4.4 逆行列の公式・クラメールの公式 担当：市原

線形代数学

1 No.10 2004.12.22

4.4 逆行列の公式・クラメールの公式

担当：市原

定理

10 (

逆行列の公式

) n

次正方行列

A

の余因子行列（

A e

で表す）とは

,

余因子 を並べてから行と列を入れ替えてできる行列

.

A e =



 

 

 e

a

₁₁

e a

₂₁

· · · e a

_n1

e

a

₁₂

e a

₂₂

· · · e a

_n2

· · · e

a

_1n

e a

_2n

· · · e a

_nn



 

 



A

が正則のとき（つまり

,

行列式

|A|

が

0

でないとき）

A

⁻¹

= 1

|A| A e

となる

.

定理

11 (クラメールの公式) n

元

1

次連立方程式

 

 

 



a

₁₁

x

₁

+ · · · + a

_1n

x

_n

= b

₁

...

a

_n1

x

₁

+ · · · + a

_nn

x

_n

= b

_n に対し

,

A =



 



a

₁₁

· · · a

_1n

... ... ...

a

_n1

· · · a

_nn



 

 (

係数行列

), X =



 

 x

₁

...

x

_m



 

 , B =



 

 b

₁

...

b

_n



 



とおき

,

行列表示

AX = B

を考える

.

この係数行列

A

が正則行列になるとき

,

解は

x

_j

= |A

_j,B

|

|A|

と求められる

(j = 1, . . . , n).

ここで

, A

j,Bは

A

の第

j

列を

B

で置き換えたもの

,

つまり

,

A

_j,B

=



 



a

₁₁

· · · a

_1(j−1)

b

₁

a

_1(j+1)

· · · a

_1n

... ... ...

a

_n1

· · · a

_n(j−1)

b

_n

a

_n(j+1)

· · · a

_nn



 



12

線形代数学

1 No.10 2004.12.22

4.4 逆行列の公式・クラメールの公式

担当：市原

問題

15

連立方程式

 

 

 



x − y = 3 y − z = −1 z + x = 2

について

,

次の問いに答えなさい

.

(1)

行列表示しなさい

.

(2)

係数行列の逆行列を（公式を使って）求めなさい

.

(3)

係数行列の逆行列を使って

,

解を求めなさい

.

(2)

クラメールの公式を使って

,

解を求めなさい

.

学籍番号 氏名