（全 問 必 答）
第１問 （配点 ３０）
〔
%
〕 %
ラジアンとは， ア のことである。 ア に当てはまるもの を，次の!
〜$
のうちから一つ選べ。!
半径が%
，面積が%
の扇形の中心角の大きさ"
半径がπ
，面積が%
の扇形の中心角の大きさ#
半径が%
，弧の長さが%
の扇形の中心角の大きさ$
半径がπ
，弧の長さが%
の扇形の中心角の大きさ
１４４°を弧度で表すと イウ
π
ラジアンである。また，２３１２
π
ラジアン を度で表すと エオカ °である。（数学Ⅱ第１問は次ページに続く。）
― ４ ―
（２１０５―４）
π
"
≦θ
≦π
の範囲で" sin $
% θ
＋π
# &
'
−" cos $
% θ
＋π
３０&
'
＝!
………
を満たすθ
の値を求めよう。x
＝θ
＋π
#
とおくと，は" sin x
−" cos $
% x
− キπ &
'
＝!
と表せる。加法定理を用いると，この式は
sin x
−!
クcos x
＝!
となる。さらに，三角関数の合成を用いると
sin $
% x
− ケπ &
'
＝!
コと変形できる。
x
＝θ
＋π
#
，π
"
≦θ
≦π
だから，θ
＝ サシスセ
π
であ る。（数学Ⅱ第１問は次ページに続く。）
― ５ ―
（２１０５―５）
〔
"
〕c
を正の定数として，不等式x
log３x≧%
& x c '
(
３
………
を考える。
#
を底とする
の両辺の対数をとり，t
＝log ３ x
とおくとt
ソ− タ
t
＋ タlog ３ c
≧!
………
となる。ただし，対数log
ab
に対し，a
を底といい，b
を真数という。c
＝３ ! $
のとき，を満たすx
の値の範囲を求めよう。によりt
≦ チ ，t
≧ ツである。さらに，真数の条件を考えて テ ＜
x
≦ ト ，x
≧ ナ となる。（数学Ⅱ第１問は次ページに続く。）
― ６ ―
（２１０５―６）
次に，が
x
＞ テ の範囲でつねに成り立つようなc
の値の範囲を 求めよう。x
がx
＞ テ の範囲を動くとき，t
のとり得る値の範囲は ニ で ある。 ニ に当てはまるものを，次の!
〜$
のうちから一つ選べ。!
正の実数全体"
負の実数全体#
実数全体$ %
以外の実数全体こ の 範 囲 の
t
に 対 し て，が つ ね に 成 り 立 つ た め の 必 要 十 分 条 件 は，log ３ c
≧ ヌ ネである。すなわち，
c
≧ ノ!
ハヒ である。― ７ ―
（２１０５―７）
第２問 （配点 ３０）
〔
'
〕p
＞&
と す る。座 標 平 面 上 の 放 物 線y
＝px ２
＋qx
＋r
をC
と し，直 線y
＝(x
−'
をl
とする。C
は点A
（'
，'
）においてl
と接しているとする。 q
とr
を，p
を用いて表そう。放物線C
上の点A
における接線l
の傾き は ア で あ る こ と か ら，q
＝ イウp
＋ エ が わ か る。さ ら に，C
は点A
を通ることから，r
＝p
− オ となる。 v
＞'
とする。放物線C
と直線l
および直線x
＝v
で囲まれた図形の 面積S
はS
＝p
カ
) * v ３
− キv ２
＋ クv
− ケ+
,
である。また，
x
軸とl
および(
直線x
＝'
，x
＝v
で囲まれた図形の面積T
は，T
＝v
コ−
v
である。U
＝S
−T
はv
＝(
で 極 値 を と る と す る。こ の と き，p
＝ サ で あ り，v
＞'
の 範 囲 でU
＝&
と な るv
の 値 をv ０
と す る と，v ０
＝ シ ＋!
スセ
である。
'
＜v
＜v ０
の範囲でU
は ソ 。ソ に当てはまるものを，次の
!
〜%
のうちから一つ選べ。!
つねに増加する"
つねに減少する#
正の値のみをとる$
負の値のみをとる%
正と負のどちらの値もとるp
＝ サ のとき，v
＞'
におけるU
の最小値は タチ である。（数学Ⅱ第２問は次ページに続く。）
― ８ ―
（２１０５―８）
〔
,
〕 関数（f x
）はx
≧+
の範囲でつねに（f x
）≦*
を満たすとする。t
＞+
のと き，曲線y
＝（f x
）とx
軸および,
直線x
＝+
，x
＝t
で囲まれた図形の面積 をW
とする。t
がt
＞+
の範囲を動くとき，W
は，底辺の長さが,t ２
−,
， 他の,
辺の長さがそれぞれt ２
＋+
の二等辺三角形の面積とつねに等しいと する。このとき，x
＞+
における（f x
）を求めよう。F
（x
）を（f x
）の不定積分とする。一般に，F
（′x
）＝ ツ ，W
＝ テ が成り立つ。 ツ ， テ に当てはまるものを，次の!
〜)
のうちか ら一つずつ選べ。ただし，同じものを選んでもよい。!
−F
（t
）" F
（t
）# F
（t
）−F
（+
）$ F
（t
）＋F
（+
）%
−F
（t
）＋F
（+
）&
−F
（t
）−F
（+
）'
−（f x
）(
（f x
）)
（f x
）−（f +
）したがって，
t
＞+
においてf
（
t
）＝ トナt
ニ＋ ヌ
である。よって，
x
＞+
における（f x
）がわかる。― ９ ―
（２１０５―９）
第３問 （配点 ２０）
座標平面上の
#
点A
（−"
，!
），B（#
，"
）を通る直線をl １
とする。また，方程 式x ２
＋y ２
＋$x
−１２y
＋３６＝!
が表す円をC １
とする。 l １
の 方 程 式 はx
− アy
＋ イ ＝!
で あ る。ま た，C １
の 中 心 は% &
ウエ ， オ'
(
で，半径は カ である。 C １
上の点P
（a
，b
）に対して，三角形ABP
の重心G
の座標を（s
，t
）とおく と，a
＝ キs
− ク ，b
＝ ケt
− コ で あ る。し た が って，Pが
C １
上 を 動 く と き，Gの 軌 跡 は 中 心%
&
サシ ス
， セ ソ
' (
，半 径タ の円となる。
（数学Ⅱ第３問は次ページに続く。）
― １０ ―
（２１０５―１０）
で求めた円を C ２
とする。点Q
がC ２
上を動き，点R
が線分AB
上を動く とき，線分QR
の長さの最小値と最大値を求めよう。C ２
の中心を通り，直線l １
と垂直な直線l ２
の方程式はチ
x
＋ ツy
−"
＝!
で あ る。
l １
とl ２
の 交 点 は，線 分AB
を"
： テ に 内 分 す る こ と が わ か る。よって，l ２
は線分AB
と交わるので，QRの長さの最小値はト
!
ナニヌ
− タ
である。
QR
の長さが最大となるときのR
の座標は#
$
ネ ， ノ%
&
である。し たがって，最大値はハ
!
ヒフ
＋ タ
である。
― １１ ―
（２１０５―１１）
第４問 （配点 ２０）
a
，b
，c
を実数とし，x
の整式P
（x
）をP
（x
）＝x ３
＋ax ２
＋bx
＋c
とする。
$
次方程式P
（x
）＝!
は虚数 −"
＋! %i
を解にもつとする。 $
次方程式P
（x
）＝!
の実数解をa
を用いて表そう。P
（x
）のx
に虚数 −"
＋! %i
を代入し，整理するとP
（−"
＋! %i
）＝ アイa
−b
＋c
＋ ウエ＋
&
'
オカa
＋b
− キ(
) ! %i
となる。したがって，b
，c
をa
を用いて表すとb
＝ クa
＋ ケ ，c
＝ コa
− サシとなる。
二つの虚数 −
"
＋! %i
，−"
−! %i
を解とする#
次方程式で，x ２
の係数が"
のものはx ２
＋ スx
＋ セ ＝!
である。
P
（x
）をこの方程式の左辺の整式で割ると，商はx
＋a
− ソ ， 余りは タ である。よって，方程式P
（x
）＝!
の実数解はx
＝ チa
＋ ツと表せる。
（数学Ⅱ第４問は次ページに続く。）
― １２ ―
（２１０５―１２）
P
（x
）をx
＋a
−#
で割ったときの余りが$
のとき，a
＝ テ である。こ の と き，
P
（x
）を"
次 の 整 式Q
（x
）で 割 っ た と き の 商 はx
−!
，余 り は １３x
＋１７とするとQ
（x
）＝x ２
＋ トx
＋ ナ である。― １３ ―
