TRU Mathematics 21−1 〔1985）
DIFFERENTIAI、αU」CU［LUS IN A SPACE WITH BI−CONVI］RGENCES
TREATMENr BY THE METHOD OF甑BI）SPACB
Sets ln pt n．are c弧【ed prepeighbOrhoods of the origip O with ran】∼n．． A・剛・㏄・｛xk・％｝ i．。・f・ub・et・・f・i・ca…d・fUndan・・…se胆・nce， if （1）x、＋γ、・x2−t Y2・…．・・た当⊃．r・・ツ ， ・．．．・、． 』・ （2〕γた・㌦（k＝1・2・…）・ith・、・解2・…≦・友・…・… 〔3〕fb緬y．intege「砲．司）・． thgre a・・娘〉の・輌（亘ε竪が・k・口丘．、）such that Xk＋Vk・Xk＋V・Xk．、＋撫、一．．・・．．∴ ．一．・−1、。∴ ．
mor．eover， 尊thiS p司per we suppose t｝〕e following頭ditlqna］一／． cgndition，，． ‘1．『・・ 一． ．’1’．．・．．・・’・．”．’・’E ㌧tt ．・”． ． ・ ．』；、’ ．「 ロ ロ ’ Y・・uji。6 Mα蝸 …一@ 一’ 』．−』
1パ ・．（由㏄i鴨d吻1，．1985）：．馳．’・・．・ §0・ Introduction… 、 ．・ ．．．・ ’，・ The theory of differential calculus has been investigated in a’space， where：a．peighbOrhoOd、of the．ori9工n． has＼t｝▲e S）叩冨netricity：．二＼．．：．． ． ：、 「 「こ・ In this pape「・・t｝正・Will t取． tQ・§卿di￡fere・ti・！．・摯1叫U・エn．a・：興e・：．・・ where a neighborhood of the origin is not sy㎜etric． For example， one of such l，Paces is the Set qf．．a11． Teal nUmbers， where a，．neighbQrhoo∼1． o￡、，q pglnt． x is ［苫3 x＋ε） for ε＞0◆ This space is nonmetrizable㌔碑．two．．・different kin4s：： ・f・qw・r9…Care d・fi・田軌．i・・1．・．．、．．．∴．．一、．．．∫．．．．．∴ In order to study this theory， we will ta1（e thp mpthed．． Of rapt（ed、iξ…pacβ．、． 1・§1…d・fi・・th・1inear r皿k・d・p・◎・ed i・旬・画・e・，旦・d、、P・・p眠、 恥c°ncept・ρf、different kind・・qf c・nVerg・nce・and．・・甲e，．・ρtign・，…1垣§2， ye・1・ define two concepts of differentiability． In §3， we・prove the mean value theorem● ・ ． ． ．． ． ． ． 、 ． ． 、 ． ｝ ． 」 ． ． ． r ． コ L 「． ‘ °r ・ ’ 1” L 圃 ．z ‘ ． ． ． 噛 」 r ぞ “ F ヒェ ・ ． ρ §1． Linear rahked space． ’ LβtEt∼e． a．1inear．spa『e ovql the reql ￡‡eld．／R．へ Suppoge that「a、sequence ｛魅。｝；O・f師・i・・ρf・sUb・e・・鄭i・gヰ・・n・・．・a・i・fy・．，th・f・11・wi㎎・・ndi・i。・（E・1）・ ．・、 ．．．．． ．．．．・ 、 「． ∴．
（E・・〕吋飴・㎝y噂・．U二。Pt。．． E・、Pt。；q」・d・f・r．皿y．唖．and fb・、a・y． intege「η≧いheTe ・a「e．Pm・th・・i・t・g輌〉・． ana・μ・X。’・ゆ・1・・g叫・・． ・・ 、．． 一 ＼ 1．『 ’ ・ ’ ．’ 『 ’．、．．「． 105106
Y．NAGAKURA
， − 【 （4）㍗γ2・rr°・㍗．…・． 、 If鍔、・・2・…＝xk・…・Oin giv・n f㎞・㎞・・t・1・餌u・nce｛Xk＋Vk｝・w・ ・i・・plycall it°−f・・．・｛Vk｝・Gi・・n a g−f・・．ご叩・・．1eピ ‘
’ 宮〔｛Vk｝〕・｛x・El f・r each，k・therC i・λた＞0・u・h th・t x・λれ｝・and
Et（｛γk壬）＝Sp・n・E（｛Vk｝〕・ ． ． ： ． ． ∵ 1． … 「」 ｝〕satisfies the following condtiOns（亙．2；3，4’，5りin additi6n If（E，｛8 n t・（E・1〕；thCn1宮＝（E・｛Pt。｝）ir ca11・d・1i・ear：・anked．・pac・・ （…〕・・r頭卿。．t°．・・f・’s！b｛Vk｝ヒat・d｛〃た｝・・here i・飢・th・f b一言・・：｛喉｝．・u・h．th・t・Vk t・Uk・％f・・eadh． k・ ’ 『．吊 『 ゴ
（E・3）F・r孤yOイ…｛Vk｝飢dλ＞0・ther・a「・intege「S l≦in（1）．≦m（2）≦…−m° andた。・1・u・h』t｝適・λVk・Vm（k）fb・k・た。・ 』’ 一
（E．4’） For’any γ．∈’恕 and O≦λ＜1， λγ⊂y． ． ‘ ’ （E・5つF・r孤y・・E，there i・aO一了…｛Vk｝・uとh th・t殻宮★〔｛Vk｝）・ ． A 1inear ranked space E is said t・b・〔・−T、〕（・f・［2L［3］）if・〔・一’T、）；if f°迦y了・s・｛xk・’・Vk｝・n（xk＋Vk）is n°t㎝P聾・血㎝，it i吹@a ．set°9°ne p°int・ DEFINITION・1・1・〔・f・［21〕・』’』・α0一ア…｛Vk｝・α・・q・・ne・．｛馬戸腕・ ・aid鋤・R−｛Vk｝￠・…rg・nt’ tb’bO・E・ ih・』Z・．・。→・（ル叩）・i王f・・ a・y’・k’』・z・・k su・乃微力…k伽zz・・x。・x＋Vk・Gご・ア…｛〃k＋vた｝・α
sequ・m・・｛g飢がssαz∂加b・P醐一｛Vk｝一・・励・・g・励力… E・in・卿・Z・ Xn→・’ iP−｛Vk｝）・’￡f鋤’・α・ほ』・”i・・k’…1・乃伽…た伽Zi・・x。・〃k＋Vk． ・編…Yk＋㌦勉．・α・ほ㌧AZ…｛⑳。｝i・ ’said F・カ・R（・θsp・pan・）一…vei」gent カ・X・ in・卿Z・・。→at（R）（r・・p・（P））・碗。→・（R−｛Vk｝）〔・esp・（P−｛Vk｝）） f・…m・0一ア…｛Vk｝・願已・‘・αZZぬ品』（resp． P）二Z硫・f｛・。｝・ Now， we consider the fbllowing additional assumptions 〔A．2’，4，5）fbr E＝〔E・｛Pt n｝〕・曲i・h will be a・sul・1・d f・・quently in Yhis pape「：．、 （A・2つLet｛Vk｝b・aO一ア・8・・lf己。→㏄θ（…p・（P）〕・｛・・。｝e Ek〔｛Vk｝〕and x・E“〔｛Vk｝）・th・n・Xn→￠（R二｛γ瓦｝）（re・p・〔P−｛Vk｝））・tt ’『内 （A・4）L・t｛Vk｝−b・．・0イ・9・’・and・y・E・lf’ ・k・y・Vk’ f・・ea・虫た・th・n th・re．i・” ｛m（k）｝su・h that｛一・・。（た）＋Vm（友）｝i・aア…飢d f・r・≧m（瓦＋1）・ −xB＋Vn⊂一`（k）＋Vm（た）・﹁ ASPACE WI［［H BI−．00NVERGEN（ES TREATト正NT 〔A・5）L・t｛γた｝beaO寸・… Th・n．．fbrea・h．kth・…i・δ．・0・u・ht｝抱t ． （Vk・8Vk）・α†δりVk f6r10・δ’・δ・．．「
@ ・ …』 「
L醐1・1・乙・カ｛Vk｝カ・α0イ…i・E・ati・カW（A・5）。 th・n f・r・a・・h一 たthere is k’sueh thαt Vk’＋VkC Vk・ ・hereph；二，こ・（A・5）the「e i・δ＞O ・u・h th・t Vk＋δVk・〔1＋δ〕Vk・By（E・3・h・t〔…）一’Vk・V、’am・（…）←’7、・・k’・T・us） Vk’＋γた’⊂Vk・ 「 ’ ．’．・ PROPOSITION 1・1・lf E i・α（・司）Zi・…醐㎞！・p・・…ti・カW・（A・4）・』n an晦sp・P）“
@゜τ・’9・’Seq4enc，・｛x・｝鋤・諏・ゲエit「』・・ PROOF・．S“pPese xn→x’（R−｛Vk｝）鋤d㍉→〆〔R−｛Uk｝〕・孤d・h…e．・0−f… ｛％｝such that㍗”κ⊂Mk by（E・2〕・輪．there i・・㎝・・明・・眠｛・、｝・u・h that tu・、鑓＋Y・ and・Xri、ε〆＋Uk・［thus Xhk’f ec＋”・ and・x・、 ’＋％・H・ndti・’by 〔A・4）the「e’s s°me subseq”ence｛た’｝such t油tj，」％’｝’・af・s・・S’nce
’緬d−〆be1°ng t°∩（一x rl’ ，@』nk”）・・＝〆by the pmpert・・f（・−T・）・M…
the皿i∼岬ess．°f・P’1血it．is clear by． th・d・fi・iti・・．・f（T・一・T l）・ ㎜U…1・〔cf・［3D・R、・th・rea1・pace R・曲・・e n・ighb・血q・d・・f O are｛・・RIO・苫くε｝fO・r・0・Thi・ ・pace i・n・n−m・t・i鋤1・． L・t；？諜隠ご、惣ご゜Cl麟；1：ご1漂鷲εIL田
space， which satisfy 〔A．2’，4，5）． ． U…㎜1・2・・〈吻・η・0イ…｛V？ i・ E・ati・fyi・g（A・4〕． th・．f・ZZ・Ui・g q・晒一 tionsαr召equivaZθnt． ． ・︺︶
ab
︵︵
（c） Xk→⑳（P−｛Vk｝〕・ ・． Eわ「eαch k劫θ㌘θis ko suehがUαt forαny k’≧㌔ （Xk’−Vk）P（苫一γた）刈 、 ．’．’．1 Fo㌘eaeh友the㌘e恒ko SUθh．thαt for． any．k’≧㌔ PROOF．． Xk’∈x＋％一γk・ ．IC xk→x（P−｛Vk｝）・th・n by恥f血iti・n・1・1 there i・af… 107．108
Y．・NAGAKURA． ｛〃k・Vk｝with・・…．・・（Yk＋Vk）su・h th・t．th・fb11・岨ng・atisfies：’F°T ea（血』『 た‘ther・i・㌔・uch th・t fb・頷yた’≧㌔xk’・翌た＋γk・by・・x・Uk』＋γ瓦；Yk E・te−Vk 紐d・・xk’・x・γた一Vk・thu・（b〕・nd（・）ar・・bi・i皿・・A1…（b）→（a〕⑩d （c）→（b）．are easily seen．．一 、 ．「 ・． ・ ．1 HぷA1・3・□・口・E〔｛Vk｝〕f・…m・吋…｛Vk｝・砿λ。∀0・th・・λヂ→0 〔R−一｛γk｝）・ ． 『 ・・．’ ． ’ ． 1』 ’1『． PROOF． See ［1］． ． ’ ・ 」正剛A1．・A． Suppose that互r satisヂies 〔Ac 4−5）． 9 ・ 『 （・）ff・・h→x・（P−｛Vk｝）唖㌦→〃（P−｛Vk｝〕・th・n Xn＋Yh→x＋・y（P−｛Vk｝）・ （b）ff Xn→x（P−｛γた｝）・城λ・R・』㌧→）・X（P−｛Vk｝〕・ 一 〔・）恥。・→x（P−｛Vk｝）］x∈E★〔叩）⑳Ut・λヵ→0（λ。≧0〕・． th・・ XnX→0〔P−｛Vk｝）． ’ 1 L ． ・ ．PROOF．、 （a〕． BY「1．e㎜a 1．1，．fOr・eaghた．there is た’ su（；h that Vk」＋Vk，⊂．Vk； By ，Lgpm・1…2（・）・f・r ・a・b・k’th・てe i・、㌔・u血that f。・飢yた”≧㌔・． Xk−・￠＋γピVk’and yk−f’9” Vkt． Vk’・岨s°・た〃＋9た〃・￠’y＋㌦二＋γた’ 一〔㍗・Vk’）・苫『＋』y＋』％一γk・lh・・Xn＋Xn→x“y（P−｛Vk｝〕・ 〔b） there isNCk→he
（c） If・た’・釦・Vk一γk頑−−λピR・th・n戦’・he＋λγゼλVk・By（E・3〕・ 伽〔k）｝（・㈹・・〔k・D→・・）・u・h・h・t1λ1Vk・γ。（た）・ 〔P−｛γた｝）・ If苫た’．∈∬ザズγたβnd・1＞、㌦’・0！then by（E・4つ ロ t 『』λ〆瓦’ζλピ＋λた’Vk一λk’％⊂λ〆＋γた一恥Thus
−Since・x・E“（｛Vk｝）・there a・e mn−n・g・輌・㎜ber・・飢dβsuch that x・一・刀Eβ7k・．．恥・・λk’・…畝西＋．βλk・Vk ・nd・・飴・1arg・た’・such t｝蹴 ・λた’・・apd Bλk’…λピ・・−7k＋γた・H・・ceλ悟’・Vk＋・た一〔Vk＋Vk）・The「ef°「e by L㎜・1・1・nd 1・2〔・）ダλれ→0〔P−｛γ瓦｝〕・ ． DEFINITI（）N・1・2・F・r・・ubset S・f E・nd・O−f…｛％｝i・・E・th・R（…P・P） 一｛Vk｝−o Zosure 5（R−｛Vk｝〕（resp・5（P−｛γk｝〕）of 5 is the set OfαZZ．虚∈E＄qch劫αカ there is｛苫n｝inσwith Xn→x（R−｛Vk｝）〔resp・〔P−｛Vk｝〕）・AZ80・・is said to b・・R（rθ8P・P）一｛Vk｝一・z・sed・if・s・5伍一｛γた｝）（rθ3P・3（P−｛γた｝〕・ DEFINITION 1・3・乙・段』鋤￠・Of・E・。C已・nd・｛Vた｝ゐ・・0−f’・・毎E・ Then X i＄saidカ0加αη1∼（resp・P）一｛Vk｝−interior point仇Dザ幼θrθis some ㌔皿θ力微力γ㌔⊂D−x（「esp・Vk． ” Vk°D“x O O〕1109 ASPA⊂E WITH BI−CONVERGENCES TREATMENT ［Eun 1・5・（a〕x・S〔R−｛γ k｝）if・nd・n！y if〔x＋㌦）f・S・φ・for eaah k・ 〔b）ms・（R−｛γk｝〕＝u〔R−｛％｝）f・・ any x・o・ 〔・）（IIF；3） （R．一｛Vk｝）−x＋5（R−｛％｝）f・r・・ny x・E・ ． PROOF． See ［1］． LEMMA 1．6． Suppos● ヵ乃αヵEsatisfies 〔A．4）． 〔a〕…5〔P−｛γた｝）分唖・移〃Zf（￠−Vk）・（3−Vk）・φ伽θα・ほ・ （b）fS〔P−｛Vk｝〕＝λ百（P−｛yた｝）f・…yλ・R・ （・〕・（ひ（P−｛7k｝）−x・言（P−｛Vk｝〕伽・砲⊇・ 〔d）田・・力埠・・〔A・5〕・th・・5〔P−｛Vk｝）i・P−｛Vk｝−eZ…d・ 〔e）五・tEゐ・（π一タユ）・輪・｛0｝a・P一咋一・Z・sed・for an〃 O−f…｛Vk｝緬・ PROOF・〔・）L・t・・百（帥た｝〕・then th・re i・｛xk｝・3・u・h th・t・た→・ （P−｛Vk｝）・血1s by L㎜・1・2〔b〕・〔・・一γ瓦〕・〔S一㌦〕・φf・r・achた・C・…se・y， let xk・（x−％〕∩〔5−％〕f。・・ach k・th・n・here are｛批｝・5・u・h・h・t Yk・xk・㌦ 飢d苫咋＋Vk f°「eachた・By仏・4）血ere i・伽㈹｝・u・h・h・・｛x。（k）＋Vn（k）｝ is af・s・・西・・Yk→x（P−｛㌦｝）・nd・…豆（P−｛γた｝）・ We see eas ily（b）and（c）by Definition 1．2 and Lemma 1．4． 〔d）L・t？＝5〔P−｛㌦｝）・th・n㌘（P−｛Vk｝）・㌘i・・bi・i・u・・F・・eachた，・h…e msuch that㌦＋γ。⊂Vk by L・㎜・1・1・lf・・互（P−｛Vk｝）・th・n（・一γ。〕・〔T一㌦〕・φ・
伽・there are u…㌦andωd・u・h th・t・・一・−w→・Since・・㌘，
（ω一γ。〕∩〔5一γ〕≠φ・A・d・。＠一・＋・一γ。）・〔5一㌦）・φ・H・・ce （x−v−v mm）∩〔3一㌃㌦〕≠φ・皿・・ef・r・〔・一㌦）・（5−・k〕・φ・・d・・∈言〔P−｛％｝〕一・・ （e）L・t・・価〕（P−｛Vk｝〕・th・n f・・each・k（・−Vk）・〔−Vk）・φ・而・・ther・i・a seq・・nce｛Yk｝・u・h th・t一鞭・一・・＋・k・・d一鞭・・k・［［hus一批→咋一｛％｝〕孤d 一批→0〔R−｛v k｝）・By P・・p・siti・n 1・1，・・0・ DEFINITION 1・4・五・カ｛γ瓦｝カ・α0一τ…i・・E・Th・n・a・・わ・・カ5・碗・・αid励・R−｛Vk｝一ゐ・・雇⊇アth・r・ i…θ』已θ｛λk｝・f p・・鋤・編…S顧
吻力5⊂λピた鋤θα・ほ・A sequene・｛x。｝仇臨・αzz・ゴ・n R〔Tesp・P）一｛・k｝ −quαsi b°u娠・θ9一θ（R−｛Vk｝−q・b・…esp・P−｛Vk｝−q・あ…〕ゼτλヂ。−o 〔R−｛γk｝〕（…p・（P−｛Vk｝）〕fo” any・・卿・θ｛λ。｝・τP・・鋤・・漉・・s励微力 λn→o〔n→°°〕 L団胆・7・乙・ts・・E★〔｛％｝〕・th・n｛x｝a・P−｛Vk｝−q・わ・… PROOF． By Lemma 1．4〔c〕，clear．110 『Y， ，MGAKURA ’ 皿FINITION 1・5一五・t E・〔E・｛取。嫡・Z鋤tZP rctnked・ραeθ・F・＝（F・｛m。｝） ふ 1）θα Zinea！？ranked 8ρα6θsatisfyin≦7 （A．4） α煽．Z）カθαsuZ）sθカof E「・ ∠4 mapptng f・D→弼・・α翻古・ゐ・e・・tinu・bt’s・カ・・D分鋤・α雄f…｛・k＋Vk｝in E．碗抗． α∈∩
a{Vk〕・坊・r・z・αoイ…叩in F・励微力鋤・αch k
τ〔〔・Ck＋Vk）・D〕⊂f（・）＋喉一％・万μ・e・ηWα・Sα垣・・y・・〆・瓦幼・漉Sα〃硫μS・・η㌦碗・・η「〆・
§2． Differentiation． 「 ’‘ ． ． ．− 1・thi・ ・ecti。h’・’「1・t・宮’a；id・F be−」inear r飢k・d・pacr・．・ati・垣㎎（A・4） and一16t D be・a sub≦et・of E． ゴ ’ 庇F・N・Tt・N‘2・・訂・；鋤⑳R−〔㌘esp． P）一｛・瓦｝−ih…iゴ・仇励・和・・㎝・吋：・：｛㌦｝鋤・』吻・旭pp碗f・．・−F囁i・・α仇・カ・1・』・・）一瑚「…競一
dbl…1
ｲ獅一z8αc・輌゜ 励rqr剛ve卿四→F’f°「．『
which ’ ‘ h ’ ・ ’
（2・1） Y：Z）一⑳→F3 Y（h）＝f〔鐙＋h）−」ρ（x）一兄（h〕・ ’． ．（h∈Z戊一x〕．sαtisfies仇θカzz〈ntng．oo城碗o川 ． ． ．
』・z・・o一
ｹ…．｛σ。｝玩F⊇㈱ ．． ，．・ 「．，
（…）．λ；’・〔・。ひ一・〔・二ω。｝）、 ’． ．．』
カ・・α碗〔resp・P）一｛Vk｝−9・カ…｛h。｝碗・娠αc海・・qu・旭｛λ毒｝・ヂ・ぽ励θ →．0（η→。。）． ・㎜ゐθ‡？8 with λ η LE㎜2・1・写（2・2）h・Zd・f・？ giv・・0イ…｛γ瓦｝・砺・f・ny・ny…7Ztenee ｛λk｝〔λ瓦ナ・・λk・・〕唖拘・α閲f…｛・た・Vk｝・効・∈∩＠k・Vk）』励・｛姻｝ suoh劫α古for eαehた’≧m㈹ ・λ2・（・幽’†Vk’〕）・σ、−Uk， PROOF・S・PPO・e th・t there areαf…｛・・た＋Vk｝with O・∩（xk＋Vk）・a se胆・・ce｛λk｝（λk ＋O・λ左・0〕・nd・。・u・h th・t f・r eachたthe「e is k’≧た Wi・hλえ1・（λた’（xk’・Vk’〕〕‡〃石・。・舳we c皿・h…eた、・た、・…孤d O O㌧‘y・ゴsuch that
〔2・3）λ弓・（λkゴ＠k、＋㌧））㌦”・。・ ぐ
ASPACE WITH BI−CONVERGENCES TREATMENT
S血ce一
d→0〔P−｛γ k｝〕and ・k→0〔P−｛Vk｝〕・by L・㎜a 1・4 we see；21㌫1熟；蕊2元1已ご：：蕊∴：1；i，；1 n’
∂ 3 ∂ 刑…OREM 2・1・五・垣●四工｛％｝−i・t・・i・・P・i・t in D・nd・f・ρ→F，ゐ・P− diffe㌘entiαbZeαカX． Then f is eontaOUOUS at X． PROOFコ・t，αf…｛％＋％｝in E with x・吻た＋％）b・giv・n・th・n by （E・3）there are’卿・・ces｛λ瓦｝〔λた・0〕．and｛姻｝〔m（k）・m〔瓦・1）→・・〕跳㌶鵠、y：1。麟講2聰’，、3㌫鷲噺’
is αf． s． in E． Let ∫↓and Y be as in Definition 2．1． Then by Lema 2．1 therei・aOイ…ωた｝i・F・u・hth・tf・r・achた
・志）・〔Y。（k）一・・λ娠）・h’（k））・Uk・一・Uk・ Since 2 is c°nt皿゜us・the「e is a O一τ・S．・｛喉｝suc晒・t 兄〔Yn（k）＋㌦（た）〕r兄〔・）＋％一”k・ By〔2．1〕 f〔Y。Ck）＋γ。ω）⊂鋼＋兄（Yn（k）＋γ。㈲一・）＋Y（㌦（た）＋γ。ω一・） ・f（・・）＋㍗一％＋Y〔㌦（た）−x・λ。ω㌃（た）） ⊂飼＋咋一㍗＋λ娠）”た一λ。（漁・ 砲e「e〃・（k）＋V。（た）⊂Df°「1a「ge“ec皿se°c手saP−｛㍗｝−inte「i°「p・i・ti・D・L・t・0イ…｛嘆｝…hth・t嘆・㍗＋λ娠）σk・m・n
f〔Yn（k）＋γ（た））⊂王〔・・〕＋隈一嘆・ And so f is continuous at oc．L醐2・2・写万・〔・−T、）微ぽア・D→Fi・R〔…P・P〕−diff・㌘・励・bZ・
・勧・砺・hi・αn R〔resp・P）一｛Yk｝一゜；・t・・i・・p・in古in D・th・n 2 i・D・飾坑・・ 2・lz・鋤w・z〃翻・・7mind an E’ft（｛％｝〕・ PROOF・Let兄、・￡2 be linea「c°nti㎜・u・m・pPi・g・f・・m E★〔｛Vk｝）int・F such that111
112
KY．NAGAKURA
’ ㌃θ＝f〔x＋h）−f〔x）一見．〔h 9） （h・D−・・）・ゴ＝1・2・ 孤d supPO・e Y、飢d Y2 b・th・ati・fy〔2・2〕・L・t已〔｛γた｝）・th・n h i・an R 纂㌶鵠：s°嘉t讐ab；’⊇1：1’〔［El・U・f・r｛λk｝（λk＋O〕・・）there a・e O“f・・！・｛Uk〔ゴ）｝ a seqUence ｛n〔k）｝「〔η〔た）〈η（た＋1）→。。） such that for each k ・；lk）・ゴ（λn（k）h〕・Uk〔ゴ）一・k〔の （ゴ・…）・ 旬…λ；lk）［f（x＋λ。（k）h）一了伝）］・・ゴθ・〃、〔ゴ）一〃、（ゴ）（ゴ・…〕・ L・t｛役｝b・aO−f…i・P・u・h th・t Uk〔1）・〃瓦〔2）・Ek・thp・ ・；1、）げ（・・λ娠）h）イ〔・）］dゴ（h）・㍗一互・ Thus by L・㎜・1・2（・）・nd P・・p・・iti・n 1・1・兄、（h〕＝見2〔h〕・ DEFINITION 2・2・S・pP…Fi・（・一『、〕・nd・卿PWア・D→F i・R （”esp・P〕一萌ア…屹わzθα垣・吻r・xz・αn・R〔・θsp・P）一｛Vk｝一屹励・P・i”t in D・th・・吻Zi…zr’…㌦…卿pWえ・Ek〔｛Vk｝〕→F i・D・飾仇伽
2・1i…ZZ・d輪R（…ρ・P）−d・・鋤仇・・fアat ・ wi』・・ρ・c協｛Vk｝・煽
i・d…カ・∂勿f’（Xs｛％｝）・・rゐ励Wf’＠）・ Lwm 2・3・乙・カ⑳カ・αn R（…ρ・P〕二｛Vk｝一鋤・・鋤ρ・i・t i・D・㎡右・ち ゐ・R（resp・P）一∂媚・・θ・tdnbZ・ ・t ・・． Th・好ユザ2 t・R〔・esp・P）−diffe・enti・カz・ ・tx・鋤〔ち±f2〕’（x）＝fi （x〕±了5＠）・ PROOF・L・tア±＠〕ゴ〔x〕±ちω・nd 1・t… D・fi・iti・n 2・1・ W〕＝静＋h）一后（x）−2ゴ（h〕 〔ゴ＝1・2）・・nd Y，（h）＝f・〔x’・h） −f±（x） 一［21（h）・￡2（h）］・The・ YL＋伍）；Yユ㈲・Y2ほ）・
L・t｛hk｝b・an R〔reSp・・）−9・b・…nd｛λk｝be s・・h・h・tλた…th・n・h・r’ E are ・−f・・！・｛Uk（ 」）｝・・・…h・h・tλ元’・」〔顧一・（・一｛〃、（」）｝）・（ゴ・…〕・・・…‡・霊；㌶i，1篇、篭1㌶鑑c濃、驚：當〔㌫），
diffe「entiable at x・nd・・R．・㈲＝Sl・、㈲・兄2θf・r h・E★〔｛㌦｝〕・113
ASPA（E WITH BI−CONVERGENCES TREATMENT THEORHvf z 2・2・乙・t Rユゐ・α・in Ex卿Z・1・Dカ・・』・t・芦、・nd・E b・ ・（π一Tl）乙砺・m・ panked・pασθ・Zh・ηア・D→E i・R−differen協bZ・αカ・・，吻・・ Xis an R−intepiOr point in D分and・殉if thereα㌘θαtinea”・0η力拠・Z｛S卿W畑、→E・娠0イ…｛Vk｝碗・励微t・fio・ any・・⑭・・伍。｝ih
R、w勧．㌦→0（R〕・（h。＞0） コ 〔2・4） ㌃Y〔hn〕→0（P−｛γた｝〕・（Yθ・ア（・・＋h）一τ（・〕一兄㈲）・ fn thi＄oαsθ． forαzzλ．cR． ωθ denote 兄（1〕＝f’（x）（1） Z）1イ f・〔x〕． 三？hus τ’（x）（λ） ＝λf°（x〕 PR・・F・S・nceんh。｝is a・R−・．・．・．・・R、，・・㎝・・f・…i・n・．・hA’Y〔hn）一・（・〕・・一・e・・，・up…e〔…〕…d…f｛hn｝is an吋．・．・．
㍊；篭罵．f°ww。｛1：｝蒜灘二＝s。1㌶；、n
Eand a．sequence｛n〔左）｝ 〔n（k）〈n（k＋1）→。。） such that for n≧n（k）， （・nhn）一’・（・。・・。〕・Vk−r・k・By（…）・here a・e seq・・nce・｛姻｝飢・｛・k｝〔μk→°・・k＞0〕…hth・tγk・悟（た）・m・・f・r…㈹・
〔・nhn〕一’Y〔・nhn）哩菱一・近・曲・・e ・i・㌦（k）・・f・・輿・⑭・m刷…㈹｝，概＝μ姻㎝dγ㌃＝Vi（。）・th…esee th・t％→0（・→・・〕・｛γ玲・・イ…i・
Eand for eachη ． ・ （μ“nhn〕 1 thu・〔P’λh＿nn12）一⊥Y〔λ。hn）→o ・eeλ：ユY〔λ。h。）一・ ＿1 Y〔λれ、）・Vfi’・γ；・ 〔P）・Sinceμれ→0（R）i・R、・bソL㎝m・1・4（・〕w・ 〔P−｛％｝〕・ §3．The mean value theor㎝． 皿…0肥V「 3・1・L・t Eb・・（・−T、〕Zi・・…α・碗・P・…ati・力物（A・2つ 翻（A・4−5〕・・nd R、ゐ・訪…αZ・ρ…i・ E・・mPZe、1・L・t・・β・・d Zeげ・［・，β］ 〔cR、〕→E・nd ￠・［・・β］〔・R、）−R、・ati・カ』∫bZZ・wi・g・・娠伽・・ 〔a〕f andφ卿・・ntinu・US on［α，β］； 〔b〕τ and ￠ av・R一晒…nti・b』t・・α・h・P・i・・ x・［・・β）＼D、・吻…、 zs at一η∼osカeo顕力αわle； 〔C〕 φ is monotone non−decreasinθ・ 鋤輪励…Z・カ｛㌦｝●・α0一τ…i・・E・・dBb・α・u力set・f E・αt’i・fuing 〔d〕f〔［・・β］〕・E＊〔叩）・nd・f’〔［・・β〕＼D、）・E「k〔｛Vk｝〕； （e〕Bi・P−｛Vk｝一・Z…d鋤i・・…・α雇踊★（｛Vk｝〕・φ・11．4
Y．NAGAKURA
ff f”〔t〕‘φ’（t〕BぴαZ㍑∈［α・β）「＼D・・』．@． ’．．
王〔β）一τ（α）∈〔φ〔B）一φ（α））B． PROOF． As the proof of the mean value theorem in ［1］，．we may assuロ1e withoutユoss of generality thatα＝0，φ（0）＝Oand f〔0〕＝0． Rlrthemore， for ・・B・B・E★〔｛Vk｝〕…n・id・r fi〔カ〕・f（t）一φ〔カ）・・。 md・、’・・一・。6・．lh・『エ・ ・・nv・x ・nd P−｛γk｝−c1・・sed by L・mmq 1・6〔・）・皿d己・qti・fig5〔・）・〔b）． and〔d） and O∈Bl∩Ek（｛7R｝〕． Therefore， we may assume that OεB． For simplicity， ・・t♂・言（・一｛Vk｝）f・r each・・E・ N°w・tg． P「gYgi f（β〕∈φ！β）B、・it is en°ugh t°sh°w．、 ・ f〔β），・φ（β〕（・＋−Vk−・R）αf。r・eaCh・k， ifφ〔β）・・； 〔3二1〕 ． ” 〉 ” ・∴「ヂ〔β〕・〔・た一Vk〕α・ f・士eachたグifφ〔β）．…． ・ For， in CaSeφ’（β〕・0， if f⑥・≠0， theh since｛0｝α＝｛0｝． by Lemma 1．6（c〕；the
se is k・ by Lemma 1・6（a）・u・h that㈹一㍗。〕．∩〔−Vk6）＝φ・Letた’． be by L・㎜・・・・…h・h…E＋歴㌦。・The・〔f（β〕−Vk’）・∩（〔・だ一・∂当∼＝φ・ 伽・τ〔β〕’e（・ピーV∂α・・hiCh・・五tradi・t・〔3・・）・’・ri’ca・eφ〔β〕…ifτ〔β）＋φ（β〕・・三燃2：i藻il：1・蕊 〔㌶1嬬〈’・〔 ㌘
・．T。 P・・ve（3・1）・fiX k ar・d set V＝Vk・・L・t・＞Obe a・bitrary・・nd・fi・ed f・「awhi1・・L・t苧｛Pユ・ρ2・…｝飢d・・n・ider th・fm・ti・n ・（・〕＝φ（・）＋ε・＋εΣ，。・・2’n． 〔°≦・≦β〕・ Then X（0〕＝O and｛v（s〕＞O if s＞0． Put 、4＝｛t∈ ［0，B］lf〔s〕 ∈X〔s〕〔B÷V＿γ）α for all sε ［0，t］｝． Then， 0∈A and ［0，t’］⊂、4 if t∈A． We shall show that 、 〔3．2〕’ Y＝sup A∈A and Y＝β． If Y＞O ・nd t。＋Y・th・n｛tn｝i・para c・nverg・nt t・Yin R、・S｛nceアis ・・nti㎜・us： ≠煤@Y・τ（tn〕→了〔Y）〔P）and・X〔カ。〕・X（Y）・By th・fi・・t・・nditi・n・f （の，f〔t n）飢df〔Y）b・1・ng t・E★（｛㌦｝〕・Thu・τ〔カ。〕→ア（Y）〔P・・｛γた｝〕by〔A・2つ・ ・・nce by L・㎜…4X（t。）−1f〔tn〕→X〔・〕一’f（・〕〔P−｛・k｝）・Since X（tn〕一ユf〔tn）・ASPACE WITH BI−CONM巳RGENCES TREA］1 ffff （B・V一のq，X〔Y〕−1τ（Y），〔B・γ．のαα・（・・γ．の○血d，。Y。h．・fY・0， th。。 τ（Y）＝Oand X〔Y）＝0． Thus Y∈、4 is clear．・ Hence−we see Y＝sup A∈、4． Next we shall prove that Y＝β． SupP・・e Y＜β孤d Y．aD、・S・t・f・r ．h＞0・㌦ ・、の＝f〔Y＋h〕一了〔Y）−hf’〔Y）・・2の〒φ（γ切一φ（Y）．−hφ’〔Y）・ ． ・fh。一・φ・・R、（o〈㌦＜β一Y），・h・励；’・、（hn）−b（・）飢・・；’魂，〕一・〔・）
㌶露謙認；｛㍑｝ぽne；：。：la㌶ll盤認｝冤：1〕：二・
find h＞0 （h＜β一Y〕・such that “． h−’・、（h）・2”・・−2−’・V’，ゲ’・、ω∈t・，・／・）一［・‘，・／・） ・nd〔2X〔Y〕〕−1・h・δf・・δS・・h・that v・・6v6〔1・δ〕v bY・IA．5）． 『 Si・と・Y・ちi．・．，X（Y）−lf〔Y）、（B・四〕α， by L輌1．．6（。）X〔Y）−lf〔Y）巳・ 〔B＋v−7〕÷γ 一V for eachη∼． Thus we have m η7 ・ f（Y吻＝f〔Y）＋hf’〔γ）＋．r、 m 、 ・x〔Y）（B＋v・一 Tf＋v一γ η7 m〕・n’￠’〔・〕B・2’一’・破一2二’・hV ⊂kx〔Y）＋72φ・（Y）〕B＋〔X（Y）γ＋2一ユεhV〕＿〔X（Y）V−F 2−1εhV） ・． ・x〔Y〕（㌃㌦〕 ⊂（X〔Y〕＋hφ・〔Y〕〕B＋〔X（Y）＋2−1εh〕V＿（X（Y〕＋2一工ε7z）vr ＋x〔Y）〔㌃γm〕・ ’ si・c・x〔Y）＋1ゆ’〔Y〕・x〔Y吻and x（Y）・2−1・h・x〔Y・F，〕by th・d・fi。iti6・・f x， ・・h・v・τ（・・h〕・X〔・・h〕〔…一の・X〔Y〕（㌃・m），and・・X（・）−1f〔・匂・X（・）一ユX〔酬〔B・剛・㌦・㌦f・reach、…hu・by・・㎜・…．〔・）ane〔b〕，
X（Y〕−lf〔Y・h〕・X（Y）−1X〔Y匂〔B・V．一のα． A・d・・王〔Y・． h〕，X〔Y・h〕〔B・V．V）α， i・e・，Y＋1z⊂A， which contra（1icts． Y＝Sup A． S・pP・seY＜β・・nd・y＝ρ。・D、・L・t｛〃i｝be s・・h th・tがY・th・nby th・ c°nti皿ity・fア・t Y・f〔yi）→f〔Y）（P−｛Vk｝）・廿・・by L・㎜・1・2〔・）we can find ξ （Y＜ξ＜β） suCh that f（ξ〕∈f〔Y〕＋2−1ε’ε；1＿・2−’1ε’εV for small ε’＞O such th・t（2X〔Y〕）−1ピε＜δ皿d 2−1。・ε＜2−n． Si。ce Y d，。， ab。v， di、cu、si。n w。 ヨ have X〔Y）一⊥王〔Y）∈ （B＋V一の＋V ＿V for each iη． Thus m m f〔ξ）＝f（ξ）−f（Y〕＋f（Y〕 ・2−’・’・V−・一’・’・V・X（・〕〔B・V−V・㌃㌦） 1ユ5116 1
