） Abstr舵t． Let H2（μ）and H◎°（μ）be the．usual Hardy spaces， a皿d letφ∈H◎o（μ）． The analytic Toeplitz operator Tdi on H2（μ）with symbolφis ’subnorma1 and it is well known that， ifφis not oonstant， the minima1 norMal extension of Tdi is the multipUcatioll operator「on L2（μ）de丘ned byφ． We generalize this result as fbllows． Let」ぼbe a separable］Hilbert space and denote by B（H）the algebra of all bounded linear operators on」U． Consider a B（H）−valued analytic’fUriction．F on the unit circle all of whose】lourier coeMcients｛Ak｝are mutually oommutative normal operators and・4ゴis a compact normal operator f（）r allゴ ≧ 1 and ∩㌻1 kerAj ＝ （0）， and let TF be the analytic ．Toeplitz operator with symbol F on H2（μ）⑧H， where H2（μ）⑭H is the Hilbert space tensor product of．力r2（μ）and」7． We show that the minim瓠normal extension of TF is the multiplication’operator of Fon L2（μ）⑧H．、「We also consider another type of Tbeplitz operator with operator−valued analytic symbol．

1991Mathematics Subject Classifications．47B20

Key words and phrases． subnormal operator， minimal normal exten− sion， Toeplitz operator， dual of a subnormal operator， operator valued

symbol

§1．Preliminaries

The purpose of this papet is to generalize a result about the Ihihi】〔nal nOmal extension of Toeplitz operator with analytib’ symbol for the℃ase where’the Symb61 is operator−valued． We explain necessary facts for，this pu「pose・ 129

1．1．Subnormal operator and its minimal normal extension

Fi，sfi㍊ε：菌唖、；∴もbu遍。δ，逼；P6r三、・iS硲「’Thf。三g磁’lhis

paPeご，ユet、∴1f beぴ96pa恒b16 Hilbert spa66柄鉦i thさliinnler’prodtictL〈・；・＞H『， and let B（H）denote Vhe：・垣gebra gf aユ1・boun（IP． d lipear operators on 1了・

5∈B（H）is said t6 be subnormal． if there exist a Hilbert space K

containing H and a normal operator」V∈B（K）such that 5∫＝」V∫fbr

every∫∈H． Such an N is called a normα1 ex毒ension of S． Every normal

operator is obviously subnorma1． An 6perator Q∈B（H）is said to be

quαsinormal if（￠（？一（？（？＊）Q＝0． It is kllown that every quasinormal

operator is subnormaL If．5∈， B（H）is subnormal and IV∈B（κ）is

anormal extension of 5， then」V is called a minimal normal extension of 5 ifκhas no proper subspace that contains H and reduces IV． If 8is subnorma1， then ・， a． minima’ l normal extension・bf 5 is unique up to unitary equivalence， therefbre：・it．iS．・called the mini血al nofmal extension of 5． Let S・∈B（H）be． a subnormal operatorデand let・」V．．∈・B（K） be its normal． eXtension：：Jt is known．、thaポN is l・the minimaL normal ・xt・n・i・n・f謡and・nly if K−V｛−N・㌧；x・∈IH， k・≧0｝h・ld・， wh・・e ∨｛N＊㌧；・．x∈：H，，k・≧0｝．is the￠losed linear span of｛」V＊kx；苫∈H，た・≧0｝ （see l3，・． page．・128DぶFor土hese facts，・see l3｜．・

1・2・ThedU・l bf a．鋤hOrm・1・perqt・・−

We explain ． the dual of a subnotmal operator，’which was introduced by J．B． Conway．／2］． Let S∈．BてH）Lbe a subnofmal operator， and let N∈B（珂1be its． norlhal extension． With respect：to『the deco血position

K＝HΦH⊥，． Ncan’

b?翌窒奄狽狽?氏￨as a 2．ד2 matrix』’ vith operat6r ・entries：

      ， ．Nf（：拳〉  

』 tt’（・）     1 ・tt．：．・．．・一、・：t−・tt㌧  ・，・一． tt ・・…s・∵  ．  ’

If the decomposition K＝H⊥㊥His considered， then    ；

 ■

rず

TO

 ＝ ＊

N

From this itis clear that，−T is subnormal andJV宇・is a norMal extension of T．An・ operator A・∈・B．（H）is said to ，be pure if A has’ho nonzero reducing subsp㏄e㎝which it is normaL．R． F． Olin has observOd that・， S is pure iif

1．SAITO

131 and only if N＊is the minimal nOrmal extension’ of T．（See［3，Page 130】． Although in・13】N．is assumed to b6 the minimal mo’rma1 extension of S， the condition that IV is minimal is nOt necessary in the proof of Olin，s theorem in l3］．）Conway’［2】introduced th←fbllowing de6nition of the dual of a subnormal operator． DEHNITIoN 1． If S is a pure subnormal operator and N， the minimal normal extension of S， has the representation（1）， theh the operator T in （1）is called the dual of S．    Notice that T is unique up to unitary equivalence． Conway｛2］showed that if S、is pure．subnormal and T is the dUal of S， then ’S is the dual of T andσ（S）＝｛λ；λ∈σ（T）｝， whereσ（T）．denotes the spectrum Of T．He alsd introduced the following de丘nition of a self−dual sUbnormal operator． DEFINITIoN 2． Apure subnormal operator is said to be self−dual if it is unitarily equivalent to its dual．    It・）s known that・eYery ptire quasinormal Operat6r is a self−dtial sUb− norma1 opefator（see｛2］）．’ 』  ・、 ‘1

1．3． Analytic Toeplitz opgrator

We explain analytic Toeplitz operators with analytic symbols and their

minimal normal extensions． Letμbe the’ normalized Lebesgue measure

on the unit circle． Denote by H2（μ）the usual Hardy space， i．e．， the set of functions all of whose negative R）urier coef五cients are zero and let H°°（μ）・−H2（μ）∩L°°（μ）． F・・φ∈Hb・（μ），d・fi・・th・analyti。 T。。plit。

・P・・at・・TiP・n耳2（μ）with・y頑・1φby％∫＝iPf・f・・ea・hτ∈H2（μ）

and d・丘・・th・m・1tipli・atiO・・P・・at・・．’lφ・n L2（μ）・by Mdig−iP9 f・・ ・a・hg∈L2（μ）・Analyti・T・・plit・・P・・at・r Tdi・i・・sub・・rm・正・rid−it・i・W・ll ㎞own that， ifφis not constant， the multiplication operator」匠φ一iS the mi・iln・1，．n・・Pa1 9・t・n・i・n・f Tdi．（see l3， pag・274D・．．

1・4・Analyti・T・・plit・・p・・at・i’

griin op・・at・r−・㊨1u・d、ymb。1

麟ぽ霊。蒜。漂蕊霊q麟‘認瀧隠離

if’qf｛ト），q’〉，Gr is Lel）esgue血6asUrable蘇）r every透∈H．てfecall thatl’we as＝ sUm6 H・1separable）． Then〈∫（・），9（・）＞H・is血easurable ’ 1もr ’arty H二vafUed

measurable fUnction∫and g．．Denote by L2（H）the space of the equiv− alence dasses of all H−valued measurable functions f on the unit cirde such that   ・   ・ 『      ・∫  ．     ’ ，       ll∫‖t・（H）・一㍊2π1げ（・1θ）llllide＜… ． Then L2（H）is isqmorphic tq L2（μ）⑧五r and．L2（H）is a Hilbert space with respect tO the．i皿er product t 〈f，9＞・・（H）・一．嘉￡π〈f（・1θ），9（・1・））Hdθ，・ wh・・e， L2（μ）⑧耳i・th・Hilb・rt・p・・et・・…p・・d・・t・f・L2（μ）and・H（th・ definition of the Hilbert’ space tensor produCt is found’． in［4， page 79D・F（）r

∫∈L2（H）and k∈Z，there exists an ak∈Hsuch that

f。2π〈f（・1・）・・＞H・一・kedθ一く・曲

holds fbr all x∈∬by the Riesz representation theorem． We callαた

theん一th】Eburier coe伍cient of∫and write∫＝Σ淫＿。。 akeike． If f”＝ Σ塁＿。。αたe漉θ，9ニΣ塁＿。。b★e論θ∈L2（H），then

lim

n−→o◎ ∫一Σ・k・’kθ    k＝−n L2（H）、 ＝0，

and

              〈f，9＞L・（H）＝Σ〈ak，bk＞H・       k＝一◎o        ，  I Let｛en｝㌫o be an orthonorma1 basis of H． Then｛eneike；n≧0， k∈Z｝ is an orthonormal basis of L2（H）．

  Define

H2（H）：＝｛∫∈L2（H）；the k−th F（）urier coe冊cient of∫is zero       f（）revery、 k＜「0｝．    ，．

Then耳2（H）is isomorphic to H2（μ）⑧Hand｛eneike；n≧0， k≧0｝・is’

an orthonormal basis of、H2（H）．．    AB（H）−valued function F on the uhit circle is said to be measurable if F（・）x is measurable fbr any x∈、H．（For ．these・facts see【5】．）Dehote by

1．SAITO

ち ﹂ 133， L°°（B（H））the space of the equivalence classes of all measurable functionS Fon the unit circle such that        llFU…（B（H））』田s sup llF（・‘e）li。（H）＜。。．

Fbr F∈1シ◎◎（B（H））and k∈Z，there exists／lk∈B（H）such that

       f。2π〈F（・・θ）x・y＞H・−ikede−〈』＞H holds fbr every X， y∈Hby the Riesz representation theore皿． We call／lk theん一th R）urier coe伍cient of F and write fbrmally F＝Σ廷＿◎。 Akeike and let       ・   ．、   Ho◎（B（H））：＝｛F∈L◎o（B（H））；theた一th Fburier coe伍cient of F is       zero丘）r every． k＜0｝．

  1￡tF∈L◎o（B（H））and∫∈L2（H）．・We show that an H−valued

f皿ction eieト→F（eie）∫（eie）on the unit circle is measurable． De丘ne fn（・’θ）・一〈∫（・‘θ），・・＞H f・・∫∈P2（H），・≧O・・nd・e∈10，2π］・Th・n        ㍊2π曇1み（・’e）12dθ一1げllz・（H）＜・・ holds and soΣ：o lみ（eie）12＜◎o（a．6．θ）， hence∫（eie）＝Σ霧≧oあ（eie）en holds a．e．θ（the convergence is in the norm of∬）． Since              F（・’θ）∫（・’θ）＝F（・‘θ）Σみ（♂θ）・。一Σfn（・’θ）F（・’e）・π        η＝0         η＝O holds＆）r a・e・ θ， an H−valued function eie←一→F（eiθ）∫（eiρ） is an H二 valued measurφ1e f皿nction， which is denoted by F［∫】． It is Clear from t与eabove result that F［∫】∈L2（H）and∫←一→Fげ］is a bounded operator from L2（H）to L2（H），which is denoted by MF．

  Befbre proving our theorem， we prepare the fbUowing Lemma l and

Lemma 2．

LEMMA 1． L・t FニΣ㌫。。Ak・’kθ∈L・・（B（H）），・・ば励・e F・∈

L°°（B（H））by F＊（eiθ）＝F（eiθ）＊for a．・．θ∈［0，2π1． Th・n F＊＝

塁疋、・ikθ・nd、MP−MF．．M。π醐ぬ。施・一￡A、。ei（k＋m）・

兎＝−o◎       k＝＿o◎ and・MP．・e’mθ

_』．．鯉（嗣θん・1伽∈耳・』∈2・

PROOF；

We seethat

f。2π〈F（・1θ）＊、i，ぽθdθイ〈F（・1θ）y，・＞H・ile・dθ

holds fbr x，y∈Hand k∈Z．

the Other hand    1    ． ＝〈・4一顧，x〉 ＝〈AtkX， y＞ Thus we have F＊＝Σ鯉＿。。・4㌔e‘丘θ． On         〈晦∫，9＞L・（H）＝〈f，・MF9＞。・（H）        ’ 一凱2π〈f（・1θ）・F（・le）9（・1θ）＞fidθ       一訂2π〈F（・1θ）・f（・1θ）・9（・1θ）＞Hdθ

  ・∵  1．・  ＝〈MF・f，9＞L・㈹

holds fbr f， g ∈ L2（H）． So we get Mp ＝．MF・． Let MFxeimθ＝ Σ㌫。。b・e’（k＋m）θ．・f・・x∈ff・and・m∈Z・Th・P 〈b・，y＞H一㍊2π〈F（♂・）・lm％・y＞H・一⑭・dθ          訂2π〈F（eiθ）・・，y＞∬・一・・θdρ 白』

刀@  〈AkX，y＞．H

holds fbr any’∂・∈り冨and k∈Z． Hence bk±ノlk・x丘）r dll k∈ Z，a4d「 so．MFxe加θ＝Σ認＿』・4“e乞（k＋η｝）θ．・Since F＊＝Σ塁二。o・4㌔♂kθand＞ M芸＝M〆；・w・get『M麺伽θ＝Σ淫．66 Aikxei（k＋m）θ．・□’”「’‘’「 玩研＝￡・・牟泌θ∈L・・（B（H））．D・fih・’』L、（〃）・・一・V｛x・1咋・          k＝      e

珊⊂L2（H）品・k∈Z．Then

         ，  ロ    oo   ト   ロ  ， ， I

    ．’L2（H）：Σ㊥Li㈲iH2（H）＝Σ㊥L1㈹

       た＝−oo− ・．’  ー     た＝0 hold． Considering the．matrix representaもion of MF， with respect to the

decomposition I

k2（H）＝Σ陰＿。。㊥Li（k）， we see that MF， is uhitarily

・LSAITO

135 equivalent to the matrix with operator entries ・

M：＝

● ● ●  ● ■       ■ ・ ．       ・ q      ・ ◆ ’・ EAo A＿1 A＿2 A＿3 A−4’・． ’・_E．ノ11 ’・A2 ’・A3 ’・A4 ■ ．   ・ ● ．

0 1

AA

A2

3・

 ●

 ●

A＿1止2Ar3’・・

（Ao）A＿1 A−2’・

Al Ao⊥1’

A2 ／ll Ao’

．      ．       ●      ●  ．      ．       ■   ●      ●       ●  シー      ●

on…㊥H㊥H㊥HΦ耳㊥∴・，’where：（．Ao）、．is（0，0）二component bf M．

  Suppose that F∈H°°（B（H））、and∫ t Z）pe o akeikθ∈H2（珂． Then MF∫∈H2（H）by the Lemma 1． Thus we can de丘ne’the analy七ic Tbeplitz pper4tgr・TF with、 symbo1、、F on H『（H）as the restrictio耳of．ハイF、to H2（H）．   L・tF2一Σ㌫。B、・’ke∈H・・（B（H））． Th6n。。n，id。，i。g th。 md− tr已repreSentatiOn of Tp，’．減th reSPect to the deCOm亘ositioh H2（H）＝

罵㌶蕊蕊ピisU亘’ta「ily equ’v瓠r顕theBφ”』

T：＝ Bb、’

BIB6’

B2 Bl Bo

B3 B2 Bl・’Bo  ・      ●        ．        ・        ・ ・        ・        ．        ●        ●  ●      ・        … on H、㊥．HΦH㊥．H（D・．∵・，：Where the blanks in the above matrix：are zero．

  L・tF＝Σ塁。A・塑∈㌍（B（H））b・・u・hth・te・・h・Ak∈B（H）’is

normal and mutually commutative． Then we§ee thatハイF∈B（L2（H））is

normal and so乃♪∈B（Hl（∬））is subnQ．．rrri．a1 by the following lemma．

L・MMA 2・L・t F一Σ㌫。。Ak・i〃θ∈’L・・（B（H））b・・u・硫・t・α・九

Ak∈B（H）i3 normal and mutually’ ’commutative．夕’hen MF廷αnormal

operator．     、 ・    、

PRooF． We successively obtain’  呂一∵  』 ∵∵．．−’・9

〈M；MFX・’”θ，y・’mθ〉。・（H）

一〈￡A“・⑭・，．塁A、y・i（・・m）・〉。、（H）三 （by・L・mm・・）

    k＝−o◎     」＝一◎o       

ニΣ〈AleX，・Ak＋。．mY＞H

    k＝一◎◎    ．       

一Σ〈An．n，m・，蜘＞H ．『（by th・F・glede−P・tnam th…em）

    k＝二゜°

一Σ〈ぬ￠誕（k＋n．m）y＞H

    k＝一◎o −〈￡A！、X・⑭θ，．￡尤ゴy・‘（4・m）θ〉。・（H）’     iC＝一◎o’      3＝一◎◎

一〈MFMPxei”e，y・‘mθ〉。・（H）   ゴ 『． ・・

fbr x，y∈Hand nt，n∈ Z． Sihce L2（H）＝V｛xeinθ；x∈H，n∈ Z｝

holds， we see that．MF is norma1．口    Next we see the relation between the above facts and the author，s result ［91 whi・h・xami…t・ugt・・e・・f・・m・・el臨al・ub・0・mal・P・・at・rs・w・ can see that Proposition l in［9］is refbrmed as fbllows．．Let．S∈B（H）

be a pure operator of the fbrm 5＝N十Q， where／V is normal， Q

is quasinormal and NQ＝（21V． Then L：＝cl ran（Q＊Q−QQ＊）＝

cl ran（S＊5−SS＊）holds， where cl ran（・）denotes the closure of the range of the relevant operator． Let        ハro：＝1VlL

and

       F、・＝N。＋Aeiθ∈H°°（B（L））， where／4＝（Q＊（？−QQ＊）1／2［乙． Then S is unitarily equivalent to・TF1． TF， is unitarily equivalent to the operatot matrix

   ゜．

  的A

 珊A

的A

●

’’h1．SAITO  ノ．昌． 137 on LΦL㊥L㊥…． ln addition， the following ’ hqldr ・．

THEOREM A（【9】）．．Let S∈B（H）beαseif−dual 8励ηo卿αI Qpemptor−’

αη48％ppo8e伽￠5＊1cl ran（s＊S−ss＊）i5鋤nOmα1． And define No：＝

s＊1・1・an（8＊s−5s＊）， A＝（Q’Q”i ’QQ＊）1／21・1・an（3＊8−ss＊）・nd

F・＝』W＋Aeie．∈H°°（β（cl∫an（SfS−SS＊）））・乃・η珊｛緩、n・㎝㎡励

βis ．・unitarily’equival．e． Pt tO the Tqeplitz・ρ・TatQr・Tin・Pth−・ρem￡・アー鋤畷

・皿励・・鋼b・1 F・ ．  一・二・○∴三．∫ i『＿、．、．，．．

   In this paper we prove that the minimal normal eXtension of TF isハ4F provided that l@R）urier Coe伍cients｛Ak｝of E l，are’mhtually COinmutative

normal operators and Aゴis a comp㏄t normal bperator fbr allゴ≧1and

∩㌻・k・；A」一、（0）・Thi・i・th・g・n・・ali・φi・n・f thC・s輌．C卵e srate鯉

§1．3．     』       “

§2．Main theorem and its corollaries

Let F＝ΣUe＝o Akeikθ∈H°°（B（H））be such that each．Aic is a mutually

commutative normal’operator． Then M戸s a normal℃Xtension of TF from

Lemma 2． Is MF the．minimal nor耳nal extension of TF．？The fbllowing theorelh asserts that this．is true under soine coriditions． ．・ − THE・R・M 1． L・t F＝Σ塁。 Ale・’ke・d H・・（B（H））b・…九伽去・α・ん▲ is a mutuαlly commutαtive normal operator， and is compαct for k≧1

ω軌∩淫、ke・A＝（0）． Th・n MF i・tん・mi・im・3カ・㎜山批・n・i・n Of

TF．

PRooF． ．Ao，A1，、42；…can be Simultaheously diagOnahZed．（Simul，

taneous diagonalization of 6nitely many mutually commutative compact

nor血al operators is fbund in［1， page 273D． R）r reader，s convenience we state a proo￡Let Aπ：＝｛λ『∈C；ker（An’一λ）≠（0）｝．fbr n．≧1． Since An．is a compact norma1 operi tor ， fφrη≧1， An is ．an at most countablg ・et・・nd・H『一Σλ，A。㊥k・・（A・一λ）With・dimket（4仁λ）’＜。。 f・・ea・h

n≧1andλ∈An＼｛0｝． Define

         Φ：＝｛（λ1，λ2，λ3ドー）；λた∈Ak f（）fevery k≧1｝． Let us consider the following families r and ro of closed subspaces of H：               r・＝｛∩ke・（Ah一λ。）；（λ・，λ・，λ・，∵・う∈Φ｝，       n＝1  …   ．＿    ．、：』’・’＿・「：．．・・二

         ro：＝｛M．∈r；M・≠（0）｝・・∴こ1 h ．∴・・

vve・Sho“r that．・．一・．乙．’．「：呈三・．・・．  三’「』，・・ “‘ ㌧   ．、二．：’ ．・  1．．

三∴”．〔∵∴．、．‘1㌃ぶ。・P・Mi”．．』∵・．＼』∵．

．∴∴i趣適二．Σ輌λ。二晦砕．二め）二．．

   ．∴’．＿．・・．．．．一＼．λ’・∧・．＿，一・＿  ・：，．．・、 hblδ・．’S6・h・・e・・xi・t・fi・it・ly◎λ㍗），λlm），…，λ1儒）・Am・u・h’・th・・        i（m）

        k・・（An一λ）一碁Q（1・躁λ！∩19・伶λ｝□）㌧、．

tnd∵「_{轣F∵・’}@』’：。 k二iくノ1竺二λ）A，6i（Aπiコi∼竺）i≠（6i−』   ！．． 『 ’  l

h迫d壼alf：又1亘’S坤鯉飢1適辿λlm）・nd ariy．．i−≧i，一癒6・垣・・

r興呼・λ｛｝，λii）；ll・λ｛2）．r AI・r・・h・h…．tt．．．，．，．．、

頑∵趣ぷ占磁諒）頑（A、「λξ）迦：；∵：

繊i：入9）．．．Si頑Q’CC輌命画・6麟tig頑・ぽ麺麺・・

Si6s・ω．⊂r・誌・蹴・一

@ ．．．．．、ゴ、‘＿、、∵；∵．∴

      ，．．に．k頭へ三λ）＝Σ㊥∼∬・．．㌧、、        M9∈D 、∴ Ｌ・｛’t．・1．ギ’・．・ ；・’・．．．二↓．．、．1 ，い’．㌦：k：．．・㍉、・．∴，・ ．1∵＿・t：t．

Therefbre ker（An一λ）⊂ΣM∈r。㊥M for any n≧iandλ∈Aη＼｛0｝，and

so（ker・4π）⊥qΣ⊃M∈rσ㊥」μ．hOli《iS． ，， fot、．aPy亘1≧1・Si早ce。∩鯉」i ker Aκ＝（0）

holds， we have H⊂ΣM∈r。㊥M and so H＝ΣM∈b。ΦM・   一

．1．・SAITQ；

139

  Sinceメo．、and・・4仇are cqmmutative normal operato工s＆）r：aユ1，ひ≧．0，

4δand 4π砥Commutatiye−by the Fu91ed←Pu垣am．tbeor（江nr Hence

ker（4九一λ）js a∫edUci真g sψsp㏄e fbr 40、丘亘any．亮『≧Oand・λ∈C・、 ThUs

・破M、．∈rg、i・ar・d・・i・9・ub・峻伽A・，・hd・・AOIM”i障・ゆ・1

QpCratqr Qh a， finite『р奄高?獅唐奄盾獅≠戟@spac〔ちSo ther今eXisちs an OrthOhormal bdSi・EM・fM∈r・su・h th・t・㏄h・1・m・nt・f：EM：i・an』、・ig・nVecキb・・ξ ノ10and／1δ． Let       ’ ”

・・『∴き 、‘．｛fn｝窪。＝’．U・EM，・・．．．．．…

       M∈ro where fn，s are mutμally distinct二Then｛fn｝㌫o is an orthonormal basis of 1了，．aΩd fn．ls an eigenvectOr Qf／1たan（1．ノIZ fbr all n， k≧・〇三Th： s． we

漂゜輌ぷ2’1’一’醒es’≡㊥al°pa」’剛卿

   D・丘n・煽∈．σby   ． r．’． ”：ノ

     ・・    ．   』 ・    」4k∫｝駕・＝λ丘，7三fn’．． ・ ’”    ．∵ 「   （2） 丘）rど紅h噛η，’ki≧0． Then” ヒ   ・     ∵ 「’；1ゾ   ’”  「．−『’パ．馳ジ’        ノ1毒九＝λk，nfn 『         ．・     ．一（3＞ holds fbr all n，た≧0． Define        P（n）・ニV｛f．eike；k≧b｝⊂H2（H）

ah♂・一 

∴ 』㌧一 ．．・ 一・・．・．”・．    ．

      Q（n）・−V｛f．・’ke；k∈Z｝⊂’L2（∬）’∴「一・一一一：l

fbr e㏄h n＞0． Then

       ◎◎  ’     ・、よ、‘       ．・ 1＾       H2（H）一Σ㊥P（η）7．，’       ，  ．「π＝0．        oo”    ．        P2（H）一、Σ孚9＠・．        ニ ー−．・・ 一 π＝0   By（2），（3）and Lem腿1，．p（n）、1．＄ a二rゆci㎎subspaCe、麺．、野．iqnd Q（n）is a reducihg subspace fbr MF． Defi皿e

l∵∵‘

D、 ｲ二’．．：．、ll．噂・）1迦p（η）∴，∴・∴．∴，’『’・ 、．一’ IL． ‥一’

黶E『．・・．tt

刀j・二 MPIQ〈・n）・・当一∵／／1…一・㌧

fbr each n≧0． Now we use the f（）llowing thθorem（s㏄［11，page 173D．

THEoREM B・ ∠4 mα‡愉Tr（αトゴ）窃＝＿◎◎．defines．a 60顕庇d・linea．r−’ op−        

_{・螂…n」そif・nd・晦・στ』纏舌・φ∈・L°°（μ）…htん・t・φ（n）・＝碗}

      _{fo〆・ll・h∈z，ω九・πφ働i5一舌九・n−t九F・uri・・』c・eCici・n’t Of to’．・碗eπ} this九〇lds， T is t九e・mαtrix Of Mipω肋respeet to’the ’ort九〇ri・rmal baSis ｛・ゴ｝鍔・。。⑳d 11Tll−11φ｝1・・，ωん・re・」t41ip袖・m・lt，ipli輌ゆ・・噺 defined・byφ・ηL2（μ）．．．1・ ．Wi伽e・pect t・・h・…hgn・叫b爺i・｛んei★θ｝9e−．．．・f Q（n）・m・廠． ・ep・e・ent・ti・n・f埣）i・（λi．ゴ，紛㌶．．。。 f・・al1・≧0， wh・・e w・d・丘・・ λm，・’

_{秩@O f・； all．m＜0・ …  、・，．』』・、，一 …・．…}

   Si・。・M＃）i・b・u・d・d， th・f・・exi・t・φ（・）∈・Hg・（μ）wh・・e k−th．恥・・ie・ ・・e伍・ie・t i・λk，。 fr・m．th・ab・v・Th…em B． Th・n M夢）i・unit・亡 ily明・i・al・nt t・Mφ、。、andヰn）i・unit・・ily・q・ival・nt t・TiP・。・． Si・Ce ∩㌫・k・・Ak−（0）h・ld・，φ（n）」・n・t・・P・tant・S・， becau・e・M6・めi・th・ mi・im・1−・1・xt・n・i・n・f勾，。・，M曾）i・th・mi・im・1−・1・xt・p・i・n

g畔）．Th・・   ，．  ’tt‘三㌦

Q（n）−v｛雌）㌦κ≧・，∫とP（n）｝

．h・ld・by・h・fa…eferred・・i・§・．・， wh・・e雌）＊k th・adj・i・t・f埣）I H・nce． is the k−th power of          

L2（H）一ΣΦQ（n）

        n＝0       −SV｛MSn）＊kf、 k≧・1∫・P（n）｝         n＝o       ＝V｛MF’kf；k≧0， f∈H2（H）｝， holds and so MF is the minimaJ nQrmal・extension of TF．口、    L・tφ∈H。。（μ）b・anOn−c・n・tant fu・・ti・n ・nd’ d・丘n・φ6（・iθ）＝ φ（e−iθ）．Then the ，dual of Tip iS Tipti．More泊ver， ifφ＝φ‖，then Tip is a self−dua工subnormal operator（See、［2D， The following are the generalization of these facts．

1．SAI『ro” 141 COROLLARY’1． 1シet F∈H『く）（B（H））．beα5．in・the above theo7・em・and・・let       二 ‘・  ：   ．1 「     ・・い＝＼、．t’        Fロ・＝F（・−ie）＊∈L°°（B（H））． Th・ηF‖∈H°°（B（H）），・恥帥μ喝απ4勾．i・tゐ・伽1’…f・TF． pRooF． ．Let｛Ak｝be the Fφurier coe伍ciepts of F． as in．Thegrem 1． 、

E・6h艦i・n・・m・1 and血・tμally・・mm・tati・e， and、iS C卿泌t飴rぬi

嘩頂・ke「An＝（°）・B・Le輌1．．，…．＿．．、．』、

       

       FLΣA；・仇θ     （4）

       π＝0 holds． Therefbre Fti：∈H°°（B（H））， andハZFti is the minimal normal extension of 2二F6 from our Theorerh’1．”Sinc￠．M副H2（H）⊥is unitarily equivalent to乃・，henl e乃・is pure by Olin’s theorem referred to in§1．2． The above unitary eqdivalence also shows thaξTFti is the dual of TF．□ C・諭醐2．11泌F・．H・・（B（耳））一’ lbe’

ｲth・ ，dbQve’iiん・6陀晒れ4

・卿8e‡』α・hA・i…e炉・輌t卿α￡・噛・W遠≧巨4』殿

is a seif−dual subnormal operator．         ’ ‥．

PRooF． This is clear’ from（4）and Corollary 1．口    Corollary l 2 gives an example of a sel￡dual subnormal Operator which is different frqm those of the type treated in Theorem A．

§3・ Toeplitz operators with operatorl−valUed ’』analyfic symbbl

   whose Fourier coe伍cients are not compact

In this section we consider「丑）eplitz operators with Operator−valued ana戸 1ytic symbol：whose R）urier coeMcients ’i e not necessarily compact． Sup

pose that Ao，・41， A2∈B（H）are commutatiye normal operators with’

ker／12＝（0），and／1」＝Of（）r allゴ≧3． In this case the condition that Al

C盟霊ぽ㌣tiS輌rleSSa「y t°．°ドtai輌∋、！ame C°nC’US’°n aS’n

THEOREM 2． sLε￡Ao l Al・i A2∈：B（∬）・こ6θあπ｝m偏α碗v’e nOrmal opetator8 and suppose that ker A2＝（0）． D（獅e       F：＝Ao＋Ae‘θ＋A2e2ie∈H°°（B（H）），

      F8ξ≒縄＋AI♂θ＋Aie2ta∈H°°（B（H））．・1’∵

 ヅ       ろ

鑑鱒卵卿im輌・硫’T｝i・ρ・剛4」嗣rεん・嘩im・l n・m・I

eStehsioh ofTk」40π00eちTF目勧九e．血砿（，f iTF・・ ．、・，』1．

PRooF．  We firstly show that TF is pure． TF is unitarily equivalent to ’ ．T’：＝・ 、40 ・41／IO

A2・41／IO

ジ・42ぺ・・

写：：A2’…‘・ gn耳㊥耳Q H（D」i「（D，・tt・・、（see、§↓．4）．，Lep，ハイ・be p redu尊ng s！｝1bspace，触r．T

・n頑i也τ垣・剛・・玲・m輌・aj・輌・卿d th・匝gl・d輌t卿

th…em， we h・ti・ ．   ．．s’，、、・＿、∵一・一＿＿

ピ  ．x、’こ ・1[芸’夕旙二’宕醇・『’ ∠4｛iAi’十・4142sAI三41三・・

 AIA2

  、，  ：  ， ’ r’・  ．

  ASA2

：， ・二∴『バ・0㌔パ・ i． ’．： ’・1・、−0』T ， 頭限the．域撫Jn・the・ab・ve瓢・iX a’e．“・e・・」巨；＝’（x・，砲，z2；…）忘 M，then      s：・三た∵ ：．レ，；㌍‥一・・．，1ご言・； ，．・一．『：．t・・、、・至 ・・．z  、ジ 0・＝三（T警TF−÷・T．IF｛TP）9く’ ・・ ・．・・ピ 1． ： ∴J−一 ．一       ・

    三（（寧i興繊〔麩i興麺媛匂・：；1・rg・ゴン’

So      ㍉・．il・．・…・…  、       ： ’・．’  ジ  ・…’   ： 』・一 ∵・ご 一：       ，ご  ノ

       （AIA1＋AIA2）Xo＋A5AiXi＝0＿・一・．   （5）

       ノ1｛ノ12Xo十ノ15．A2Xl＝0．       （6）

1．・SAITO、』

143

From（5）and（6）， we have  ．． ’．．−f l・’

、414・一．44鞭但1幽＋AI4・X・｝三A幽・X・＋聯…｝

        ＝0． Since ker．A2＝（0）and A2．is norma1， ker Ai＝（0）・and sO we get．xo＝0．

Thus AS．A2xl＝Oholds丘om（6）and hence x1＝0：So the first and

seoond coordinates of eVery element．inハイare zero． Since T＊M⊂M，          T＊（0，0，x2，x3，…）＝（AI￠2，牢2＋砲3；∴・）∈M． Th・・x・’−o・similarlシ・竺≡o品・all・n≧o・ρh；ゆe’M≒、て0）；、麺d・・ Tis pure・Sipce TF is unitarily equivalent to T， TF is pure． Define        Fロ・rAδ＋Al・‘θ＋A；e2’θ−∈㌍（B（H））． SinCe・4δ，・Al 1， Ai are commutative normal・opetators a nd’ker．A覆．’＝10，the same argument shσWs． thdt 1｝‖is alsσpure． MF is a lhofmal extension of TF from Lemma 2 and it is ea5y to see that M；IH2（H）⊥』is uni七arily equivalent to TFu．Since TFti is pure， MF is the minimal normal extension of TF by Olin’s theorem referred te in§エ2． CohseqUehtly we obt泣n the cgnρ1usion of the theqrem．，口tt t．  ．。 ・、．．：・   ．，．＿ ．，．    The following i． s an immediate corollarY to’Theore血2： ゼ CoRo肌ARY 3． Let／10；ノ11，ノ12∈噛、丑（H）、 be⑳ηzm漉αお∂e．5e、炉嫡o仇紘

9Pρ耐゜τ8α咋卿・鋤・舌k瓢・〒（OP輌C．．・、． ．・／t

”…．．・一・Fl三A。＋A、e・e＋A、e・θ．∈H・・（B（H））1’・一．．，

．興，畦，1ら・α剛郵○㍗bη゜m噸r〔．，＿一、， ．．‥、

REMARK． Let F be as in corollary 3 and supPose that‘ノ1元』≠0． Then the restriction of Tp to cl ran（TpTF−TFTp）is unitarily equivalent to・

（鵠・恥an・x−pl・・f・・e−b・・−al・P・・a・・rs⊇

Tpl・1・・n（TpT・・一・TFTp）i・n・t…叫whi・h、寧hgwr典t、窺典．頑

b・1・・gt・the clas・・f・elf−dual・・b…m・1・P・・at・rs t・e争trd、 i・、丁興・導 A．       ∵．．：・㌦tt㌻・』∫∴三1三・’一．⇒．’・

Acknowledgement． The author would lik6』tσ遠やfeSs 6i§」6incer♂gr泌

itude to Professor S． Miyajima for his suggestions and cotts／／ah壱 ’eri・do’6fii−

agement．

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