著者
手塚 洋一
雑誌名
東洋大学紀要 自然科学篇
号
54
ページ
31-54
発行年
2010-03
URL
http://id.nii.ac.jp/1060/00004072/
Creative Commons : 表示 - 非営利 - 改変禁止 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.ja東 洋 大学 紀要 自 然科 学篇 第54 号:31-54(2010)
カレント ーカレント型有効相互作用
手塚洋一
Current-Current Type Effective Interaction
Hirokazu Tezuka
Abstract
31
Removing the meson degrees of freedom from the system consisting of nucleons, sigmamesons, and pions, we obtain current-current type effective interactions. One of theeffective interactions is
a scalar current-scalar current type one induced from どT meson-nucleon interaction, and another is ａ pseudoscalar current-pseudoscalar current typeone from pion-nucleon interaction.
These two interactions have the common couplingconstant, which
causes invariance for chiral transformation. The effective Lagrangiandensity breaks chiral invariance only by the nucleon mass term produced by the linear
a term 。
We also derive vector current-vector current type effective interaction from the QCD Lagrangian density by removing gluon degrees of freedom. The QCD Lagrangian den-sity has the quark mass term, which breaks chiral symmetry. The effective Lagrangian
density, however, has other breaking terms than the mass term. In order to reduce addi-tional chiral symmetry breaking terms, we introduce a degree of freedom of ａχial gluons,and produce an axial vector
current-a χial vector current type effective interaction. Thededuced effective Lagrangian density conserves chiral invariance by making the ａχialvector current-a
χial vector current interaction to have the same strength as the vectorcurrent-vector current one, except for the quark mass term.
keywords:
effective interaction, linear sigma model, QCD Lagrangian, Nambu-Jona-Lasinio model, current conservation
＊東 洋 大学 自然 科 学研究 室 112-8606 東 京 都文 京区 白 山5 −28 −20
1 は じ め に 繰 り 込 み 可 能 な場 の 理 論 で は 、 強 い 相 互 作 用 は 一 般 に ボ ソ ン が フ ェ ル ミ オ ン 間 を 伝 播 す る こ と に よ っ て フ ェ ル ミ オン が 相 互 作 用 す る よ うに 記 述 さ れ る 。 核 子 の 系 で あ れ ば 、中 間 子 が媒 介 し 、 クォ ー ク の系 で あ れ ば グル ー オ ン が 媒 介 す る。 し か し な が ら 、 フ ェ ル ミ オン と ボ ソン を そ の ま ま 扱 うと 自 由 度 が大 き く 、し ば し ば 計 算 が 複 雑 に な り、 困 難 を と もな う。 計 算 を 簡 単 化 す る た め に は 、 ボ ソ ン の 自 由 度 を 消 去 し 、フ ェ ル ミ オ ン 同 士 が 直 接 相 互 作 用 を す る よ うな 形 式 に 書 き 直 し た ほ うが 便 利 で あ る 。 こ の タ イ プ の 有 効 相 互 作 用 が カ レ ン ト ー カ レ ン ト 型 有 効 相 互 作 用 と 呼 ば れ る。 弱 い 相 互 作 用 で は フ ェ ル ミ型 の 相 互 作用 とし て 知 ら れ て い る も の で あ る 。 こ の 型 の相 互 作 用 は 繰 り込 み 可 能 で は ない が 、 実 際 の計 算 に は 便 利 な 場 合 が多 い 。 こ の 論 文 で は 、フ ェ ル ミ オ ン と し て2 成 分 が 存 在 す るSU(2) の代 表 と し て、 陽子 と 中 性 子 か ら な る核 子 系 がa 中 間 子 とπ 中 間 子 に よっ て 相 互 作 用 す る 系 を 考 え る 。こ の 系 か ら 、中 間子 の 自由 度を 消去 し 、カ レ ン ト ーカ レ ン ト型 有 効 相 互 作用 とし てNambu & Jona-Lasinio の ラ グ ラン シ ア ン 密 度(Nambu,Y. 1961) が 求 ま る こ と を 示 す 。 す な わ ち 、a 中 間 子 の 自 由 度 を 消 去 す る こ と に よ り スカ ラ ー カ レ ン ト ー スカ ラ ー カ レ ン ト型 の 有 効 相 互 作用 が 求 ま り 、 π 中 間 子 を 消 去 す る こ と に よ り 擬 スカ ラ ー カ レ ン ト ー 擬 ス カ ラ ー カ レ ン ト 型 の 有 効 相 互 作 用 が求 ま る。 ア イ ソ スピ ン 空 間 で の 回 転 に 対 す る 不 変 性 は 保 た れ て い る が、ＰＣＡＣ を 満 た す よ う にSU(2) の ラ グ ラン シ ア ン 密 度 に お い て はa の線 形 項 と し て 現 れ た カ イ ラ ル 対 称 性 の 破 れ は 有 効 相 互 作 用 で は 核 子 の質 量 項 と し て 現 れ る 。 同 様 に ク ォ ー ク と グ ル ー オ ン の 系 と し てSU(3) のQCD ラ グ ラ ン シ ア ン 密 度 を 考 え る(Dissertori, G. 2003, Hosaka, A. 2001, Yndurain, F. J. 1993) 。 ク ォ ー ク とし て カ ラ ー の3 成 分 を 考 慮 す る が 、 フ レ ー バ ー の 自 由 度 は 無 視 す る 。 こ の ラ グ ラ ン シ ア ン 密 度 は カ ラ ー 空 間 の 回 転 に 対 し て 不 変 で あ る が 、 カ イ ラ ル 変 換 に 関 し て は ク ォ ー ク の 質 量 項 が 対 称 性 を 保 存 し ない 。 グ ル ー オ ン の3 点 バ ー テ ッ ク ス の 部 分 の2 つ のベ ク ト ル の 積 の う ち ス カ ラ ー に 組 む も の を 取 り 出 し て 、 スカ ラ ー 場 に 近 似 す る 。 こ れ を 使 っ て グ ル ー オ ン の 自 由 度 を 消 去 し 、 クォ ー ク の 自 由 度 だ け で 書 か れ た 有 効 ラ グ ラ ン シ ア ン密 度 を 求 め る と 、 ペ ク ト ル カ レ ン ト は 保 存 し て い る が 、 軸 旨 ベ ク ト ル カ レ ン ト は クォ ー ク の 質 量 項 以 外 に も 保 存 し な い 部 分 が残 り 、カ イ ラ ル 対 称 性 が破 れ て い る こ と が わか る 。 こ の 有 効 ラ グラ ン シ ア ン 密 度 に は ベ ク ト ル カ レン ト ーペ ク ト ル カ レ ン ト 型 の 有 効 相 互 作 用 し か 存 在 し な い 。 軸 陛ベ クト ル カ レン ト の 非 保 存 は 軸 性 ベ ク ト ル の 自 由 度 が 考 慮 され てい ない た め で あ る と 考 え ら れ る の で 、QCD ラ グ ラ ン シ アン 密 度 を 書 き 換 え て 、 軸 性 グル ー オン の 自 由 度 を 導 入 し た 。 そ の上 で、 グル ー オ ン お よび 軸 性 グル ー オ ン の 自 由 度 を 消 去 す る と 、有 効相 互 作 用 と し て ベ クト ル カ レ ン ト ーベ ク トル カ レ ン ト 型 と 軸 旨 ベ クト ル カ レ ン ト ー軸 性 ベ ク ト ル カ レ ン ト 型 の相 互 作 用 が 求 ま り、 こ の 二つ の 相 互 作用 の 強 さ を 同 じ 大 き さ に 取 る こ と に よっ て 、 こ の 有 効 ラ グ ラ ン シ ア ン 密 度 の カ イ ラ ル 対 称 性 は ク ォ ー ク の 質 量 項 だ け が破 る よ う に す る こ と が で き る。
カ レントーカレ ント 型有 効相 互作用 332 2 成 分 フ ェ ル ミ オ ン 系 い SU(2)c ラ グ ラ シ ジ ア シ 密 度 とし て ｀カ イ ラふ 対称 性 をa CO線 形 項Bf シ だ け が 破9 て ￡ ＝ 尚 ダ ∂評 十gi>(a 十IT ‘ πお)φ ＋＼(∂が) 十と(∂が)' 一讐(a^ ＋TT^卜Bf ン (2.1) を 考 え る 。 線 形 シ グ マ 模 型（Gell-Mann, M. 1960 ）と は 異 な り 、 カ イ ラ ル ル ー プ 岬 ＋7r2 ） の2 次 以 上 の 項 は 考 え て い な い 。 g,m,B,U は 定 数 で 、 フ ェ ル ミ オ ン 場 と し て 核 子 の2 成 分 系 φ （: ） を 考 え る 。 で はDirac の7 行 列 で あ り 、7 は ア イ ソ ス ピ ン 空 間 で のPauli 行 列 で あ る 。 (Tは ス カ ラ ー − ア イ ソ ス カ ラ ー のa 中 間 子 場 、n は 擬 ス カ ラ ー − ア イ ソ ペ ク ト ル の π 中 間 子 場 を 表 わ す 。 μ ＝0,l,2,3 は4 次 元 時 空 間 の 指 標 で あ り 、 上 下 の 添 え 字 と し て 同 じ 記 号 が 出 て き た 場 合 に は Ｏ ∼3 ま で の 和 を 取 る も の と す る 。 Dirac 方 程 式 は 吋り 即 十 妙^ 十 汁 ・n ツs φ ＝0 （2.2） と な り 、 そ の 共 役 は 一 低 やダ 十ipg け 十 汁 ・TTTs ）＝0 （2.3 ） で あ る 。 Klein-Goldon 方 程 式 は 、(7 に 対 し て 砿 ∂仙 ＝ 如 φ − ■mり −B 輿 （2.4 ） と な り 、n に 対 し て 娠 ∂″tt ＝ 凶 汁・Υ'5't/' −rri^n （2.5 ） と な る 。 2 。1 カ レ ン ト の 保 存 アイソスピ ン回 転 φ(x)→ ダ(x) ＝(1 十t' 押(x) ミ ニ でニa 才 (77 →tt' − TT − ￡×tt) ただし 亀μ ニ￨ と1 (i,i丿) ＝(1,2,3) 偶 置 換 奇 置 換 そ の 他 (2.6) (2.7) (2.8) (2.9)
に対 す る ベ クト ル カ レ ン ト は J μ ＝ −{ 吊 ダ(脳) 十い(∂り^^)(一巳^Jkて'')} ＝ 叫 尚 々 十らμ(∂喩^ か ∴ 尹= 廟 八 や ＋TTX (∂りn) とな る。 こ の 発 散 を 計 算 す る と なj ″ ＝( ∂諦) 言 々 十 叫 唱 ∂即 十 砿-^ X (∂りt) ＋TT X (∂丿 叫) ＝ド 妙r 十 汁 ・7r75);φ −ド シ 吋 十ir ■ 7775)φ ＋TT X (g訴rj 如 −m. tt) ＝ 石g(勺号 十T ■ TVシ5 十ダレ ー ン ・7775 紳十 勿 緬 ×T75 φ ＝ 加( 一T 十7 ・7r;5 十T − T ・ 7775 )V'十ig尚
＝ φレ 十 汁 ×TV −TV ―in ×7 」͡75や 十ig 緬 ×ry^ φ ＝0 (2.10) (2.11) とな り、 こ の ラ グ ラ ン シ ア ン 密 度（2.1 ）は ア イ ソ スピ ン 空 間 の 回 転 に対 し 不 変 で 、 ベ ク ト ル カ レ ン ト は 保 存 す る。 カ イ ラ ル 変 換
や㈲ → ダx) ＝(1 十紺5(
弓
一
坤x)
祐ニ ブ
ゾ
ニ
二
言
こ
こ
に対する軸性ベクトルカレントは
ご
-- ト^){
-
万
十い(∂晦‰ −
屁 ざ(∂芦) (2.12) (2.13) (2川 ( が) い( ∂り) い} ＝ 伽 馳八 小 十a ∂晦i 一 戸∂聚 ∴T''' ＝ 貼 個5≒小 十a ∂″tz − n∂ 聚 と な る 。 こ の 発 散 は 貼 割 ＝( ∂加) ダ ッ5シ 十 加 竹^}( ら φ) 十(∂岬) ∂″n 十(アら ∂″tt −( 仇an)∂り ーn ∂ｇ∂″(ア (2.15)カレントーカレント型有効相互作用
＝(∂評) 営7 み 小 一伽こ ず(∂評) 十友な∂叫 −tt∂丿 り ＝ド 妙o-十ir ・71-75 )兄 や 十 加B; ト(o- 十IT ・ 7r75)φ
十 削 如 汁y 如 −rri^Tt}−n{g 好 一w?a − B扇 ＝V'以 一行ST(^ ＋T ・ πt)φ 十ag 訴 乃 紳 −T^如 か十B か ＝ 一 加 飛r 叶 十ipg(n 十 汁 ・■KX)φ 十 叩 尚r-y如 −ngih φ 十B か ＝ フミがn と な り 、a の 線 形 項 だ け が 保 存 せ ず に 残 る 。 2.2 中 間 子 場 の 消 去 真空 中での荷電 π中 間子 の崩 壊を 考えると、 パリティ保存 から ＜O ＼J^^"(O)けβ㈲ ＞＝ 怯町 卵 長 となる。ル ＝93MeV は荷電 π中間子の崩壊 定数であ る。 この発 散を取った式 ＜Q ＼貼痢 ツm 回 向 ＞＝ 秘k'^亀βル ＝m 訪。βム と(2.16) を比べれば べ 几 ＝B 礁 ∴B ＝ 苧' と な る こ と が わ か る。 m 。 は 真 空 中 で の π 中 間子 の 質 量 で あ る。 ま た ラ グ ラ ン シ ア ン 密 度（2.1 ）の7r2 の 項 は π 中 間 子 の 質 量 と な る か ら m^ ＝ml で あ る 。 35 (2.16) (2.17) (2.18) (2.19) (2.20) 中 間 子 場 の 時 間 空 間 依 存 性 を 無 視 す る と、 す な わ ち 、 時 空 間 一 様 な 中 間子 場 を 仮 定 す る とKlein-Goldon 方 程 式（2.4 ）か らa 中 間 子 場 は a
か 卜 言 こ已伽 一片
(2.21) (2.5) か ら π 中 間 子 場 は TT ＝ふ 尚Tj 如 (2.22) と そ れ ぞ れ フェ ル ミ オ ン 場 を 使っ て 書 き 直せ る。 こ れ ら を 使っ て ラ グ ラン シ ア ン密 度(2.1) か ら 中 間 子 の 自 由 度 を 消 去 す る と ￡ ＝ 伽 ダ ∂評 十 妙( 古 畑 − 几 十 汁 ・石 伽- ち 白5)V' 一讐{( 古 和 一 み)2 十{ジ ≒ 岡'} −B 鳶 シ や 才)＝ 俯 観 φ 一 臨 緬 十首( 融)' 十首( 尚T-f如) 十卜2 が (2.23) と な り 、こ れ は 質 量 訂n ＝g 几 のフ ェル ミ オ ン に 対 す るNambu & Jona-Lasinio の ラ グ ラ ン シ ア ン 密 度(Nambu,Y. 1961) に な っ て い る。 第3 項 はa 中 間 子 を 消 去 し た 結 果 、 ス カ ラ ー カ レ ン ト ー スカ ラ ー カ レ ン ト 型 の有 効 相 互 作 用 とな り、 第4 項は π 中 間 子 の 消 去 に よ る 擬 ス カ ラ ー カ レ ン ト ー 擬 ス カ ラ ー カ レ ン ト 型 の 有 効 相 互 作 用 と なっ てい る 。 最 後 の 項 は 定数 と な る の で ラ グ ラ ン シ ア ン 密 度 か ら 除 か れ る 。 2 。3 2 成 分 系 有 効 相 互 作 用 ム -- g ム 、Ｇ＝ か とおき 、定数項を除い て、NJL ラ グランシアン密 度（2.23）を
￡NJL ＝ ㈱7 礼
一
y㈲)φ十G{(緬)2 十(尚Tj^φ)}
と書く。 このラ グラ ンシアン密度 に対するDirac 方程式 は i貿∂岫 一河面 十G φ 贈) 十(贈)V' 十2T翁や(訴T7φ) 十(如T75 暉 アフz孵 ＝0 一以)訴 営 − 小M^ 十Ｇ弾( 伽) + (贈) φ十 和Tj5(かTj 如) 十{が 八 州 和ry^} ＝0 と な る 。 フ ェ ル ミ オ ン だ け で あ る か ら ベ クト ル カ レ ン ト は夕 ＝総ヤ
となり、その発散 は ∂,y ゛ ＝(∂加)ゲら φ 十 七言( ∂即) ＝1ト 小MM 十Ｇ憚( 緬) + (収) φ 十糸経 似 石T75 則 十(石T75Vか)石T75}]; φ 十φ万士[一肌 呻 十G{ φ 収 ト( 緬)V' = 0 姉 μΓΥφ ト( 釧り5 則 行75叫) ≒ ニ ンフ でヤニ で ニ ブ 保 存ず) ニ 勘^t ニ)呂 ゜岩 ＝石竹sシ
(2.24) (2.25) (2.26) (2.27) (2.28) (2.29)カ レ ン トーカ レ ン ト 型 有 効 相 互 作 用 37
であるから
らJl ＝(∂加)ずダ^ や十φ(つ5); ダ(∂諦)
＝
万
一
φ仙n 十Ｇ佞 価吻 十(φφ)
φ
十尚T75(尚T75白 十(がT7φ) 豺'r
ち}]75 ;φ
十釧っ5); 万
万[
一M妨 十Ｇ憚(収) + (収)φ
十七 肩付 汁js剱 十(釧T 面) 汁75φ}]
―
八
十
万冊n)φ ＝ 尚y^冊N蝉 (2.30)
ニ ゾ
ツ ニ
に ユレ
言
四
足
響
二
謙
二
ニ
エ
プ ス
と考えられる。
3 3 成 分 フ ェ ル ミ オ ン 系ク ォー ク と グル ー オ ン か ら な るQCD ラ グラ ン シ ア ン 密 度(Dissertori, G. 2003, Hosaka,A. 2001, Yndurain, F. J. 1993) を 考 え る 。 1 丈 十Σ 尚( 叫 ご 一 町) 吻 (3.1) i=l j μ, i/ ＝0,l,2,3 は4 次 元 時 空 間 の指 標 であ り ，i (まカ ラ ー 自由 度 でi ＝l,2, …,8 を 取 る。 ／は フ レ ーバ ー の 自 由 度 で/ ＝1,2, …,6 を 取 る が ， 強い 相 互 作 用 で は ク ォ ー クは グル ー オ ン に よ っ て カ ラ ー を 変化 さ せ る が フ レ ー バ ー を 変 化 さ せ る こ と は ない の で ， フ レ ー バ ー の 自 由 度 に 関 し て は 考 えず 固 定 し て お く。 す な わち ， ク ォ ー ク の 波 動 関数 は φ 一一 ｊ Ｒ Ｇ 召 9 9 9 ぐ 一一 φ (3.2) と カ ラ ー 空 間 の3 成 分 で 書 か れ る も の とす る。 グル ー オ ン テ ン ソ ル 場 は グル ー オ ン 場 ダ を 使 っ て Gr ＝∂Ｍ ト ｙ ダ 十 婬^ い'.ぺ （3.3） と 定 義 さ れ る。 ん い ま反 対 称SU （3 ）構 造 定数 で あ る（ イ寸録 Ａ 参 照 ）・9 は グル ー オン 相 互 作 用 の 強 さ を 表 わす 定数 で あ る。 SU（3）カ ラ ー 空 間 の ベ ク トル 表 現（ イ寸録 Ｂ 参 照, Bhaduri,R. K. 1988 ）で は G 四 ＝ ∂″ノ1”−∂゛Å″十g/ ″×A ″ （3.4） と な る。 共 変 微 分 は O μ＝ ∂″一 紬う1ダ ＝ ∂″ 一ig- ■ 矛 (3.5)
で定義 され、A, はSU(3) のGell-Mann 行列 であ る( 付録 Ａ 参 照)。 Dirac 方程式は (匈μDμ − m)φ ＝0 となり、Proca 方程式 は ∂“G 如. --
如 手T諦 ＋af小G 加,Al
(3.6) (3.7) となる。4 次元時 空間の指標 μ, ノな どと同様 に，カ ラー自由度hj 丿, … の 同じ記 号が2 つある場合 には1 ∼8 ま での和を取 るものとす る。 ベ クトル表 現でのProca 方程式は で あ る 。∂司,, ＝ 一掃
ン
謹 十函し × 矛
3。1 カラー空間での保存則
カラー空間での回転
か→Uip ＝ 汗 如 ∼(1十
鴫)V'
＝ か十
尚
々
φ →ibU ＝ihe一叫 孚 ∼φけ −ie占) ＝i' −θ謳 含 うC イ → び今ダ にi ＝ 西 享 有ダe- ち寺
∼(1十 薦
万
一)
含
ダ(1 −
鴫)
∼ゼ
・(
ダ −O丿ぶAt)
∴ダ → 利 一O轟沁A;
に対応するベクトルカレントは
5C .A, 貳 二 言( ∂諦) 巧 ￣φ￣δ(∂μ 丿 (3.8) (3.9) (3.10) (3・川 ( −か 丿し) ＝ 一伽 万 言や ー(-＼G^l×4 ・(鳥μ‰) ＝ φダ うら と定義 される が、ベ クト ル表示 では 戸 ＝ぺ や 十と戸X 足 と な る。 こ れ を μ -^r^ 1ノと 書 き 換 え る と 、と戸 の 反 対 称 既 か ら戸 ＝伽玉
十G""×凡
(3.12) (3.13)カ レ ン トーカ レ ン ト 型 有 効 相 互 作 用 − χ - ． - ． ＝小ず 言や −G ゛ ×/, となり、 これはProca 方 程式(3.8) の右辺 に対応してお り、ペ クトルカレン トは ． − χ ． -． 1 - ． J ″＝ 岬 詐 −G ゛ ×/^ ＝ −ぷらG ゛ と書ける． 故に → 1 → 肌r ゛＝ 一一呪∂^G 呻 9 ＝ ミ ∂皿 刀 ゆ ＝]-∂丿 ズド 9 ∴ 肌 J" ＝0 となり、ペクトルカ レントの発 散は Ｏとな り、ペ クトルカレント は保存する． 実際にベ クトルカレント の発散を 運動 方程式を使っ て変形す ると 良 戸 ＝ ∂謳 ダ シ 十 叫 吟 ∂即 十∂^G ゛X A, 十ご゛∂gj1，
らが ＝一汗(一行7,A ク＋叫 加
く φ今(
一
六 万聯 十叫φ
十f'jk(
一峠
昔
ずや十巾 丿 阿 ∼)七
39 (3.14) (3.15) (3.16) 十 乱 ぷ ツ 貼Ak, ＝ 居 士 争 いi V' ＋ φ(・うとー皆 々 一 仙 詐 言ず 心 沁 十 ぷj 妬 心G 杵A ∼/ し 十f小G ヅ 貼Ak, ＝ 融 咄 丿 尚 恥^旨 ＋ φ(・ ケ ムト や 一仙 詐 言ずA ．や 十 がi班かtm司 ≒^∼ ノし 十f小 岑 呪Akv ＝ 如(m う よ 十 稲 ぶ ツ 貼A 。 と な る が 、 ク ォ ー ク の 質 量 はカ ラ ー に 依 存 し な い と仮 定 さ れ る か ら 第1 項 は な く な り ら 翁 ― gfiikfμmG^f" ^mtiAkレ 十/小Gf 貼Afc, (3.17)と な り 、フ ェ ル ミ オ ン 場 に 依 存 す る 部 分 は な く な る。 残 り の グ ル ー オ ン 部 分 も 消 え る は ず で あ る か らベ ク ト ル 表 現 で
→ → → → → →
∂. J ゛ ＝ 列G 四X A.) ×A ． 十Q 四 × ∂u ノ^ ＝0
と な る は ず で あ る。 カ ラ ー 空 間 で の カ イ ラル 変 換
φ-り 恥 ＝ 西
乱
叩 ∼(1十薦
ミT5)
φ＝φ十り
≒
当今
φ 一々 祚 ＝ 伽づ 寺 ∼φl 十飛 θj
白。)
＝φ十9声所 与
ミEイ → び含ダ に1 ＝必 乱5ミi1
ダい ゛寺
∴ イ → ダ ーりs んμ;
に対応する軸 院ベクトルカレントは
卵.θ,寸 屁 δ(ら λ丿＝ 伽 叫
≒
小
一
liiklzG
ダノ
見
才 ―伽 ≒ゾ
レ −jsど
戸X 疋
( 一石 口z/し) (3.18) (3.19) (3.20) (3.21) (3.22) (3.23) と な り、 そ の発 散 は 仏心 ―∂謳TmTs^ φ − 小言Ts͡伍∂μ一fijk75
∂μヴ ベ ー鳥 打,畔 観 べ
＝- ヤ(s吊 べ
＋叫
万'r
如
一糸
サパ
・(ff
≒
知ぢ ＋川 φ
−鳥口5(如
≒
ずや 十鸚 臨司 ≒A∼) ‰
一句に5Gダ∂A,
＝iipg
愉
ご
一g 句 小 今 ・T乱 か ，沁 −gf μmfiiklryG^e" ■^mfi-^ki'一fijklzGT
ら^ 。
＝一峠 鉛
尚l^'l
叫 や＋璋 ㈱
万
十Y・)づ
カ レ ン トーカ レ ン ト 型 有 効 相 互 作 用 41 一吋f 小 寸 ちi^A 。ゆ 一glμrn玩k ≒G^/ ■^mfi-^恥 一玩fc75ぐ 恥A;i, ＝ 廊(府 十jy ｍ)75φ 一gfijkfμmJsG':^'' ^miJ,A恥 一石 口5畔 ス ノし となる． 故に ． − χ ． ． ． ． ． ら 霞 ＝2 砂所5m い か一刀^(G ゛ ×/,) × 几 −75G ゛ × 砿 几 (3.24) と書け るが、右 辺第2 項以 下の グル ー オン部 分は75 を除け ばベ クトルカ レント の発 散(3.18) と同じである からｏとなる．す なわち
外辺 ＝蜂剛m ヤ
(3.25) と な り、 カ イ ラ ル 変 換 に 対 す る 不 変 性 は ク ォ ー ク の質 量 項 の み が 破 る こ と が わ か る。 3 。2 ス カ ラ ー 近 似 グル ー オ ン 場 の時 間 空 間 依 存 性 を 無 視 す る とProca 方 程 式（3.7 ）は午
沁 ＝g柚丿 痢A 如A釦A'^
(3.26) とな る。 右 辺 の グ ル ー オ ン( ベ ク ト ル 粒 子)2 つ が 組 ん で ス カ ラ ー と な る状 態 を 考 え る 。 す な わ ちヽ 凡 。矛 と な りヽ 無 色 に な る も の を 考 え る・ グ ル ー オン 場 の 時 空 間依 存 性 を 無 視 し たProca 方 程 式 をベ ク ト ル 表 現 し た 午 諦 ＝ 仙 台 玩 貼/ し 鴨 ― g[(几 × 足) × 矛]1 (3.27) に 対 し て 、 右 辺 を 評 価 す る た め任 意 のSU(3) ベ ク ト ル ｊ を 導 入 し て( 凡 × 足) × 矛 ．B を 考 え る 。 → → → 4 → 4 → → (/1μ×A,) ×A μ・B ＝(A μ×B).(A μ×A,) ― fljkべBkfUmA 如 ノm,u ニfijkfiem5μA'^BkA 如Am リ 十fijkfitm(^ − 伽) 贈 民 雨 丿 回 (3.28) 最 後 の 式 の 右 辺 の 第1 項 が 無 色 の スカ ラ ー 几 。矛 を 含 む 項 に な る 。(凡 × 足) × 矛 のk-th 成 分 を 考 え る に はBk の係 数 を 考 えれ ば よい 。 例 とし て ん＝1 を 考 え る 。 i) らμ 勁 仙 ＝A ひ 卵 と ス カ ラ ー に な る 成 分 は鳥1 ≠O と な る の は/231 ＝1 ，/471 ＝/651 ―宍 で あ る か ら ＝ 柘( 乃3l几31ダ ノ3μl ．十 加l 烏1/ 賂^2 ／し 十 几n 八Ti-聯At 丿し
十/741 八41 ぺ λ4/i ^ 1．十f65lf65lぺA5 μ し 十/561 /561ダ Åe／し) ニ 召i{/^.Asμ/i^ ＋A2/2 μ/i^
＋-{/ μt μij, 十 眉 Å4μ レ 十 べ ‰/ し 十 ベ ル 丿 ○} ＝ 召i(3aA 白
とな る。 た だ し 、 簡 単 の た め
λi^A'i ニ Å 恥^2 ニ ノ3a</3 = ノ4μ/I4 = ノ^. ノt ニ メ6;.< ニ ノrμ/i; ＝ Ås^A^ −( ア とお い た 。 ") ス カ ラ ー に な ら な い 残 部 は fijlfit。(l − 伽) 司 馬 ノ印/ − ＝Bif,jifiem(l − 伽 μ'^/ 印/ ∼ ＝ ￡l(柚l ん 。(l − 伽)A'iA 印/ − 十 几2lルim(l − 伽) ぺ/ 印λ回 十/47l/≪m(l − 伽) Ått/娠/ 回 十/74l/7^m(l − 伽) ノ'^Å仙Å回 十/65l/6≪m(l一 伽) ぺ Å仙Å回 十 几6l/5fm(l − 伽)λQA 仙ノ∼ ＝ 馬{ 八3l(/213^タノlM^3 。十/246ノ3恚如飛 。＋f2Qi/'^A6iiM ． ＋/257 べ/ 恥か 。十/275A^ 缶f,A 辿 十/321 (ム12λ2 ^llJ./し 十 几45/2/4^/ し 十 几54^-2 A^i^/^。 十 几reAo/ 顎/に 十 几67ノ-2 /q,j,A7v) 十 几7l(ム17聯/lM^7,/ 十 八6μ7/6/i^2,/ 十 八26ノ7/2M^6i/ 十 八53/7/5^^3 。十 几35 /it /3f,ノし 十 几58/7/ 砂ノ8． 十 八8μ7/ 卵/ 帽 十/741 (力14ぺ Å1m/臨, 十 力2μ4 Å即/し 十/75μ4/ 佃/し 十 力63ノ4ノ印 ノし ＋f736 /'tÅs^λ・ 十/786ノ'i/恥/e 。 十/768Å4Å6hメ皆) 十 几5l(/615ぺ Å 脳/5 。十/624 ノ5^ 知 函 。十 几42ペ メl如/し 十/637 ぺ 心M^ 石。十/673 ぺ 缶u し 十 。/678^5^顎^8 ． 十 几87/'^/ 恥Å勣 十/561 (几16溜 Å1^ノに 十 几7μ6/7m/ し 十/527^6/ 恥毎 。 ＋/534/6 A知/4 。＋/543 ノ6ノ知Å3z,十 几84^6 ノ^8m^4． 十 几48^6^ 如/8 ，)} (3.29) (3.30)
と な る。 こ の ラ グ ラ ジ ア ン 密 度 で は ク ォ ー ク の 自 由 度 し か 存 在 し ない か ら 、 ベ クト ル カ レ ン ト は 0 ＝0 (3.36) (3.37)
らが ＝(
∂謳)
ト
や十⑤(
∂
諦)
と な り、 そ の 発 散 は (3.38) カ レ ン トーカ レ ン ト 型 有 効 相 互 作 用 43 で あ る 。Å佃 が すｇ て 同 程 度 の 大 き さ を 持9 と 仮 定 す る とfijk の反 対 称 性 か ら そ れ ぞ れ の 項 の( … …) の2 項以 降 は 互い に反 符 号 とな り 打 ち 消 し あ い fijlfitm(l − 伽)司 珀 甫 丿 ∼ ∼ 坑( −3司/ し) (3.31) とな る。 す な わ ち 、 ス カ ラ ー 場 に近 似 で き な い 残 部 が スカ ラ ー 近 似 でき る 部 分 と同 じ 程 度 の 大 き さ で あ るこ と に な る 。 こ こ で も簡 単 の た めノ＼^/i.＼i, ＝/I2-rl2i，＝ ■'*-3 /^31' ＝ λ;λ4^' ＝4^4r ― A^ A^ ,― 叫 Aフロ ＝ Åに4釦 ＝ ダ （3.32） とお い た 。 ん＝2 ∼8 につ い て も同 様 に な る こ と が 示 せ る。 グ ル ー オ ン 場 の時 空 間 依 存 性 を 無 視 し たProca 方 程 式（3.27 ）の 右 辺 に ス カ ラ ー 近 似 で き る も の だけ を 残 す と バ 。 φ-T 謹= 350-几 （3.33） と な る。 こ れ をDirac 方 程 式（3.6 ）に代 入 す る と (㈹丿汁 −m) φ 一行洵} φズニ かか＝Ｏ
(栃a)^ −m) φ十
古く
ダφ 知
シ
＝Ｏ
(3.34) と な る 。 運 動 方 程 式 が(3.34) と な る よ うな ラ グ ラ ン シ アン 密 度 を 考 え る と μ ＝ φ(叫 ∂″−m) φ 十よ( 毎 々)2 (3.35) と な る。 ク ォー クの 運 動 エ ネ ル ギ ー 項 ，質 量 項 の 他 に ，グル ー オン の 自由 度 を 消 去 し た 結 果 と し て ベ クト ル カ レ ン ト ーペ クト ル カ レ ン ト 型 有 効 相 互 作 用 が 現 れ る(Hatsuda, T. 1994,Vogl, U. 1991) 。 G ＝ こ と 書 き 直 し て ラ グ ラ ン シ ア ン 密 度（3.35 ）か らDirac 方 程 式 を 求 め る と 釦 吊 ∂り −mil; 十G{ト( 毎 々) 十( が含7即今 ダ 可 ＝ パ ∂四 妬 − φ"^ 十Ｇ 拶≒͡伍価≒ や 柏 十(φ今J謹)φ孚ダ} ラジ ア ン 密 度 で は ク ォ ー ク の 自 由 度 し か 存 在 し ない か ら 、 べ? 岬 ＝ 毎 々＝}[一系m 十Ｇ憚 含 ‰(毎
々) 十(午
八)φ含ダ}]昔々
十φ
古人[
―mφ十G{
乱
中(φ
≒
ず柏 十(
邨
八)
う
と
ダ 叫]
＝
ケ奸y
ｍ]
φ十G{ 町k
訃 ͡
俗
言
や(
毎
々)
十績 副φ
昔7
諦)爺げ
他
郷]
ん, の完全反 対称性 からfkij十/ 働 ＝Ｏとな り＝一祠 多-] φ
＝0
とな り、 ペ ク ト ル カ レ ン ト は 保 存 す る。 軸 性 ベ ク ト ル カ レ ン ト は 霞 で あ る か ら ＝ φ≒͡心 雨 ∂μ ＝ ―[―tpm十Ｇ拶2 ソ φうとダ 吻 十(邨 々) φうとプ}]yTs φ十嗚卜
)ス7[-mφ十G{乱 中(
示
≒
ずめ 十(
毎
々)ヅダ叫]
＝2紳m ―͡
融 ＋2みkG(石
郎)( 石
町5
今
や)
(3.39) ≠0 とな り、 クォ ー ク の質 量 項 の ほ か に も 軸 性 ベ ク ト ル カ レ ン ト に は 保 存 し な い 部 分（ 右 辺 第2 項 ）が 残 る。 4 軸 性 ベ ク ト ル 場 の 導 入 グ ル ー オ ン 場 を 消 去 し た 有 効 ラ グ ラ ン シ ア ン 密 度（3.35 ）に 対 し 、 クォ ー ク の質 量 項 以 外 に も 軸 陛ベ クト ル カ レ ン ト（3.39 ）が 保 存 し な い 項 が残 る の は 、 軸 性 ベ ク ト ル 場 に 相 当 す る 自 由 度 が 考 慮 され て い な い こ とに 原 因 が あ る と 思 わ れ る 。 7￨ ＝1 と な る こ と を 使 っ て 、 軸 性 グ ル ー オ ン ヤ と 、 軸 既 グル ー オ ン テ ン ソル ＆汀 を イ ＝75 ダ （4.1） or ＝y^Gr ＝75 ∂^A^i − 759"ダ 十 妬 丿口h肩 ダ ベ ＝∂^A^i −5 ダ 十 仙]ら 叫Al （4.2） ベ クト ル 表 示 で G 呻 ＝ ∂μÅ″−∂″/1″十575 ノ″×A ″ （4.3）カ レ ン トーカ レ ン ト 型 有 効 相 互 作 用 45 と定 義 す れ ば 、QCD ラ グラ ン シ ア ン 密 度 の グ ル ー オ ン部 分 は ￡g ＝ 一万畔 竹 巾 ＝ −j1 破 竹 泗 ＝べ:付 で 巾 と 軸 吐 グル ー オ ン で 書 き 直 せ る 。 故 に 、 一 般 的 に ａ 十β ＝1 と な る定 数 ａ、β を使 っ て グ ル ー オン ラ グ ラ ン シ ア ン密 度 は 1 → → 1 ご ご ￡G ＝ −-aG 呻‘G^, − iβG ゛ ・ G^, （4.4） と グル ー オ ン 部 分 と軸 性 グ ル ー オン 部 分 と の 和 と し て 書 く こ と が で き る。 同 様 に 軸性 共 変 微 分 を D^ ＝^^D μ＝75∂μ一 切晋75j4「 ＝75∂に 紬うとイ ＝75∂し 吠」．ふ と定義す るとクォー ク部分は と書 け る の で Cq ＝ φ(汚丿 “ −m)i> ＝ φ(叫?z 丿 −w) や ら ＝ 砂( ≒μDμ−m) φ 十 顛( 叫'tzか −m) φ (4.5) (4.6) と分 解 で き る。 右 辺 第1 項 は グ ル ー オン ーク ォ ー ク相 互 作 用 を 含 み 、 第2 項 は 軸 性 グル ー オ ン ー クォ ー ク相 互 作用 を含 む。 簡 単 の た め グル ー オン 部 分 ￡g と クォ ー ク 部 分 ￡Q の ａ を 共 通 に 取 る と 、 全 体 の ラ グラ ン シ ア ン 密 度 は ￡＝ａ{−1GrGi 。 十φ(叫 刀″−m)V'}
十/3{
ぺ 聯 句,
。 十疸吊js か −m)V'}
= ー-^aG^^^Giμ・1 β背 痛 。
と な る 。 Dirac 方 程 式 はニ￣
卜 酔
（G し4
・
（で
し
十V'{胎∂
“ 十叩͡
畑V か 十β釘八h
ン ふ
−m 禅
{ 栃μ伊 十叩 うyｙ ダ 十両 号7 岬5ヤ ーm 禅 ＝O とな り、Proca 方程式は 肺G, 即 ＝ 一如≒ 面 ＋gf示Gjt^^叫 ， (4.7) (4.8) (4.9)ベ ク ト ル 表 現 で と な る 。 ∂μG 釘。 ＝ 一如音Tぶ や 十 妬 丿口sら 。べ
∂司a, ＝-g 六卜 φ十拓しx か
∂曳乱 ＝ 一
如
し
ぶ や十釘z(
乱 × ふ
4.1 カ ラー空間でのカレントの保存
カラー空間での回転
φ→ 卯 ＝♂'糾 ∼(l ＋i・寺) φ＝φ十鴫
心
φ→ 祚 ＝みづ 寺 ∼φ(i−
（^)
＝φ一掃 占
-- ／ 寺 う1片 丿 らI孚 心(1十特) ミダ(1−鴫)
∴ ダ → ダ −Of 鉢べ
ヤ → ヤ ーθ^
鳥μ
に対応するベクトルカレントは
M 5￡ .A, 5C ズ ￣ぷ凧 司 才 φ ￣ ざ(∂丿 丿 fc ＝ 2 (利 一eふ μ ，) 矛 → 矛 −ex 矛 矛 → ふ −ex ふ ( ￣∫j映 Ａ ｋＬ・) ￣ δ(∂E うし)( ￣JjikA 柚) − λ・ 。 、 ＝ 叶 今 十 汀 小G^''A 。 十 町 小G^j'' Akv∴ ぶ ＝ 岫
や十aど
泗X 疋 十βで
沁X λ
となるので、その発散を計算すれば
外戸 ＝∂丿 他知 十 俯 べ占 や
4 → →十a らC ゛ ×A, 十aG ゛
4 → → 十 βゐG ゛ × 九 十 βG ゛ -1 − Ｚ φ(一叩T 号. 矛 → λ −2 χ ∂μÅi・ × ∂ /A X
づ ら お}.ふ 十叫シ
(-"S'ゾ
シ.矛
づffT/x'
《.
ふ
十川 φ
(4.10) (4.11) (4.12) (4.13) (4.14) (4.15) (4.16) (4.17) (4.18)(4.24) カ レ ン トーカ レ ン ト 型 有 効 相 互 作 用 47 −A → → → 十 司 ￣妙 ΞT 諦 ＋gG 即X Af")X ん 十aG μ″×∂aA^ べ ご ご ご 十βト 如^7 の5φ ＋9͡隔G 四X A“)X 甫 ＋ βG 四 ×∂ A
＝ 叉g(G即 × λμ)×A ・十aG μ″×∂aAリ 十β刀5(Gf,^ × Å勺 × 趙 十βG ゛ ×∂aAリ とな る。 第1 項 、 第2 項 は グル ー オ ン の ベ ク トル カ レ ン ト(3.18) の ａ 倍 に な っ てい る だ け な の で Ｏ と な る。β のっ い て ぃ る 第3 項 、第4 項 は とし ＝75 どし 、A μ＝75 Aμ、7l エl を 考 慮 す る と や は り(3.18) の β 倍 に なっ て い る こ と が わ か り 、 同 様 に Ｏで あ る 。 故 に と な り 、ベ ク ト ル カ レ ン ト は 保 存す る。 カ イ ラ ル 変 換 → ∂.J ゛ ＝0
φ → 叫 ＝ 岬丿
仏^
φ∼(1十iθ
含
鎖 φ＝φ十りyTs φ
か→ φぴ＝ 如外^轟 ∼ 疸i 十行為2
)＝
が十9,小脳
≒
ミi
AH
→ び含ぞに' ＝鴻 払2
ぞ
寺
∼(1十
（^7.)^
イ(卜 肘^
θ寺)
∼ 万々 十汚sθji
μ 愕 ぺ ＝i( ダ ーち0落k ぺ)
イ → ダ ー柳, 臨 ぺ ＝ ダ ーθ,
臨 心
付 → ヤ ー吋5 臨 付 ＝ ヤ ーθj脳 ぺ
(4.19) (4.20) (4.21) (4.22) (4.23) を 考 え る 。 グ ル ー オ ン 場 だ け の カ イ ラ ル 変 換（3.21 ）と は 異 な り 、 グ ル ー オ ン 場 と 軸 性 グ ル ー オ ン 場 が 混合 す る 変 換 に な る。 こ れ に 対 応 す る 軸性 ベ ク ト ル カ レ ン ト の 発 散 は μ δC .A, ベ ニ フ( 謹 才^^ φ ￣ 屁 δ(∂い 丿し か丿し 卜
屁H ∂μ 丿
＝ 一面ダペ^75φ 十 肩 小 程i 。 十町 小Gf A 。 冷 ＝ 伽 ≒sト 十 記 呻X 七 十βか卜 疋 脳 十 ゛らG ゛ ×X 十a で戸 ×∂^/,， ( 一fjikJ^k ・)-＋β∂aG ゛ ぐ φ Ｉ 一 ’Ｚ → → ∼ → ×A, ＋ 芦G ゛ × ∂ ノA 一叩^ 号 ・ 矛 −β莉い5 ↓λ 一2
ド
ふ 十叫75シ
乱(-・心土 か づ ら7
こ. ふ
十
・)φ
→
十a(一掃
冊
諦 十gど
し ×矛) ×
元
十aと
戸X ∂
ｇ
七
→
十β(つ
号
恥7如 十刀
よし ×矛) × 疋
十β(
シ ×∂
ｊ1
＝叩 西 諺5
}×
か φ十向伽
Ａ
×
ふφ
-叩φ} ×A岬謨 十ag(C
し ×矛) × 元 十aと
戸X ∂ A
−
岫X
Aンにsφ十β斡^(
心
バ
ふ)X
足 十β
か へ ∂
A
＝{卵白 岬5 }× 矛φ−β渥f丿5} × 凡φ)
＋(加 面
ゴ
× ふφ一叩 伽
Å
×
瓦φ)
十 帥 卵^m -tp
十Oi9(Gav ×A 勺X A ，十aC ゛ ×∂μ/A 十β刀5(G;,, X A 勺 × 九 十 芦（ 戸 ×∂ A とな る 。 右 辺 第1 項 、 第2 項 の ク ォ ー ク の カ レ ン ト が そ れ ぞ れ Ｏ と な る た め に はa ＝ β と 取 れ ば よい こ と が わ か る。 す る と
ら 魯 ＝報 時zm -φ
十a{g(Gし × 矛) ×瓦 十と
戸 ×∂u^i/}
十a{fl'75(G'^i/× Å勺 ×/, ＋G 匹 ×∂li^討 とな る。 グルーオン部 分に関して は第2 項、第3 項がそれぞ れ(3.18) のａ 倍、"75 倍 に なっ てい るだけな ので Ｏとなる。 故に ∂バ ″ニ 抑 行四-ip とな り、 クォ ー ク の質 量 項 の み が保 存せ ず に 残 るこ と が わか る。 (4.25)カレントーカレント型有効相互作用 4.2 ス カ ラ ー 近 似 軸性 グルー オン を導入し、a = β＝ととおいた新 しい ラ グラ ンシアン密 度を 1 - → 1. ｒ c ＝ 一百^四・G匹 一j（゛ ・G 四 ＋ 姉j ／ ＋ 仁( シ 矛 ＋T5ケ ふ卜m} φ とす る。Dirac 方程式は (叫 ∂″＋i 万万 ダ ＋￨ 万い5 贈 −m) φ＝0 (行丿 付 ソレ ル ス Ｖ号 淳 一m)ip ＝0 とな り、Proca 方程式は ま た は ベ クト ル 表 現 で ∂で 山 ― 一面 号T 謹 十妬 μG ル ペ ∂竹 泗 ＝ 一掃孚Ti'Tsφ 十妬 丿口5＆心 火 ∂″とし ＝ 一fi'V'冊 諦 十 拓 し × 矛 ∂″(とし. ＝ 一如{7 ／T5φ 十g 馮(とし × ↓ か 49 (4.26) (4.27) (4.28) (4.29) (4.30) (4.31) (4.32) とな る。 グル ーオン場 の時間空間依存 性を無視す ると、上の2 つ のProca 方 程式 はそれぞれ 午
'i/^ = gfk￡m脳jAi μAjノA‰
φ宍ト≒͡融 ＝ 鳥 口z(で‰,利 ― 鳥 口5婬Umj5 聯 我 利 ＝ 妬jkfUm 聯 我 利 (4.33) (4.34) とな る。 グル ー オ ン（ ベ ク ト ル 粒 子 ）お よ び 軸 性 グ ル ー オン（ 軸 性 ベ クト ル 粒 子 ）のそ れ ぞ れ2 つ が 組 んで スカ ラ ー とな る状 態 を 考 え る 。 す な わ ち 、 凡 。矛 ま た は 礼 。か と な り、 無 色 に な る も のを 考 え る。 （3.29 ）と同 様 な 計 算 か ら
ノi^ ノi ニ Å2μA',ニ Å3μA'^ ニ ÅiμA''
ニ ノ5μ/^ ニ Åeμ< ＝^7 μ/tf ＝/s μ/1g −a とお い てProca 方 程 式（4.33 ）か ら
年 々 ＝Sga/
し
(4.35) (4.36)が求まる。同じく /し 贈 ＝75 人回5ダ ＝/ ‰A^ ＝a となるから( ここで は添 え字 言こっ いて の和は取らない) 、Proca 方 程式(4.34) から
φ 2͡
い φ ＝3ff(7
ノ
し
となる。これをDirac方程式(4.27)に代入すると
(所丿汁−m)φ十ミ
ト ｇ参
勺 にyと
か十釦 岬5
参3g
シ
φ
か
す な わち (糎丿 μ −m)ip 十1 が昔 憚7 べfφ 十ふ φ昔Tりs φ ‰75 y φ ＝O が 求 ま る 。 運 動 方 程 式 が（4.38 ）と な る よ う な ラ グ ラ ン シ ア ン 密 度 を 考 え る と￡NJL ＝釧叫 ∂
“ −m)φ十
士( 午
憚)2十
止( 今
昔
ず≒φ)2
＝φ(叫 ∂しm)V' 十Ｇ価
号
ダ白2 十G(今^ ͡
ハ φ)'
(4.37) (4.38) (4.39) と な る 。 た だ しG ＝ よ と し た 。 こ れ は ちょ う どQCD に 対 す るNJL ラ グ ラ ン シ ア ン 密 度 に 対 応 す る（Hatsuda, T. 1994, Vogl, U. 1991 ）。 ク ォ ー クの 運 動 エ ネ ル ギ ー 項 ， 質 量 項 の 他 に ， グ ル ー オ ン の 自 由 度 を 消 去 し た 結 果 とし てベ ク ト ル カ レ ン ト ーベ ク ト ル カ レ ン ト 型 有 効 相 互 作 用 と軸 性 グル ー オ ン の 自由 度 を 消去 し た 結果 と し て 軸 性 ベ ク ト ル カ レ ン ト ー 軸 匪 ベ クト ル カ レ ン ト 型 有 効 相 互 作 用 が 現 れ る。 対 応 す るDirac 方 程 式 は 祐 ∂叩 −m φ 十G{ 乱V'(V'y ダV') 十(午 岫) 参ダ 帥 十G{ 等っいs φ(示≒・͡白 雨 十(示≒・͡い 如) 参ダ ッ5φ} ＝0 −j∂憎 ͡脳 一系m 十・府 ソ φ参ダ 白 十(φ 2・フ諦) φ参ダ}十Ｇ帰
参7
八5(
午
へ
岡 十(φ
となり、ペクトルカレントは
有 一͡叫͡鳥や)φ 昔t' 訴s} ＝0偉 ＝毎 々
(4.40) (4.41) (4.42) で あ る か ら 弘 が ＝(∂諦毎 々 十φ孚ダ(∂評) ＝卜 一緬 十Ｇ佃参ソ φ等 ダ 吻 十 少年 ͡悩や沁 有一ダ}カ レ ン トーカ レ ン ト 型 有 効 相 互 作 用
十Ｇ憚
号
っ
い5(φy ず≒紳) 十{が
号Tm75
φ畑y
ダフ5 }]yV'
十φ響人[-mil)十G{
乱
や(φ
セ
・
ブ 伺 十(φ
号7
謹)
号
ダ 郷
十G{
号7
岬5か(
φ
ヤ
・ダッ岫 十叫
等7
丿5φ)
≒
一
貿 おや}]
＝シφ[
万
一,m]
φ
十G{i秘 訣 ͡
畑
≒
一
々価
万
ず柏 十浪 副
毎
々)φダ
等
郷
十G{町心岫 町 郎
寸
々(φ
他
渋 即トifkem[
壮
一 州 石 竹5等 叫]
fkim の 完 全 反 対 称 性 か らfkim 十fmlk ＝0 ゜ 一 叩iY,'^ 」聊 ＝0 と な り、 ベ ク ト ル カ レ ン ト は 保 存 す る。 軸性 ベ クト ル カ レン ト は と な る か ら∂μ
― -[―1pm十Ｇ佞
有
一
͡
脳価
≒
ずや)十(
午
八)φ
号
ダ}
十Ｇ憚
号
卵75(φ
≒
͡
ハ 姻 十(φ
≒
・7ぷ や)φ
ヤ
・ダフ5}]
ト
十φ部 丿5)^[-m
φ十G{
ト
や(φ
セ
・ブ 初 十(φ
セ
・フ謹)
号
ダ 司
十G{
号
‰75φ(
午
≒
川 十{φ
号7
岬5初
号
ダフ5
か}]
--万憚( 今十孚ｍ)75
φ
十Gifkt
バ(妨げ5
ケ
φ)価
音
ダ刈 十(
午
八)(西丿5
ケV')}
−Gi加心(V'7
半)(
7
ケ
ゲa州 十(φ
ケ
フ
丿姻( 七
半)}]
＝2iφm ―'f5φ と な り 、 確 か に ク ォ ー ク の質 量 項 の み が保 存 し な い こ と が 証 明 さ れ る。 51 (4.43) 5 ま と め ボ ソ ン と フ ェ ル ミ オ ン が 相 互 作 用 す る 強 い 相 互 作 用 に 対 し 、 ボ ソ ン の 自 由 度 を 消 去 し 、 カ レ ン ト ーカ レ ン ト 型 有 効 相 互 作 用 を 導 い た 。陽 子 と 中 性 子 の2 成 分 を 持 つ 核 子 がa 中 間 子 と π 中 間 子 に よ っ て 相 互 作 用 す る 系 か ら 、 中 間 子 の 自由 度 を 消 去 し 、 ス カ ラ ー カ レ ン ト ー ス カ ラ ー カ レ ン ト 型 有 効 相 互 作 用 と 擬 ス カ ラ ー カ レ ン ト ー擬 スカ ラ ー カ レ ン ト 型 有 効相 互 作 用 か ら な るNambu & Jona‐Lasinio の ラ グ ラ ン シ ア ン 密 度(Nambu,Y. 1961) が 求 ま る こ とを 示 し た 。 ア イ ソ ス ピ ン 空 間 で の回 転 に 対 す る 不 変 性 は 保 た れ て い る が、ＰＣＡＣ を 満 た す よ う にSU(2) のラ グラ ン シ アン 密 度 に お い て はa の線 形 項 と し て 破 れ て い た カ イ ラル 対 称 性 の 破 れ は 有 効 相 互 作 用 で は 核 子 の 質 量 項 とし て 現 れ る 。 カ ラ ー3 成 分 を 持つ クォ ー ク と グ ル ー オ ン か ら な る 系 か ら グ ル ー オ ン の 自 由 度 を 消 去 し 、 ベ ク ト ル カ レ ン ト ーベ クト ル カ レ ン ト 型 の有 効 相 互 作 用 を 導 い た。 こ の有 効 ラ グラ ン シ ア ン密 度 は カ ラ ー 空 間 にお け る カ イ ラ ル 対 称 性 を満 た し て い な い 。 カ イ ラル 対 称 性 を 回 復 す る た め に 軸 性 グル ー オ ン の 自 由 度 を 導 入 し た。 そ の 上 で 、 グ ル ー オン お よ び 軸 性 グ ル ー オ ン の 自 由 度 を 消 去 し て 、 ペ ク ト ル カ レ ン ト ーペ ク ト ル カ レ ン ト 型 と 軸 性 ベ ク ト ル カ レ ン ト ー 軸ト生ベ ク ト ル カ レ ン ト 型 の 有 効 相 互 作用 を 求 め た 。 こ の 相 互 作用 の 強 さ を 同 じ 大 き さ に 取 る こ とに よっ て、 こ の ラ グ ラ ン シ ア ン 密 度 の カ イ ラ ル 対 称 性 は ク ォ ー ク の 質 量 項 だ け が 破 る よ う に す る こ と がで き た。
A SU(3)
群表現
Gell-Mann 行 列 ぐ ぐ 一一 ＝ λ λ 入7 ＝ 交 換 関係 （ 100 000 00 ．Ｚ010 001 000 000 1 00 0 -t Ｏ 反 対 称 構 造 定 数 ：fabc fabc ＝ λ2 ＝付録
Ｏ ’Ｚ Ｏ ぐ 00 ．Ｚ ぐ ＝ 脳 As 礼 一2-二
石
瓦 −2 一 〇 〇 〇 〇 〇 100 Ｇ ｊ 000 Ｉ 0 一 〇 100 ぐ ＝ 柚 柚 丿 一 〇 〇 Ｏ Ｉ 00 0 2 -（ 0 0 Ｏ 1 00 り16 ． ミJJbca ― Jcab ― Ibac 一工 /l23 ＝1
ｊ
000
カ レ ン トーカ レ ン ト 型 有 効 相 互 作 用 /l47 ― /246 /257/458 ＝/678 ＝ プ
B SU(3)
ベ ク ト ル 代 数
-/345 ― /516 - /637 ＝-SＵ(3)空間 のベ クト ル 疋B に対し 、ベクトル 積を スカ ラ ー 積 を と定 義 す る。 ・公 式1 証 明 ・ 公 式2 証 明 ・ 公 式3 証 明 ・ 公 式4(AxB)
-4 4A ・ 召 Σ a,6＝1 几bcA^i -8 Σ a −l A'^召α ＝/ °召a ｊ χA エO(AxA) ＝fatcA °A'' (゜ご^) 五acA ≒A°＝ 几αo/°/& ＝ 一几&cノ°ノ''
A χB ＝ 一召 ×A
(AxB) ＝UoA''B^ ＝ 几c 召≒A° ＝ 一八αc召りA°＝ −(B χA) (Ax B) ・(コ＝(BxC) ．A エ(ご × 勾 ・ｊ (Ax 万)・ ヲ＝( 鳥 ，ぷ か)C'' ＝fahc いB^C'^ ＝fbcaB''C'A ｀ ＝(Bx ご) ．A → λ −2
A,
ンj]
＝i(A
↓ λ 一2 ｊ ↓召 ↓ 入 一2 ↓ Å 召→砂
亙2
ギ
血2
＝(壮 一 → λ − − ● 2 為 − − 2万とｊ
2
が
咎
が
2
与 与)が 砂 ＝[与,白-]/a
が
2 2 2 2 齢 − げ 。レ^ A'^B'' ＝i(Ax B) ・} 53・ 公 式5 証 明
(AxB) ×c 十(BxC)xA 十((ヲ×A)x B ＝0
[(AxB) ×ご]'■ ＝ ん 。(Ax B) 七 ＝JidcfdabA'^B^C' 同様 に計算し
(AxB)xC 十(BxC)xA 十(CxA)x B]' ＝(fdcifdab十fdaifdbc十fdbifdca)A"B>'C・ こ の係 数を実際 に計算す ればすべて の場合 に Ｏとな る 例 えば ≪・＝1,0 ＝4,6 ＝6 の場合 には fdcljdi& ＋fd4lfd6c ＋fdeifdc4 ― ' hclhie, ＋ 升il升Qc ＋/56l/5c4 = /231/246 ＋/741/763 十/561 /534^ づ 十(−1) づ 十(−と)づ こ0 ま た は 阻8 力41力68 十 几61ム84 ＝( − 1 − 2 1 − − 2 岬 − ＝0 参 考 文 献
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